14 03 Subconjuntos

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Subconjuntos	
GST1073	-	FUNDAMENTOS	DE	MATEMÁTICA	
Subconjunto	
•  Sendo	A	e	B	dois	conjuntos,	diz-se	que	A	é	subconjunto	de	
B	se,	e	somente	se,	todo	elemento	de	A	pertence	a	B.	
•  Indica-se	que	A	é	subconjunto	de	B	por:		
–  A	⊂	B	(lê-se	"A	está	conOdo	em	B")	
–  B		⊃		A	(lê-se	"B	contém	A”)	
		
Exemplos:	
•  {2,	5,	3}	⊂	{2,	5,	3,	8,	9}	
	
•  {6,	9,	6,	5}	⊃	{9,	6}	
12	March	2016	 2	
Subconjunto	
Propriedades	de	Subconjuntos:	
		
1	-	O	conjunto	vazio	é	subconjunto	de	qualquer	conjunto:		
Simbolicamente:	A	⊂	B	⇔	[∀x	∈	A,	x	∈	B]	
Exemplos:		
•  	∅	⊂	{1,	2,	3}	
•  ∅	⊂	∅	
		
2	-	Todo	conjunto	é	subconjunto	de	si	mesmo.		
Simbolicamente:		A	⊂	A,		∀	A	
12	March	2016	 3	
Subconjunto	
Relação	de	Inclusão	x	Relação	de	Per;nência	
1.  Usamos	a	relação	de	inclusão	(⊂)	para	
relacionar	um	subconjunto	B	com	um	
conjunto	A	que	contém	B	(B	⊂	A).	
2.  Usamos	A	relação	de	perOnência	(∈)	para	
relacionar	um	elemento	x	com	um	conjunto	
A	que	possui	x	como	elemento	(x	∈	A).	
12	March	2016	 4	
Subconjunto	
Conjunto	das	Partes	de	um	Conjunto	
Podemos	ter	um	conjunto	cujos	elementos	podem	também	ser	conjuntos.	
Considere	o	conjunto	A	=	{a,	b}.		Vamos	determinar	os	subconjuntos	de	A,	
pensando	em	termos	de	número	de	elementos.	
•  Subconjuntos	com	nenhum	elemento:	Ø	
•  Subconjuntos	com	um	elemento:	{a},	{b}	
•  Subconjuntos	com	dois	elementos:	{a,	b}	
	
	 	 	 	P(A)	=	{Ø,	{a},	{b},	{a,	b}}	
	
Chamamos	conjunto	das	partes	de	um	conjunto	A	ao	conjunto	cujos	
elementos	são	todos	os	subconjuntos	de	A.	
•  Notação:	P(A)			(lê-se	P	de	A)	
12	March	2016	 5	
Subconjunto	
Conjunto	das	Partes	de	um	Conjunto	
	
•  A	=	{a,	b}	
P(A)	=	{	Ø	,	{a},	{b},	{a,b}	}	
	
•  B	=	{a,	b,	c}	
ü  Subconjuntos	com	nenhum	elemento:	Ø	
ü  Subconjuntos	com	um	elemento:	{a},	{b},	{c}	
ü  Subconjuntos	com	dois	elementos:	{a,b},	{a,c},	{b,c}	
ü  Subconjuntos	com	três	elementos:	{a,b,c}	
		
P(B)	=	{	Ø,	{a},	{b},	{c},	{a,b},	{a,c},	{b,c},	{a,b,c}	}	
	
12	March	2016	 6	
Subconjunto	
Número	de	Elementos	do	Conjunto	das	Partes	de	
um	Conjunto	
•  O	conjunto	A	=	{a,	b}	tem	dois	elementos	e	o	
conjunto	das	partes	de	P(A)	possui	4	(22)	
elementos.			
•  O	conjunto	B	=	{a,	b,	c}	tem	três	elementos	e	o	
conjunto	das	partes	de	P(B)	possui	8	(23)	
subconjuntos.			
De	um	modo	geral,	se	um	conjunto	A	tem	n	
elementos,	os	números	de	elementos	de	P(A)	=	2n.	
12	March	2016	 7	
Operações	com	Conjuntos	
União	de	conjuntos	(U)	
	
•  Dados	dois	conjuntos	A	e	B,	chama-se	união	(ou	
reunião)	de	A	com	B	ao	conjunto	formado	pelos	
elementos	que	pertencem	a	A	ou	a	B.	
•  Notação:	A	U	B	(lê-se	"A	união	B").		
A	U	B	=	{x	|	x	∈	A	ou	x	∈	B}	
	
	12	March	2016	 8	
Operações	com	Conjuntos	
Propriedades	da	união	de	conjuntos:	
•  Se	um	conjunto	B	é	subconjunto	de	um	conjunto	A,	a	
união	A	U	B	será	o	conjunto	A.	
B	⊂	A		A	U	B	=	A,		para	todo	A,	B.	
•  A	operação	de	união	é	comutaOva.		
A	U	B	=	B	U	A,		para	todo	A,	B.	
•  A	operação	de	união	é	associaOva.		
(A	U	B)	U	C	=	A	U	(B	U	C),		para	todo	A,	B,	C.	
12	March	2016	 9	
Operações	com	Conjuntos	
Exemplos	de	União	de	conjuntos	(U)	
	
A	=	{2,	3,	5,	6,	8}	
B	=	{3,	5,	8,	9}	
• 	A	U	B	=	{2,	3,	5,	6,	8,	9}	
	
A	=	{3,	5}	
B={2,3,4,5,6}	
• 	A	U	B	=	{2,	3,	4,	5,	6}	=	B	
	
A	=	{2,	3,	5}	
B	=	{4,	6}	
• 	A	U	B	=	{2,	3,	4,	5,	6}	
12	March	2016	 10	
Operações	com	Conjuntos	
Interseção	de	conjuntos	(∩)	
	
•  Dados	dois	conjuntos	A	e	B,	chama-se	interseção	de	
A	com	B	ao	conjunto	formado	pelos	elementos	
comuns	ao	conjunto	A	e	ao	conjunto	B.	
•  Notação:	A	∩		B	(lê-se	"A	intersecção	B").	
A	∩	B	=	{x	|	x	∈	A	e	x	∈	B}	
	
12	March	2016	 11	
Operações	com	Conjuntos	
Propriedades	da	interseção	de	conjuntos:	
	
•  Se	um	conjunto	B	é	subconjunto	de	um	conjunto	A,	a	
interseção	A	∩	B	será	o	conjunto	B.	
B	⊂	A	⇔	A	∩	B	=	B,	para	todo	A,	B.	
	
•  A	operação	de	interseção	é	comutaOva.		
A	∩	B	=	B	∩	A,		para	todo	A,	B.	
	
•  A	operação	de	interseção	é	associaOva.		
(A∩	B)	∩	C	=	A	∩		(B	∩	C),		para	todo	A,	B,	C.	
	
	
12	March	2016	 12	
Operações	com	Conjuntos	
Exemplos	da	Interseção	de	conjuntos	(∩)	
	
A	=	{2,	3,	5,	6,	8}		
B	=	{3,	5,	8,	9}	
•  A	∩	B	=	{3,	5,	8}		
	
A	=	{3,	5}	
B	=	{2,	3,	4,	5,	6}		
•  A	∩	B	=	{3,	5}	=	A		
	
A	=	{2,	3,	5}		
B	=	{4,	6}	
•  A	∩	B	=	Ø	
	
	12	March	2016	 13	
Operações	com	Conjuntos	
Diferença	de	conjuntos	(-)	
	
•  Dados	dois	conjuntos	A	e	B,	chama-se	diferença	
entre	A	e	B	ao	conjunto	formado	pelos	elementos	de	
A	que	não	pertencem	a	B.	
•  Notação:	A	-	B	(lê-se	"A	menos	B").			
	
A	-	B	=	{x	|	x∈A	e	x∉	B}	
	
12	March	2016	 14	
Operações	com	Conjuntos	
Exemplos	da	Diferença	de	conjuntos	(-)	
	
A	=	{2,	3,	5,	6,	8}	
B	=	{3,	5,	8,	9}	
	
•  A	-	B	=	{2,	6}	
•  B	-A	=	{9}	
	
A	=	{3,	5}	
B	=	{2,	3,	4,	5,	6}	
•  A	-	B	=	{		}	=	Ø		
12	March	2016	 15	
Operações	com	Conjuntos	
Complementar	de	um	conjunto	(C)	
	
•  Se	A	e	B	são	conjuntos	tais	que	A	⊂	B,	então	a	
diferença	B	-	A		é	chamada	complementar	de	A	em	B.	
•  Notação:										(lê-se	"complementar	de	A	em	B").		
	
								=	B	-	A	=	{x	|	x∈B	e	x	∉	A},	onde	A	⊂	B	
	
12	March	2016	 16	
Operações	com	Conjuntos	
Exemplos	de	Complementar	(C)	
A	=	{3,	5}	
B	=	{2,	3,	4,	5,	6}	
•  Existe										,	pois	A	⊂	B.		
•  						=	{2,	4,	6}.	
		
A	=	{2,	3,	5,	6,	8}	
B	=	{3,	5,	8,	9}	
•  Como	A⊄	B,	então	não	existe	:			
12	March	2016	 17