Calculo Aula 1 5

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Aula 1
Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/seg. Quão rápido o topo da escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 6 metros da parede?
Resposta: -3/4 m/seg
A equação horária de um móvel é y = t3 + 2t, onde a altura y é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. A equação da velocidade deste móvel será:
Resposta: v(t)=3t2+2
Sejam f e g funções da variável x. Considere as seguintes regras de derivação:
(fg)'=g.f'-f.g'g2       e                    (fn)'=n.fn-1.f'
Utilizando as regras de derivação dadas podemos afirmar que a derivada em relação a x da função 
y=[x1+ x2  ]5/3  
calculada no ponto x = 1 é dada por :
Resposta: 0
Encontre derivada da função f (x) = tgh-1(sen x)
Resposta: sec x
Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por f(x) = x3 - 3x?
Resposta: 
Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/seg. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm?
Resposta: (25Pi)-1 cm/seg
Considere f a função definida pelo gráfico abaixo:
Determine f'(2), isto é a derivada de f em x=2
Resposta: 5/4
Considere a função f(x)=x+lnx  definida no domínio D = {x∈R|x>0}.      
Seja g a função inversa de f. Utilizando a Regra da Cadeia,encontre g'(x):
Resposta: g'(x)=g(x)g(x)+1
Aula 2
Sabendo-se que f é uma função da variável x e que ln( f ) representa o logaritmo na base natural da função f, considere a seguinte regra de derivação:
[ ln(f )]' = ( f '/ f )
Observando a regra estabelecida podemos afirmar que a derivada da função  y = ln (x3 + x) em relação a variável x no ponto x =1 é igual a:
Resposta : y'(1) = 2
Considere  f  uma função contínua em  [a , b] e diferenciável em  (a , b). Se  f'' (x) > 0  para todo  x em (a , b) então:
Resposta: f  é crescente em  [a , b]
A função x3 + y3 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no ponto (3, 3).
Resposta: x + y = 6
A derivada do produto de duas funções pode ser calculada pela fórmula:  (UV)' = UV' + U'V. Sejam  U = sec(2x) e V = tg(3x). Calcule a derivada do produto dessas duas funções:
	Resposta: 2sec(2x)tg(2x)tg(3x) + 3sec(2x)sec²(3x)
A derivada de uma função num ponto permite obter o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto considerado. Consequentemente o simétrico do inverso do coeficiente angular da reta tangente é igual ao coeficiente angular da reta normal. assim, encontre a equação da reta normal ao gráfico da função f(x)=x3+4x2 -5  no ponto de abcissa x=1
Resposta : 5y-x+11=0
 Considere as funções f(x) = lnx/ex e  g(x) = ( ln x )3
Calcule  a derivada da soma f(x) + g(x) no ponto x = 1.
Resposta : 1/e  
 Um ponto de tangente horizontal ao gráfico de y = f(x) é tal que a derivada de f em r relação a x é igual a zero, isto é, f '(x) = 0. Considerando a função y=x+1x é possível afirmar que:
Resposta: Os pontos de tangente horizontal ao gráfico da função possuem coordenadas iguais a (1, 2) e (-1, -2).
8- A derivada surge como um caso particular de um limite; assim, dada a função y = f(x), a partir das diferenças Dx e Dy, representa-se o limite:
Lim (∇y)/(∇x)  = dy/dx 
D x ® 0
Quanto a aplicação do conceito de derivada nos vários fenômenos físicos possíveis, assinale a alternativa Verdadeira:
Resposta: Trigonometricamente, seu valor é igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x.
Aula 3
1- Um ponto de tangência horizontal ao gráfico de y=f(x) é tal que a derivada de f(x) é igual a zero, isto é f'(x)=0.
Considerando a função y=x+1x é possível afirmar que os pontos de tangência horizontal são:
Resposta: (1,2) e (-1,-2)
2- Escreva a equação para reta tangente à parábola y = x2- x, no ponto P(2, 2).
Resposta: 3x – 4
3- Encontre a derivada (dy/dx) da função x3 - 3 x y = y3.
Resposta: y' = (x2 - y) / (x + y2 )
4- Sabendo-se que a variável y é dependente da variável x considere a função implícita descrita pela equação a seguir:
 x y + 2x - 5y - 2 = 0
Pode-se então afirmar que no ponto (x, y) =  (3, 2) a equação da reta normal à curva é dada por:
Resposta : x + 2y = 7
5- Considere a função f(x)=x. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , representado abaixo, no ponto P( 4,2).
Resposta: y=(14)x+1
6- Sabendo que f é uma função definida pelo gráfico abaixo tal que f' (-2) = 3/5 e f (3) = 8/5 e r é uma reta tangente ao gráfico de f em x = -2 e x = 3, determine f' (3)/f (-2)
Resposta: -3/7
7- Encontre a derivada da função g(t)=(t-22t+1)9
Resposta: 45.(t-2)8(2t+1)10
8- A derivada da função   f (θ) = tg-1(θ2) é a função
Resposta: f'(θ) = 2θ1+θ4
Aula 4
1- Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo.
Resposta: 80 e 40
 
2- Um balão esférico, que está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa constante de 0,05ms. Calcule a taxa de variação do seu volume no instante em que seu raio vale 2m.
Resposta : 0,8πm3s´
3- Calcule a derivada de f(x)=2x-π e indique a única alternativa correta.
Resposta: (12x-π)
4- Dada a função f(x)=3aex-2- 5bln(3-x), calcule a  e b sabendo que f(2)=15  e   df(2)dx=20.
Resposta: a =5 e b=1  
5- Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo de galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que sua área seja máxima.
Resposta: x = 4 m e y = 8 m
6- Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante t a população é dada por  P(t) = 100 (1 + 0,3t + 0,04 t2). Podemos então afirmar que a taxa de crescimento da população quando P = 200 é dada por:
Resposta : 50 tâmias por mês
7- Considere um  triângulo T cujos lados são o eixo dos x, a reta x=1 e a reta r tangente ao gráfico de y= x2no ponto de abcissa x=a.
Determine  a   de forma que o triângulo T tenha a maior área possível.
Resposta: a=13
8- Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350 ml de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo. Dado 1 ml = 1 cm3. 
Resposta:
Aula 5
1- Determine y´ na função y2 - cos(3y2) = -4x.
Resposta: y´=-2y+3ysen(3y2)
2- Calcule as inclinações da curva   y 2 -  x  + 1 = 0  nos pontos  A ( 2, -1 ) e   B ( 2 , 1 ), respectivamente.
Resposta: mA = -12  e  mB = 12 
3- No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, e que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 minutos.
Resposta: 81,1
4- Seja y=xx, determine dydx. Indique a única resposta correta.
Resposta: y=xx(lnx+1)
5- Conhecendo as derivadas das funções   f  e  g  , podemos usá-las para encontrar a derivada da composição  fog , através de um teorema denominado:
Resposta : Regra da Cadeia
6- Determinando a derivada da função f(x)=x2senx3, obtemos:
Resposta: 2xsenx3+3x4cosx3
7- A única resposta correta para a derivação implícita da função 2y=x - y é;
Resposta: y'= y1+y
8- Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Dessa forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da função custo total correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total diário para produzir calculadoras é dado por  C(x)=0,0001x3-0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras produzidas. Determine a função custo marginal. 
Resposta: C´(x)=0,0003x2-0,16x+40