Questão 2 da AD1 2016 2 Gabarito

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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 2 - 2016–2
Questa˜o 2 [2,5 pontos]
(a) O conjunto A ∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos, como
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto e´, na forma {x|...}),
os conjuntos
• A ∩B
• A−B
• A ∩B ∩ C
• (A ∪B)− C
(b) A proposic¸a˜o “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como “∀x ∈ A, x ∈ B”.
Note que as duas expresso˜es sa˜o equivalentes. Escreva, utilizando quantificadores, expresso˜es
equivalentes a
• A 6⊂ B
• A ⊂ (B ∪ C)
• A−B = ∅
Soluc¸a˜o:
(a) Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
• A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
• A−B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B} ou ainda A−B = {x|x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)}
• A ∩B ∩ C = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
• (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C} ou ainda
(A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B)∧ ∼ (x ∈ C)}
(b) Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
• A 6⊂ B equivale a ∃x ∈ A|x /∈ B
• A ⊂ (B ∪ C) equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ∨ x ∈ C
• A−B = ∅ equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ou ainda @x ∈ A|x /∈ B