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A B C D INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA DIRETORIA DE ENSINO CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: ÁLGEBRA VETORIAL PROFESSORES: MANOEL WALLACE ALUNO(A): MATRÍCULA: 1ª Lista de Exercícios 1)Com base na figura ao lado, escreva cada combinação de vetores como um único vetor: a) BCAB b) DACD c) DCBC d) DACDBC 2) Na figura ao lado ADDB 2 . Exprimir CD em função de AC e BC . 3) Na figura ao lado, 0MDMA e 0NCNB , escrever o vetor DCAB em função de NM . 4) A figura ao lado apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Nestas condições,determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a) CHOC b) FGEH c) AFAE 22 d) EFEH e) BGEO f) OCOE 22 g) EHBC 2 1 h) FGFE i) HOOG j) AOFOAF 5) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. 6)Ache o vetor a de IR2 que corresponda a PQ . Grafe PQ e o vetor posição de a . B C A D A B C D M N A B C D E F G H O a)P(1, –4) ; Q(5, 3) b)P(2, 5) ; Q(–4,5) c)P(–3,–1) ; Q(6,–4) d)P(7, –3) ; Q(–2,4). 7)Determine um vetor unitário que tenha: (I)mesma direção e sentido de a ; (II)mesma direção e sentido oposto ao de a . a) j15i8a b)<2, –5> c) j3i5a 8)Ache um vetor de mesma direção e sentido que < –6, 3 > e que tenha: a)o dobro do módulo de < –6, 3> b)metade do módulo de < –6, 3> 9)Ache um vetor de módulo 6 que tenha a mesma direção e sentido que .j7i4a 10)Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que : (I) 3ac ; (II) .0ac a) .j4i3 b)< –5,12 >. 11)Na navegação aérea, as direções são dadas tomando-se as medidas a partir do norte em sentido horário. Suponhamos que um avião esteja voando a 200 km/h na direção 60o e que o vento sopre diretamente do oeste a 40 km/h. Essas velocidades podem ser representados por vetores v e w , respectivamente. A direção da resultante wv é a “trajetória real” do avião em relação ao solo e o módulo de wv é a “ velocidade no solo” do avião. Aproxime a velocidade no solo e o verdadeiro curso do avião. 12)Resolva o exercício 11) supondo que o avião voa na direção 150o a uma velocidade no ar de 300 km/h e que o vento sopra a 30 km/h na direção 60o . 13)Dois rebocadores estão rebocando um grande navio para o porto, conforme a figura. O rebocador maior exerce uma força de 1800 N (Newtons) sobre o cabo, e o rebocador menor exerce uma força de 1440 N sobre seu cabo. Se o navio deve percorrer uma reta de A a B, determine o ângulo que o rebocador maior deve fazer com AB . 14)Um automóvel percorre 30 km para leste , numa estrada planta. Num cruzamento ele vira para o norte e percorre mais 40 km. Achar o deslocamento resultante do automóvel (módulo e ângulo com a horizontal). 15)Ache o vetor que tem: (I)a mesma direção e sentido de a e duas vezes o módulo de a ; (II)mesma direção de a , sentido oposto e um terço do módulo de a ; (III)mesma direção e sentido de a e módulo 2. 30O B A a) k6j15i14a b) k6j3i6a 16)Ache o vetor a de IR3, que corresponde a PQ . Grafe PQ e o vetor posição de a . a)P(2, 4, –5) e Q(4, –2, 3) b)P(–4, 0, 1) e Q(3, –2, 1) c)P(1, 0, 0) e Q(0, 1, 1). 17)Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente: a)< 3, –1 > e < –2, 4 > b)<–1, 2> e <5, 3> c)< 1, 0, 1 > e < 0, 0, 1 > d)<0, 3, 2> e <1, 0, –3> 18)Determine: (I) a , (II) ba , (III) ba , (IV) b4a3 , onde: a) a =<–4, 3> ; b =<6, 2> b) a =<6, 2, 3> ; b =<–1, 5, –2> c) kj2ia ; k2jb 19) Dados os vetores u = (3, -1) e v = (-1,2), determinar o vetor x tal que: a) xux)vu( 2 3 14 b) )ux()uv(x 34223 20) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v =(-1, 3), sabendo que sua extremidade está em (3,1)? 21) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5) b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4). 22) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 23) Sendo A(-2,3) e B(6,-3), extremidades de um segmento, determinar: a) Os ponto C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 24) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal que ABAN 5 2 . 25) Dados os vetores u = (2, 3, -1) e v = (1,-1, 1) e w = (-3, 4, 0) , determinar o vetor x tal que xwxvu 423 . 26) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção de suas diagonais, determinar os vértices C e D. 27) Dados os pontos A(1, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB , no sentido de A para B, para que seu comprimento quadriplique de valor. 28) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me e n. 29)Se várias forças estão agindo em um objeto, a “força resultante” experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças. Duas forças 1F e 2F com magnitudes 10 lb e 12 lb agem sobre um objeto num ponto P como mostrado na figura. Determine a força resultante F agindo em P assim como sua magnitude, direção e sentido. 30)Um peso de 100 lb está pendurado entre dois fios, como mostrado na figura. Determine as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas normas. 31)A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas partículas com cargas opostas é diretamente proporcional ao produto dos módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distãncia d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula com carga –1 é colocada em B, então a força de atração F em B é dada por: BA BA kqF 3 . 32)Considere partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de –1C em P(x,y,z). a)Se OPv , mostre que a força resultante F na partícula carregada negativamente é dada por : 333 vk vk vj vj vi vikqF . b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto P(x, y, z) equidistante das três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as coordenadas de P. 33) Considere a equação czbyaxczbyax 222111 , mostre que: a) Se ce,b,a são L.I. então x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2; b) Se ce,b,a são L.D., então não podemos concluir que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. 45o 30o F1 F2 50o 32o T2 T1 A B +q –1 34) Suponha que AB e AC sejam L.I.. Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor ACyABxAD seja paralelo ao vetor AB , mas de sentido contrário? 35) Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.: a) kjiw,jiv,kiu5322 b) kjiv,kjiu 8132569114 c) kjiv,jiu 123 d) ),,(w,),,(v),,(u 202111212 36) Os vetores kjiw,kjiv,kjiu 933234 , são L.I. ou L.D. ? Eles formam uma base de IR3? Caso formem um base, determine as coordenadas do vetor kji nessa base. 37) Sejam ),,(w,),,(v),,(u 101012110 . Mostre que w,v,u é uma base de IR3 e determine as coordenadas de ),,(a 223 nessa base. 38) Seja w,v,u uma base de IR3. Verifique se wv,wvu,wvu 5322 é base. 39) Escreva o vetor kji como combinação linear dos vetores kjc,kjb,jia 232 . 40) Sejam cbavecbau 22 , onde ceb,a são vetores L.I.. Mostre que o vetor cbaw 6159 é combinação linear de veu e determine os coeficientes dessa combinação linear. Respostas: 1)a) AC b) CA c) BD d) BA 2) 3 2ACBCCD 3) 2MN 4) a) AE b) AC c) AC d) AB e) AO f) AD g) AH h) AD i) AO j) AC 6) a)<4,7> b)<–6,0> c)<9,–3> y x 0 7 4 –6 x 0 y y x d)<–9,7> 7) a)(I)–8/17 i + 15/17 j , (II) )8/17 i – 15/17 j b)(I) 29/5,29/2 , (II) 29/5,29/2 c)(I) 34/3,34/5 , (II) 34/3,34/5 8) a)<–12, 6> b)<–3, 3/2> 9) j65/42i65/24 10) a)(I) 5/3c (II)0 b) (I) 13/3c (II) 0 11)235 km/h , 65o 12)301,5 km/h , 144,3o 13)arcsen(0,4)23,6o 14)50 km, 53o 15)a)(I) k12j30i28 (II) k2j5i3/14 (III) )k6j15i14(457/2 b)(I) k12j6i12 (II) k2ji2 (III) )k6j3i6(9/2 16)a)<2,–6,8> b)<7, –2, 0> c)<–1, 1, 1> 17)a)<1,3> b)<4,5> c)<1,0,2> d)<1,3,–1> 18)a)5, <2,5>, <–10,1>, <12,17> b)7, <5,7,1>, <7,–3,5>, <14,26,1> c) 6 , k3ji , kj3i , k11j2i3 19) a) (-15/2, 15/2) b) (23/5,-11/5) 20) (4, -2) 21) a) D(-2, 2) b) D(1, 2) 22) (2, 2), (0, -4) e (10,6) 23) a) C(0, 3/2), D(2, 0), E(4, -3/2) b) F(2/3, 1), G(10/3, -1) 24) N(1, -2, -6/5) 25) x = (11/3, 2/3, 4/3) 26) C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 27) (9, 7, 11) 28) m = 5 e n = -13 29) j)256(i)2536(F , F 13,5 lb , o76 30) j,i,T 403405551 , 1T 64,91 lb. j,i,T 606505552 , , 2T 85,64 lb 32) b) (1/3,1/3,1/3) 34) x<0 e y = 0 35) a) L.I. b) L.D. c) L.I. d) L.D. 36) Formam uma base; wvu 91 5 7 3 13 1 37) Formam uma base; wvua 38) É base 39) cbav 2 32 2 1 40) vuw 78 Bibliografia: SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2, Makron Books, São Paulo – SP WINTERLE. Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2009 DUARTE FILHO. Jorge costa. Maria Silvia C. Favareto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. UFPB- CCEN/DM y x 0
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