PORTFÓLIO 1 CÁLCULO INTEGRAL

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1 
 
 
 
 
 
 
 
BACHARELADO EM 
ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º PORTFÓLIO 
 CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WAGNER EUGENIO PEREIRA – RA 1193531 
 
 
 
PORTO VELHO - RO 
SETEMBRO 2016 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. / Tutora a distância 
Juliana Brassolatti 
Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO VELHO - RO 
SETEMBRO 2016 
3 
 
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES 
 
 
 
1) Determine a primeira derivada das funções usando as regras de derivação. 
 
 
 
a) 𝒔 = 𝟓𝒕𝟑 − 𝟑𝒕𝟓 
𝑠 ′ = 15𝑡2 − 15𝑡4 
 
b) 𝒚 =
𝟒𝒙𝟑
𝟑
− 𝟒 
𝑦′ =
12
3
𝑥2 
𝑦′ = 4𝑥2 
 
c) 𝒇(𝒙) =
𝟓
𝟔𝒙𝟓
 
𝑓′(𝑥) =
5
6
𝑥−5 
𝑓′(𝑥) =
−25
6
𝑥−6 
𝑓′(𝑥) =
−25
6𝑥6
 
 
d) 𝑓(𝒙) =
𝟏
𝟖
𝒙𝟖 − 𝒙𝟒 
𝑓′(𝑥) = 𝑥7 − 4𝑥3 
 
e) 𝒈(𝒙) =
𝟑
𝒙𝟐
+
𝟓
𝒙𝟒
 
𝑔′(𝑥) = 3𝑥−2 + 5𝑥−4 
𝑔′(𝑥) = −6𝑥−3 − 20𝑥−5 
𝑔′(𝑥) =
−6
𝑥3
−
20
𝑥5
 
4 
 
f) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟓 + 𝒙−𝟐 + 𝟒𝒙𝟒 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥−3 − 16𝑥−5 
 
 
𝒈) 𝒚 = 𝟔𝒙𝟐 + 𝑺ⅇ𝒏 𝒙 + 𝟗 
𝑦′ = 12𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
𝒉) 𝒚 = −𝟑𝒙𝟑 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟕𝒙 
𝑦′ = −9𝑥2 − (−𝑆ⅇ𝑛 𝑥) + 7 
𝑦′ = −9𝑥2 + 𝑠ⅇ𝑛 𝑥 + 7 
 
𝒊) 𝒚 = 𝟖 − 𝒕𝒂𝒈 𝒙 
− 𝑠ⅇ𝑐2 𝑥 
 
j) 𝒚 = ⅇ − 𝟓𝒙 − 𝟕 
𝑦′ = −5 
 
k) 𝒚 = 𝟓 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟖𝒙 
𝑦′ = 5 ⋅
1
𝑥
− 8 
𝑦′ =
5
𝑥
− 8 
 
l) 𝒚 = 𝟐 𝒔ⅇ𝒏 𝒙 + 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒍𝒏 𝒙 
𝑦′ = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4(−𝑠ⅇ𝑛 𝑥) −
1
𝑥
 
𝑦′ = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 4 𝑠ⅇ𝑛 𝑥 −
1
𝑥
 
 
 
5 
 
2) Determine a primeira derivada das funções usando as regras do produto e do 
quociente: 
 
 
a) 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙𝟓 − 𝟏) ⋅ (𝟐 − 𝒙𝟒) 
𝑓′(𝑥) = 15𝑥4 ⋅ (2 − 𝑥4) + (3𝑥5 − 1) − 4𝑥3 
𝑓′(𝑥) = 30𝑥4 − 15𝑥8 − 12𝑥8 + 4𝑥3 
𝑓′(𝑥) = 30𝑥4 − 27𝑥8 + 4𝑥3 
 
 
b) 𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟏
𝒙−𝟏
 
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥 + 5) ⋅ (𝑥 − 1) − (3𝑥2 + 5𝑥 − 1) ⋅ 1
(𝑥 − 1)2
 
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥2 − 6𝑥 + 5𝑥 − 5) − (3𝑥2 + 5𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)2
 
𝑓′(𝑥) =
3𝑥2 + 4𝑥 − 6
(𝑥 − 1)2
 
 
 
c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 ⋅ 𝒔ⅇ𝒏 𝒙 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ⋅ 𝑠ⅇ𝑛𝑥 + 𝑥3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
d) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟓 ⋅ ⅇ𝒙 
𝑓′ (𝑥) = 20𝑥4 ⋅ ⅇ𝑥 + 4𝑥5 ⋅ ⅇ𝑥 
 
 
e) 𝒇(𝒙) =
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟑𝒙
 
𝑓′(𝑥) =
−𝑠ⅇ𝑛 𝑥 . 3𝑥 − cos 𝑥 . 3
(3𝑥)2
 
6 
 
 𝑓′(𝑥) =
−3 𝑥 𝑠ⅇ𝑛 𝑥 − 3 cos 𝑥
9𝑥
 
 
 
3) Determine a primeira derivada das funções usando a regra da cadeia: 
 
 
a) 𝒚 = 𝟏𝟎 ⋅ (𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑)𝟏𝟎 
𝑦′ = 100 ⋅ (3𝑥2 + 7𝑥 − 3)9. (6𝑥 + 7) 
𝑦′ (600𝑥 + 700) . (3𝑥2 + 7𝑥 − 3)9 
 
b) 𝒚 =
𝟏
𝟑
⋅ (𝟐𝒙𝟓 + 𝟔𝒙𝟑)
𝟓
 
𝑦′ =
5
3
⋅ (2𝑥5 + 6𝑥3)4. (10𝑥4 + 18𝑥2) 
 
c) 𝒚 = (𝟓𝒙 − 𝟐)𝟔 
𝑦 = 6 (5𝑥 − 2)5 (5) 
𝑦 = 30 (5𝑥 − 2)5 
 
d) 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 
𝑦 = − 𝑠ⅇ𝑛(3𝑥2 + 4𝑥) . (6𝑥 + 4) 
 
e) 𝒚 = 𝒔ⅇ𝒏(𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙) 
𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠(4𝑥3 − 2𝑥) . (12x² - 2) 
 
f) 𝒚 = ⅇ𝒙
𝟐−𝟑𝒙 
𝑦′ = ⅇ𝑥
2−3𝑥 . (2𝑥 − 3) 
 
7 
 
4) Um automóvel inicia um movimento em linha reta no instante t=0s. Sua 
posição (espaço) é dada por s(t)=10t-t². Qual é a velocidade do automóvel no 
instante t=2s? Qual é sua aceleração no instante t=3s? 
 
 
 *Velocidade instantânea é igual a derivada do espaço 
 * Aceleração Instantânea é igual a derivada da velocidade. 
 
𝑠(𝑡) = 10𝑡 − 𝑡2 
𝑣 = 10 − 2𝑡 
𝑣 = 10 − 2.2 𝑎 = 𝑣` = 10 − 2𝑡 
 𝒂 = −𝟐𝒎/𝒔² 𝑣 = 10 −
4 
𝒗 = 𝟔 𝒎/𝒔 
 
5) A função horária do movimento de uma partícula é dada por: s(t)=t³- 4t²+10t, 
onde t é medido em segundos e s em metros. Qual a velocidade escalar no 
instante t=2s? Qual é sua aceleração no instante t=4s? 
 
 *Velocidade instantânea é igual a derivada do espaço 
 * Aceleração Instantânea é igual a derivada da velocidade. 
 
 
s(t)=t³- 4t²+10t 𝑎 = v`= 3t²- 8t+10 
𝑣 = 3𝑡2 − 8𝑡 + 10 𝑎 = 6𝑡 − 8 
𝑣 = 3.22 − 8.2 + 10 𝑎 = 6.4 − 8 
𝑣 = 12 − 16 + 10 𝑎 = 24 − 8 
𝒗 = 𝟔𝒎/𝒔 𝒂 = 𝟏𝟔𝒎/𝒔² 
 
 
 
8 
 
6) Calcular as integrais indefinidas: 
 
a) ∫ 𝟎 ⅆ𝒙 
= C 
 
b) ∫ ⅆ𝒙 
 = x+ C 
 
c) ∫ 𝒙 ⅆ𝒙 
 = 
𝑥2
2
+ 𝐶 
 
d) ∫ (𝟐 + 𝒙) ⅆ𝒙 
= 2𝑥 +
𝑥2
2
+ 𝐶 
 
e) ∫ 𝒙𝟕 ⅆ𝒙 
= 
𝑥8
8
+ 𝑐 
 
f) ∫ √𝒙𝟐
𝟑
ⅆ𝒙 
∫ 𝑥
2
3 
=
𝑥
5
3⁄
5
3
+ 𝐶 
= 𝑥
5
3⁄ ⋅
3
5
+ 𝐶 
= 
3𝑥
5
3
5
+ 𝐶 
=
3√𝑥5
3
5
+ 𝐶 
9 
 
 
g) ∫ =
𝟏
√𝒙𝟑
𝟕 ⅆ𝒙 
= ∫
1
𝑥
3
7
ⅆ𝑥 
= ∫ 1 ⋅ 𝑥−
3
7 ⅆ𝑥 
= 
𝑥
4
7
4
7
+ 𝐶 
= 𝑋
4
7 ⋅
7
4
+ 𝐶 
=
7𝑥
4
7
4
+ 𝐶 
= 
7 √𝑥4
7
4
+ 𝐶 
 
h) ∫ (𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟕) ⅆ𝒙 
= 2 ⋅
𝑥4
4
− 3
𝑥3
3
+ 8
𝑥2
2
− 7𝑥 + 𝐶 
=
𝑥4
2
− 𝑥³ + 4𝑥² − 7𝑥 + 𝐶 
 
i) ∫
𝟐
𝒙
ⅆ𝒙 
=2∫
1
𝑥
ⅆ𝑥 
= 2 ln x + C 
 
j) ∫ (
𝟓
𝒙
+ 𝒙𝟓 + 𝟑) ⅆ𝒙 
=(5
1
x
+ x5 + 3) ⅆx 
 = 5𝑙𝑛𝑥 +
𝑥6
6
+ 3𝑥 + 𝐶 
10 
 
k) ∫ (𝟐. 𝑺ⅇ𝒏𝒙) ⅆ𝒙 
= 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 
 
l) ∫ (𝟑𝒙𝟒 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙) ⅆ𝒙 
= 
3𝑥5
5
+ 𝑠ⅇ𝑛𝑥 + 𝐶 
 
 
 
7) Calcular as integrais indefinidas, usando o método da substituição: 
 
a) ∫ (𝒙 + 𝟑)𝟒 ⅆ𝒙 
∫ 𝑢4 ⅆ𝑥 𝑢 = x+3 
∫ 𝑢4 ⅆ𝑢 ⅆ𝑢 = dx 
𝑢5
5
+ 𝐶 
(𝑥 + 3)5
5
+ 𝑐 
 
 1
 5
(𝑥 + 3)5 + 𝐶 
 
b) ∫
𝟏
𝟑𝒙+𝟐
ⅆ𝒙 
∫
1
𝑢
 ⅆ𝑥 𝑢 =3x+2 
∫
1
𝑢
 
 ⅆ𝑢
3
 ⅆ𝑢 = 3dx 
1
3
∫
1
𝑢
ⅆ𝑢 
du
3
= dx 
1
3
ln 𝑢 + C 
1
3
 ln(3𝑥 + 2) + 𝐶 
11 
 
 
c) ∫ 𝒔ⅇ𝒏(𝟒𝒙 + 𝟑) ⅆ𝒙 
∫ 𝑠ⅇ𝑛 𝑢 ⅆ𝑥 
∫ 𝑠ⅇ𝑛 𝑢
ⅆ𝑢
4
 u = 4x + 3 
1
4
⋅ (− cos 𝑢) + 𝐶 du = 4 dx 
−
1
4
𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝐶 
ⅆ𝑢
4
= ⅆ𝑥 
−
1
4
cos(4𝑥 + 3) + 𝐶 
 
d) ∫ ⅇ𝟐𝒙−𝟑 ⅆ𝒙 
∫ ⅇ𝑢 ⅆ𝑥 = 2𝑥 − 3 
∫ ⅇ𝑢
ⅆ𝑢
2
 ⅆ𝑢 = 2ⅆ𝑥 
1
2
∫ ⅇ𝑢 ⅆ𝑢 
ⅆ𝑢
2
 = ⅆ𝑥 
1
2
⋅ ⅇ𝑢 + 𝑐 
1
2
⋅ ⅇ2𝑥−3 + 𝑐 
 
e) ∫ (𝒙𝟑 + 𝟐)𝟐 ⋅ 𝟑𝒙𝟐 ⅆ𝒙 
∫ 𝑢2 ⋅ 3𝑥2 ⅆ𝑥 u = x³ +2 
∫ 𝑢2ⅆ𝑢 du = 3x² dx 
𝑢3
3
+ 𝑐 
(𝑥3 + 2)3
3
+ 𝐶 
1
3
(𝑥3 + 2)3 + 𝐶 
12 
 
 
f) ∫
ⅇ𝒙
(ⅇ𝒙+𝟑)𝟐
ⅆ𝒙 
∫
ⅇ𝑥
𝑢2
ⅆ𝑥u = ⅇ𝑥 + 3 
∫
1
𝑢2
⋅ ⅇ𝑥 ⅆ𝑥 du = ⅇ𝑥ⅆ𝑥 
∫
1
𝑢2
ⅆ𝑢 
∫ 𝑢−2 ⅆ𝑢 
𝑢−1
−1
+ 𝑐 
−𝑢−1 + 𝑐 
−
1
𝑢
+ 𝑐 
− 
1
ⅇ𝑥 + 3
+ 𝐶 
 
 
 
8) Calcular as integrais indefinidas, usando o método da integração por partes: 
 
a) ∫ 𝒙 ⋅ ⅇ𝒙 ⅆ𝒙 
𝑥 ⋅ ⅇ𝑥 − ∫ ⅇ𝑥 ⋅ ⅆ𝑥 𝑢 = 𝑥 ⅆ𝑣 = ⅇ𝑥 ⅆ𝑥 
𝑥 ⋅ ⅇ𝑥 − ⅇ𝑥 + 𝐶 ⅆ𝑢 = ⅆ𝑥𝜈 = ⅇ𝑥 
 
b) ∫ 𝒙 ⋅ 𝒔ⅇ𝒏𝒙 ⅆ𝒙 
𝑥 ⋅ (− cos 𝑥) − ∫ − cos 𝑥 ⅆ𝑥𝑢 = 𝑥 ⅆ𝑣 = 𝑠ⅇ𝑛𝑥 ⅆ𝑥 
−𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠ⅇ𝑛𝑥 + 𝐶 ⅆ𝑢 = ⅆ𝑥𝑣 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
 
13 
 
c) ∫ 𝒍𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 
𝑙𝑛(𝑥)𝑥 − ∫
1
𝑥
𝑥 ⅆ𝑥𝑢 = ln (𝑥) ⅆ𝑣 = 1 
𝑙𝑛(𝑥) − ∫ ⅆ𝑥 ⅆ𝑢 =
1
𝑥
𝑣 = 𝑥 
𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 + 𝐶 
 
d) ∫ 𝒕 ⋅ 𝒍𝒏 𝒕 ⅆ𝒕 
ln(𝑡)
𝑡2
2
− ∫
1
𝑥
𝑡2
2
ⅆ𝑡𝑢 = ln (𝑥) ⅆ𝑣 = 𝑡 
1
2
𝑡2 𝑙𝑛(𝑡) − ∫
𝑡
2
ⅆ𝑡 ⅆ𝑢 =
1
𝑥
𝑣 =
𝑡2
2
 
1
2
𝑡2 𝑙𝑛(𝑡) −
𝑡2
4
+ 𝐶 
 
 
 
 
9) (ENADE, 2011) Os analistas financeiros de uma empresa, chegaram a um 
modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao 
longo de 24 meses, por meio da função 𝐴(𝑥) =
𝑥3
3
− 11𝑥2 + 117𝑥 + 124 em que 
0 ≤ 𝑥 ≤ 24 é o tempo em meses, e a arrecadação 𝐴(𝑥) é dada em milhões de 
reais. A arrecadação começou a decrescer e, depois, retornou o crescimento 
respectivamente, a partir dos meses: 
 
a) x=0 e x=11 
b) x=4 e x=7 
c) x=8 e x=16 
d) x=9 e x=13 
e) x=11 e x=22 
 
14 
 
𝐴(𝑥) =
𝑥3
3
− 11𝑥2 + 117𝑥 + 124 
𝐴(𝑥) =
3𝑥²
3
− 22𝑥 + 117 
𝑥2 − 22𝑥 + 117 = 0 
𝛥 = (−22)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 117 
𝛥 = 484 − 468 
𝛥 = 16 
 
 
𝑥 = −
(−22) ± √16
2.1
 
𝑥 =
22±4
2
⇒ 𝑥′ = 9 e 𝑥′′ = 13 
 
Resposta : 
 X = 9 e X = 13 
 Letra d