Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral I

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1 
INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de 
fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas 
brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são 
condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa 
compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar 
esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. 
 
Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em 
resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside 
no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na 
modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou 
na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. 
 
Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem 
suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para 
superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de 
conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo 
entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 
 
1. Números 
Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. 
Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais. 
 
2. Álgebra Elementar. 
Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes 
e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações 
parciais. 
 
3. Geometria Analítica. 
Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: 
equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico 
de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação 
x
y
1
= . 
Translação de gráficos. 
 
4. Funções e gráficos. 
Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções 
reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e 
composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o 
logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, 
cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma 
circunferência. 
 
5. Trigonometria 
Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. 
Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria. 
 
 
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ESTRATÉGIAS DE ESTUDO 
 
Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina 
Cálculo Diferencial e Integral I. 
 
(a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre 
letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum 
amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. 
 
(b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas 
seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos 
resolvidos no livro. 
 
(c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou 
os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. 
 
(d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. 
Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. 
 
(e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. 
 
 
A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. 
Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas 
Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I. 
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3 
 
LISTA 1 
 
1. Calcule a área do retângulo de dimensões 
70
3
 e 
48
7
. 
2. Considere o pentágono ABCDE de lados 
20
21
;12;
6
7
=== CDBCAB ; 
527 == EAeDE . 
a) Calcule o perímetro desse pentágono. 
b) Qual é o menor lado? 
 
3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. 
a) 
b
d
c
d
bc
d
+=
+
, para quaisquer números reais a, b, c, com 0,0 ≠≠ bc e 0≠+ bc . 
b) baba +=+ , para quaisquer números reais não-negativos a, b. 
c) aa =2 , para qualquer número real a. 
d) ayx
x
yax
+=
+2
, para qualquer 0≠x . 
 
4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto 
de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 
 
5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, 
também, represente na reta numérica todos esses valores de x: 
a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2 
 
6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: 
a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0; 
b) x3 − 5x2 +6x = 0; 
c) (x2 − 4x + 3)2 = 1. 
d) x(x − 7)2 = 50x. 
7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 
1
12
23 +
+
+=
+
+
x
CBx
x
A
xx
x
, para todo x 
real. 
 
8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 
1)1(
1
2222
2
+
+
+=
+
−−
x
CBx
x
A
xx
xx
, para 
todo x real. 
 
9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 
 
 
10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas: 
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)? 
b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? 
c) Utilizando os itens a e b, dê uma interpretação para o exercício 9. 
 
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11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto 
Q = (4, 5) sejam iguais a 
2
57
. 
12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação 036422 =−+−+ yxyx . 
Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa? 
 
13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação 2522 =+ yx no ponto 
Q de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 
 
14. Analise a resolução da equação xxxx 2)3( 2 −=− e diga o que está errado. 
Sol. xxxx 2)3( 2 −=− . Cancelando o x obtemos 2)3( 2 −=− xx . Daí 0232 =+− xx , o 
que nos fornece as raízes 
2
13±
=x , isto é, 1 e 2. 
15. Simplifique: 
a) 
22
22
−−
−
xx
xx
 b) 
h
h 25)5( 2 −+
 c) 
16
8
4
3
−
−
x
x
 
 
16. Resolva as desigualdades: 
a) 012102 2 <−+− xx b) −4x + 7 > 0 c) 0
32
2
2
≤
−−
−
xx
x
 
d) 0
)1(
2.2)1(2
22
2
≥
−
−−
x
xxxx
 e) 2x x> + f) 
2
341
2
+
+≥
+
−
x
x
x
x
 
g) 
2
1≥xsen , no intervalo [0, pi2 ] h) 
2
2
2
1 ≤≤ xsen , no intervalo [0, pi2 ] 
 
17. Determine o valor de x no triângulo abaixo. 
 
 
18. Seja 



>
≤−
=
1,
1,1
)(
2 xsex
xsex
xf , calcule f(0), f(1) e f(2). 
 
19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|. 
 
20. Encontre o domínio de cada função a seguir: 
a) 
xx
x
xf
2
)3(ln
)(
2
−
−
= b) ttth −+= 4)( . 
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21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem 
perímetro igual a 20 cm. 
 
22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem 
área igual a 16 cm2. 
 
23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem 
dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do 
papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x. 
 
 
 
24. Um quadrado está inscrito e um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função 
de r. 
 
25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 2 2 1x y+ = que está mais próximo 
do ponto (4 , 3)P = . 
 
26. Ache o ponto do eixo y que é eqüidistante de (5 , 5)− e (1 ,1) . 
 
27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P = e que são tangentes a 
circunferência de equação 2 2 4x y+ = . 
 
28. Os pontos (2 , 2)A = , (6 ,14)B = e (10 , 6)C = são vértices de um triângulo retângulo? 
Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 
 
29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo 
retângulo de vértices (6 , 7)A = − , (11 , 3)B = − e (2 , 2)C = − . 
 
30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. 
a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); 
b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; 
c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1. 
 
 
 
31. Na figura ao lado, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas 
do ponto C são (6 ,10) e os lados AB e AD estão contidos, 
respectivamente, nas retas de equações 14
2
x
y = + e 
4 2y x= − . Determine as coordenadas dos pontos A , B e D . 
 
 
D C 
A B 
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6 
 
 
32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4 , 0)A = e (0 , 6)B = . 
Determine as coordenadas do vértice C sabendo que ele está sobre a reta de equação 
4y x= − . 
 
33. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: 2log 7 724 log (8 )+ . 
 
34. Suponha que a equação 
2 23 5 5 88 4 2ax bx c x x x+ + + − += ⋅ seja válida para todo número real x , em 
que a , b e c são números reais. Determine o valor dessas constantes a , b e c . 
 
35. Utilizando que senbasenbabaI −=+ coscos)cos()( , aaII cos)cos()( =− , 
senaasenIII −=− )()( , senaaIV =− )
2
cos()(
pi
, aasenV cos)
2
()( =−
pi
 e 
1cos)( 22 =+ aasenVI , mostre que: 
 
a) asenbbsenabasen coscos)( +=+ b) xsenxxsen cos2)2( = . 
 
c) 1cos2)2cos( 2 −= xx . d) xsenx 221)2cos( −= . 
 
36. Sabendo que xsenx 21calcule,
2
−<< pi
pi
. 
 
37. Resolva as equações: 
(a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 . 
 
38. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência 
natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não 
radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original 
diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além 
disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t = a quantidade de matéria 
radioativa é igual a 0M , então no instante de tempo 0t ≥ a quantidade dessa matéria será 
igual a 0( )
ktM t M e−= , sendo k uma constante positiva que depende da matéria radioativa 
considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida 
da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se 
desintegre. 
 
a). Mostre que as constantes k e mt , de uma mesma substância radioativa, estão 
relacionados pela expressão: 
ln 2
m
k
t
= . 
b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num 
corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama? 
 
c) Uma amostra de tório reduz-se a 
4
3
 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. 
Qual é a meia-vida do tório? 
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7 
 
39. Uma esfera de cobre é aquecida até uma temperatura de 100oC. No instante 0=t ela é 
imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30oC. Após 3 minutos de ser imersa 
na água a temperatura da esfera reduziu a 70oC. Determinar o instante em que a temperatura 
da esfera será de 31oC. A partir da Lei de resfriamento de Newton é possível mostrar que 
a temperatura ( )T t da esfera, no instante t, é dada por ( ) ktT t A Ce−− = , em que A é a 
temperatura do meio e C e k são constantes positivas. 
 
a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 
minutos de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado 
o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus? 
 
b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia 
chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 
graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. 
A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de 
Newton para estimar a hora em se deu a morte. 
Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus. 
 
40. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC , sabendo que 10AB cm= , 
3BC cm= e oCBA 75ˆ = . 
 
41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as 
medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. 
Calcule a altura da torre indicada nessa figura. 
 
 
 
 
42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída 
sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a 
uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do 
rio. Depois, mediu os ângulos ˆBAC 105o= e ˆCBA 30o= , 
conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, 
determine o comprimento AC da ponte.