4a Lista de EDO

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
 
4a Lista de Exercícios 2013.1 
 
 
1) Resolva as seguintes equações lineares homogêneas 
 
a) y’’ + 2y’ – 3y = 0 b) y’’  4y’ + 13y = 0 
 
c) y’’ – y = 0 d) y’’ + 5y’ = 0 
 
e) 4y’’ + 4y’ + y = 0 f) 2y’’  3y’ + y = 0 
 
g) y’’  2y’ + y = 0 h) y’’  9y’ + 9y = 0 
 
i) y’’ - 2y’ – 2y = 0 j) y’’ + 2y’ + y = 0 
 
k) y’’ - 2y’ + 2y = 0 l) y’’ + 2y’ – 8y = 0 
 
m) 9y’’ – 6y’+ y = 0 n) y’’ - 2y’ + 6y = 0 
 
o) y’’ + 2y’ + 2y = 0 p) y’’ + 6y’ + 13y = 0 
 
q) y’’ + 4y’ = 0 y(0) = 0 y’(0) = 1 
 
r) y’’ + 4y’ + 5y = 0 y(0) =1 y’(0) = 0 
 
 
2) Resolva as seguintes equações não-homogêneas, utilizando o método da variação dos 
parâmetros para encontrar a solução particular da equação completa. 
 
a) y’’  5y’ + 6y = 2ex b) y’’ + 2y’ + y = 3ex 
 
c) y’’ + 9y = 9sec(3x) d) y’’  y’ – 2y = 2ex 
e) y’’ + y = tgx f) y’’ + 4y’ + 4y = 
2
x2
x
e
 
g) y’’ + y = sec3x h) y’’  2y’ + y = 
x
e x
 
 
 
3) Usando o método dos coeficientes a determinar, dê uma forma para uma solução 
particular para as seguintes equações 
 
a) y´´  2y´ + y = xe2x ; b) y´´ + y = xcosx + x
2senx; 
c) y´´  y = cosx d) y´´ + y = xsenx 
e) y´´ 2y´ + y = ex + senx f) y´´  2y´ = xe2x + 1 
 
 2 
4) Resolva as seguintes equações não-homogêneas, utilizando o método dos coeficientes 
a determinar para encontrar a solução particular da equação completa 
 
a) y’’  5y’ + 6y = 2ex b) y’’ + 2y’ + y = 3ex 
 
c) 2y’’ – 4y’ – 6y = 3e2x d) y’’  y’ – 2y = 2ex 
 
e) y’’ + y’  2y = 2x; y(0) = 0; y’(0) = 1; f) y’’ + 4y = x2 + 3ex ; y(0) = 0; y’(0) = 2 
 
g) y’’ + 2y’ = 3 + 4sen(2x) h) y’’ + 9y = x2e3x +6 
 
i) y’’  2y’ + y = xex + 4 y(0) = 1 y’(0) = 1 
 
j) 2y’’ + 3y’ + y = x2 + 3senx k) y’’ + y = 3sen(2x) + xcos(2x) 
 
 
 
5) Usando os métodos vistos para as equações lineares de 2ª ordem resolva as 
seguintes equações lineares de 1ª ordem 
 
a) y´ + 2y = 2ex; b) x y´+ y + 4 = 0 ; c) ( y  senx ) dx + x dy = 0 
 
d) y´  4y = 2x 4x2 
 
 e) 
3
x3
x
e
y3y


 
 
f) 
xsenxyy 
 
g) 
)t20cos(10i2
dt
di

 
 
6) Resolva as seguintes equações utilizando o método mais conveniente para cada caso 
 
a) y´´ + 4y´ = 8x + 10 b) 
5
x2
x
e
y4y4y 
 
c) 
x3ey3y 
 + 3x d)
xcosey2 'y2 ''y x 
 
 
e) 
x2/3 e xyy2y 
 f) 
1x
e
y9 'y6 ''y 
2
x3


 
 
g) 
x4yy 
; y(0) = 1; y´(0 ) = 1 h) 
xcossenx3y
dx
dy

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Respostas 
 
1) a) y = c1e
x + c2e
-3x b) 
x3seneCx3coseCy x22
x2
1 
 
 
c) y = c1e
x + c2e
-x d) y = c1 + c2e
-5x 
 
e) y = c1e
-x/2 + c2xe
-x/2 f) y = c1e
x/2 + c2e
x 
 
g) y = c1e
x + c2xe
x h) 
2/x)539(
2
2/x)539(
1 ececy
 
 
i) y =
x)31(
2
x)31(
1 ecec
 
 j) y = c1e
-x + c2xe
-x 
 
k) y = c1e
xcosx + c2e
xsenx l) y = c1e
2x + c2e
-4x 
 
m) y = c1e
x/3 + c2xe
x/3 n) y = ex(c1cos 5 x + c2sen 5 x) 
 
o) y = e-x(c1cosx + c2senx) p) y = e
-3x(c1cos2x + c2sen2x) 
 
q) 
4
e1
y
x4

 r) y = e-2x(cosx + 2senx) 
 
 
2) 
a) y = c1e
2x + c2e
3x + ex b) y = c1e
x + c2xe
x + (3/2)x2ex 
 
c) y = c1cos3x + c2sen3x + cos3x ln(cos3x) + 3xsen(3x) 
 
d) y = c1e
x + c2e
2x – (2/3)xex; e) y = c1cosx + c2senx – cosx ln(tgx + secx) 
 
f) y = c1e
2x + c2xe
2x – e2x lnx e–2x ; g) y = c1cosx + c2senx 1/2cosx +senxtanx 
 
h) y = ex(c1 + c2x + xlnx) 
 
 
3) a) yp = (Ax+B)e
2x; b) yp = x( Ax
2 + Bx + C) cosx + x ( Dx2 + Ex + F) senx 
c) yp = Acosx + Bsenx; d)yp = (Ax
2 + Bx )cosx + ( Cx2 + Dx) senx; 
e) yp = Ax
2ex + Bcosx + Csenx; f) yp = x(Ax + B) e
2x + Cx 
 
 
4) a) y = c1e
2x + c2e
3x + ex b) y = c1e
x + c2xe
x + (3/2)x2ex 
 
c) y = c1e
3x + c2e
 x – e2x/2 d) y = c1e
x + c2e
2x – (2/3)xex 
 
e) y = ex – e-2x/2 - x – ½ f) y = 7sen(2x)/10 – 19cos(2x)/40 + x2/4 + 3ex/5 – 1/8 
 
g) y = c1 + c2e
2x + 3x/2 – (1/2) (sen(2x) + cos(2x) ) 
 4 
 
h) y = c1cos(3x) + c2sen(3x) + (x
2 /18 – x/27 + 1/162)e3x + 2/3 
 
i) y = 4xex  3ex + x3ex/6 + 4 
 
j) y = c1e
-x + c2e
-x/2 + (x2 – 6x + 14) – 3senx/10 – 9cosx/10 
 
k) y = c1cosx + c2senx – xcox(2x)/3 – 5sen(2x)/9 
 
5) a) y = (2/3)
2xx Cee 
; b) y = 
4
x
C

; c) 
;
x
cosxC
y


 d) y = x2+Ce4x; 
e) 
2
x3
x3
x2
e
Cey

 
; f) 
senx
2
x
xcos
2
1
xCey x 






; 
g) 
)t20(sen
101
50
)t20cos(
101
5
Cei t2  
 
6) a) y = C1 + C2 e
4x + x2 + 2x ; b) 
3
x2
x2
2
x2
1
x12
e
xeCeCy 
 
c) 
3
x
2
x
3
xe
eCCy
2x3
x3
21 
; d) 
5
senx2
5
xcos
esenxeCxcoseCy xx2
x
1 
 
 
e) 
35
ex4
xeCeCy
x2/7
x
2
x
1 
; f) 
arctgxxe)1xln(
2
e
xeCeCy x32
x3
x3
2
x3
1


 
 
 
g) 
2x4x2e3y 2x 
; h) 
xcossenx2eCy x1 
