Seja a integral de linha contour integral x y d x plus x squared y cubed d y avaliada sobre a curva C que corresponde ao quadrado de vértices (0,...

Podemos aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha dada. Para isso, precisamos verificar se as hipóteses do teorema são satisfeitas. Seja F(x,y) = (xy, x²y³) o campo vetorial associado à integral de linha. Temos que: ∂F₂/∂x = 2xy³ e ∂F₁/∂y = x Como ∂F₂/∂x = ∂F₁/∂y, o campo vetorial é conservativo e podemos aplicar o Teorema de Green. A área delimitada pela curva C é um quadrado de lado 2, portanto, sua área é A = 2² = 4. Podemos escrever a integral de linha como uma integral dupla sobre a região R delimitada por C: ∫(C) F·dr = ∬(R) (∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y) dA Substituindo as derivadas parciais, temos: ∫(C) F·dr = ∬(R) (2xy³ - x) dA Integrando em relação a y primeiro, temos: ∫(C) F·dr = ∫[0,2] ∫[0,2] (2xy³ - x) dy dx Integrando em relação a x, temos: ∫(C) F·dr = ∫[0,2] [(x²y³)₂ - (x²y³)₀ - (x²/2)y₂] dx ∫(C) F·dr = ∫[0,2] (8x²/2 - 0 - 4x²) dx ∫(C) F·dr = ∫[0,2] 4x² dx ∫(C) F·dr = [4x³/3]₀² ∫(C) F·dr = 32/3 Portanto, a integral de linha é igual a 32/3. A alternativa correta é a letra D).