Eletrônica Dispositivos de Memória

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ISL13 - Memórias - 1
Dispositivos de MemóriaDispositivos de Memória
Francisco Garcia
Thelma Rodrigues
ISL13 - Memórias - 2
ObjetivoObjetivo
I Compreender e utilizar corretamente a terminologia 
associada com sistemas de memória;
IDescrever a diferença entre os diversos tipos de memória;
IDeterminar a capacidade de um sistema de memória a 
partir de suas entradas e saídas;
I Combinar CI’s de memória para formar módulos com 
maior capacidade e/ou tamanho de palavra
ISL13 - Memórias - 3
IntroduçãoIntrodução
I Após o processador, os dispositivos de memória são os 
componentes mais importantes de um computador 
digital. É exatamente a capacidade de armazenar grandes 
quantidades de informação em seus diversos tipos de 
memória é que torna os sistemas digitais tão versáteis e 
úteis.
I Existem vários termos e siglas aplicados aos dispositivos 
de memória. A seguir veremos o significado destas siglas.
IO computador usa vários tipos diferentes de memória, 
dependendo da aplicação. Veremos nesta aula qual é a 
diferença entre os diversos tipos de memória. 
ISL13 - Memórias - 4
Capacidade das memóriasCapacidade das memórias
I A memória mais simples que existe é a memória de um 
único bit, também chamada célula de memória. Esta 
função pode ser realizada por um flip-flop.
I Uma palavra de memória consiste em um conjunto de 
células de memória associadas para memorizar uma 
palavra de vários bits. Os computadores tipicamente 
trabalham com tamanho de palavra de 4 a 64 bits, 
dependendo do seu porte.
I Uma palavra de 8 bits é chamada de byte.
I Tamanhos de palavras podem também ser especificados 
em bytes. Por exemplo, podemos dizer que um sistema 
trabalha com palavras de 32 bits ou 4 bytes.
ISL13 - Memórias - 5
Capacidade das memóriasCapacidade das memórias
I A capacidade (ou densidade) dos dispositivos de 
memória usados nos computadores é frequentemente 
especificada em termos da quantidade de palavras, ao 
invés da quantidade total de bits.
I Assim, uma memória de 4096 palavras de 16 bits (65.536 
bits) é chamada de 4096 x 16.
I A designação “1k” (um quilo), quando aplicada a 
capacidade de uma memória, representa 1024 = 210. 
Portanto, a memória de 4096 x 16 = 4k x 16.
I “1 M” (um mega) representa 1k vezes 1k = 1.048.576 = 220
I “1 G” (um giga) refere-se a 230 = 1.073.741.824.
ISL13 - Memórias - 6
Endereços Endereços 
I Endereços são números que especificam a posição de 
uma palavra na memória. Cada palavra armazenada em 
um dispositivos de memória possui um endereço único.
I Em um sistema digital, os 
endereços são sempre 
números binários, embora, 
por conveniência, números 
em octal, decimal ou 
hexadecimal sejam usados 
para representar o endereço.
I A figura ao lado representa 
uma memória com 8 
palavras, onde cada palavra 
tem um endereço específico.
Palavra 0
Palavra 1
Palavra 2
Palavra 3
Palavra 4
Palavra 5
Palavra 6
Palavra 7
001
010
011
100
101
110
111
Endereços
000
ISL13 - Memórias - 7
MEMÓRIA
OperaçõesOperações
I Leitura ou busca é uma opera-
ção na qual uma palavra 
armazenada em uma determi-
nada posição de memória é 
detectada e transferida para 
um outro dispositivo.
I Escrita ou armazenamento é 
uma operação na qual uma 
nova palavra é colocada em 
uma determinada posição de 
memória, substituindo a pala-
vra previamente armazenada 
lá.
MEMÓRIA
Endereço
Dados
Endereço Dados
ISL13 - Memórias - 8
Tempo de acessoTempo de acesso
I Em uma operação de leitura, o dispositivo que quer ler o 
dispositivo de memória (normalmente o processador) 
inicialmente envia o endereço da palavra desejada e, 
depois disso, faz a leitura do dado. O tempo decorrido 
entre a memória receber uma nova entrada de endereço e 
o dado estar disponível na saída da memória chama-se 
tempo de acesso (TACC). Este tempo é um limitador da 
velocidade de processamento dos computadores.
I Existe também um tempo de acesso para escrita, que é o 
tempo necessário para armazenar um dado após a 
memória ter sido endereçada e receber o dado.
ISL13 - Memórias - 9
Tipos de memóriaTipos de memória
I As memórias podem ser classificadas de acordo com 
vários critérios:
IMemória volátil: Um tipo de memória onde os dados são 
perdidos quando a tensão de alimentação é removida.
IMemória não volátil: Um tipo de memória que mantém 
os dados armazenados mesmo sem o fornecimento da 
tensão de alimentação.
I RAM (Random-Access Memory) - Memória de acesso 
aleatório :Memória na qual a posição física real de uma 
palavra não tem efeito sobre o tempo necessário para ler 
ou escrever nesta posição, ou seja, o tempo de acesso 
independe do endereço.
ISL13 - Memórias - 10
Tipos de memóriaTipos de memória
I SAM (Sequencial-Access Memory) - Memória de acesso 
sequencial: Um tipo de memória onde o tempo de acesso 
não é constante, mas varia de acordo com o endereço. 
Neste tipo de memória, uma determinada palavra é 
encontrada percorrendo-se todos os endereços, 
sequencialmente, até que o seu endereço seja alcançado. 
Um exemplo para este tipo de memória é uma fita 
magnética, onde não se pode ir de uma posição para a 
outra sem passar pelas posições intermediárias.
I RWM (Read/Write Memory) - Memória de leitura e 
escrita: Qualquer memória que possa ser lida ou escrita 
de maneira igualmente fácil.
ISL13 - Memórias - 11
Tipos de memóriaTipos de memória
I ROM (Read-Only Memory) - Memória somente de 
leitura: Um tipo de memória não volátil destinada a ser 
usada apenas para a leitura. A escrita nestas memórias 
não é possível ou então só pode ser feita através de uma 
operação especial. Estas memórias são usadas normal-
mente para armazenar o programa de um computador 
(ou um trecho dele). Por exemplo, as rotinas de 
inicialização e de entrada e saída básica (BIOS) de um 
microcomputador são armazenadas em uma ROM.
I Existem vários tipos de ROM, como será visto a seguir:
ISL13 - Memórias - 12
Tipos de memória ROMTipos de memória ROM
IMask-Programmed ROM ou simplesmente ROM: Os 
dados contidos neste tipo de memória são programados 
pelo fabricante do dispositivo, de acordo com as 
especificações do cliente. O termo máscara se refere ao 
processo de fabricação do circuito integrado, onde as 
suas diversas camadas e interligações são feitas através 
de um método que usa um negativo fotográfico chamado 
máscara. Estas memórias são produzidas por 
encomenda, e devido ao alto custo de produção da 
máscara, somente são viáveis economicamente se uma 
grande quantidade de uma mesma ROM é necessária. 
ISL13 - Memórias - 13
I PROM (Programmable ROM) - ROM programável: Este 
tipo de memória é fornecido sem nenhum conteúdo, e 
pode ser programável pelo usuário. Esta ROM contém 
um conjunto de fusíveis internos que podem ser 
seletivamente queimados em um equipamento 
específico, para produzir um determinado conjunto de 
dados armazenados na memória. Uma vez programada, 
este tipo de memória não pode ter os seus dados 
alterados. 
Tipos de memória ROMTipos de memória ROM
ISL13 - Memórias - 14
I EPROM (Eraseable PROM) - Também chamada de UV-
EPROM, é uma ROM programável e apagável: Este tipo 
de memória é também fornecido sem nenhum conteúdo, 
e pode ser programável pelo usuário em um equipamento 
específico. Diferentemente da PROM, a EPROM pode 
ser apagada (levada de volta ao estado inicial de nenhum 
conteúdo) através da exposição à luz ultra-violeta. Para 
que isto seja possível o circuito integrado tem uma janela 
transparente na sua parte superior. Quando uma 
memória EPROM é apagada, todos os seus dados são 
apagados, não existindo uma maneira de apagar 
seletivamente apenas algumas posições de memória. 
Tipos de memória ROMTipos de memória ROM
ISL13 - Memórias- 15
I EEPROM ou E2PROM (Electricaly EPROM) - ROM 
programável e apagável eletricamente: Ao invés de ser 
apagável por luz ultra-violeta, esta tipo de memória pode 
ser apagável pela aplicação de um pulso elétrico. Isto faz 
com esta memória possa ser apagada e reprogramada 
sem a necessidade de se retirar o circuito integrado da 
placa onde está instalado. Os dados podem ser apagados 
apenas em um endereço determinado. Estas memórias 
têm a desvantagem de serem caras.
Tipos de memória ROMTipos de memória ROM
ISL13 - Memórias - 16
I FLASH Memories - Memórias “Flash”: Esta memória 
tem basicamente as mesmas características da E2PROM 
(apagável e programável na própria placa), porém o seu 
processo de fabricação permite que ela seja mais barata. 
Algumas memórias deste tipo só permitem o apagamento 
em bloco dos dados programáveis, onde todos os dados 
são apagados simultaneamente. Existem, no entanto, 
algumas memórias que permitem o apagamento por 
setores (por exemplo, um grupo de 512 bytes). Devido ao 
seu processo de fabricação, podem ser feitas com uma 
alta capacidade de armazenamento por circuito 
integrado.
Tipos de memória ROMTipos de memória ROM
ISL13 - Memórias - 17
Tipos de memóriaTipos de memória
I Um computador possui uma memória principal e uma 
memória auxiliar.
I A memória principal ou de trabalho é onde são 
armazenados as instruções e dados que o processador 
está utilizando no momento. É a memória mais rápida 
em um computador e é sempre uma memória 
semicondutora (circuito integrado)
I A memória auxiliar é também chamada memória de 
massa, porque tem a capacidade de armazenar grande 
volume de dados externamente à memória principal. É 
mais lenta do que a memória principal e é sempre não 
volátil. Discos magnéticos e CD são dispositivos comuns 
de memória auxiliar.
ISL13 - Memórias - 18
Tipos de memória RAMTipos de memória RAM
I A memória principal de um computador é sempre do tipo 
RWM (de leitura e escrita) e do tipo RAM (com acesso 
aleatório). Esta última sigla, no entanto, é que é usada 
para fazer referência a estas memórias. Existem dois 
tipos de RAM:
I SRAM - RAM estática: Neste tipo de memória, uma vez 
escrito em uma determinada posição, o dado permanece 
armazenado enquanto a memória estiver energizada. 
Apesar de não serem muito baratas, estas memórias 
podem ser extremamente rápidas (tempo de acesso muito 
pequeno). Algumas RAM’s estáticas podem ter um 
consumo de energia “stand-by” (quando não estão sendo 
acessadas) muito baixo, fazendo com que os dados nelas 
armazenados possam ser mantidos por uma pequena 
bateria quando o computador estiver desligado. Assim, 
apesar de serem voláteis, funcionam como se fossem não 
voláteis. 
ISL13 - Memórias - 19
I DRAM - RAM dinâmica: Neste tipo de memória, os 
dados não permanecem armazenados, mesmo com a 
energia presente, a não ser que sejam periodicamente 
reescritos na memória. Esta operação chama-se 
“refresh”. As RAM’s dinâmicas são mais baratas do que 
as estáticas e permitem uma alta capacidade de 
armazenamento por circuito integrado. No entanto, não 
são tão rápidas quanto aquelas. Devido ao seu custo e 
capacidade, são muito usadas nos computadores.
I Algumas RAM’s dinâmicas possuem um controlador de 
“refresh” interno, não necessitando, portanto, que algum 
dispositivo externo faça esta função. Funcionam como 
uma memória estática e são chamadas pseudo-estáticas.
Tipos de memória RAMTipos de memória RAM
ISL13 - Memórias - 20
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
A figura abaixo mostra uma memória genérica de 32 
palavras de 4 bits. 
Entrada 
de dados
Saída de 
dados
Entrada de 
endereços
IO O0
I1 O1
I2 O2
I3 O3
A0
A1
A2
A3
A4
R/W
CE
Comando de leitura/escrita
Habilitação da memória
ISL13 - Memórias - 21
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
I A entrada de endereços serve para o 
processador ou outro dispositivo que 
estiver usando a memória especificar 
a posição de memória que vai ser 
lida ou escrita. De um modo geral, N 
entradas de endereço são necessárias 
para uma memória que possui uma 
capacidade de 2N palavras.
I A entrada R/W controla qual opera-
ção deve ser realizada na memória: 
leitura (R - Read) ou escrita (W-
Write). A barra sobre W indica que a 
operação de escrita é realizada 
quando W = 0.
IO O0
I1 O1
I2 O2
I3 O3
A0
A1
A2
A3
A4
R/W
CE
ISL13 - Memórias - 22
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
I A entrada de habilitação serve per-
mitir o funcionamento da memória. 
Nenhuma operação é realizada a não 
ser que o dispositivo esteja habi-
litado. O nome CE é a abreviatura de 
Chip Enable (Alguns fabricantes 
usam CS = Chip Select). Muitos dis-
positivos têm esta entrada ativa em 
nível lógico baixo. Para identificar 
isto, uma barra de inversão deve ser 
colocada sobre o nome da entrada, e 
um círculo de inversão usado neste 
terminal no símbolo do dispositivo.
IO O0
I1 O1
I2 O2
I3 O3
A0
A1
A2
A3
A4
R/W
CE
ISL13 - Memórias - 23
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
IOs dados que deverão ser armaze-
nados na memória durante uma ope-
ração de escrita deverão ser coloca-
dos nos terminais de entrada de 
dados pelo processador.
I Em uma operação de leitura, os 
dados lidos na memória serão 
disponibilizados nos terminais de 
saída de dados.
I Algumas memórias possuem termi-
nais que servem tanto para entrada 
quanto para saída de dados. Neste 
caso, o terminal funciona como 
saída apenas quando selecionada a 
operação de leitura.
IO O0
I1 O1
I2 O2
I3 O3
A0
A1
A2
A3
A4
R/W
CE
ISL13 - Memórias - 24
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
CE
R/W
0 1 2 29
3
0
3
1
Registradores
D
e
c
o
d
i
f
i
c
a
d
o
rA0
A1
A2
A3
A4
I0
I1
I2
I3
O0
O1
O2
O3
B
u
f
f
e
r
B
u
f
f
e
r
ISL13 - Memórias - 25
I Para facilitar a decodificação em memórias de maior 
capacidade, os registradores podem ser organizados em 
uma forma matricial, em linhas e colunas. Cada 
registrador tem então duas entradas de habilitação, e só 
será habilitado quando as duas entradas, a da linha e a 
da coluna estiverem ativadas.
I A seguir o diagrama simplificado de uma memória 32 x 
4, com decodificação interna em linhas e colunas. As 
entradas de endereço A4 e A3 vão ao decodificador 2 x 4 
de linha e as entradas A2, A1 e A0 são ligadas ao 
decodificador 3 x 8 das colunas.
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
ISL13 - Memórias - 26
Funcionamento de uma memóriaFuncionamento de uma memória
CE
R/W
0 1 2
Registradores
D
e
c
A4
A3
A2
A1
A0
I0
I1
I2
I3
O0
O1
O2
O3
B
u
f
f
e
r
B
u
f
f
e
r
5
2
4
2
5
2
6
2
9
3
0
3
1
6 7
D
e
c
ISL13 - Memórias - 27
Expansão de memóriasExpansão de memórias
I Memórias podem ser agrupadas para aumentar a 
capacidade de armazenamento. Por exemplo, duas 
memórias de 16 x 4 bits podem fazer um conjunto com 
capacidade de 16 x 8:
D0
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
A0
A1
A2
A3
R/W
CE
A0 I/O0
A1 I/O1
A2 I/O2
A3 I/O3
R/W
CE
A0 I/O0
A1 I/O1
A2 I/O2
A3 I/O3
R/W
CE
ISL13 - Memórias - 28
Expansão de memóriasExpansão de memórias
Neste exemplo, 4 das 
mesmas memórias, 
além de um decodi-
ficador 2 x 4, foram 
usadas para fazer um 
conjunto com 
capacidade de 64 x 4:
A0 I/O0
A1 I/O1
A2 I/O2
A3 I/O3
R/W
CE
A0 I/O0
A1 I/O1
A2 I/O2
A3 I/O3
R/W
CE
A0 I/O0
A1 I/O1
A2 I/O2
A3 I/O3
R/W
CE
A0 I/O0
A1 I/O1
A2 I/O2
A3 I/O3
R/W
CE
A0 Y0
A1 Y1
Y2
E Y3
A0
A1A2
A3
A4
A5
CE
R/W
D0
D1
D2
D3
ISL13 - Memórias - 29
ExercíciosExercícios
1) Uma certa memória tem capacidade de 16 x 8. Quantos 
bits ela tem em cada palavra? Quantas palavras estão 
sendo armazenadas? Quantas células esta memória 
contém?
2)Explique a diferença entre uma RWM e uma ROM;
3)Responda verdadeiro ou falso: Uma memória dinâmica 
manterá os seus dados enquanto a sua tensão de 
alimentação estiver presente.
4) Qual memória tem maior capacidade, uma de 1M x 32 ou 
uma de 2M bytes?
5)Quantas entradas de endereço deve ter uma memória de 1 
M byte?
6)Quantos circuitos de 1M x 8 são necessários para fazer 
um total de 4M x 32?
Contadores e divisores de frequência - 1
Circuitos Somadores
Alberone Paiva
Thelma Rodrigues
Contadores e divisores de frequência - 2
Objetivos
;
;
.
Contadores e divisores de frequência - 3
Introdução
.
.
.
.
Contadores e divisores de frequência - 4
Somador Paralelo – Diag. Blocos
Contadores e divisores de frequência - 5
Somador de quatro bits 
completo com registradores
Contadores e divisores de frequência - 6
Sinal usado para efetuar a soma
Contadores e divisores de frequência - 7
Contadores e divisores de frequência - 8
Divisores de frequência
Veja o circuito abaixo:
T Q
Q
T Q
Q
T Q
Q
CLK
Q0 Q1 Q2
Cada flip-flop inverte o seu estado quando sua 
entrada de clock tem uma transição de 1 para 0:
CLK
Q0
Q1
Q2
Contadores e divisores de frequência - 9
Divisores de frequência
No circuito anterior, o flip-flop com a saída Q0
comuta (muda de estado) na descida de cada pulso 
de clock. Portanto, a forma de onda da saída Q0 tem 
exatamente a metade da frequência do sinal de 
clock.
O flip-flop com a saída Q1 comuta toda vez que a 
saída Q0 vai de 1 para 0. A forma de onda de Q1 tem 
a metade da frequência de Q0 e, portanto, um quarto
da frequência do sinal de clock.
O flip-flop com a saída Q2 comuta cada vez que a 
saída Q1 passa de alto para baixo. Sua frequência é
metade da frequência de Q1 e um oitavo da do sinal 
de clock.
Contadores e divisores de frequência - 10
Divisores de frequência
Se fossem acrescentados mais flip-flops no circuito 
anterior, ligados da mesma maneira, verificaríamos 
que o último flip-flop teria a frequência de clock 
dividida por 2N, onde N é igual ao número de flip-
flops.
Este circuito é chamado divisor de frequência 
assíncrono, pois, devido ao atraso de propagação, 
cada saída comuta em um instante diferente:
CLK
Q0
Q1
Q2
Contadores e divisores de frequência - 11
Contadores
Além de funcionar como um divisor de frequências, 
o circuito anterior funciona também como um 
contador binário. Veja a sequência de estado dos 
flip-flops na tabela de estado abaixo:
Q2 Q1 Q0 Dec. Comentário
0 0 0 0 Antes dos pulsos serem aplicados
0 0 1 1 Após o pulso número 1
0 1 0 2 Após o pulso número 2
0 1 1 3 Após o pulso número 3
1 0 0 4 Após o pulso número 4
1 0 1 5 Após o pulso número 5
1 1 0 6 Após o pulso número 6
1 1 1 7 Após o pulso número 7
0 0 0 0 Após o pulso número 8 (repete)
Contadores e divisores de frequência - 12
Contadores
Uma outra maneira de visualizar o funcionamento de 
um contador é através de um diagrama de transição 
de estados:
000
001
010
011
100
101
110
111
• Cada círculo 
representa um 
estado possível
• As setas que ligam 
um círculo ao outro 
mostram a 
mudança de estado 
quando um pulso de 
clock é aplicado.
Contadores e divisores de frequência - 13
T Q
Q
T Q
Q
T Q
Q
CLK
Q0 Q1 Q2
O funcionamento seria o mesmo se fossem usados 
flip-flops sensíveis à borda de subida, porém com o 
clock de cada flip-flop ligado à saída invertida do flip-
flop anterior:
CLK
Q0
Q1
Q2
Contadores
Contadores e divisores de frequência - 14
Contadores
O contador apresentado possui 8 estados possíveis 
(de 000 até 111), por isto ele é chamado de contador 
módulo 8.
A sequência dos estados é crescente, e, portanto, é
chamado de contador crescente.
Assim, o nome completo do desse contador é:
Contador assíncrono crescente de módulo 8.
Podemos projetar contadores assíncronos 
decrescentes, usando flip-flops sensíveis à borda de 
subida do clock. Veja a seguir:
Contadores e divisores de frequência - 15
Contadores decrescentes
111
110
101
100
011
010
001
000
T Q
Q
T Q
Q
T Q
Q
CLK
Q0 Q1 Q2
CLK
Q0
Q1
Q2
Contadores e divisores de frequência - 16
Contadores decrescentes
CLK
Q0
Q1
Q2
T Q
Q
T Q
Q
T Q
Q
CLK
Q0 Q1 Q2
O mesmo circuito pode ser realizado com flip-flops 
sensíveis à borda de descida, porém com a entrada 
de clock ligada à saída invertida do flip-flop anterior:
Contadores e divisores de frequência - 17
Contadores
RESUMO:
Flip-flops com 
entrada de clock
sensíveis à borda 
de:
Ligados ao Flip-
flop anterior na 
saída:
Fazem 
contadores 
assíncronos:
Descida
Subida
Subida
Descida
Q
Q
Q
Q
Crescentes
Crescentes
Decrescentes
Decrescentes
Contadores e divisores de frequência - 18
Contadores
Se quisermos garantir um determinado estado inicial 
quando o circuito é energizado, devemos utilizar as 
entradas assíncronas de PRESET ou CLEAR.
O circuito abaixo utiliza um pulso (ativo em nível 
baixo) para inicializar todos os flip-flops em ZERO:
+V
T
PR
CLR
Q
Q
T
PR
CLR
Q
Q
T
PR
CLR
Q
Q
CLK
Q0 Q1 Q2
INICIO
Contadores e divisores de frequência - 19
Contadores
Normalmente com N flip-flops fazemos contador 
módulo 2N.
Para fazer um contador com módulo qualquer, 
devemos utilizar as entradas assíncronas para fazê-
lo voltar ao estado inicial a partir de um estado 
desejado.
A seguir veremos um contador módulo 5, onde 
existem os estados 000, 001, 010, 011, 100 (de 0 a 
4d). O estado 101 (5), que vem naturalmente após o 
estado 100 (4), força as saídas dos flip-flops para 
zero, através das suas entradas de CLEAR.
Assim, o estado 5 dura apenas alguns nano-
segundos, tempo suficiente para zerar os flip-flops.
Contadores e divisores de frequência - 20
Contadores
T
PR
CLR
Q
Q
T
PR
CLR
Q
Q
T
PR
CLR
Q
Q
+V
CLK
Q0
Q1
Q2
CLR
CLK
Q0 Q1 Q2
Contadores e divisores de frequência - 21
Exercícios
1).
2).
3).
4).
ISL01 -Conceitos Básicos - 1
CONCEITOS BÁSICOS
„ Sumário
‹Representações Numéricas
‹Sistemas Digitais e Analógicos
‹Circuitos Digitais
‹Sistemas Numéricos Digitais
‹Representações das Quantidades Binárias
‹Transmissão Paralela e Serial
‹Memória
‹Computadores Digitais
ISL01 -Conceitos Básicos - 2
Objetivos
„ Diferenciar uma representação digital de uma 
analógica
„ Listar as diferenças entre sistemas analógicos, digitais 
e híbridos
„ Compreender as necessidades dos conversores AD e 
DA
„ Identificar sinais digitais típicos
„ Citar várias tecnologias empregadas na fabricação de 
circuitos digitais
ISL01 -Conceitos Básicos - 3
Objetivos - Continuação
„ Identificar um diagrama de tempo
„ Dizer as diferenças entre uma transmissão paralela e 
uma serial
„ Identificar diversos dispositivos de memória
„ Descrever as partes principais de um computador 
digital e entender seu funcionamento
ISL01 -Conceitos Básicos - 4
Representações Numéricas
„ Representação Analógica
‹Uma quantidade é representada por outra que é 
proporcional à primeira
‹Ex: o velocímetro de um carro, alto-falante, termômetro 
de mercúrio.
‹Característica: variam continuamente dentro de uma 
faixa de valores
ISL01 -Conceitos Básicos - 5
Representações Numéricas
„ Representação Digital
‹Uma quantidade érepresentada por simbolos 
chamados dígitos, e não por valores proporcionais
‹Ex: relógio digital
‹Característica: variam em passos discretos
ISL01 -Conceitos Básicos - 6
Representações Numéricas
„ Analógica Ð Contínua Ð As leituras deixam margem à
interpretação do observador
„ Digital Ð Discreta (passo a passo) Ð Não apresentam 
problemas de ambiguidade
ISL01 -Conceitos Básicos - 7
Vantagens das Técnicas Digitais
„ Os sistemas digitais são mais fáceis de projetar
„ O armazenamento de informação é fácil
„ Precisão e exatidão são maiores
„ As operações podem ser programadas
„ Circuitos digitais são menos afetados por ruídos
„ Os circuitos digitais são mais adequados à integração
ISL01 -Conceitos Básicos - 8
Limitações das Técnicas Digitais
O mundo real é predominantemente analógico
Para utilização das técnicas digitais é necessário:
‹Converter o “mundo real” das entradas analógicas para a 
forma digital
‹Processar (ou operar) a informação digital
‹Converter as saídas digitais de volta para o mundo real, em 
sua forma analógica
ISL01 -Conceitos Básicos - 9
Sistema de Controle de Temperatura
DISPOSITIVO 
DE ENTRADA
CONVERSOR 
ANALÓGICO-
DIGITAL
PROCESSAMENTO 
DIGITAL
CONVERSOR 
DIGITAL-
ANALÓGICO
CONTROLADOR
TEMPERATURA 
(ANALÓGICO)
AJUSTE DE 
TEMPERATURA
ISL01 -Conceitos Básicos - 10
Sistemas Numéricos Digitais
„ Sistema Decimal (base 10)
‹Usa 10 algarismos ou dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
‹Sistema posicional: o valor do dígito depende de sua 
posição (potências de 10)
103 102 101 100 10-1 10-2 10-3
2 7 4 5 , 2 1 4
MSD Virgula
Decimal
LSD
(Dígito mais significativo) (Dígito menos significativo)
Valor posicional (peso)
ISL01 -Conceitos Básicos - 11
Sistemas Numéricos Digitais
„ Sistema Binário (base 2)
‹Usa apenas 2 algarismos ou dígitos: 0 e 1
‹Fácil de ser implementado nos circuitos eletrônicos
‹Cada dígito é chamado de bit (binary digit)
‹Assim como o sistema decimal, também é posicional
23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
1 0 1 1 , 1 0 1
MSD Virgula
Binária
LSD
ISL01 -Conceitos Básicos - 12
Representação das Quantidades Binárias
„ Dispositivos que apresentam dois estados:
‹ lâmpada elétrica (acessa ou apagada)
‹diodo / LED (conduzindo ou não conduzindo)
‹ relé (energizado ou desenergizado)
‹ transitor (saturado ou em corte)
‹ termostato (aberto ou fechado)
‹aluno no fim do semestre (aprovado ou não aprovado)
ISL01 -Conceitos Básicos - 13
Níveis Típicos de Tensões
„ Circuitos eletrônicos digitais trabalham com sistema binário
„ A informação é representada por tensões (ou correntes)
BINÁRIO 1
BINÁRIO 0
NÃO USADO
5V
2V
0,8V
0V
Volts
1 1
0 0 0
0V
4V
tempo
ISL01 -Conceitos Básicos - 14
Transmissão Paralela e Serial
Transmissão Paralela
Circuito A
A0
A1
A2
A3
A4
B0
B1
B2
B3
B4
0
1
1
0
1
Circuito B
LSB
MSB
ISL01 -Conceitos Básicos - 15
Transmissão Paralela e Serial
Transmissão Serial
Circuito A
A B
Circuito B
0 0
1 1 1
T0 T1 T2 T3 T4
t
ISL01 -Conceitos Básicos - 16
Memória
Circuito com
Memória
Circuito sem
Memória
ISL01 -Conceitos Básicos - 17
Exercícios
a) Quais das seguintes proposições são quantidades 
digitais, quais são analógicas
‹chave de 10 posições
‹velocidade de um automóvel
‹ temperatura
‹grãos de areia na praia
‹controle de volume do rádio
ISL01 -Conceitos Básicos - 18
Exercícios
b) Descreva a maior diferença existente entre uma 
quantidade digital e uma analógica.
c) Quais são as principais vantagens das técnicas 
digitais sobre as analógicas?
d) Qual é a principal limitação do uso das técnicas 
digitais?
e) O valor exato da tensão de entrada para um circuito
digital é crítico?
Sistemas de numeração 
e códigos
Prof. José Alberone M de Paiva
ISL02 - Sistemas de Numeração - 2
Sistemas de Numeração e Códigos
„ Objetivos
‹Contar em binário, octal e hexadecimal
‹ Fazer as conversões:
) Decimal ⇔ binário 
) Decimal ⇔ octal
) Decimal ⇔ hexadecimal
‹Entender e trabalhar com os Código BCD e de Gray
‹Compreender a necessidade do Código ASCII
‹Descrever o método de paridade utilizado da 
detecção de erros de transmissão
) Binário ⇔ octal
) Binário⇔ hexadecimal
ISL02 - Sistemas de Numeração - 3
„ No nosso dia-a-dia utilizamos o sistema numérico 
decimal, também chamado base 10. Este sistema 
possui dez símbolos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9).
„ Usando apenas estes dez símbolos podemos 
representar qualquer valor, uma vez que cada dígito 
de um número possui um valor (peso) diferente, de 
acordo com sua posição dentro do número 
(potências inteiras de 10):
547(10) = 5x102 + 4x101 + 7x100
= 500 + 40 + 7
Sistema Numérico Decimal
ISL02 - Sistemas de Numeração - 4
„ Se o sistema numérico decimal fosse utilizado em 
sistemas eletrônicos digitais, seria necessário 
representar cada um dos 10 símbolos por um valor 
diferente de tensão, que estariam muito próximos 
um dos outros, o que dificultaria a sua interpretação 
pelos circuitos e ocasionaria erros.
„ A mesma dificuldade nós temos em distinguir os 
diversos tons de cinza acima. 
Sistema Numérico Decimal
ISL02 - Sistemas de Numeração - 5
„ Para evitar erros de interpretação, os sistemas 
digitais utilizam-se do sistema numérico binário, ou
base 2.
„ Nesse sistema, só existem dois símbolos (0 e 1), 
representados eletricamente por dois níveis de 
tensão muito diferentes entre si, o que evita erros.
„ Dificilmente trocaríamos o preto pelo branco no 
quadro acima, devido à diferença de luminosidade.
Sistema Numérico Binário
ISL02 - Sistemas de Numeração - 6
„ Assim como no sistema decimal, no sistema binário 
o valor (peso) de cada bit depende de sua 
posição → potências inteiras de 2.
Sistema Numérico Binário
0
1
2
3
„ Desta maneira, qualquer valor 
pode ser representado no 
sistema binário.
„ Veja ao lado uma contagem 
em binário, onde são usados 
dois dígitos.
„ Cada dígito binário é 
chamado de BIT (BInary digiT)
00
01
10
11
ISL02 - Sistemas de Numeração - 7
Sistema Numérico Binário
„ O valor máximo de um número binário (inteiro) é:
2n - 1, onde n = número de bits
„ Assim:
‹ Com 2 bits podemos representar números de 0 a 3
22 = 4
‹ Com 4 bits podemos representar números de 0 a 15
24 = 16
‹ Com 8 bits podemos representar números de 0 a 255
28 = 256
ISL02 - Sistemas de Numeração - 8
Conversão Binário Ð Decimal
Para converter de binário para decimal, basta 
multiplicar cada bit pelo valor de sua posição e 
somar
24 23 22 21 20
Valor 
posicional 
(peso)Número a ser 
convertido
Conversão 24 + 22 + 21 = 16 + 4 + 2 = 22 (10)
Bit menos 
significativo
Bit mais 
significativo
1 0 1 1 0 (2)
ISL02 - Sistemas de Numeração - 9
Conversão Decimal Ð Binário
„ Método das divisões sucessivas:
‹ 1o passo:Dividir o número decimal por 2 repetidas 
vezes, até que o quociente 0 seja obtido.
‹ 2o passo:Tomar os restos das divisões, de forma 
que o primeiro resto seja o LSB (bit 
menos significativo) e o último resto seja 
o MSB (bit mais significativo)
ISL02 - Sistemas de Numeração - 10
Conversão Decimal Ð Binário
18 2
0 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 2
1 0
18 (10) = 10010(2)Número a 
ser 
convertido
Resultado
MSB
LSB
ISL02 - Sistemas de Numeração - 11
„ Todos os equipamentos eletrônicos digitais 
trabalham com o sistema binário de numeração. No 
entanto, quando vamos escrever valores grandes 
em binário, temos de usar um número muito grande 
de bits. Por exemplo:
999.999(10) = 11110100001000111111(2)
„ No exemplo acima, um número de apenas 6 dígitos 
em decimalé equivalente a um número de 20 bits!
„ Por este motivo, não costumamos escrever os 
valores em binário, mas sim utilizando outros dois 
sistemas de numeração: octal e hexadecimal
Outros Sistemas de Numeração
ISL02 - Sistemas de Numeração - 12
Sistema Numérico Octal
„ No sistema octal de numeração, também chamado 
de base 8, existem oito símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7). Como a base desse sistema é uma potência 
inteira da base do sistema binário (8 = 23), a
conversão se faz direto pela tabela, formando 
grupos de 3 bits a partir do LSB e completando
com zeros à esquerda para o último grupo.
Octal Binário Octal Binário
0 000 4 100
1 001 5 101
2 010 6 110
3 011 7 111
ISL02 - Sistemas de Numeração - 13
Conversão Octal ⇔ Binário
O ÐB
607(8) = 110 000 111(2)
234(8) = 010 111 100(2)
34,5(8) = 011 100 , 101(2)
B ÐO
011101(2) = 35(8)
1110011(2) = 163(8)
1011,01(2) = 13,2(8)
ISL02 - Sistemas de Numeração - 14
Decimal Octal Decimal Octal
0 0 8 10
1 1 9 11
2 2 10 12
3 3 11 13
4 4 12 14
5 5 13 15
6 6 14 16
7 7 15 17
Problema: Como converter 295(10) para a base 8?
E converter 135 (8) para a base 10?
Conversão Decimal ⇔ Octal
ISL02 - Sistemas de Numeração - 15
Conversão Decimal Ð Octal
295 (10) = 447(8)Número a ser 
convertido
LSB
4 4
295 8
7 36 8
MSB
Resultado
ISL02 - Sistemas de Numeração - 16
Conversão OctalÐ Decimal
„ 135(8) = 1x82 + 3x81 + 5x80
= 64 + 24 + 5
= 93
„ 1523(8) = 1x83 + 5x82 + 2x81 + 3x80
= 512 + 320 + 16 + 3
= 851
ISL02 - Sistemas de Numeração - 17
Hex Binário Decimal Hex Binário Decimal
0 0000 0 8 1000 8
1 0001 1 9 1001 9
2 0010 2 A 1010 10
3 0011 3 B 1011 11
4 0100 4 C 1100 12
5 0101 5 D 1101 13
6 0110 6 E 1110 14
7 0111 7 F 1111 15
Sistema Numérico Hexadecimal
„ No sistema hexadecimal de numeração, também 
chamado de base 16, existem os dezesseis 
símbolos abaixo, com os seus respectivos valores 
em binário e decimal:
ISL02 - Sistemas de Numeração - 18
Conversão Binário⇔Hexadecimal
3C7 3 C 7
0011 1100 0111
1001101 0100 1101
4 D
Observe que 16 é potência de 2, ou seja, 16 = 24
H Ð B
B Ð H
ISL02 - Sistemas de Numeração - 19
Conversão Decimal⇔Hexadecimal
„ B1(16) = 11x161 + 1x160
= 176 + 1
= 177
„ 3FA(16) = 3x162 + 15x161
+ 10x160
= 768 + 240 + 10
= 1018
456 16
8 28 16
12 1
456 (10) = 1C8(16)
ISL02 - Sistemas de Numeração - 20
Resumo
DECIMAL
÷2
2n
tabela
16n
tabela
OCTALBINÁRIOHEXADECIMAL
÷16
÷8
8n
ISL02 - Sistemas de Numeração - 21
1. Se cada dígito de um número decimal for 
substituído por seu equivalente binário, o resultado 
é o código BCD (Binary-Coded-Decimal).
2. Como o maior dígito decimal é nove, o código 
necessita de 4 bits para representar cada dígito.
O Código BCD
ISL02 - Sistemas de Numeração - 22
Tabela BCD
Decimal BCD
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
8 47
1000 0111 0100
decimal
BCD
Conversão Decimal ⇒ BCD
Conversão BCD ⇒ Decimal
6 93
0110 0011 1001
decimal
BCD
ISL02 - Sistemas de Numeração - 23
Código de Gray
„ Pertence à classe do códigos chamados de 
variação mínima
„ Somente um bit muda quando de passa de uma 
representação para a seguinte
„ Não está relacionado a uma regra matemática
„ Aplicações em dispositivos de E/S e conversores 
A/D
ISL02 - Sistemas de Numeração - 24
Tabela de Conversão Gray
Decimal Binário Gray Decimal Binário Gray
0 0000 0000 8 1000 1100
1 0001 0001 9 1001 1101
2 0010 0011 10 1010 1111
3 0011 0010 11 1011 1110
4 0100 0110 12 1100 1010
5 0101 0111 13 1101 1011
6 0110 0101 14 1110 1001
7 0111 0100 15 1111 1000
ISL02 - Sistemas de Numeração - 25
Utilização do Código de Gray
„ Para situações onde outros códigos, como o 
binário, podem ocasionar resultados ambíguos ou 
errados causados pela transição de mais de um bit 
ao mesmo tempo.
„ Exemplo: Um bit de um indicador de posição em 
binário pode mudar de estado desalinhado em 
relação aos demais. Isto causa um erro de leitura.
„ No código de Gray, isso não acontece, devido ao 
fato de mudar apenas um bit de cada vez.
„ Veja o desenho na próxima página →
ISL02 - Sistemas de Numeração - 26
Utilização do Código de Gray
0 1 2 3 4 5 6 7
Lâmpadas Sensores
Erro
3 0 4
Binário Gray
Não há possibilidade de 
erro, mesmo se houver 
um desalinhamento, 
pois só muda um bit de 
cada vez
0 1 2 3 4 5 6 7
MSB
LSB
ISL02 - Sistemas de Numeração - 27
Código ASCII
„ Códigos Alfanuméricos: Necessidade dos 
computadores trabalhar com letras, símbolos de 
pontuação, caracteres especiais etc.
„ ASCII: American Standard Code for Information 
Interchange
„ Padronização de um código alfanumérico para E/S de 
dados em computadores
„ Formado por 7 bits
ISL02 - Sistemas de Numeração - 28
Tabela ASCII
Bin 010 011 100 101 110 111
Hex 2 3 4 5 6 7
0000 0 SP 0 @ P ` p
0001 1 ! 1 A Q a q
0010 2 " 2 B R b r
0011 3 # 3 C S c s
0100 4 $ 4 D T d t
0101 5 % 5 E U e u
0110 6 & 6 F V f v
0111 7 ` 7 G W g w
1000 8 ( 8 H X h x
1001 9 ) 9 I Y i y
1010 A * : J Z j z
1011 B + ; K [ k {
1100 C , < L \ l |
1101 D - = M ] m }
1110 E . > N ^ n ~
1111 F / ? O _ o
B
3
B
2
B
1
B
0
B6B5B4
ISL02 - Sistemas de Numeração - 29
Leitura da Tabela ASCII
„ A tem B6 B5 B4 = 100 e B3 B2 B1 B0 = 0001, portanto: o 
ASCII de A é:
100 0001 (41h)
„ E o a (minúsculo) é:
110 0001 (61h)
„ Espaço:
010 0000 (20h)
ISL02 - Sistemas de Numeração - 30
Bit de Paridade
„ Quando um dado digital é enviado de um equipamento 
para outro, podem ocorrer erros de transmissão.
„ Para detectar se houve erro, é adicionado um bit de 
paridade aos bits transmitidos.
„ O bit de paridade serve para detectar erros simples (a 
inversão de 1 bit apenas)
ISL02 - Sistemas de Numeração - 31
Paridade Ímpar
„ O bit de paridade é tal que o número total de bits 
“1”, incluindo o bit de paridade, é sempre ímpar.
„ Exemplo:
Caracter ASCII no. Bits 1 Bit de Paridade
c 110 0011 4 1110 0011
b 110 0010 3 0110 0010
„ O receptor verifica o número de bits 1, que deve ser 
sempre ímpar.
ISL02 - Sistemas de Numeração - 32
Exercícios
1) Fazer as conversões abaixo:
a) 1A(16) = ?(10)
b) 56(16) = ?(2)
c) 11101(2) = ?(16)
d) 456(10) = ?(16)
e) 101011(2) = ?(10)
f) 11111(2) = ?(10)
g) 101(10) = ?(2)
h) 56(10) = ?(2)
i) 15(8) = ?(10)
j) 15(8) = ?(2)
k) 6741(8) = ?(16)
l) 5C9D(16) = ?(2)
m) 5C9D(16) = ?(8)
n) 1001111011101(2) = ?(16)
o) 2763(8) = ?(2)
p) CA83(16) = ?(2)
2) Converter para binário, octal e hexadecimal o seu 
número de matrícula.
ISL02 - Sistemas de Numeração - 33
3) Represente o valor decimal 178 em binário puro e em 
BCD.
4) Qual é a vantagem de se codificar um número 
decimal em BCD, quando comparada com a 
codificação em binário puro? Qual é a desvantagem?
5) Qual é a vantagem do cógido Gray sobre o binário 
puro?
6) Um computador envia a mensagem “ola” para outro 
computador usando o código ASCII e um bit de 
paridade ímpar. Quais serão os bits enviados?
7) Escreva o seu primeiro nome em ASCII (hexadecimal)
Exercícios
Portas Lógicas
Portas lógicas e 
álgebra booleana
Prof. José Alberone M. de Paiva
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 2
Portas Lógicas
aObjetivos
`Desenhar o símbolo lógico e construir a tabela-
verdade de cada porta básica
`Entender o diagrama elétrico e escrever a 
expressão booleana de saída de cada porta
`Desenvolver a expressão booleana para uma 
saída de um circuito lógico combinacional
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 3
Histórico
aAugustus de Morgan chegou pertoda 
descoberta do elo entre a lógica e a 
matemática. 
aMas foi George Boole (1854) quem reuniu 
tudo. 
aEm 1938, Shannon aplicou a nova álgebra 
aos circuitos de chaveamento de telefonia. 
aGraças ao trabalho de Shannon, os 
engenheiros logo perceberam que a álgebra 
poderia ser usada para analisar e projetar 
circuitos de computador.
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 4
O Que São Portas
aPortas são circuitos utilizados para combinar 
níveis lógicos digitais (0 ou 1) de uma forma 
específica.
aÁlgebra Booleana: álgebra usada para 
expressar a saída em função das entradas.
aNa álgebra booleana, uma expressão pode ser 
0 ou 1. Para os circuitos digitais, isto significa 
que um sinal pode ser alto ou baixo.
aPortas básicas: NOT, OR, AND, NAND e NOR.
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 5
Operação OR (OU)
Símbolos da porta OR:
Equação: Y = A + B (Lê-se: Y é igual a A ou B)
Tabela Verdade:
Saída
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Entradas 
≥ 1AB Y
Definição: O resultado é UM quando uma ou 
mais entradas forem iguais a UM.
Obs: Pode ter 2 ou mais entradas
A
B Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 6
•Diagrama elétrico equivalente:
Operação OR (OU)
A lâmpada L acende 
quando a chave A ou
a chave B (ou ambas) 
estiverem fechadas 
(posição 1)
0
1
0
1
L
B
A
+
12V
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 7
Operação AND (E)
Símbolos da porta AND:
Equação: Y = A . B (Lê-se: Y é igual a A e B)
Tabela Verdade:
Saída
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Entradas 
&
A
B Y
Definição: O resultado é UM somente quando 
todas as entradas forem iguais a UM.
Obs: Pode ter 2 ou mais entradas
A
B Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 8
Operação AND (E)
•Diagrama elétrico equivalente:
A lâmpada L acende 
somente quando a 
chave A e a chave B 
estiverem fechadas 
(posição 1)
0
1
0
1
BA
+
12V L
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 9
Símbolos da porta NOT:Tabela Verdade:
Definição: O resultado é UM quando a entrada 
for ZERO e vice-versa.
Operação NOT (Inversão)
Equação: Y = A (Lê-se: Y é igual ao inverso de A 
ou Y é igual ao complemento de A)
Entrada Saída
A Y
0 1
1 0
A Y1
Indica inversãoObs.: Tem apenas 1 entrada
A Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 10
Múltiplas portas básicas podem ser combinadas 
para realizar circuitos mais complexos. Veja o 
exemplo abaixo:
Circuitos com várias portas
A
A+D
B
C
D
ABC
A
A+D
Y = ABC (A+D)
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 11
Exercícios
1) Faça a tabela 
verdade para o 
circuito do exemplo 
anterior. Veja ao 
lado como montar 
uma tabela para 
preencher os 
resultados.
Saída
A B C D A ABC A+D A+D Y
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Entradas Intermediárias
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 12
Exercícios
2) Encontre a equação e faça a tabela verdade para o 
circuito abaixo:
3) Desenhe o circuito e faça a tabela verdade para a 
equação: Y = (A + B)CD
A
B
C
D
Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 13
Porta NOR (NÃO OU)
Símbolos da porta NOR:Tabela Verdade:
Saída
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Entradas 
Definição: É equivalente a uma porta OR com um 
inversor ligado a sua saída.
Obs: Pode ter 2 ou mais entradas
Equação: Y = A + B
≥ 1AB Y
A
B Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 14
Porta NAND (NÃO E)
Símbolos da porta NAND:Tabela Verdade:
Saída
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Entradas 
Definição: É equivalente a uma porta AND com 
um inversor ligado a sua saída.
Obs: Pode ter 2 ou mais entradas
&
A
B Y
Equação: Y = A . B
A
B Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 15
Porta NOR e NAND
• Observe que a barra de inversão nas equações 
das portas NOR e NAND cobre toda a 
expressão. Isto significa que primeiro devemos 
encontrar o resultado da expressão e depois 
inverter o resultado.
• Se resolvêssemos na ordem contrária, isto é, 
inverter primeiro as variáveis de entrada e 
depois encontrar o resultado da operação, o 
resultado seria diferente.
• Assim: A + B ≠ A + B e A . B ≠ A . B
• Faça as tabelas verdade e verifique
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 16
Porta XOR (OU EXCLUSIVO)
Símbolos da porta XOR:Tabela Verdade:
Saída
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Entradas 
Definição: A saída somente é igual a UM quando 
apenas umas das entradas for UM.
Obs: Só pode ter 2 entradas
=1
A
B Y
Equação: Y = A ⊕ B
A
B Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 17
Porta XOR
•Diagrama elétrico equivalente:
A lâmpada L acende 
somente quando a 
chave A estiver na 
posição 0 e a chave B 
estiver na posição 1 
ou então quando a 
chave A estiver na 
posição 1 e a chave B 
estiver na posição 0.
0
1 0
1
A B
L+ 12V
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 18
Porta XNOR (NÃO OU EXCLUSIVO)
Símbolos da porta XNOR:Tabela Verdade:
Saída
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Entradas 
Definição: É equivalente a uma porta XOR com 
um inversor ligado a sua saída. 
Obs: Só pode ter 2 entradas
Equação: Y = A ⊕ B
=1
A
B Y
A
B Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 19
Portas XOR e XNOR
Podemos verificar que:
• A saída de uma porta XOR é UM sempre que 
as entradas forem diferentes entre si 
(A = 0 e B = 1 ou A = 1 e B = 0)
• A saída de uma porta XNOR é UM sempre 
que as entradas forem iguais entre si
(A = 0 e B = 0 ou A = 1 e B = 1)
• A saída de uma porta XOR é UM sempre que 
a paridade das entradas for ÍMPAR
• A saída de uma porta XNOR é UM sempre 
que a paridade das entradas for PAR
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 20
Exercícios
4) O diagrama temporal abaixo mostra como as 
entradas A, B e C do circuito indicado variam com o 
tempo. Complete o diagrama para o ponto X e para a 
saída.
X
A
B
C
A
B
C
Y
X
Y
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 21
5)Um número A é composto pelos bits A1 e A0, e um 
outro número B é composto pelos bits B1 e B0. 
Sabendo que se A = B implica que A1 = B1 e A0 = 
B0, projete um circuito cuja saída seja ZERO sempre 
que A = B.
6)Para os mesmos números A e B de dois bits cada 
um descritos acima, projete um circuito cuja saída 
seja UM sempre que a paridade de A seja IMPAR ou 
B seja igual a ZERO.
Exercícios
ISL04 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana - 22
7) Um foguete é constituído de quatro turbinas 
propulsoras a saber: A, B, C e D. Sendo que as turbinas 
A e B são do lado esquerdo e C e D são do lado direito. 
A força das turbinas A e D são de 1000N e das turbinas 
B e C são de 300N. Projetar um circuito capaz de 
identificar as situações de vôo retilíneo do foguete. 
Sabe-se que NUNCA é acionada somente uma turbina. 
E também que para o vôo ser retilíneo as forças do 
lado direito tem que ser iguais às do lado esquerdo, 
caso contrário o foguete tende a fazer curva:
a) tabela verdade;
b) implementação do circuito.
Exercícios
ISL06 - Formas Canônicas - 1
FORMAS CANÔNICAS
Padronização de Funções Booleanas
ISL06 - Formas Canônicas - 2
Objetivos
Introdução dos conceitos de soma de
produtos e produto de somas
Padronização de funções em minitermos e
maxitermos
Formas canônicas compactas
Transformação de circuitos para a utilização
de um só tipo do porta.
ISL06 - Formas Canônicas - 3
Introdução
As funções booleanas podem ser escritas de várias 
formas, mas algumas são mais convenientes para o
proposito de simplificação e implementação com 
portaslógicas. Estas formas se chamam formas
canônicas.
Existem duas formas canônicas de nosso interesse:
Soma de Produtos (minitermos)
Produto de Somas (maxitermos)
ISL06 - Formas Canônicas - 4
Tabela -> Equação
Veja a tabela verdade ao lado. Y, 
que é função das variáveis A, B 
e C, só é um para a combinação 
de entradas A=0, B=1 e C=0.
Se quisermos fazer um circuito 
que corresponda a essa tabela 
verdade utilizando uma porta 
AND, devemos inverter A e C, 
pois a saída de uma porta AND é
UM quando todas as entradas 
forem UM. A equação para esse 
circuito será: Y = A B C
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
Entradas 
ISL06 - Formas Canônicas - 5
Desta maneira, a única 
combinação das entradas que 
fará a saída da porta AND ser 
igual a UM é A=0, B=1 e C=0. 
Para qualquer outra combinação 
o resultado será ZERO.
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
Entradas 
A
B
C
0 1
1
Y=11
0
Tabela -> Equação -> Circuito
ISL06 - Formas Canônicas - 6
Tabela -> Equação
Do mesmo modo, podemos escrever equações 
usando AND que fazem a função Y ser igual a UM 
para outras combinações das entradas. Essas 
equações serão sempre uma operação AND entre 
todas as variáveis, onde a variável que é ZERO em 
em uma combinação (linha da tabela), deverá ser 
invertida na equação.
Veja o exemplo a seguir →
ISL06 - Formas Canônicas - 7
Assim, se Y for UM 
apenas para a 
combinação 6, podemos 
escrever:
Y = A B C
Chamamos de TERMO 
PRODUTO estes ANDs, 
por analogia com a 
operação de multiplicação 
da matemática.
A B C
0 0 0 0 A B C
1 0 0 1 A B C
2 0 1 0 A B C
3 0 1 1 A B C
4 1 0 0 A B C
5 1 0 1 A B C
6 1 1 0 A B C
7 1 1 1 A B C
Entradas Comb. AND
Termo produto
ISL06 - Formas Canônicas - 8
Minitermos - Definição
Este termo produto, que contém todas as variáveis 
de uma função, e com inversão apenas em 
variáveis simples, é chamado de termo mínimo, ou 
minitermo.
Uma função de n variáveis possui 2n minitermos.
Os minitermos podem ser representados pela letra 
m (minúsculo).
Cada minitermo está relacionado a uma 
combinação da tabela verdade da função. Assim, 
representamos cada minitermo pela letra m com o 
número da combinação. Veja a seguir →
ISL06 - Formas Canônicas - 9
Minitermos
A B C
0 0 0 0 A B C m0
1 0 0 1 A B C m1
2 0 1 0 A B C m2
3 0 1 1 A B C m3
4 1 0 0 A B C m4
5 1 0 1 A B C m5
6 1 1 0 A B C m6
7 1 1 1 A B C m7
Entradas Comb. Minitermo Símbolo
ISL06 - Formas Canônicas - 10
Quando uma função for UM 
para mais de uma 
combinação das entradas, 
podemos dizer que ela é UM 
para uma combinação OU
para outra (OU outra, ...)
Por exemplo, podemos
escrever a equação para a 
função da tabela ao lado 
aplicando a função OR nos 
ANDs já definidos:
Y = A B C + A B C
Saída
A B C Y
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 0
7 1 1 1 0
Entradas Comb.
Tabela -> Equação
ISL06 - Formas Canônicas - 11
Soma de Produtos - Definição
Dizemos que a equação da página anterior está na 
forma de SOMA DE PRODUTOS, onde a soma está
relacionada, por analogia, à operação OR.
Podemos escrever aquela equação de uma 
maneira compacta:
Y = m2 + m5 ou então: Y = Σ m(2, 5)
Qualquer função booleana pode ser equacionada 
na forma de soma de produtos, tomando-se os 
minitermos das combinações de variáveis que 
fazem a função igual a UM. 
ISL06 - Formas Canônicas - 12
Soma de Produtos - Forma
Canônica
Para converter uma expressão que não esteja na 
forma canônica em uma na forma canônica de soma 
de produtos, basta acrescentar os literais que não 
aparecem nos termos, baseado no axioma X+X=1, 
como se vê no exemplo:
S = A B C + A B
= A B C + A B (C + C)
= A B C + A B C + A B C
ISL06 - Formas Canônicas - 13
Soma de Produtos - Circuito
O circuito de uma equação escrita na forma de soma 
de produtos pode ser construído usando portas AND 
e portas OR, diretamente da equação.
Veja abaixo o circuito para: Y = A B C + A B C
C
B
A
Y
A
B
A B C
A B C
C
ISL06 - Formas Canônicas - 14
Soma de Produtos - Circuito 
NAND/NAND
Uma equação escrita na forma de soma de produtos 
pode ser também montado utilizando apenas portas 
NAND, aplicando o teorema de DeMorgan:
Y = A B C + A B C = (A B C) (A B C)
O uso de um só tipo de porta facilita a montagem.
C
B
A
Y
A
B A B C
C
A B C
ISL06 - Formas Canônicas - 15
Soma de Produtos - Exercícios
1) Expressar a função abaixo na forma de minitermos
e desenhar o circuito representado pela equação:
X = f(A, B, C) = Σ m(3,6,7)
2) Coloque a expressão abaixo na sua forma
canônica:
Y = ABC + AB
ISL06 - Formas Canônicas - 16
Outra forma de equação
Quando escrevemos a equação de uma função na 
forma de soma de produtos, esta equação terá
tantos termos produto quantos forem as 
combinações de entrada que fazem a função igual a 
UM.
Por exemplo, se uma função de três variáveis 
possui 6 combinações de entradas que fazem a 
função ser igual a UM, sua equação terá seis termos 
produtos.
Nesse exemplo, podemos diminuir o número de 
termos escrevendo a equação para o inverso da 
função, e depois aplicar o teorema de DeMorgan. →
ISL06 - Formas Canônicas - 17
Y = A B C + A B C
Y = A B C + A B C
Y = (A B C) (A B C)
Y = (A+B+C) (A+B+C)
A B C Y Y
0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0
2 0 1 0 0 1
3 0 1 1 1 0
4 1 0 0 1 0
5 1 0 1 1 0
6 1 1 0 0 1
7 1 1 1 1 0
Entradas Comb. Saída
Outra forma de equação
ISL06 - Formas Canônicas - 18
Produto de Somas - Definição 
A equação da página anterior está na forma de 
PRODUTO DE SOMAS, onde existem dois termos 
soma (OR) e um produto (AND).
Cada um desses termos soma, que contém todas as 
variáveis de uma função, e com inversão apenas em 
variáveis simples, é chamado de termo máximo, ou 
MAXITERMO.
Uma função de n variáveis possui 2n maxitermos, 
um para cada combinação de entradas.
Os maxitermos podem ser representados pela letra 
M (maiúsculo).
ISL06 - Formas Canônicas - 19
A B C
0 0 0 0 A+B+C M0
1 0 0 1 A+B+C M1
2 0 1 0 A+B+C M2
3 0 1 1 A+B+C M3
4 1 0 0 A+B+C M4
5 1 0 1 A+B+C M5
6 1 1 0 A+B+C M6
7 1 1 1 A+B+C M7
Entradas Comb. Maxitermo Símbolo A variável que 
é UM na 
combinação de 
entradas deve 
ser invertida 
no maxitermo
(Atenção: É o 
contrário do 
minitermo)
Maxitermos
ISL06 - Formas Canônicas - 20
• Podemos escrever diretamente a equação de uma 
função na forma de produto de somas, fazendo o 
produto dos maxitermos correspondentes às 
combinações de entrada que fazem a função igual 
a ZERO. Veja o exemplo da página 17. O termo
(A + B + C) corresponde a combinação 2 e o termo
(A + B + C) corresponde a combinação 6.
• Para ambos os casos a função Y é igual a ZERO.
Produto de Somas
ISL06 - Formas Canônicas - 21
• Na tabela ao lado:
Y = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)
Essa equação pode ser escrita 
em uma forma compactada:
Y = M0 . M5 . M6
ou então usando produtório:
Y = Π (0, 5, 6)
Produto de Somas - Exemplo
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Entradas 
ISL06 - Formas Canônicas - 22
Produto de Somas - Circuito
O circuito de uma equação escrita na forma de 
produto de somas pode ser construído usando 
portas OR e portas AND, diretamente da equação.
Veja abaixo o circuito para: Y = (A+B+C) (A+B+C)
A+B+C
C
B
A
Y
A
B A+B+C
ISL06 - Formas Canônicas - 23
Produto de Somas - NOR/NOR
Podemos aplicar o teorema de DeMorgan em uma 
equação escrita na forma de produto de somas de 
maneira a usar apenas portas NOR no seu circuito:
Y = (A+B+C) (A+B+C) = (A+B+C)+ (A+B+C)
C
B
A
Y
A
B A+B+C
A+B+C
ISL06 - Formas Canônicas - 24
Exercícios
3) Escreva as equações para a 
tabela ao lado utilizando 
maxitermos (produto de 
somas) e minitermos (soma 
de produtos). Expresse essas 
funções usando produtório e 
somatório. Desenhe os 
circuitos usando apenas 
portas NOR e apenas portas 
NAND. Compare os dois 
circuitos. São equivalentes?
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Entradas 
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 1
Latches e Flip-Flops
•Latches SR
•Flip-flop tipos D, JK e T
Francisco Garcia
Thelma Rodrigues
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 2
Introdução
• Os circuitos lógicos considerados até o momento 
eram todos circuitos combinacionais, do tipo em 
que o nível lógico na saída em qualquer instante de 
tempo depende única e exclusivamente dos níveis 
lógicos presentes na entrada, no instante de tempo 
considerado. Qualquer nível lógico que tenha 
aparecido anteriormente na entrada do circuito não 
terá qualquer influência na saída atual, pelo fato de 
os circuitos combinacionais não possuirem
memória. Os sistemas digitais são construídos 
usando tanto circuitos combinacionais quanto 
dispositivos de memória (circuitos sequenciais).
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 3
Latches
• Os dispositivos digitais que possuem capacidade de 
memória são feitos a partir das mesmas portas 
lógicas estudadas atá agora. Embora por si só essas 
portas lógicas não possuam capacidade de 
armazenamento, várias portas podem ser 
conectadas de modo a permitir que a informação 
seja armazenada.
• A figura ao lado mostra um 
elemento de memória, com 
duas saídas Q e Q, sendo 
uma o inverso da outra.
Q
Q
Entradas Saídas
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 4
Latches SR
• Um elemento de memória 
muito simples pode ser 
realizado com duas portas 
NAND, conforme mostrado 
ao lado. Este circuito é
chamado LATCH.
QR
S
Q
QS
R Q
SET RESET Q Q
0 0 1 1 Não usado
0 1 1 0 Ativa a saída
1 0 0 1 Desativa a saída
1 1 Qa Qa Memória
Entradas Saídas
Ação
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 5
Latches SR
• O LATCH pode ter uma entrada de habilitação:
Enable SET RESET Q Q
0 X X Qa Qa
1 0 0 Qa Qa
1 0 1 0 1 Desativa a saída
1 1 0 1 0 Ativa a saída
1 1 1 1 1 Não usado
Saídas
Ação
Entradas
Memória
QS
R Q
E
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 6
Latches tipo D
• O LATCH pode, ao invés das entradas de SET e 
RESET, ter apenas uma entrada, chamada entrada 
de DADO, além da entrada de habilitação:
Enable D Q Q
0 X Qa Qa Memória
1 0 0 1
1 1 1 0
Saídas
Ação
Entradas
Transparente
QD
E Q
E
D
Q
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 7
Flip-Flop’s
• Como foi visto, um LATCH pode funcionar como 
um elemento de memória. A entrada de habilitação 
do latch é sensível ao nível (alto ou baixo). Isto faz 
com que, no latch tipo D, haja um estado 
transparente, onde a saída é igual à entrada.
• Em muitas aplicações, a transparência é um 
inconveniente.
• Para evitar a transparência, pode ser usado um 
circuito detetor de transição (também chamado 
detetor de borda). Este circuito habilita o latch
apenas pelo tempo suficiente para que haja uma 
mudança no estado da saída. O circuito passa 
então a ser sensível a borda, ao invés de ao nível.
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 8
Flip-Flop’s
• Veja abaixo o diagrama temporal de um circuito 
detetor de borda. Este circuito gera um pulso de 
pequena duração (alguns nanosegundos), quando 
o sinal de entrada muda do nível lógico 0 para o 
nível 1 (borda de subida ou positiva). Existe 
também o detetor de borda de descida ou negativa.
Entrada
Circuito 
detetor 
de borda
Entrada Saída
Saída
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 9
Flip-Flop’s
• Quando usamos um circuito detetor de borda na 
entrada de habilitação de um latch, não existe mais 
a transparência, porque o circuito vai memorizar o 
estado da entrada no instante da transição.
• O circuito de memória sensível à transição de um 
sinal é chamado de FLIP-FLOP.
• A entrada sensível à borda de um FLIP-FLOP tem o 
nome genérico de CLOCK. Para indicar o fato da 
entrada ser sensível à borda, ela é desenhada com 
um triângulo no símbolo do circuito. Um pequeno 
círculo de inversão indica entrada sensível à borda 
de descida.
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 10
Flip-Flop’s
• Existem outros circuitos, além do detetor de borda, 
que permitem que a entrada de clock de um flip-flop 
seja sensível à transição de um sinal (por exemplo 
o flip-flop mestre-escravo).
• No entanto, o nosso objetivo é entender o 
funcionamento dos flip-flops como um circuito 
capaz de armazenar dados, sendo que não estamos 
interessados no seu circuito interno.
• Existem vários tipos diferentes de flip-flops. A 
seguir veremos as suas características de 
funcionamento.
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 11
Flip-Flop tipo D (DATA)
Clock D Q Q
0 X Qa Qa
0 0 1
1 1 0
1 X Qa Qa
X Qa Qa
SaídasEntradasQD
Q
D
CLK
Q
Indica 
entrada de 
clock
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 12
Flip-Flop tipo JK
Clock J K Q Q
0 X X Qa Qa
0 0 Qa Qa
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 Qa Qa
1 X X Qa Qa
X X Qa Qa
SaídasEntradas
Inverte 
as saídas
QJ
QK
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 13
Flip-Flop tipo T (TOGGLE)
Clock T Q Q
0 X Qa Qa
0 Qa Qa
1 Qa Qa
1 X Qa Qa
X Qa Qa
SaídasEntradasQT
Q
T
CLK
Q
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 14
• Quaisquer um dos tipos de flip-flop’s apreentados pode 
ter entradas que fazem a saída ir para o nível lógico 1 
ou 0, independentemente da transição do clock.
• Estas entradas são chamadas de assíncronas, por não 
dependerem do clock.
• A entrada de PRESET faz com que a saída vá para UM.
• A entrada de CLEAR faz com que a saída vá para 
ZERO.
• Estas entradas podem ser ativas em nível alto ou nível 
baixo, e não devem ser ativadas simultaneamente.
Entradas assíncronas
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 15
Entradas assíncronas
PR CL Q Q
0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1
Não usado
Func. Normal
QD
Q
PR
CL
QT
Q
PR
CL
QJ
Q
PR
CL
K
Indica ativo 
em zero
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 16
Exercícios
1) Complete os diagramas temporais abaixo: 
QS
R Q
A
B D
C
A
B
C
D
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 17
Exercícios
2) Complete os diagramas temporais abaixo: 
D
QD
Q
PR
CL
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
F
ISL10 - Latches e Flip-Flops - 18
Exercícios
3) Complete os diagramas temporais abaixo: 
D
QJ
Q
PR
CL
A
B
C
E
F
K
G
A
B
C
D
E
F
G
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 1
MAPAS DE KARNAUGHMAPAS DE KARNAUGH
Técnicas de simplificação
Prof. José Alberone M. Paiva
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 2
„ Entender a construção do Mapa de Karnaugh e sua 
lógica de simplificação a partir do código de Gray e 
do axioma
„ Simplificar expressôes Booleanas usando o Mapa de 
Karnaugh
„ Projetar e construir um circuito lógico usando o Mapa 
de Karnaugh para implementar uma determinada 
tabela-verdade
xx +
ObjetivosObjetivos
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 3
Simplificação por Expressões Simplificação por Expressões BooleanasBooleanas
„ Observe a lógica de 
simplificação do 
axioma
e a lógica do código 
de Gray, mostrada 
na tabela verdade. 
„ As setas mostram 
termos em que muda 
o estado de apenas 
uma variável.
1XX =+
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
Entradas Minitermos
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 4
Simplificação por Expressões Simplificação por Expressões BooleanasBooleanas
„ São chamados adjacentes, os minitermosque variam 
apenas uma variável entre si. Exemplo:
„ Portanto, formando um conjunto de dois minitermos
ou maxitermos adjacentes, pode-se eliminar a variável 
que muda.
„ Exemplo: 
CB A CBA +
( )
bcZ
aabcZ
abcbcaZ
=
+=
+=
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 5
Simplificação por Expressões Simplificação por Expressões BooleanasBooleanas
„ Exemplo: 
„ Observe que o minitermo abc foi duplicado para 
permitir a simplificação, usando-se o axioma:
A + A = A.
) )((
acbcZ
abccbaabcbcaZ
abcabccbabcaZ
abccbabcaZ
+=
+++=
+++=
++=
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 6
„ Formando agora um conjunto com quatro minitermos 
ou maxitermos adjacentes, obtém-se a eliminação de 
duas variáveis, conforme o exemplo abaixo:
„ Exemplo: 
) )((
( ) ( )
( ) bccbbccbZ
aabcaacbZ
bcaabccabcbaZ
abccabbcacbaZ
=+=+=
+++=
+++=
+++=
Simplificação por Expressões Simplificação por Expressões BooleanasBooleanas
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 7
ConclusãoConclusão
„ Quanto mais complexa é a expressão booleana a ser 
implementada, mais complexo é o circuito lógico 
obtido. Portanto, a simplificação da expressão
booleana antes da implementação em portas lógicas 
é fundamental para reduzir os custos de 
implementação. Porém, a simplificação algébrica é
muito complexa e, freqüentemente, por aplicação
inadequada, não conduz a uma simplificação 
máxima.
„„ Portanto, um outro mPortanto, um outro méétodo de simplificatodo de simplificaçção ão éé
inserido: inserido: o mapa de o mapa de KarnaughKarnaugh..
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 8
Mapa de Mapa de KarnaughKarnaugh
„ O princípio da simplificação por mapas de Karnaugh
é o mesmo utilizado nas simplificações algébricas 
usando os axiomas booleanos. Dois minitermos que 
possuem apenas uma variável diferente (uma negada 
e a outra não) podem ser simplificados.
„ O mapa é uma matriz onde as linhas e as colunas 
representam o código binário de Gray.
„ Cada posição do mapa de Karnaugh é equivalente a 
uma posição da tabela verdade
‹ Tabela→ valores da função em uma coluna
‹Mapa → valores da função em um plano
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 9
Mapa de Mapa de KarnaughKarnaugh
„ O exemplo abaixo mostra mapas de Karnaugh para 
três e quatro variáveis. As linhas e as colunas 
representam o código binário de Gray.
10110100
10
11
01
00
AB
CD10110100
1
0
AB
C
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 10
Preenchendo o Mapa de Preenchendo o Mapa de KarnaughKarnaugh
0
1
10
1
0
11
0
0
01
1
0
00
1
0
AB
C
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Entradas • Cada valor da função na tabela 
deve ser transferido para a 
posição correspondente no mapa:
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 11
AlgorítmoAlgorítmo do Mapa de do Mapa de KarnaughKarnaugh
„ Identificar os “1s” ou “0s” que não são adjacentes a 
nenhum outro, também chamados primos 
implicantes. Marcá-los.
„ Identificar os “1s” ou “0s” que são adjacentes de 
apenas um outro, e agrupá-los com o maior número 
de termos.
„ Todo termo deve ser usado pelo menos uma vez.
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 12
AlgorítmoAlgorítmo do Mapa de do Mapa de KarnaughKarnaugh
„ Formar os maiores grupos possíveis de “1s” ou “0s”
adjacentes e marcá-los. O número de termos em um 
grupo deve ser potência de 2 (2N) : 
‹ octetos: oito “1s” ou “0s” adjacentes 
‹ quadras: quatro “1s” ou “0s” adjacentes 
‹ pares: dois “1s” ou “0s” adjacentes
„ O mapa deve conter o menor número de grupos 
possível.
„ A condição de existência de um grupo é que pelo 
menos um termo só pertença a ele.
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 13
ExemploExemplo
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Entradas Simplificando algebricamente:
ABY
C)CAB(Y
ABCCABY
=
+=
+=
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 14
ExemploExemplo
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Entradas Simplificando pelo mapa:
ABY =
0
0
10
1
1
11
0
0
01
0
0
00
1
0
AB
C
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 15
Exemplos com 3 variáveisExemplos com 3 variáveis
CAY =
0
0
10
0
0
11
0
1
01
0
1
00
1
0
AB
C
BACAY +=
CBAY += CABY +=
0
0
10
0
0
11
1
1
01
0
1
00
1
0
AB
C
1
1
10
1
0
11
0
0
01
1
1
00
1
0
AB
C
0
0
10
0
1
11
1
1
01
1
1
00
1
0
AB
C
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 16
Exemplos com 4 variáveisExemplos com 4 variáveis
DCY =CBAY =
0
0
0
0
10
0
0
1
1
11
0
0
0
0
01
0
0
0
0
00
10
11
01
00
AB
CD
0
0
1
0
10
0
0
1
0
11
0
0
1
0
01
0
0
1
0
00
10
11
01
00
AB
CD
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 17
Exemplos com 4 variáveisExemplos com 4 variáveis
CAY =CBAY +=
0
0
0
0
10
0
0
1
1
11
1
1
1
1
01
1
1
1
1
00
10
11
01
00
AB
CD
0
0
0
0
10
0
0
0
0
11
0
0
1
1
01
0
0
1
1
00
10
11
01
00
AB
CD
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 18
Exemplos com 4 variáveisExemplos com 4 variáveis
( ) ( )DACAY ++=( ) ( )( )DCBCABAY ++++=
0
1
1
0
10
0
1
1
0
11
1
1
0
0
01
1
1
0
0
00
10
11
01
00
AB
CD00
1
1
1
1
10
1
1
0
1
11
0
0
0
1
01
0
0
0
0
10
11
01
00
AB
CD
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 19
VariVariáávelvel DonDon´´t Caret Care
„ O conceito don’t care é introduzido porque 
nem todas as combinações das variáveis 
binárias de entrada correspondem a 
situações reais e possíveis.
„ Na tabela verdade e no mapa de Karnaugh, 
marcamos essas combinações com um X.
„ Como resultado de uma função, esse X pode 
ser usado com UM ou como ZERO, de acordo 
com o necessário para a maior simplificação.
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 20
VariVariáávelvel DonDon´´t Care t Care -- Um Um exemploexemplo
„ Projetar um alarme para tocar quando o computador
estiver ligado mas um de seus ventiladores (cooler)
estiver quebrado
‹ A = Computador ligado/desligado
‹ B = Ventilador da Fonte
‹ C = Ventilador da CPU
Y = AB + AC
Saída
A B C Y
0 X X 0
1 0 0 1
1 1 X 0
1 X 1 1
Entradas 
1
0
10
1
1
11
0
0
01
0
0
00
1
0
AB
C
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 21
DonDon´´t care em t care em umauma funfunççãoão
„ Um elevador possui três 
sensores, A, B e C, para 
indicar a sua posição no 1o, 
2o e 3o andar, 
respectivamente. Projetar um
circuito para converter a sua
posição para um número 
binário, com dois bits P1 e 
P0. O resultado para posições 
intermediárias ou inexistentes 
não interessa.
„ Veja os mapas a seguir.
A B C P1 P0
0 0 0 X X
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 X X
1 0 0 1 1
1 0 1 X X
1 1 0 X X
1 1 1 X X
Entradas Saídas
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 22
DonDon´´t care em t care em umauma funfunççãoão
A B C P1 P0
0 0 0 X X
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 X X
1 0 0 1 1
1 0 1 X X
1 1 0 X X
1 1 1 X X
Entradas Saídas
X
1
10
X
X
11
X
0
01
1
X
00
1
0
AB
C
X
1
10
X
X
11
X
1
01
0
X
00
1
0
AB
C
P0
P1
BP0 =
CP1=
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 23
1) Qual é a equação do mapa de Karnaugh abaixo:
a) b)
00
1
0
0
1
10
0
1
1
0
11
0
1
1
0
01
1
0
0
1
10
11
01
00
AB
CD 00
0
10
0
10
0
1
1
1
11
1
1
1
0
01
0
0
1
0
10
11
01
00
AB
CD
ExercExercíícioscios
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 24
2) Projetar um circuito para 
implementar a tabela-
verdade ao lado, 
usando apenas NAND 
de 2 entradas:
a) Usando axiomas
b) Usando mapa de 
Karnaugh
Saída
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Entradas 
ExercExercíícioscios
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 25
2) Projetar um circuito para 
implementar a tabela-
verdade ao lado, 
usando apenas NOR de 
2 entradas:
a) Usando axiomas
b) Usando mapa de 
Karnaugh
Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
Entradas 
ExercExercíícioscios
ISL07 - Mapas de Karnaugh - 26
Exercícios para trazer na próxima aula
4. Ache a equação simplificada de: 
Z = f(A,B,C,D) = ∑ (0,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15)
5. Um sistema lógico de um aeroporto deve tocar uma 
campainha para que seja anunciado cada vôo. Sabe-se que sai 
um vôo doméstico de 3 em 3 horas a partir das 3:00h; e um 
vôo internacional de 4 em 4 horas a partir de 2:00h. O sistema 
lógico dispõe de um relógio digital de 12 horas que marca as 
horas em binário. Projetar o sistema lógico. O projeto deve 
ser o mais simplificado possível e ter:
a) Tabela verdade
b) Simplificação usando mapa de Karnaugh
c) Implementação usando portas NAND.
Operações Matemáticas
Prof. Francisco Garcia
Profa. Thelma Rodrigues
Operações Matemáticas - 2
Operações matemáticas
Objetivos
• Fazer soma e subtração de números binários;
• Representar números binários em complemento de 1 e 
complemento de 2;
• Representar números binários com sinal utilizando 
complemento de 2;
• Determinar os limites máximos positivo e negativo 
representados por uma palavra digital.
Operações Matemáticas - 3
Adição binária
Na adição de dois números de 1 bit cada, temos 
três resultados possíveis:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 = zero e vai um (carry)
Operações Matemáticas - 4
Na adição de dois números com vários bits, o 
“vai um” de uma posição é somado à posição 
seguinte. Assim, temos a soma de três bits:
0 + 0 + 0 = 0
0 + 0 + 1 = 0 + 1 + 0 = 1 + 0 + 0 = 1
0 + 1 + 1 = 1 + 0 + 1 = 1 + 1 + 0 = 10
1 + 1 + 1 = 11 = um e vai um (carry)
Adição binária
Operações Matemáticas - 5
Exemplo 1001 (9d) + 1111 (15d) (passo-a-passo):
1001
+ 1111
10
1
1001
+ 1111
100
1
1001
+ 1111
1000
1
1001
+ 1111
11000 (24d)
Adição binária
Operações Matemáticas - 6
Adição hexadecimal
Exemplo F83B + 01C7 (passo-a-passo):
F83B
+ 01C7
12
1
F83B
+ 01C7
102
1
F83B
+ 01C7
0A02
0
F83B
+ 01C7
0FA02
Operações Matemáticas - 7
Números com sinal
Sistema sinal-magnitude: bit de sinal mais os bits 
de magnitude representando o verdadeiro valor 
binário.
= + 52
= – 52
Magnitude
0 0 01 1 01 0
Bit de Sinal +
1 0 01 1 01 0
Bit de Sinal -
Operações Matemáticas - 8
Calculadoras e computadores não utilizam o 
sistema sinal-magnitude que é direto devido à 
complexidade de implementação.
Calculadoras e computadores utilizam o 
sistema de complemento de 2 para 
representação de números binários com sinal.
Números com sinal
Antes de apresentarmos o sistema, devemos ver 
como são formados os complementos de 1 e 2.
Operações Matemáticas - 9
Representação obtida substituindo-se cada 0 por 1 e cada 
1 por 0.
Número 
binário em 
complemento 
de 1
Número 
binário 
original
Complemento de 1
1 0 01 1 01 0
0 1 10 0 10 1
Obs.: Para fazermos o complemento de um número, 
precisamos saber quantos bits tem a sua palavra, e 
inverter todos os bits, inclusive os zeros à esquerda.
Operações Matemáticas - 10
Obtido tomando-se o complemento de 1 e adicionando-se 
1 a esse número complementado.
Complemento de 2
Número 
binário em 
complemento 
de 1
Número 
binário 
original
0 0 01 1 01 0
1 1 10 0 10 1
Número 
binário em 
complemento 
de 1 + 1
1 1 10 0 01 0
Operações Matemáticas - 11
Representação de sinais em 
complemento de 2
♦Número positivo: magnitude na forma binária 
direta; bit de sinal 0
= + 520 0 01 1 01 0
♦Número negativo: magnitude em complemento 
de 2; bit de sinal 1
1 1 10 0 01 0 = – 52
Operações Matemáticas - 12
Representação de sinais em 
complemento de 2
♦Valores decimais para números binários com 
oito bits = um byte.
0000 0000 b = 0d0000 0001 b = 1d......0111 1111 b = 127d1000 0000 b = 128d
......1111 1110 b = 254d1111 1111 b = 255d
0000 0000 b = 0d0000 0001 b = 1d......0111 1111 b = 127d1000 0000 b = -128d
......1111 1110 b = -2d1111 1111 b = -1d
Sem sinal (0 a 255d) Com sinal (-128d a 127d)
Operações Matemáticas - 13
♦Caso I: Dois números positivos
+ 910
+ 410
Observe que todas as parcelas devem ser escritas com o 
mesmo número de bits.
( 1a parcela )
( 2a parcela )
+1310 ( soma )
1 0 0 10
0 1 0 00
1 1 0 10
Bits de sinal
Adição no sistema de C2
Operações Matemáticas - 14
♦Caso II: Um no positivo e outro menor e negativo
+ 910
– 410
( 1a parcela )
( 2a parcela )
+510 ( soma )
1 0 0 10
1 1 0 01
0 1 0 10
Esse carry é desconsiderado
Bits de sinal
1
Adição no sistema de C2
Operações Matemáticas - 15
♦Caso III: Um no positivo e outro maior e negativo
– 910
+ 410
( 1a parcela )
( 2a parcela )
– 510 ( soma )
Bits de sinal
0 1 1 11
0 1 0 00
1 0 1 11
Bit de sinal negativo
Adição no sistema de C2
Operações Matemáticas - 16
♦Caso IV: Dois nos negativos
– 910 ( 1
a parcela )
( 2a parcela )
– 1310 ( soma )
0 1 1 11
0 0 1 11
Bit de sinal negativo
– 410 1 1 0 01
Esse carry é desconsiderado
1
Bits de sinal
Adição no sistema de C2
Operações Matemáticas - 17
♦Caso V: Dois nos de mesma magnitude mas com 
sinais contrários
– 910 ( 1
a parcela )
( 2a parcela )
010 ( soma )
0 1 1 11
0 0 0 00
+ 910 1 0 0 10
Esse carry é desconsiderado
1
Bits de sinal
Adição no sistema de C2
Operações Matemáticas - 18
• Para subtrair um número binário (o subtraendo) 
de um outro número binário (o minuendo) 
usamos o seguinte procedimento:
1) Negue o subtraendo (complemento de 2)
2) Adicione o resultado obtido no passo 1 ao 
minuendo.
• O resultado obtido será a diferença entre o 
subtraendo e o minuendo.
Subtração no sistema de C2
Operações Matemáticas - 19
“Overflow” aritmético
♦Quando o resultado ultrapassa o no de bits da 
palavra 
+ 910 ( 1
a parcela )
( 2a parcela )
– 1510 ( soma )
1 0 0 10
0 0 0 11
+ 810 1 0 0 00
Magnitude incorreta
Bits de sinal
Sinal incorreto
Operações Matemáticas - 20
1)Adicione os seguintes números decimais, em 
binário (passo-a-passo), usando 5 bits:
a) +7 e -12
b) +4 e +8
c) -3 e -11
d) +10 e + 11
2)Qual é o maior número positivo e o maior número 
negativo que se pode representar com um 
número binário de 7 bits (ao todo)?
3)Qual é o maior número positivo e o maior número 
negativo que se pode representar com um 
número hexadecimal de 4 dígitos?
Exercícios
Teoremas da Álgebra Booleana
Prof. José Alberone Menezes de Paiva
ISL05 - Teoremas da Álgebra Booleana - 2
Álgebra Booleana
• Objetivos
• Desenvolver a expressão booleana para uma saída 
de um circuito lógico combinacional
• Usar a álgebra boolena para simplificar expressões
• Usar os teoreams DeMorgan para mudar a forma de 
expressão booleana
• Utilizar as portas lógicas universais (NAND ou 
NOR) para implementar um circuito representado 
por uma expressão booleana.
ISL05 - Teoremas da Álgebra