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i i i i i i Respostas Aula 1 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 1.1 a) F b) V c) F d) V e) V Exercı´cio 1.2 Resposta: item c) Respostas dos Exercı´cios 1.1. A−B = {−1,13/3} A× (A−B) = {(−1,−1),(−1, 133 ),(1,−1),(1, 133 ),( 23 ,−1),( 23 , 133 ),( 13 3 ,−1 ) , ( 13 3 , 13 3 )} 1.2. B× (B−A) = {(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)} A× (A−B) = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} 1.3. a) (A∪C)−B ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� A B C C E D E R J 211 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas b) (B∩C)−A A B C Aula 2 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 2.1 −10 −6 −2 3 9 Exercı´cio 2.2 a) −1 b) −7 c) Na˜o Exercı´cio 2.3 F V V Exercı´cio 2.4 a) 14 15 b) − 10 21 c) −25 21 212 C E D E R J i i i i i i Exercı´cio 2.5 -2 -1 0 1 ... 18 19 -3 2 1 2 73 4 73 4 = 18+ 1 4 , −3 2 =−2+ 1 2 Exercı´cio 2.6 a) 36 = 1 2 , −12 5 =−3+ 3 5 e 19 −5 =−4+ 1 5 -4 -3 -2 -1 0 1 R −195 −125 3 6 9 13 b) 19−5 < −12 5 < 3 6 < 9 13 c) Basta mostrar que 4 20 < 13 64 ⇔ 1 5 < 13 64 ⇔ 64 < 65 Respostas dos Exercı´cios 2.1. a) 18a b) 11x c) −27m d) 3x+4y e) 14x+11 2.2. 33 Aula 3 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 3.1 • Proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Na˜o e´ proposic¸a˜o C E D E R J 213 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas • Proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Na˜o e´ proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Na˜o e´ proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Na˜o e´ proposic¸a˜o • Proposic¸a˜o • Na˜o e´ proposic¸a˜o Exercı´cio 3.2 • A peˆra na˜o e´ uma fruta. • Todas as peˆras na˜o sa˜o longas. • Algumas pessoas na˜o gostam de danc¸ar. • Todas as pessoas teˆm carro. • Algumas pessoas na˜o teˆm televisores ou na˜o teˆm apare- lhos de vı´deo. • O dinheiro traz a felicidade. • Ha´ desfiles de escola de samba sem mestre-sala ou sem porta-bandeira. • Dom Quixote na˜o e´ um personagem criado por Miguel de Cervantes. • Existe amor que na˜o e´ forte. • Ha´ amor fraco. 214 C E D E R J i i i i i i Exercı´cio 3.3 • Qualquer que seja o nu´mero inteiro inteiro x, x2 ≤ 0. • Para todo nu´mero real α , tg2α e´ igual a sec2α menos um. • Existe um nu´mero real x cuja raiz quadrada e´ 4. • Existe um nu´mero natural x tal que 2 divide x ou 3 divide x. Soluc¸a˜o alternativa: existe um nu´mero natural x divisı´vel por 2 ou divisı´vel por 3. • Existe nu´mero real x, tal que senx e´ igual a metade da raiz quadrada de 3. • Para todo nu´mero racional x, existem nu´meros inteiros p e q, tais que x e´ igual a p dividido por q. • Existe nu´mero racional x, tal que x elevado ao quadrado e´ igual a nove vinte cinco avos. • Para todo nu´mero real r, r maior que zero, existe nu´mero natural k, tal que, se n e´ maior do que k, enta˜o 1 dividido por n e´ menor do que r. Aula 4 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 4.1 a) p∨ ∼ q p q ∼ q p∨ ∼ q V V F V V F V V F V F F F F V V C E D E R J 215 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas b) (∼ p)∨ (∼ q) p q ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q) V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V c) (∼ p) ∧ (∼ q) p q ∼ p ∼ q (∼ p) ∧ (∼ q) V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V d) ∼ (∼ p ∧ q) p q ∼ p ∼ p ∧ q ∼ (∼ p∧q) V V F F V V F F F V F V V V F F F V F V e) (p∨ ∼ q)∧ ∼ p p q ∼ p ∼ q p∨ ∼ q (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p) V V F F V F V F F V V F F V V F F F F F V V V V 216 C E D E R J i i i i i i f) p ∧ (q∨ ∼ q) p q ∼ q (q∨ ∼ q) p ∧ (q∨ ∼ q) V V F V V V F V V V F V F V F F F V V F g) (p∧ ∼ q) ∨ r p q r ∼ q p∧ ∼ q (p∧ ∼ q) ∨ r V V V F F V V V F F F F V F V V V V V F F V V V F V V F F V F V F F F F F F V V F V F F F V F F h) (∼ p ∨ q)∨ ∼ r p q r ∼ p ∼ p ∨ q ∼ r (∼ p ∨ q)∧ ∼ r V V V F V F F V V F F V V V V F V F F F F V F F F F V F F V V V V F F F V F V V V V F F V V V F F F F F V V V V Exercı´cio 4.2 p q r q∧ r p∨q p∨ r p∨ (q∧ r) (p∨q)∧ (p∨ r) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F V F F F F F V F F V F F F F F F F F F F C E D E R J 217 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Exercı´cio 4.3 Mostrar as leis de Absorc¸a˜o atrave´s de tabelas-verdade p ∨ (p ∧ q)≡ p p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q) p V V V V V V F F V V F V F F F F F F F F p ∧ (p ∨ q)≡ p p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q) p V V V V V V F V V V F V V F F F F F F F Exercı´cio 4.4 a) ∼ (p∧∼ p) p ∼ p p∧ ∼ p ∼ (p∧ ∼ p) V F F V F V F V b) ((p⇒ q) ∧ p)⇒ q p q p⇒ q (p⇒ q) ∧ p ((p⇒ q) ∧ p)⇒ q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V c) p⇒ (p ∨ q) p q p ∨ q p⇒ p ∨ q V V V V V F V V F V V V F F F V 218 C E D E R J i i i i i i d) ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q p q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ∼ p ∼ q ∼ p∧ ∼ q ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q V V V F F F F V V F V F F V F V F V V F V F F V F F F V V V V V Aula 5 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 5.1 p = Alfredo come lagosta q = Alfredo fica feliz premissas: conclusa˜o: p⇒ q q p Este argumento e´ va´lido. Exercı´cio 5.2 p = Eu trabalho com afinco q = Eu fico batendo papo com os amigos r = Eu termino de pintar minha cerca premissas: conclusa˜o: p⇒ r q ∼ q⇒ p ∼ r Verificar que (p⇒ r)︸ ︷︷ ︸ a ∧ (∼ q⇒ p)︸ ︷︷ ︸ b ∧ (∼ r)︸ ︷︷ ︸ c ⇒ q C E D E R J 219 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas p q r ∼ q ∼ r a b a ∧ b (a ∧ b) ∧ c a ∧ b ∧ c⇒ q V V V F F V V V F V V V F F V F V F F V V F V V F V V V F V V F F V V F V F F V F V V F F V V V F V F V F F V V V V V V F F V V F V F F F V F F F V V V F F F V O argumento e´ va´lido. Exercı´cio 5.3 p = Eu como agria˜o todos os dias q = Eu viverei mais do que 80 anos premissas: conclusa˜o: p⇒ q ∼ q ∼ q Verificar p⇒ q︸ ︷︷ ︸ a ∧(∼ p)⇒∼ q p q ∼ p a a ∧ (∼ p) a ∧ (∼ p)⇒∼ q V V F V F V V F F F F V F V V V V F F F V V V V O argumento na˜o e´ va´lido. Exercı´cio 5.4 p = Eu dirijo meu carro q = Eu ultrapasso os 80 km/h r = Eu provocarei acidentes premissas: conclusa˜o: (p∧ ∼ q)⇒∼ r r p ∧ q 220 C E D E R J i i i i i i Verificar: (((p∧ ∼ q)⇒∼ r)︸ ︷︷ ︸ a ∧ (p ∧ q)︸ ︷︷ ︸ b )⇒ r p q r ∼ q p∧ ∼ q ∼ r a b a ∧ b a ∧ b⇒ r V V V F F F V V V V V V F F F V V V V F V F V V V F F F F V V F F V V V V F F V F V V F F F V F F V F V F F F V V F F V F F V V F F V F F V F F F V F V V F F V O argumento na˜o e´ va´lido. Exercı´cio 5.5 p = Faz bom tempo q = Da´ praia r = Eu levo minha bola de voˆlei s = Mariana fica super feliz premissas: conclusa˜o: p⇒ q ∼ r r ⇒ s q∧ ∼ s Verificar: ((p⇒ q)︸ ︷︷ ︸ a ∧ (r⇒ s)︸ ︷︷ ︸ b ∧ (q∧ ∼ s)︸ ︷︷ ︸ c ⇒∼ r C E D E R J 221 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas p q r s ∼ s a b c a ∧ b a ∧ b ∧ c ∼ r a ∧ b ∧ c⇒∼ r V V V V F V V F V F F V V V V F V V F V F F F V V V F V F V V F V F V V V V F F V V V V V V V V V F V V F F V F F F F V V F V F V F F F F F F V V F F V F F V F F F V V V F F F V F V F F F V V F V V V F V V F V F F V F V V F V V F V F F F V F V F V F V V F V F V V F V F F V V V V V V V V F F V V F V V F V F F V F F V F V V F F F F F V F F F V F V V F V F V V F F F F V V V F V F V V O argumento e´ va´lido.Exercı´cio 5.6 p = Maria vem q = Joana vem r Carla vem premissas: conclusa˜o: p⇒ q p⇒ q ∼ r ⇒∼ q Verificar: ((p⇒ q)︸ ︷︷ ︸ a ∧ (∼ r ⇒∼ q)︸ ︷︷ ︸ b ⇒ (p⇒ r)︸ ︷︷ ︸ c p q r (p⇒ q) ∼ r ∼ q ∼ r ⇒∼ q a ∧ b p⇒ r a ∧b⇒ c V V V V F F V V V V V V F V V F F F F V V F V F F V V F V V V F F F V V V F F V F V V V F F V V V V F V F V V F F F V V F F V V F V V V V V F F F V V V V V V V 222 C E D E R J i i i i i i O argumento e´ va´lido. Exercı´cio 5.7 p = Luiz sabe poupar dinheiro q = Luiz fica rico r = Luiz compra um carro novo premissas: conclusa˜o: p⇒ q q q⇒ r r Verificar: (p⇒ q)︸ ︷︷ ︸ a ∧ (q⇒ r)︸ ︷︷ ︸ b ∧r ⇒ p p q r a b a ∧ b a ∧ b ∧ r a ∧ b ∧ r ⇒ p V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F F V V F F F V F F V F V V V V V V F F V F V F F F V F F V V V V V F F F F V V V F V O argumento na˜o e´ va´lido. Aula 6 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 6.1 a) 0,334 = 334 1000 > 1 3 , uma vez que 3×334 > 1000 b) 0,334− 13 = 334 1000− 1 3 = 1002−1000 3000 = 2 3000 < 1 1000 c) Basta examinar o resultado em b). C E D E R J 223 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Exercı´cio 6.2 a) −187 13 =−15+ 8 13 ⇒ q =−15 Exercı´cio 6.3 A resposta e´ 24,8%. Exercı´cio 6.4 Considere que C e´ o total de clientes. Logo, C corresponde a 100% dos clientes. Enta˜o, (100− 32)% = 68% corresponde ao percentual de pessoas fı´sicas. Segundo o enunciado do exer- cı´cio, 2040 constitui o total de pessoas fı´sicas, ou seja, 68% do total C de clientes. Essas informac¸o˜es permitem escrever 68%×C = 2040⇔ 68 100 ×C = 2040⇔C = 3000 . Enfim, a ageˆncia possui 3000 clientes. Exercı´cio 6.5 Seja M o valor obtido apo´s o aumento percentual. Enta˜o, (100+3,4)% = 103,4% = 103,4 100 = 1,034 . Logo, M = 400×1,034 = 413,6 . Exercı´cio 6.6 O total correspondente ao servic¸o sera´ de 10% de R$ 26,00, ou seja, o acre´scimo e´ de 0,10×26,00 = 2,60. Logo, o total da despesa corresponde a 26,00+2,60 = 28,60⇔ Total de R$28,60 . 224 C E D E R J i i i i i i Exercı´cio 6.7 Denominando por M o valor final, enta˜o M = 0,90×0,80×0,70×2000 = 1008⇒M = R$1.008,00 . Exercı´cio 6.8 Representaremos os prec¸os dos produtos A, B e C por a, b e c, respectivamente. Os dados do exercı´cio implicam que a = 1,3b ; b = 0,8c⇒ a = 1,3×0,8c⇔ a = 1,04c . Ale´m disso, tambe´m, a+b+c = 28,40⇔ 1,04c+0,8c+c = 28,40⇔ 2,84c = 28,40 . Portanto, c = 28,4 2,84 ⇒ c = R$ 10,00 . Usando esse u´ltimo dado e as equac¸o˜es anteriores, encon- tramos a = 1,04×10,00⇔ a = R$ 10,40 e b = 0,8×10,00⇔ b = R$8,00 . Portanto, os prec¸os sa˜o: a = R$10,40, b = R$8,00 e c = R$10,00. Exercı´cio 6.9 O prec¸o final de venda V do carro pode ser calculado atrave´s de V = (1−0,05)× (1−0,1)×40000⇔V = R$34.200,00 . Exercı´cio 6.10 Primeiro, temos que calcular o sala´rio bruto S do vendedor. Como o sala´rio bruto, com um decre´scimo de 10%, resulta em R$ 4.500,00, enta˜o (1−0,1) ·S = 4500⇔ 0,9 ·S = 4500⇔ S = R$5.000,00 . C E D E R J 225 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Como a parte fixa do sala´rio bruto e´ de R$ 2.300,00, o valor correspondente ao ganho atrave´s de comisso˜es sera´ de R$ 2.700,00. Com estes dados, se o valor das vendas for representado por V , enta˜o a aplicac¸a˜o de 3% sobre a parte de V que excede R$ 10.000,00 representa R$ 2.700,00 (a parte da comissa˜o). Logo, 3%·(V−10000) = 2700⇔ 3V−30000 = 270000⇔V = 100000 . Portanto, o total de vendas correspondeu a R$ 100.000,00. Respostas dos Exercı´cios 6.1. a) −2,25 b) −6,428571 c) 4,46 d) 65,8 e) 0,7 6.2. −3,22 <−3,217 < 0,272 < 13 29 6.3. −0,03 Aula 7 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 7.1 a) 125 b) 625 c) 1000 d) 1 Exercı´cio 7.2 a) 310 b) 22 c) 34 d) 612 Exercı´cio 7.3 a) (√2÷√3)−4 = (√ 2√ 3 )−4 = (√ 3√ 2 )4 = √ 3 ·√3 ·√3 ·√3√ 2 ·√2 ·√2 ·√2 = 9 4 b) ((√2)−2)−3 = [( 1√ 2 )2]−3 = ( 1 2 )−3 = 23 = 8226 C E D E R J i i i i i i c) ( √ 2−5)2 = (√2)2 +2 ·√2 · (−5)+(−5)2 = = 2−10√2+25 = 27−10√2 Exercı´cio 7.4 a) 3√−250 = 3 √ −2 ·53 = 3 √ 2 · (−5)3 =−5 3√2 b) 4√48 = 4 √ 24×3 = 2 4√3 c) 5√−512 = 5 √ −29 = 5 √ (−2)5 ·24 =−2 5 √ 24 =−2 5√16 Exercı´cio 7.5 a) (−500) 1 3 =(−4·53) 1 3 = [4·(−5)3] 1 3 = 4 1 3 ·(−5) 3 3 =−5 3√4 b) (−32)− 1 5 =(−25)− 1 5 = [(−2)5]− 1 5 =(−2)−1= ( 1 −2 )1 =−1 2 Exercı´cio 7.6 a) 26 b) -37 c) 7 d) -32 e) 0 Respostas dos Exercı´cios 7.1. Observe que: E = √ 3 3 [(√ 2−√3 2−3 −3 ) · 1√ 3 −2 (√ 3− √ 6 6 )] = = √ 3 3 [ − ( √ 2− √ 3+3) √ 3 3 −2 √ 3+ √ 6 3 ] = = √ 3 3 ( − √ 6 3 +1− √ 3−2 √ 3+ √ 6 3 ) = √ 3−9 3 7.2. a) ( √ 2−1)3 = (√2−1)2 · (√2−1) = (2−2√2+1)(√2−1) = = (3−2√2)(√2−1) = 5√2−7 b) (√ 2 4 −1 ) · 2√ 2−2 = √ 2−4 4 · 2( √ 2+2) ( √ 2−2)(√2+2) = = √ 2−4 4 · (− √ 2−2) = 3+ √ 2 2 C E D E R J 227 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas 7.3. a) 53x−2 = 50 ⇒ 3x−2 = 0 ⇒ x = 2 3 b) x =−9 c) x = 0 ou x = 1 7.4. d 7.5. Verificac¸a˜o. 7.6. Observe que:(√ 1− 3√a )6 = (1− 3√a)3 = (1− 3√a)2 · (1− 3√a) = = (1−2 3√a+ 3 √ a2)(1− 3√a) = 1−3 3√a+ 3 3 √ a2−a = = 1+ 3 3 √ a( 3 √ a−1)−a 7.7. a) Veja que (3−2 √ 3)(3+2 √ 3) = 32− (2 √ 3)2 = 9−12 =−3 e´ um nu´mero negativo. Examine cada um dos fatores do produto anterior. Como 3 + 2 √ 3 > 0 enta˜o 3− 2 √ 3 e´ negativo. b) Veja que(√ 3+ √ 3− √ 3 √ 3 )(√ 3+ √ 3+ √ 3 √ 3 ) = = 3+ √ 3−3 √ 3 = 3−2 √ 3 , e´ um nu´mero negativo (use o item a) ). Como √ 3+ √ 3+√ 3 √ 3 e´ positivo, enta˜o √ 3+ √ 3− √ 3 √ 3 e´ nega- tivo. Aula 8 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 8.1 A tecla acima de CH e a tecla a` direita de VOL. 228 C E D E R J i i i i i i Exercı´cio 8.2 a) Se x ∈ (−1,√2)⇒−1 < x <√2. Em particular, x < 3. Logo, x ∈ (−∞,3). Isto prova a). b) Se x∈ (−√3,10), enta˜o−√3 < x < 10. Se x∈ [0,10√2), enta˜o 0≤ x < 10√2. Como 10 < 10√2, um nu´mero real x, para estar simultaneamente em ambos os conjuntos, deve satisfazer 0≤ x < 10. Exercı´cio 8.3 a) Encontramos que 2x <−7⇒ 1 2 ·2x < 1 2 · (−7)⇒ x <−7 2 . Logo, todos os nu´meros reais menores que−7/2 sa˜o soluc¸o˜es. Deste modo, o conjunto soluc¸a˜o S e´ dado por S = (−∞,−72). b) Encontramos que −13x <−5⇔ 13x > 5⇔ x > 5 13 . Logo, S = ( 5 13 ,∞ ) e´ o conjunto soluc¸a˜o. Respostas dos Exercı´cios 8.1. Note que −13 12 =−13×17 12×17 =− 221 12×17 e − 18 17 = −18×12 17×12 = −216 17×12 . Sendo −221 <−216, enta˜o −13 12 < −18 17 . Do mesmo modo, aproveitando as contas ja´ feitas, vem que, 216 < 221 e, enta˜o, 18 17 < 13 12 . Logo, −13 12 < −18 17 < 18 17 < 13 12 . C E D E R J 229 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas 8.2. Note que −1 2 = −3 2×3 e − √ 3 3 = −2√3 3×2 . Agora, −2√3 <−3. Portanto, − √ 3 3 <− 1 2 . Do mesmo modo 75 < √ 2, uma vez que ( 7 5 )2 < (√ 2 )2 . Ou seja, 49 25 < 2. Portanto, − √ 3 3 <−1 2 < 7 5 < √ 2 . 8.3. Mostrar que 3 < √ 10 e´ equivalente a 32 < (√ 10 )2 e isto e´ verdade, pois 9 < 10. Por outro lado, √ 10 < 3,2 e´ equivalente a (√ 10 )2 < (3,2)2 = 10,24. Portanto, 3 < √ 10 < 3,2 . 8.4. Veja que √ 5 n > 1√ 5 ⇔ √ 5 n · √ 5 > √ 5√ 5 ⇔ 5n > 1 . Ou seja, 5 > n. Portanto, n = 1, 2, 3 e 4, satisfazem a desigualdade original. 8.5. a) A regia˜o da reta e´: IR 0 1 2−1−2 2− b) A regia˜o da reta e´: IR 10 2 3 7 8 4 10 230 C E D E R J i i i i i i c) A regia˜o da reta e´: IR 3210 8.6. a) [−2,0), b) (−1,1), c) (−∞,1], d) [−√22 ,∞) 8.7. a) √2( x√2 − 1) < √2(√2x− 1) ⇒ x−√2 < 2x−√ 2 ⇒−x < 0 ⇒ x > 0. Conjunto soluc¸a˜o: S = {x ∈R;x > 0}= (0,∞). b) Em primeiro lugar, e´ obrigato´rio x 6= 0. Temos que 1 x −1 > 0 ⇔ 1− x x > 0 . As soluc¸o˜es, portanto, ocorrem quando x e (1− x) possuem o mesmo sinal. Vamos fazer a tabela de sinais. 10− 1−x x x 1−x + + + + + − − − − Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ S = {x ∈ R;−1 < x < 1} = (−1,1). 8.8. a) Falso. Note que −2 /∈ (−2,∞)∪ (−∞,−2). b) Falso. Note que 3 2 ∈ [1,∞) e 3 2 /∈N. c) Verdadeiro. O nu´mero 1 pertence a ambos os con- juntos. 8.9. Note que − 1√ 5 +n < 5√ 2 ⇐⇒ n < 5√ 2 + 1√ 5 ⇐⇒ n2 < ( 5√ 2 + 1√ 5 )2 = 25 2 + 10√ 10 + 1 5 = 25 2 + 1 5 + √ 10 . C E D E R J 231 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Ou seja, e´ preciso encontrar o maior n natural tal que n2 < 127 10 + √ 10 (∗) Para avaliar o segundo membro da desigualdade, usamos o fato de que 3,2 > √ 10 > 3 para encontrar que 12,7+3 < 127 10 + √ 10 < 12,7+3,2 ⇔ 15,7 < 127 10 + √ 10 < 15,9 . Com estes dados e usando a desigualdade (∗), concluı´mos que n = 3 e´ o maior nu´mero natural tal que − 1√ 5 + n < 5√ 2 . 8.10. a) Como os nu´meros envolvidos sa˜o positivos, multi- plicando ambos os membros por √ 5 + √ 3, a de- sigualdade fica equivalente a 1 < 2 √ 2 (√ 5+ √ 3 ) = 2 (√ 10+ √ 6 ) . ´E claro que a desigualdade e´ verdadeira. b) √ 3 √ 3 < 73 ⇔ 3 √ 3 < ( 7 3 )2 = 49 9 . Ou ainda, 27 √ 3 < 49 ⇔ (27√3)2 < 492 ⇔ 272×3 < 492. A u´ltima desigualdade sendo verdadeira, em vista das equivaleˆncias, tambe´m e´ verdadeiro que √ 3 √ 3 < 7 3 . 8.11. a) V. Como os nu´meros sa˜o positivos, e´ suficiente mostrar que (a+b)2 ≥ (2√a ·b)2 ou, equivalentemente, que a2 +2ab+b2 ≥ 4ab. Ou ainda, que a2−2ab+b2 ≥ 0. Ou seja, (a− b)2 ≥ 0. Esta desigualdade vale sempre. b) F. Tome a =−1 e b = 0. c) V. Veja que a3−1 = (a2 +a+1)(a−1)≥ a2 +a+1. 232 C E D E R J i i i i i i Aula 9 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 9.1 Note que c−a = a+b 2 −a = b−a 2 = r e b−c = b− a+b 2 = b−a 2 = r Exercı´cio 9.2 r = 1 2 ( 36 25− √ 2 ) = 36−25√2 50 Respostas dos Exercı´cios 9.1. A igualdade significa que a esta´ igualmente distante dos pontos (nu´meros) 2 e −1. Se a≤−1, a igualdade e´ equivalente a −(a−2) =−(a+ 1)⇒ 2 =−1, sem soluc¸a˜o. Se −1 < a ≤ 2, a igualdade e´ equivalente a −(a− 2) = a+1⇒ a = 1 2 . Se a > 2, a igualdade e´ equivalente a a− 2 = a + 1 ⇒ −2 = 1, sem soluc¸a˜o. Logo, a = 1 2 e´ a u´nica soluc¸a˜o. 9.2. x =−6 e x = 0 9.3. a) I = ( − 1 2 − 5 2 ,−1 2 + 5 2 ) b) I = ( 1 12 − 31 12 , 1 12 + 31 12 ) c) ( 4+ √ 3−√2 2 − √ 3+ √ 2 2 , 4+ √ 3−√2 2 + √ 3+ √ 2 2 ) 9.4. a) 5, b) 316 , c) √ 3+ √ 2 C E D E R J 233 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas 9.5. a) x+ 15 = 2⇒ x = 9 5 ou − ( x+ 1 5 ) = 2⇒ x =−115 b) x−3 =−1⇒ x = 2 ou −(x−3) =−1⇒ x = 4 c) x +6 < 3 ⇒ x < −3 ou −(x +6) < 3 ⇒ x > −9. Logo, x ∈ (−9,−3). Aula 10 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 10.1 a) A representac¸a˜o dos pontos e´: A D -3 -1 -2 C B 5 3 b) 1- F, 2- F, 3- F, 4- V, 5- V c) H+∩H− = {(x,y) ∈ R2; y = 0} e´ o eixo x. Exercı´cio 10.2 a) Observe que: x y Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 234 C E D E R J i i i i i i b) (i) x y Q 2 Q 3 Q2∩Q3 = {(x,y) ∈R2; y = 0 e x≤ 0}, representa o eixo x na˜o positivo. ii) x y Q 3 Q 4 Q3∩Q4 = {(x,y) ∈R2; x = 0 e y≤ 0}, representa o eixo y na˜o positivo. iii) x y Q 4 Q 1 Q4∩Q1 = {(x,y) ∈R2; y = 0 e x≥ 0}, representa o eixo x na˜o negativo. Respostas dos Exercı´cios 10.1. (−2,8) e (3,8) 10.2. (−2,3) e (2,7) 10.3. P = (1,−1) C E D E R J 235 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas 10.4. Temos que: A M B 0 1 2 √ 2 m = 1 2 (−2+2√2+2)=√2 10.5. A regia˜o e´: A 2 2 10.6. a = 3, D = (3,2) 10.7. A regia˜o e´: 1 F 1 Aula 11 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 11.1 A reta perpendicular ao eixo x e que passa pelo ponto A = (−2,3) encontra o eixo x no ponto P = (−2,0). Enta˜o, d(A,P) = √ [−2− (−2)]2 +(3−0)2 = 3 . 236 C E D E R J i i i i i i Exercı´cio 11.2 Os pontos do eixo y sa˜o do tipo P = (0,a) onde a ∈ R. A distaˆncia do ponto P procurado ate´ o ponto ( − 1 2 ,1 ) vale 1. Enta˜o ( 0+ 1 2 )2 +(a−1)2 = 12 ⇒ a = 1± √ 3 2 . Logo ( 0,1+ √ 3 2 ) e ( 0,1− √ 3 2 ) sa˜o os pontos procurados. Exercı´cio 11.3 Temos que (x+2)2 +(y−1)2 = 22 ⇒ x2 + y2 +4x−2y+1 = 0 . Respostas dos Exercı´cios 11.1. (a) x = 1; (b) x = 3 2 ; (c) x≥ 7 2 ; (d) x =−1 11.2. (a) 3√2; (b) B = (2,0), (c) D = (−1,−3) 11.3. P = ( 0, 2 3 ) 11.4. x2 + y2 +4x+6y+9 = 0 11.5. C = (−1,0), r = 2 11.6. a) C = (0,2) e r = 4 b) A = (2√3 , 0) e B = (−2√3 , 0) C E D E R J 237 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Aula 12 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 12.1 a) x = 49 b) −13 c) x = 19 d) 23 Exercı´cio 12.2 x =−3 e y = 0 Exercı´cio 12.3 x = 3 e y =−1 Exercı´cio 12.4 a) x1 = √ 3 e x2 =− √ 3 b) x = 0 c) x1 = 0 e x2 =−83 d) x1 = √ 15 e x2 =− √ 15 e) x1 = 1 e x2 =−9 f) x1 =−1 e x2 =−2 Exercı´cio 12.5 −3 √ 10 10 < x < 3 √ 10 10 238 C E D E R J i i i i i i Exercı´cio 12.6 x ∈ (−∞,−2)∪ (5,+∞) Exercı´cio 12.7 a) x = 1 e y =−2 b) x = 12 e y = 8 c) x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 2 d) x = 4 e y = 3 ou x =−4 e y =−3 Exercı´cio 12.8 a) x = 9 c) x =−45 b) x1 = 5 e x2 =−52 d) x1 =−1 e x2 =−2 Aula 13 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 13.1 a) D( f ) = ( 0, √ 6 ) ∪ (√ 6,∞ ) b) D(g) = R c) D(h) = (−∞,−1)∪ (3,∞) d) D(q) = ( 2 3 ,3 ] C E D E R J 239 i i i i i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Aula 14 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 14.1 A intercessa˜o com o eixo Ox ocorre quando y = 0, logo A = (−2,0). Exercı´cio 14.2 a) O gra´fico e´ uma reta que passa pelos pontos (0,10) e (10,0). b) O gra´fico e´ uma reta para x ≤ 1 e uma hipe´rbole voltada para cima para x > 1. A medida que x aumenta, os valores de y se aproximam de 0, e o gra´fico se aproxima do eixo Ox. x y = 2 x+1 1 1 2 23 3 12 99 0,02 999 0,002 Exercı´cio 14.3 a) O gra´fico e´ uma para´bola voltada para baixo. Para trac¸ar o gra´fico, devemos calcular o ve´rtice e as raı´zes. Identifica- se da equac¸a˜o: a =−1, b = 1 e c = 6 ∆ = 1−4 · (−1) ·6 = 25 240 C E D E R J i i i i i i V = ( − 1−2 ,− 25 −4 ) = ( 1 2 , 25 4 ) , o ve´rtice e´ o ponto de ma´ximo, as raı´zes: x = −1±5 −2 ⇔ x1 =−2, x2 = 3 x y −2 0 −1 4 0 6 1 2 25 4 1 6 3 0 b) O gra´fico e´ uma para´bola voltada para cima: ∆ = 9−4 ·1 ·3 = 9−12 =−3 V = ( −(−3) 2 ,−(−3) 4 ) = ( 3 2 , 3 4 ) O ve´rtice e´ o ponto de mı´nimo, e o gra´fico na˜o intercepta o eixo Ox porque a func¸a˜o na˜o possui raı´zes. C E D E R J 241 i i ii i i Me´todos Determinı´sticos I | Respostas Aula 15 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 15.1 a) y≤−x+3 e −1 < x < 1 x y −1 1 0 3 1 2 1−1 2 3 4 b) −2≤ y≤−x+3 x y −1 4 0 3 1 2 3 −2 242 C E D E R J i i i i i i Aula 16 Respostas dos Exercı´cios Exercı´cio 16.1 Para determinar o ponto de equilı´brio temos que igualar a demanda e a oferta. D = Q⇒ 136−2P = 10P−80⇒ 12P = 216⇒ P = 18. Portanto, PE = 18 e QE = 180−80 = 100 ponto de equilı´brio E(18,100). Exercı´cio 16.2 Considere a demanda de mercado D = P2 − 18P + 10 e a oferta Q = 12P−72. Fac¸a os gra´ficos das curvas de demanda e oferta e determine PE e QE, respectivamente, o prec¸o e a quantidade de equilı´brio. Para determinar o ponto de equilı´brio temos que igualar a demanda e a oferta. D = Q⇒ P2−18P+10 = 12P−72⇒ P1 = 3,04 ou P2 = 26,95. Fazendo-se o estudo da func¸a˜o demanda, a demanda e´ posi- tiva no intervalo 0 < P < 0,57 ou P > 17,43, portanto, o ponto de equilı´brio e´ E(26,95 , 251,40). C E D E R J 243
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