derivada 2

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Derivada: Func¸a˜o Derivada, Tabela de Derivadas e Regras de Derivac¸a˜o
Objetivo: Esta sessa˜o dedica-se a utilizar a definic¸a˜o da derivada para montar uma Tabela de Derivadas
das func¸o˜es elementares, em seguida,estabelcer Regras de Derivac¸a˜o e expor alguns exemplos de como
utilizar tudo o que foi discutido.
Func¸a˜o Derivada
Para cada x ∈ Dom(f), podemos associar a Func¸a˜o Derivada f ′(x), dada por
x ∈ Dom(f) 7−→ f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, caso o limite exista
Tabela de Derivadas
• f(x) = xn ⇒ f ′(x) = nxn−1 , ou seja, (xn)′ = nxn−1
Por exemplo,
• (x4)′ = 4x4−1 = 4x3
• (x3/2)′ = 3
2
x
3
2
−1 =
3
2
x
3
2
− 2
2 =
3
2
x
1
2 =
3
2
√
x =
3
√
x
2
• (x5/7)′ = 5
7
x
5
7
−1 =
5
7
x
5
7
− 7
7 =
5
7
x
−2
7 =
5
7
1
x
2
7
=
5
7
1
7
√
x2
=
5
7
7
√
x2
• (x−5)′ = (−5)x−5−1 = −5x−6 = −5 1
x6
= − 5
x6
• f(x) = sen(x)⇒ f ′(x) = cos(x) , ou seja, [sen(x)]′ = cos(x)
• f(x) = cos(x)⇒ f ′(x) = −sen(x) , ou seja, [cos(x)]′ = −sen(x)
1
Demonstrac¸a˜o:
Temos que,
f ′(x)
Por definic¸a˜o
====== lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f(x)=sen(x)
===== lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
sen(x+h)=sen(x) cos(h)+sen(h) cos(x)
================
= lim
h→0
sen(x) cos(h) + sen(h) cos(x)− sen(x)
h
Colocar sen(x) em evideˆncia
============
= lim
h→0
{
sen(x)[cos(h)− 1] + cos(x)sen(h)
h
}
Reescrever a frac¸a˜o
======== lim
h→0
{
sen(x)
[
cos(h)− 1
h
]
+ cos(x)
[
sen(h)
h
]}
=
sen(x) e cos(x) na˜o dependem de h
===============
{
sen(x)
[
lim
h→0
(
cos(h)− 1
h
)]
+ cos(x)
[
lim
h→0
(
sen(h)
h
)]}
(∗)
=
= sen(x)(0) + cos(x)(1) = cos(x)
(∗)Explicac¸a˜o
Temos que,
lim
h→0
[
cos(h)− 1
h
]
Multp. e dividir por cos(h)+1
============= lim
h→0
[
cos(h)− 1
h
] [
cos(h) + 1
cos(h) + 1
]
=
= lim
h→0
[
(cos(h)− 1)(cos(h) + 1)
h
] [
1
cos(h) + 1
]
= lim
h→0
[
cos2(h)− 1
h
] [
1
cos(h) + 1
]
=
= lim
h→0
[−(1− cos2(h))
h
] [
1
cos(h) + 1
]
sen2(h)=1−cos2(h)
========= lim
h→0
[−sen2(h)
h
] [
1
cos(h) + 1
]
=
= − lim
h→0
[
sen2(h)
h
] [
1
cos(h) + 1
]
= − lim
h→0
[
sen(h)
h
] [
sen(h)
cos(h) + 1
]
= − lim
h→0
[
sen(h)
h
]
lim
h→0
[
sen(h)
cos(h) + 1
]
=
Limite Fundamental
========= −[1]
[
sen(0)
cos(0) + 1
]
= (−1)
(
0
2
)
= 0
• O caso [cos(x)]′ = −sen(x) fica como exerc´ıcio para voceˆs.
• f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex , ou seja, [ex]′ = ex
• f(x) = ln(x)⇒ f ′(x) = 1
x
, ou seja, [ln(x)]′ =
1
x
2
Demonstrac¸a˜o:
Temos que,
f ′(x)
Por definic¸a˜o
====== lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f(x)=ex
===== lim
h→0
ex+h − ex
h
ex+h=ex eh
========= lim
h→0
ex eh − ex
h
=
Colocar ex em evideˆncia
=========== lim
h→0
ex
[
eh − 1
h
]
ex na˜o depende de h
========== ex lim
h→0
[
eh − 1
h
]
(∗)
= ex[1] = ex
(∗)Explicac¸a˜o
Temos que,
lim
h→0
[
eh − 1
h
]
= 1 (Este e´ o outro Limite Findamental, que sera´ discutido futuramente)
O caso da func¸a˜o ln sera´ discutida futuramente, quando abordarmos a derivada da func¸a˜o inversa.
Regras de Derivac¸a˜o
Em geral toda func¸a˜o f e´ soma, produto, quociente ou composic¸a˜o de func¸o˜es elementares, como as que
foram discutidas anteriormente. Enta˜o, esta sessa˜o dedica-se a determinar algumas regras de derivac¸a˜o
para soma, produto, quociente e composic¸a˜o de func¸o˜es, como ilustram os resultados a seguir.
Teorema (Propriedades Operato´rias da Derivada e Regra da Cadeia)
Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis, ou seja, existem f ′(x) e g′(x), para todo x. Enta˜o:
(a) (Regra da Soma) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Em palavras: Derivada da Soma = Soma das Derivadas
(b) (Regra da Produto) (f.g)′(x) = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x).
(c) (Regra da Quociente)
(
f
g
)′
(x) =
f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)
(g(x))2
.
(d) (Regra da Cadeia) (f ◦ g)′ (x) = [f(g(x))]′(x) = f ′(g(x)).g′(x).
Os exemplos/exerc´ıcios a seguir visam colocar em pra´tica os resultados anteriores, e pode ser que seja
necessa´rio utilizar a definic¸a˜o de derivada para solucionar alguns destes exerc´ıcios.
Exerc´ıcio 1 Seja f(x) = k (f e´ func¸a˜o contante, igaul a k). Mostre que f ′(x) = 0.
Em palavras: Derivada de constante e´ igual a zero.
Soluc¸a˜o:
3
Para solucionar este exerc´ıcio e´ necessa´rio utilizar a definic¸a˜o de derivada.
Temos que,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f(x)=k,∀x
====== lim
h→0
k − k
h
k−k e´ um zero absoluto
=========== lim
h→0
0
h
= 0
Exerc´ıcio 2 Seja f(x) func¸a˜o diferencia´vel (existe f ′(x), ∀x ∈ Dom(f)) e k constante. Mostre que
[k.f ]′(x) = k.f ′(x).
Em palavras: Constante vai para fora na derivada.
Soluc¸a˜o:
Temos que,
[k.f ]′(x)
Item (b) do Teorema anterior
============= [k]′.f(x) + k.f ′(x)
Pelo exerc. anterior [k]′=0
============ 0.f(x) + k.f ′(x) = k.f ′(x)
Exerc´ıcio 3 Calcule a derivada do polinoˆmio p(x) = a0 + a1 x+ a2 x
2 + a3 x
3 + . . . + an x
n.
Soluc¸a˜o:
Temos que,
p′(x) =
[
a0 + a1 x+ a2 x
2 + a3 x
3 + . . . + an x
n
]′ Item (a) Teorema - Regra da Soma
================
= [a0]
′ + [a1 x]
′ +
[
a2 x
2
]′
+
[
a3 x
3
]′
+ . . . + [an x
n]′ Exerc. anterior=======
= [a0]
′ + a1
[
x1
]′
+ a2
[
x2
]′
+ a3
[
x3
]′
+ . . . + an [x
n]′
Tabela de derivadas - item (1)
=============
= [a0]
′ + a1(1)
[
x(1−1)
]
+ a2(2)
[
x(2−1)
]
+ a3(3)
[
x(3−1)
]
+ . . . + an(n)
[
x(n−1)
] Derivada de const. = 0
==========
= (0) + a1x
0 + 2a2x
1 + 3a3x
2 + . . . + nanx
n−1 x0=1===
= a1 + 2a2x+ 3a3x
2 + . . . + nanx
n−1
Portanto, p′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + . . . + nanxn−1
4
Exerc´ıcio 4 Calcule a derivada da func¸a˜o tg(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que,
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
⇒ tg′(x) =
[
sen(x)
cos(x)
]′
Item (c) Teorema - Regra da Quociente
==================
=
[sen(x)]′. cos(x)− sen(x).[cos(x)]′
[cos(x)]2
Tabela de Derivadas - Item (2)
=============
=
cos(x). cos(x)− sen(x).[−sen(x)]
[cos(x)]2
=
cos2(x) + sen2(x)
[cos(x)]2
sen2(x)+cos2(x)=1
=========
1
[cos(x)]2
=
[
1
cos(x)
]2
=
1
cos(x)
=sec(x)
======= sec2(x)
Portanto, tg′(x) = sec2(x)
Fazer em casa: Mostre que cotg′(x) = −cossec2(x)
Exerc´ıcio 5 Calcule a derivada da func¸a˜o sec(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que,
sec(x) =
1
cos(x)
⇒ sec′(x) =
[
1
cos(x)
]′
Item (c) Teorema - Regra da Quociente
==================
=
[1]′. cos(x)− 1.[cos(x)]′
[cos(x)]2
derivada de const. = 0
===========
=
−[cos(x)]′
[cos(x)]2
Tabela de Derivadas - Item (2)
==============
−(−sen(x))
[cos(x)]2
=
sen(x)
cos2(x)
=
[
1
cos(x)
] [
sen(x)
cos(x)
]
=
1
cos(x)
=sec(x);
sen(x)
cos(x)
=tg(x)
============ sec(x) tg(x)
Portanto, sec′(x) = sec(x) tg(x)
5
Fazer em casa: Mostre que cossec′(x) = −cossec(x) cotg(x)
Exerc´ıcio 6 Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
ex − 3x5/3
sen(x)
Soluc¸a˜o:
Inicialmente, considere as func¸o˜es g(x) = ex − 3x5/3, h(x) = sen(x). Enta˜o, podemos encarar a func¸a˜o f
como o quociente das func¸o˜es g e h, ou seja, f(x) =
g(x)
h(x)
. Desta forma, temos que,
f ′(x) =
[
ex − 3x5/3
sen(x)
]′
Item (c) do Teorema - Regra do Quociente
===================
[ex − 3x5/3]′.sen(x)− (ex − 3x5/3).[sen(x)]′
(sen(x))2
(∗)
=
=
(ex − 5x2/3)sen(x)− (ex − 3x5/3)(− cos(x))
sen2(x)
Fazendo algumas contas
===========
=
ex sen(x) + ex cos(x)− 5x2/3sen(x)− 3x5/3 cos(x)
sen2(x)
=
=
ex sen(x) + ex cos(x)− 5x2/3sen(x)−3x( 23+ 33 ) cos(x)
sen2(x)
=
=
ex sen(x) + ex cos(x)− 5x2/3sen(x)− 3x2/3x3/3 cos(x)
sen2(x)
=
=
ex sen(x) + ex cos(x)− 5x2/3sen(x)− 3x2/3x cos(x)
sen2(x)
=
=
ex[sen(x) + cos(x)]− x2/3[5sen(x) + 3x cos(x)]
sen2(x)
=
... Pode-se continuar desta forma, de acordo com o objetivo final
Portanto, f ′(x) =
ex[sen(x) + cos(x)]− x2/3[5sen(x) + 3x cos(x)]
sen2(x)
6
(∗)Janela de Pensamentos
[ex − 3x5/3]′ Item (a) do Teorema - Regra da Soma================= [ex]′ + [−3x5/3]′ Const. vai para fora na derivada============== [ex]′ − 3[x5/3]′ =
Tabela de Derivadas - Itens (1) e (3)
================ ex − 3
(
5
3
)
x
5
3
−1 = ex − 3
(
5
3
)
x
5
3
− 3
3
Cancelar 3
====== ex − 5x 23
Exerc´ıcio 7 Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = sen2(x)
Soluc¸a˜o:
Forma 1: Encarar a func¸a˜o f como um produto, ou seja, f(x) = [sen(x)].[sen(x)], e aplicar a Regra do
Produto.
Temos que,
f ′(x) = [sen(x).sen(x)]′
Item (c) do Teorema - Regra do Produto
================= [sen(x)]′.sen(x) + [sen(x)].[sen(x)]′ =
Tabela de Derivadas - Item (2)
============= cos(x) sen(x) + sen(x) cos(x) = 2 sen(x) cos(x)
Portanto, [sen2(x)]′ = 2 sen(x) cos(x)
Forma 2: Encarar a func¸a˜o f como composic¸a˜o de duas func¸o˜es, ou seja, sendo x
f17→ f1(x) = sen(x) e
x
f27→ f2(x) = x2, enta˜o (f2 ◦ f1)(x) = f2(f1(x)) = f2(sen(x)︸ ︷︷ ︸
=f1(x)
) = f2(sen(x)) = (sen(x))
2 = sen2(x) = f(x).
Portanto, f(x) = (f2 ◦ f1)(x). Assim, para derivar f deve-se aplicar a Regra da cadeia.
Temos que,
f ′(x) = [(f2 ◦ f1)]′ (x) = f ′2(f1(x)).f ′1(x) = f ′2(sen(x)︸ ︷︷ ︸
=f1(x)
).f ′1(x)
f2(x)=x2⇒f ′2(x)=2x; f1(x)=sen(x)⇒f ′1(x)=cos(x)(∗)=======================
= 2 [sen(x)] cos(x) = 2 sen(x) cos(x)
Portanto,
[sen2(x)]′ = 2 sen(x) cos(x)
7
(∗)Janela de Pensamentos
A func¸a˜o f ′2 atua sobre o elemento bla´, levando em 2 vezes bla´, como descrito a seguir.
bla´
f ′2−→ 2 bla´ No exerc. trocar bla´ por sen(x)−−−−−−−−−−−− → sen(x) f
′
2−→ 2 sen(x)⇒ f ′2(sen(x)) = 2 sen(x)
Exerc´ıcio 8 Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = ex
2
ln(x) + tg(x)
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es iniciais
Considerando as func¸o˜es g(x) = ex
2
ln(x) e h(x) = tg(x), temos que f(x) = g(x) + h(x). Enta˜o para
derivar a func¸a˜o f inicia-se por aplicar a Regra da Soma.
Note, tambe´m, que a func¸a˜o g e´ o produto das func¸o˜es ex
2
e ln(x). Logo, para derivar g deve-se aplicar
a Regra do Produto.
Temos que,
f ′(x) = [ex
2
ln(x) + tg(x)]′
Item (a) do Teorema - Regra da Soma
================ [ex
2
ln(x)]′ + [tg(x)]′
Item (b) do Teorema - Regra do Produto
=================
= {[ex2 ]′ ln(x) + ex2 [ln(x)]′}+ [tg(x)]′ Tabela de Derivadas e (∗)============
{
2x ex
2
ln(x) + ex
2
(
1
x
)}
+ sec2(x) =
Fazendo algumas contas
===========
{
2x2 ex
2
ln(x) + ex
2
x
}
+ sec2(x) =
(
ex
2
x
)
[2x2 ln(x) + 1] + sec2(x)
Portanto, [ex
2
ln(x) + tg(x)]′ =
(
ex
2
x
)
[2x2 ln(x) + 1] + sec2(x)
8
(∗)Janela de Pensamentos
Sendo ϕ(x) = ex e ψ(x) = x2, temos que (ϕ ◦ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)) = ϕ( x2︸︷︷︸
=ψ(x)
) = ex
2
.
Logo, ex
2
= (ϕ ◦ ψ)(x). Enta˜o, para derivar ex2 deve-se aplicar a Regra da Cadeia.
Neste caso, [ex
2
]′ = (ϕ ◦ ψ)′(x) = ϕ(ψ(x))′(x) Regra da Cadeia======== ϕ′(ψ(x)).ψ′(x) = ϕ′(x2).ψ′(x).
A func¸a˜o ϕ atua sobre bla´, levando em ebla´, ou seja, bla´
ϕ−→ ϕ(bla´) = ebla´.
Como ϕ(x) = ex ⇒ ϕ′(x) = [ex]′ = ex ⇒ ϕ′(bla´) = ebla´ No exerc. trocar bla´ por x
2
−−−−−−−−− → x2 ϕ′−→ ex2 ⇒ ϕ′(x2) = ex2 .
E mais, ψ(x) = x2 ⇒ ψ′(x) = 2x.
Assim, [ex
2
]′ = ϕ′(x2).ψ′(x) = ex
2
2x = 2x ex
2
Exerc´ıcio 9 Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
√
sen(x2 + 3x− 2)
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es iniciais
Observe que a func¸a˜o f pode ser encarada como composta de func¸o˜es elementares. De fato,
considere as func¸o˜es
•x 7→ g(x) = x2 + 3x− 2
•x 7→ h(x) = sen(x)
•x 7→ ϕ(x) = √x
Enta˜o,
(ϕ ◦ h ◦ g)(x) = ϕ(h(g(x))) = ϕ(h(x2 + 3x− 2︸ ︷︷ ︸
=g(x)
)) = ϕ(sen(x2 + 3x− 2)) =
√
sen(x2 + 3x− 2) = f(x)
Neste caso, para derivar a func¸a˜o f deve-se utilizar a Regra da Cadeia.
Note que,
•x 7→ g(x) = x2 + 3x− 2⇒ g′(x) = 2x+ 3
•x 7→ h(x) = sen(x)⇒ h′(x) = cos(x)
•x 7→ ϕ(x) = √x = x1/2 ⇒ ϕ′(x) = 1
2
x(
1
2
−1) =
1
2
x(
1
2
− 2
2) =
1
2
x(−
1
2) =
1
2
1
x1/2
=
1
2
√
x
⇒ ϕ′(x) = 1
2
√
x
Neste caso,
• bla´ 7→ g′(bla´) = 2(bla´) + 3
• bla´ 7→ h′(bla´) = cos(bla´)
• bla´ 7→ ϕ′(bla´) = 1
2
√
bla´
9
Considerando as func¸o˜es
•x 7→ g(x) = x2 + 3x− 2
•x 7→ h(x) = sen(x)
•x 7→ ϕ(x) = √x
teremos que f(x) = (ϕ ◦ h ◦ g)(x)
Para derivar f devemos utilizar a Regra da Cadeia. Enta˜o,
f ′(x) = ϕ′((h ◦ g)(x)).h′(g(x)).g′(x) = ϕ′(sen(x2 + 3x− 2)).h′(x2 + 3x− 2).g′(x)
Utilizando as discusso˜es feitas nas Considerac¸o˜es Iniciais, temos que
•x 7→ g′(x) = 2x+ 3
•x2 + 3x− 2 7→ h′(x) = cos(x2 + 3x− 2)
• sen(x2 + 3x− 2) 7→ ϕ′(sen(x2 + 3x− 2)) = 1
2
√
sen(x2 + 3x− 2)
Desta forma, f ′(x) =
1
2
√
sen(x2 + 3x− 2) cos(x
2 + 3x− 2)(2x+ 3) = (2x+ 3) cos(x
2 + 3x− 2)
2
√
sen(x2 + 3x− 2)
Portanto,
[√
sen(x2 + 3x− 2)
]′
=
(2x+ 3) cos(x2 + 3x− 2)
2
√
sen(x2 + 3x− 2)
Exerc´ıcio 10 Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
[ex x5/7 + sec(x)]3
3x2 + 5x+ 7
Soluc¸a˜o:
Tomando ϕ(x) = [ex x5/7 + sec(x)]3 e ψ(x) = 3x2 + 5x + 7, podemos encarar a func¸a˜o f como quociente
das func¸o˜es ϕ e ψ, ou seja, f(x) =
ϕ(x)
ψ(x)
. Nesta caso, para derivar a func¸a˜o f deve-se aplicar a Regra do
Quociente, isto e´, f ′(x) =
ϕ′(x).ψ(x)− ϕ(x).ψ′(x)
(ψ(x))2
.
Vamos calcular separadamente as derivadas.
A derivada da func¸a˜o ψ(x) e´ simples. Temos que, ψ′(x) = 3(2)x(2−1) + 5(1)x(1−1) + (0) = 6x+ 5.
Portanto ψ′(x) = 6x+ 5.
Para entender melhor a derivac¸a˜o da func¸a˜o ϕ(x) = [ex x5/7 + sec(x)]3, vamos considerar as func¸o˜es
•x 7→ g(x) = ex x5/7 + sec(x)
•x 7→ h(x) = x3
Note que (h ◦ g)(x) = h(g(x)) = h(ex x5/7 + sec(x)︸ ︷︷ ︸
=g(x)
) = h(ex x5/7 + sec(x)) = [ex x5/7 + sec(x)]3 = ϕ(x).
Enta˜o ϕ e´ uma composta de func¸o˜es. Logo, para calcular a derivada de ϕ deve-se usar a Regra da Cadeia,
10
ou seja, ϕ′(x) = h′(g(x)).g′(x)
Temos que, h(x) = x3 ⇒ h′(x) = 3x2. Assim, h′(g(x)) = 3(g(x))2 g(x)=e
x x5/7+sec(x)
========== 3(ex x5/7 + sec(x))2
Portanto, h′(g(x)) = 3(ex x5/7 + sec(x))2.
Para calcular g′(x) devemos observar que a func¸a˜o g envolve uma soma de func¸o˜es e um prduto de func¸o˜es.
Desta forma,
[ex x5/7 + sec(x)]′
Item (a) Teorema - Regra da Soma
=============== [ex x5/7]′ + [sec(x)]′
Item (b) Teorema - Regra do Produto
================
= {[ex]′x5/7 + ex[x5/7]′}+ [sec(x)]′ Tabela de Derivadas=========
[
exx5/7 + ex
5
7
x(5/7−1)
]
+ sec(x)tg(x) =
=
[
exx5/7 + ex
5
7
x(−2/7)
]
+ sec(x)tg(x)
Fazendo algumas contas
=========== ex
[
x5/7 +
5
7x2/7
]
+ sec(x)tg(x) =
= ex
[
x5/7.7x2/7 + 5
7x2/7
]
+ sec(x)tg(x) = ex
[
7x(5/7+2/7) + 5
7x2/7
]
+ sec(x)tg(x) = ex
[
7x+ 5
7x2/7
]
+ sec(x)tg(x) =
= ex
[
7x+ 5
7
7
√
x2
]
+ sec(x)tg(x)
Portanto g′(x) = [ex x5/7 + sec(x)]′ = ex
[
7x+ 5
7
7
√
x2
]
+ sec(x)tg(x).
Desta forma, ϕ′(x) =
{
3(ex x5/7 + sec(x))2
}{
ex
[
7x+ 5
7
7
√
x2
]
+ sec(x)tg(x)
}
.
Voltando a` derivada da func¸a˜o f , dada por f ′(x) =
ϕ′(x).ψ(x)− ϕ(x).ψ′(x)
(ψ(x))2
, e substituindo todas as con-
tas que foram feitas anteriormente, temos que
f ′(x) =
ϕ′(x)︷ ︸︸ ︷{
3(ex x5/7 + sec(x))2
}{
ex
[
7x+ 5
7
7
√
x2
]
+ sec(x)tg(x)
}
.
ψ(x)︷ ︸︸ ︷
3x2 + 5x+ 7−
ϕ(x)︷ ︸︸ ︷
[ex x5/7 + sec(x)]3 .
ψ′(x)︷ ︸︸ ︷
3x2 + 5x+ 7
(3x2 + 5x+ 7)2︸ ︷︷ ︸
(ψ(x))2
Bons Estudos!
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