Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios Resolvidos

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
 
“Miscelânea de Exercícios Resolvidos” 
 
 
Profa. Tânia F Bogutchi 
 
 
2013 
1 
 
© Tânia F Bogutchi – PUC Minas – Revisão em 2013 
Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
 
Conteúdo 
 
Unidade 1 .................................................................................................................... 3 
Unidade 2 .................................................................................................................. 15 
Unidade 3 .................................................................................................................. 26 
Unidade 4 .................................................................................................................. 45 
Unidade 5 .................................................................................................................. 64 
Tabela 3 – Distribuição NORMAL ................................................................................. 79 
Tabela 4 – Distribuição t-Student ................................................................................ 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
 
 
 
Aos alunos: 
 
Esses exercícios foram colados diretamente das resoluções que foram 
publicadas em seus respectivos semestres. Algumas resoluções encontram-se 
ao final de cada uma das Anotações de Aula de suas respectivas Unidades. 
Pode ser que algumas correções tenham sido feitas posteriormente por 
intermédio das leituras que os alunos fizeram. Caso encontre alguma 
discrepância de digitação que lhe cause dúvida, por favor, comunique ok? 
Essa versão foi feita de urgência para possibilitar o estudo da turma em 
reavaliação. Podem ser encontrados alguns exercícios muito similares. 
Todas essas resoluções foram coladas no mesmo formato que se 
encontravam. 
Espero que ajude no entendimento do conteúdo. 
Bom estudo! 
 
Abs, 
Tânia 
 
3 
 
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Unidade 1 
 
Questão 1: A área hachurada (cinza) dos eventos A, B e C de um espaço amostral mostrada no 
diagrama de Venn abaixo corresponde ao evento que pode ser escrito por: 
 
a) 
CA
 
b) 
BA
 
c) 
CB
 
d) 
BA
 
Solução: 
Os elementos estão em 
A
 (não estão em A) OU em B. 
 
Questão 2: Um fabricante de faróis para automóveis testa lâmpadas sob ambientes com alta 
umidade e com alta temperatura, usando intensidade e vida útil como as respostas de interesse. A 
seguinte tabela mostra o desempenho de 130 lâmpadas: 
Intensidade 
Vida útil 
satisfatória insatisfatória 
satisfatória 117 3 
insatisfatória 8 2 
 
Calcule a probabilidade de uma lâmpada selecionada aleatoriamente fornecer resultados 
insatisfatórios sob qualquer critério. 
Solução: 
Intensidade 
vida útil 
satisfatória (VS) insatisfatória (VI) Total 
satisfatória (IS) 117 3 120 
insatisfatória (II) 8 2 10 
Total 125 5 130 
 
Se definirmos os eventos (em vermelho) tem-se que o evento “Resultados Insatisfatórios” pode 
ser escrito como: II ou VI 
4 
 
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Então, 
P(resultados insatisfatórios) = 
 = 
10,0
130
13
130
2
130
5
130
10
)()()()(  VIIIPVIPIIPVIIIP
 
 
Questão 3: Falhas em teclados de computadores ocorrem devido a conexões elétricas imperfeitas 
(12%) ou a defeitos mecânicos (88%). Defeitos mecânicos estão relacionados a teclas soltas 
(27%) ou a montagens impróprias (73%). Defeitos de conexão elétrica são causados por fios 
defeituosos (35%), por conexões impróprias (13%) ou por fios mal soldados (52%). Qual é a 
probabilidade de uma falha ocorrer devido a: 
(1) teclas soltas? 
(2) fios conectados impropriamente ou mal soldados? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquematizando as probabilidades de cada tipo de falha, podemos escrever: 
(1) P(teclas soltas) = (0,88)(0,27) = 0,2376 
(2) P(conexão imprópria ou fios mal soldados) = (0,12)[0,13+0,52] = (0,12)(0,65) = 0,078 
 
Questão 4: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada no gráfico a 
seguir. 
 
 
Falha
Mecânica
Elétrica
Teclas 
soltas
Montagem 
imprópria
Defeito
fio
Conexão
imprópria
Fios mal
soltados
0,88
0,12
0,27
0,73
0,35
0,13
0,52
Falha
Mecânica
Elétrica
Teclas 
soltas
Montagem 
imprópria
Defeito
fio
Conexão
imprópria
Fios mal
soltados
0,88
0,12
0,27
0,73
0,35
0,13
0,52
Falha
Mecânica
Elétrica
Teclas 
soltas
Montagem 
imprópria
Defeito
fio
Conexão
imprópria
Fios mal
soltados
0,88
0,12
0,27
0,73
0,35
0,13
0,52
Falha
Mecânica
Elétrica
Teclas 
soltas
Montagem 
imprópria
Defeito
fio
Conexão
imprópria
Fios mal
soltados
0,88
0,12
0,27
0,73
0,35
0,13
0,52
0,85 0,960,85 0,96
5 
 
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Supondo que os dispositivos falhem independentemente, calcule a probabilidade de o circuito 
operar. 
Solução: 
 
 
 A B 
Sejam os dispositivos A e B. São independentes e estão ligados em série, logo o circuito opera se 
A e B funcionarem. 
 
Então, a probabilidade de operar: P(A e B) = P(A)P(B) = (0,85)(0,96) = 0,816 
 
Questão 5: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo falhar é mostrada no gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
Supondo que os dispositivos falhem independentemente, calcule a probabilidade de o circuito 
operar. 
Solução: 
 A 
 
 
 
 
 B 
Os dispositivos A e B estão ligados em paralelo. O circuito opera se A ou B não falharem, sendo 
que as falhas são independentes. Logo, 
Logo, a probabilidade de não falhar: 
P(A ou B) =P(A) + P(B) – P(A e B) = 0,80 + 0,90 – (0,80)(0,90) = 1,7 – 0,72 = 0,98 
 
0,1
0,2
0,85 0,960,85 0,96
0,1
0,2
6 
 
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Questão 6: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo falhar é mostrada no gráfico a seguir. 
 
 
 
 
Supondo que os dispositivos falhem independentemente, calcule a probabilidade de o circuito 
operar. 
Solução: 
 
 A B 
 
 
 
 C 
O circuito opera se os dispositivos A e B ou C não falharem. A, B e C são independentes na falha, 
então: 
P[(A e B) ou C] = P(A e B) + P(C) – P[(A e B) e C] 
 = P(A)P(B) + P(C) – P(A)P(B)P(C) 
 = (0,99)(0,99) + 0,90 – (0,99)(0,99)(0,90) 
 = 0,9801 + 0,90 – 0,8821 = 0,998 
 
Questão 7: Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 
86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenasum problema. Qual é a 
probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso tenha acertado apenas o segundo problema? 
Solução: 
Sejam: 
P1 : resolveu (acertou) somente o problema 1 
P2 : resolveu somente o problema 2 
1P
: não resolveu o problema 1 
2P
: não resolveu o problema 2 
 
Dados: P1 = 12 ; P1 e P2 = 120 ; 
2P
=86 ; P1 ou P2 = 54 
0,01 0,01
0,1
0,01 0,01
0,1
0,01 0,01
0,1
0,01 0,01
0,1
7 
 
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(1) De P1 ou P2 = 54, tem-se 12 acertaram somente P1, então 42 acertaram somente P2. 
(2) 
1P
 e 
2P
= 86 – 12 = 74 
(3) Total de alunos: 248 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, P(P2) = 
169,0
248
42

 
 
Questão 8: Em uma fabrica de dispositivos eletrônicos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 
35% e 40% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 5%, 4% e 2%, 
respectivamente, são dispositivos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um dispositivo e verifica-se que 
é defeituoso. A probabilidade de que o dispositivo venha da máquina B é aproximadamente: 
a) 40,6% 
b) 36,2% 
c) 52,3% 
d) 14,0% 
Solução: 
Sejam os eventos: 
A, B, C : fábricas 
D: dispositivos defeituosos. 
Foram dados: 
P(A) = 0,25 e P(D|A) = 0,05; 
P(B) =0,35 e P(D|B) = 0,04; 
P(C) = 0,40 e P(D|C) = 0,02 
 
Problema quer saber: 
   
 DP
DBP
DBP

 
 
 1º passo: calcular, P(D). 
12012 42
74
P1 P2
12012 42
74
P1 P2
8 
 
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O evento D pode ser escrito: D = (D  A)  (D  B)  (D  C) 
Tem-se: 
P(D) = P[(D  A)  (D  B)  (D  C)] 
 
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) 
 
Utilizando um Diagrama em árvore: 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
   
 
 %6,40406,04058,0
0345,0
014,0



DP
DBP
DBP
 
 
Questão 9: A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora é 
historicamente estimada em 8%. A produção da montadora vem de três fabricas distintas, da 
matriz A e das filiais B e C, nas seguintes proporções: 55%, 30% e 15%, respectivamente. Sabe-
se que a proporção de defeitos da matriz A é o dobro da filial B e, da filial B é o triplo da filial C. A 
porcentagem de defeito da matriz A é aproximadamente: 
a) 18,43% 
b) 5,52% 
c) 8,32% 
d) 11,04% 
Solução: 
Dispositivo
DA
B
C
0,25
0,40
0,05
0,04
0,02
A e D
0,35
D
D
B e D
C e D
0,0125
0,014
0,008
P( D) = 0,0345
9 
 
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Sejam os eventos: 
A, B, C : fábricas 
D: dispositivos defeituosos. 
 
P(D) = 8% = 0,08 
P(A) = 55% = 0,55 e P(D|A) = 2 P(D|B) 
P(B) = 30% = 0,30 e P(D|B) = 4 P(D|C) 
P(C) = 15% = 0,15 e P(D|C) 
 
Podemos escrever o evento D como: 
D = (A e D) ou (B e D) ou (C e D) 
Então, 
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) 
P(D) = 8 P(A)P(D|C) + 4 P(B)P(D|C) + P(C)P(D|C) 
0,08 = (8)(0,55)P(D|C) + (4)(0,30)P(D|C)+0,15P(D|C) 
0,08 = 5,75 P(D|C) => P(D|C)= 0,0139 (1,39%) 
 P(D|B)=0,0557 (5,57%) 
 e P(D|A)= 0,1104 (11,04%) 
 
Questão 10: Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se 
simultaneamente 3 bolas. A probabilidade de que todas as bolas sejam da mesma cor é 
aproximadamente: 
a) 25,0% 
b) 35,2% 
c) 6,8% 
d) 12,4% 
Solução: 
Sejam os eventos: 
B: a bola é branca; V: a bola é vermelha e A: a bola é azul 
 
Retirar 3 bolas simultaneamente é similar a retirar 3 bolas sem reposição. 
O evento todas as bolas da mesma cor poderá ser definido: BBB ou VVV ou AAA, ou seja, 
)()()( AAAVVVBBB 
. Então, 
10 
 
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P(todas da mesma cor)= P[
)()()( AAAVVVBBB 
] = P(BBB)+P(VVV)+P(AAA) 
 
As probabilidades são condicionais, dado que a retirada é simultânea, ou seja, P(BBB) = (primeira 
bola é branca: 5/12; a segunda é branca dado que a primeira é branca: 4/11 e a terceira é branca 
dado que a primeira e a segunda o são: 3/10). Com raciocínio análogo temos então que, 
P(todas da mesma cor)=


















10
3
11
4
12
5
+ 


















10
2
11
3
12
4
+


















10
1
11
2
12
3
=
0682,0
1320
62460


 
Outras maneiras de resolver: 
1) podemos calcular a soma de cada uma delas no formato de proporção: 
0,04545+0,0845+0,004545 = 0,06845 
2) ou no formato de contagens dos eventos – utilizando a definição clássica de probabilidade: 
Espaço amostral: 






3
12
 
Evento 3 bolas brancas: 






3
5
; Evento 3 bolas vermelhas: 






3
4
; Evento 3 bolas azuis: 






3
3
 
Logo, P(todas da mesma cor): 
























3
12
3
3
3
4
3
5
 
 
Questão 11: Um júri coloca 15% dos culpados em liberdade e 2% dos inocentes em prisão. No 
próximo julgamento um suspeito vindo de um grupo com 90% de culpados será submetido a esse 
júri. A probabilidade do suspeito não ser posto em liberdade é: 
a) 76,7% 
b) 75,2% 
c) 90,0% 
d) 85,0% 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C : o suspeito é culpado; 
C
: o suspeito não é culpado (é inocente) 
L : o suspeito é posto em liberdade; 
L
: o suspeito não é posto em liberdade 
 
11 
 
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A probabilidade de um suspeito não ser posto em liberdade por ser calculada pelo diagrama em 
árvore: 
 
 
 
 
 
 
 
OU 
 
)02,0)(10,0()85,0)(90,0()C|L(P)C(P)C|L(P)C(P)LC(P)LC(P)L(P 
 
 
Questão 12: Um time de futebol ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se não chove. 
Em setembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O time de futebol ganhou uma partida em 
setembro, a probabilidade de ter chovido nesse dia é: 
a) 77,0% 
b) 27,3% 
c) 70,0% 
d) 56,0% 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
G: time de futebol ganha 
A : chuva em setembro 
Queremos: P(A|G) 
Temos: 
 
 
 
 
 
Por definição de probabilidade condicional temos que: 
 
Precisamos então calcular P(G). 
Utilizando o diagrama em árvore, para um dia de setembro: 
 
L
L
L
C
765,0
002,0
90,0
10,0
85,0
02,0
)( LCP 
)( LCP 

767,0)L(P 
C
)|( CLP
Suspeito
L
L
L
C
765,0
002,0
90,0
10,0
85,0
02,0
)( LCP 
)( LCP 

767,0)L(P 
C
)|( CLP
Suspeito
3,0)(
8,0)|(
7,0)|(



AP
AGP
AGP
)(
)(
)|(
GP
GAP
GAP


12 
 
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Utilizando a definição, temos: 
 
 
 
Conclusão: Se o time de futebol ganhou a partida, a probabilidade de ter chovido nesse dia é de 
27,3%. 
 
 
Questão 13: A probabilidade de que um automóvel sendo abastecidocom gasolina também 
necessite de uma troca de óleo é de 0,25; a probabilidade de que ele precise de um novo filtro de 
óleo é de 0,40; e a probabilidade de que sejam necessárias tanto a troca de óleo quanto a de filtro 
é de 0,14. Se o óleo tiver de ser trocado, a probabilidade de que o filtro também tenha de ser 
trocado é: 
a) 40,0% 
b) 75,0% 
c) 56,0% 
d) 14,0% 
Solução: 
Seja um carro abastecido com gasolina, e os eventos: 
O = Trocar óleo: 25% 
F = Trocar filtro: 40% 
O 

 F =Trocar óleo e filtro: 14% 
56,0
25,0
14,0
)(
)(
)|( 


OP
FOP
OFP
 
 
 
A
A
G
G
G
G
GA
GA 
21,0)7,0)(3,0( 
56,0)8,0)(7,0( 
8,0
7,0
7,0
3,0
Um dia em 
setembro
+
77,0)G(P 
A
A
G
G
G
G
GA
GA 
21,0)7,0)(3,0( 
56,0)8,0)(7,0( 
8,0
7,0
7,0
3,0
Um dia em 
setembro
+
77,0)G(P 
(27,3%) 273,0
77,0
21,0
)(
)(
)|( 


GP
GAP
GAP
13 
 
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Questão 14: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. Assuma que os componentes falham independentemente. A 
probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada no próximo esquema: 
 
 
 
 
 
 
Dado que o sistema funciona, a probabilidade de que o componente A não esteja funcionando é: 
a) 0,751 
b) 0,512 
c) 0,300 
d) 0,205 
Solução: 
Sejam os dispositivos: I= A e B (em série) ; II = C e D e E (em série) 
Probabilidade de I funcionar: 
49,07,0)BA(P 2 
 
Probabilidade de II funcionar: 
512,08,0)EDC(P 3 
 
O circuito (ou sistema) funciona se I ou II funcionarem (em paralelo), logo 
P(I ou II) = P(I) + P(II) – P(I e II), então 
P(I ou II) = 0,49 + 0,512 – (0,49)(0,512) = 0,75112 
 
Temos que a probabilidade de o sistema funcionar, mas de o dispositivo A não funcionar é 
calculada pelas seguintes suposições: I não funciona e II funciona. 
Temos: 
1) I não funciona devido ao não funcionando de A ou de (A e B), ou seja, 
 
30,0)30,0)(30,0()70,0)(30,0()BA(P)BA(P)|I(P A 
 
2) O sistema funciona, mas A não – por (1) e por II funcionar, logo: 
 
1536,0)512,0)(30,0()II|I(P A 
 
A questão pergunta: P(A não funcione | sistema funciona)= 
funciona) P(sistema
não) A masfunciona, sistema(
funciona) P(sistema
funciona) sistema e ( PAP

 
0,70
0,80 0,80
0,70
0,80
A
C D E
B
0,70
0,80 0,80
0,70
0,80
A
C D E
B
14 
 
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Ou simbolicamente: 
205,02045,0
75112,0
1536,0
)III(P
)II|I(P
funciona) P(sistema
não) A masfunciona, sistema(P A 



 
 
Questão 15: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. Assuma que os componentes falham independentemente. A 
probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada no próximo esquema: 
 
 
 
 
 
Dado que o sistema funciona, a probabilidade de que o sistema todo funcione é 
aproximadamente: 
a) 0,958 
b) 0,751 
c) 0,854 
d) 0,490 
Solução: 
Sejam os dispositivos: I= A e B (em série) ; II = C e D e E (em série) 
Probabilidade de I funcionar: 
49,07,0)BA(P 2 
 
Probabilidade de II funcionar: 
512,08,0)EDC(P 3 
 
O circuito (ou sistema) funciona se I ou II funcionarem (em paralelo), logo 
P(I ou II) = P(I) + P(II) – P(I e II), então 
P(I ou II) = 0,49 + 0,512 – (0,49)(0,512) = 0,75112 
 
OUTRA SOLUÇÃO: 
Utilizando as propriedades da probabilidade; a lei de Morgan e a independência dos componentes: 
 
 
75112,024888,01)488,0)(51,0(1)(1)(1)(  IIIPIIIPIIIP
 
 
 
0,70
0,80 0,80
0,70
0,80
A
C D E
B
0,70
0,80 0,80
0,70
0,80
A
C D E
B
15 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Unidade 2 
 
Questão 1: Dada a tabela: 
 
x 4 5 6 7 8 
p(x) p2 p2 p p p2 
 
Calcule: 
a) O valor de p; 
b) P(5  X  7); 
c) o valor esperado (média) de X 
 
Solução: 
 
(a) Sabemos que 
1)x(p i 
, logo 
3p2 + 2p = 1 → 3p2 + 2p – 1 = 0 , resolvendo essa equação do 2º grau obtemos: 
3
1
 p ou 1- p 
6
)1)(3(442
p 


, com p é uma probabilidade, valores negativos não 
servem, então 
3
1
p 
=0,333. 
(b) P(5  X  7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X= 7) = p2 +2 p = 
9
7
3
1
2
9
1

=0,778 
(c) E(X) = 
 

n
i
ii xpx
1
= 
22,6
9
56
3
13
9
17
9
1
8
3
1
7
3
1
6
9
1
5
9
1
4 
 
 
Questão 2: Em seu caminho matinal, você se aproxima de um determinado sinal de trânsito, que 
está verde 20% do tempo. Suponha que cada manhã represente uma tentativa independente. 
Calcule as probabilidades para as seguintes situações: 
(1) em 5 manhãs a luz esteja verde exatamente um dia; e 
(2) em 20 manhãs a luz esteja verde em mais de 4 dias 
Solução: 
Seja a variável aleatória X: sinal verde numa manhã , então X ~ Bin ( n; 0,20) 
(1) X ~ Bin(5 ; 0,20) 
16 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 P(X= 1) = 
4096,0)80,0()20,0(
1
5 41 





 
 
(2) X ~Bin (20 ; 0,20) 
 
P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4) = 1 – 0,6296 = 0,3704 
 
Pois, P(X= 0) = 
0115,0)80,0()20,0(
0
20 200 





 
 P(X= 1) = 
0576,0)80,0()20,0(
1
20 191 





 
 P(X= 2) = 
1369,0)80,0()20,0(
2
20 182 





 
 P(X= 3) = 
2054,0)80,0()20,0(
3
20 173 





 
 P(X= 4) = 
2182,0)80,0()20,0(
4
20 164 





 
 
Questão 3: Lotes de 40 peças são considerados aceitáveis se contém, no máximo, três peças 
defeituosas. O processo de amostragem consiste em extrair aleatoriamente cinco peças de cada 
lote e rejeita-lo se for encontrada pelo menos uma peça defeituosa nas cinco peças extraídas. 
Calcule a probabilidade de se encontrar exatamente uma peça defeituosa se há três peças 
defeituosas em todo o lote. 
Solução: 
A variável aleatória X é hipergeométrica com N = 40; n = 5; k = 3 e x = 1 
 P(X= 1) = 304,0
008.658
)045.66)(3(
5
40
4
37
1
3



















 
 
Questão 4: Um técnico de instalação de um sistema especializado de comunicação é enviado 
para uma cidade somente quando existirem três ou mais ordens de serviço. Suponha que as 
ordens de serviço sigam a distribuição de Poisson, com uma média de 0,25 por semana, para uma 
17 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
cidade com uma população de 100.000 e suponha que sua cidade contenha uma população de 
800.000. Qual é a probabilidade de que um técnico seja requisitado depois de um período de uma 
semana para essa cidade? 
Solução: 
Seja X: numero de ordens de serviço por cidade com população de 100.000 habitantes 
X ~ Pois (0,25) 
Se cidade contém uma população de 800.000 habitantes, então X ~ Pois (2) 
(por regra de 3 simples). 
Técnico é requisitado se existirem 3 ou mais ordens de serviço, logo 
 
P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) +P(X=2)] = 1 - 0,676677 = 0,323323 
(≈ 32,3%) 
Pois tem-se: 
135335,0
!0
2
)0(
02

e
XP
 
 
270671,0
!1
2
)1(
12

e
XP
 
270671,0
!2
2
)2(
22

e
XP
 
 
Questão 5: Mensagens chegam a um servidor de computadores, de acordo com a distribuição de 
Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. Qual o intervalo de tempo, em segundos, tal que a 
probabilidade de nenhuma mensagem chegar seja de 90%? 
Solução: 
Seja X: numero de mensagens que chegam, em horas, no tempo t 
X ~ Pois(10t) 
P(X=0) = 0,90 
90,090,0
!0
)10( 10
010
 

t
t
e
te
 
Logo, -10t = ln(0,90) 

 -10t = -0,10536 

 t = 1,0536 x 10-2 horas 
 
Ou, t = (0,01054)(3.600) segundos 

 t = 37,9 segundos. 
18 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Questão 6: A função, 
 
2 xou 0 xse , 0
2x 0 se 






,32
)(
x
xf
é uma função de densidade de probabilidade 
se, e somente se, ela for: 
a) Multiplicada pela constante 0,10 
b) Adicionada da constante 0,10 
c) Multiplicada pela constante 10 
d) Adicionada da constante 10 
Solução: 
 






2x ou 0x ,0
2x0 ,3x2
xf
 
 
1) f(x) > 0  suposição confirmada sempre 
 
 
2) 
  1dxxf 


, tem-se: 
 
     
 
2
0
2
2
0
2
2
0
0
x3
2
x
2
dx3x2
dx0dx3x2dx3x2dx3x2














 
 
 11064 
f(x) não é uma probabilidade 
 
19 
 
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Para ser uma probabilidade, f(x) pode ser definida: 
 
 








2x ou 0x ,0
2x0 ,3x2
10
1
xf
 
 
Logo, se f(x) for multiplicada por 0,10 então ela será uma f.d.p. 
 
Questão 7: O tempo entre as chegadas de táxi a um movimento cruzamento é distribuído 
exponencialmente com uma média de 10 minutos. 
a) Suponha que você já estivesse esperando uma hora por um taxi, qual a probabilidade de 
que o taxi chegue dentro dos próximos 10 minutos? 
b) A probabilidade de você esperar menos que x minutos é 0,50. Qual é o valor aproximado 
de x, em minutos? 
Solução: 
Seja X: tempo entre as chegadas de táxi, em minutos. 
X ~ exp (

) 

= E(X) = 10 

 
1,0
10
1

 
 
a) A primeira hora de espera é esquecida e passa a ser o ponto inicial de espera. Portanto, quer-
se: 
P(X < 10) = 1 – e-0,1(10) = 1 – e-1 = 1 – 0,367879 

0,6321 
 
b) P(X < x) = 0,50  1 - 
50,0e x 
  
50,0e x1,0 
  -0,1x = ln(0,50)= -0,693  x = 6,93 
min. 
 
Questão 8: A velocidade de transferência de um arquivo de um servidor da universidade para um 
computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite de dia de semana, é normalmente 
distribuída, com média de 60 kbits por segundo e um desvio-padrão de 4 kbits por segundo. 
A probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade entre 58 e 70 kbits por segundo é 
aproximadamente: 
a) 0,298 
b) 0,685 
c) 0,542 
d) 0,320 
20 
 
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Solução: 
X: velocidade de transferência arquivos, em kbits/seg 
X ~ N (60; 4) 
 
P(58 ≤ X ≤ 70) = 





 


4
6070
4
6058
ZP
 = P(-0,5 ≤ Z ≤ 2,5) 
 
 
A área em amarelo: P(-0,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,5) (por simetria) 
Pela Tabela 3, em anexo, tem-se que: 
 
P(0 < Z < 0,5) = 0,1915 
 
Analogamente, 
 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4485 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4700 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4762 0,4767
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4865 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4980 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000 0,5000
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
z
segunda casa decimal de z
u
n
i
d
a
d
e
 
e
 
p
r
i
m
e
i
r
a
 
c
a
s
a
 
d
e
c
i
m
a
l
 
d
e
 
z
21 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
P(0 < Z < 2,5) = 0,4938 
 
Logo, P(-0,5 ≤ Z ≤ 2,5) = P(0 ≤ Z ≤ 0,5) + P(0 ≤ Z ≤ 2,5) = 0,1915 + 0,4938 = 0,6853 
 
 
Questão 9: O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual é normalmente 
distribuído, com uma média de 0,4 s e um desvio-padrão de 0,05 s. As probabilidades para: (1) de 
que uma reação requeira entre 0,4 s e 0,5 s; (2) de que uma reação requeira mais de 0,5 s; (c) o 
tempo de reação que é excedido em 90% do tempo; são dadas, respectivamente,por: 
a) 0,47725 ; 0,02275 ; 0,336 
b) 0,02275 ; 0,47725 ; 0,336 
c) 0,97725 ; 0,02275 ; 0,500 
d) 0,97725 ; 0,47725 ; 0,336 
Solução: 
Seja X: tempo de reação do motorista ao estímulo visual, em segundos 
X ~ N (0,4; 0,05) 
 
(1) P (0,4  X  0,5) = P 





 

05,0
4,05,0
0 Z
 = P (0  Z  2) = 0,4773 (Tabela 3) 
 
 
(2) P (X  0,5) = P (Z  2) = 0,5 – P (0  Z  2) = 0,5 – 0,4773 = 0,0227 
22 
 
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(3) P (X  x) = 0,90  P (Z  z) = 0,90  P (Z  z) = 0,10 = P (Z ≥ z)  z = -1,28 
 



x
z
  x = zσ + μ = (- 1,28) (0,05) + 0,4 = - 0,064 +0,4 = 0,336 segundos 
 
Questão 10: As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão 
ocupadas em 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em 
sucessivas chamadas sejam independentes. As probabilidades para as seguintes situações: (1) que 
10 chamadas aconteçam e em exatamente três chamadas as linhas estejam ocupadas; e (2) que 5 
chamadas sejam feitas e no mínimo em uma chamada as linhas não estejam ocupadas, são 
aproximadas respectivamente por: 
a) 0,0425; 0,9940 
b) 0,4096; 0,8180 
c) 0,2150; 0,9898 
d) 0,3456; 0,9744 
Solução: 
Seja X: número de linhas ocupadas 
X ~ Bin (n; 0,40) 
 
(1) n = 10 → X ~ Bin (10; 0,40) → P(X = 3 ) = 
73 )60,0()40,0(
3
10






= 0,2150 
 
(2) n = 5 → X ~ Bin (5; 0,60) 
 P( X ≥ 1) = 1 – P( X < 1) = 1 – P( X= 0) =1 - 
100 )60,0()40,0(
0
10






 = 1 – 0,0102 = 0,9898 
23 
 
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Questão 11: Em uma autoestrada, o número de buracos, que é bastante significante para 
requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson, com uma média de dois buracos 
por quilometro. As probabilidades para as seguintes situações: (1) não há buracos que requeiram 
reparos em 5 quilômetros; e (2) no mínimo um buraco requeira reparo em meio quilometro de 
auto estrada, são aproximadas respectivamente por: 
a) 13,5%; 4,9% 
b) 0,01%; 63,2% 
c) 21,5%; 98,1% 
d) 0,01%; 27,8% 
Solução: 
Seja X : número de buracos em uma autoestrada, em β quilômetros. 
Se β = 1 então X ~ Pois (2) 
 
(1) Se β = 5 então X ~ Pois (10) 
temos 2 buracos a cada quilometro, então teremos 10 buracos em 5 km (regra de 3 simples), logo 
X ~ Pois (10) 
 P(X = 0) 

0,00005 

0,0001 

 0,01% 
 
(2) Se temos 2 buracos a cada quilometro, então teremos 1 buracos em 0,5 km (regra de 3 
simples), logo X ~ Pois (1) 
 P( X ≥ 1) = 1 – P( X = 0) = 1 – 0,36788 

0,63212 

63,2% 
 
Questão 12: O tempo até a falha, em horas, de um importante componente de um equipamento 
eletrônico usado na fabricação de um aparelho DVD é distribuído exponencialmente com uma 
média de 2000 horas. A probabilidade de que o componente (e, consequentemente o aparelho 
DVD) dure mais do que 1000 horas antes que o componente tenha de ser substituído é 
aproximadamente: 
a) 0,6321 
b) 0,3935 
c) 0,3679 
d) 0,6065 
Solução: 
Seja X: tempo até a falha do componente eletrônico, em horas 
24 
 
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X ~ exp (

) 

= E(X) = 2000 

 
0005,0
2000
1

 
P(X > 1000) = 
)1000)(0005,0(e
 = e-0,5

0,6065 
 
Questão 13: O tempo de vida de um arranjo mecânico em um teste vibracional é distribuído 
exponencialmente, com uma média de 400 horas. Se um arranjo estiver em teste por 400 horas 
sem apresentar falha, a probabilidade de uma falha ocorrer nas próximas 100 horas é 
aproximadamente: 
a) 0,7788 
b) 0,2212 
c) 0,2865 
d) 0,7135 
Solução: 
Defina X: tempo de vida de um arranjo mecânico, em horas 
X ~ Exp(

) 
E(X)=400 , mas 
400
1
 
1
)(  XE
 
 
Probabilidade de falhar nas próximas 100 horas: 
 
22119,07788,011)100()100( 400
100


eFXP
 
 
Questão 14: A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, é normalmente 
distribuída com média de 7.000 horas e desvio-padrão de 600 horas. As probabilidades para: (1) 
que um semicondutor a laser falhe em menos de 5.000 horas; e (2) o tempo de vida em horas 
que 95% dos lasers excedem; são dadas, respectivamente, por: 
a) 0,71 ; 5800 
b) 1,0 ; 6016 
c) 0,0 ; 6016 
d) 0,50 ; 5800 
Solução: 
Seja a variável aleatória X: vida de um semicondutor a laser, em horas 
25 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
X ~ N (7000; 600) 
 
(1) que um semicondutor a laser falhe em menos de 5.000 horas: 
P(X< 5000) = 





 

600
70005000
XP
= P(Z < -3,33) = P( Z > 3,33 

0,0 
 
(2) o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem: 
 
P (X > x) = 0,95  P (Z > z) = 0,95  P (Z < z) = P(Z > z) = 0,05  z = - 1,64 
 
x = zσ + μ = (- 1,64) (600) + 7000 = 6.016 horas 
 
Questão 15: A resistência à tração do papel pode ser modelada por uma distribuição normal, 
com média de 35 libras por polegada quadrada e um desvio-padrão de 2 libras por polegada 
quadrada. Se as especificações requererem que a resistência à tração exceda 30 libras por 
polegada quadrada, o percentual de amostras que serão rejeitadas será aproximadamente: 
a) 99,4% 
b) 0,62% 
c) 98,2% 
d) 1,8% 
Solução: 
Seja X: resistência à tração do papel, em libras/polegada2 
X ~N(35; 2) 
Podemos fazer diretamente: 
- Dentro das especificações: X > 30 
- Fora das especificações: X < 30. Logo, P(X<30)=P(Z<-2,5)=P(Z > 2,5) = 0,0062 ( 0,62%) 
 
OU: 
 
P(X > 30) = 





 

2
3530
ZP
= P(Z > -2,5) =0,5 + P(0 <Z < 2,5) =0,5 + 0,4938 

 0,9938 
Ou seja, temos que 99,38% estarão dentro da especificação, logo, 0,62% estarão fora da 
especificação e, portanto serão rejeitadas. 
26 
 
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Unidade 3 
 
Questão 1: Para se estudar o desempenho de duas corretoras de ações, foram selecionadas, de 
cada uma delas, amostras aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada computou-
se a porcentagem de lucro apresentada durante um período fixado de tempo: 
Corretora 
Percentual de Lucro 
Média (%) Desvio-padrão (%) 
A 56,52 5,64 
B 55,93 4,72 
 
Com base nesses dados podemos responder as seguintes questões: 
a) Qual corretora trabalhou com percentual de lucro mais homogêneo? 
b) Suponha que uma ação teve percentual de lucro de 60% tanto na corretora A quanto na 
corretora B. Em qual das corretoras ela representou maior lucro relativo? 
Solução: 
Corretora 
Percentual de Lucro 
CV Ação z-escore 
Média (%) Desvio-padrão (%) 
A 56,52 5,64 0,0998 60 0,617 
B 55,93 4,72 0,0844 60 0,8623 
 
a) A corretora B, pois CVB < CVA 
b) A corretora B, pois zB > zA 
 
Questão 2: Prevenir a propagação de trinca de fadiga em estruturas de aviões é um importante 
elemento de segurança em aeronaves. Um estudo de engenharia para investigar a trinca de fadiga 
em n=9 asas carregadas ciclicamente reportou os seguintes comprimentos (em mm) de trinca: 
 
2,13 2,96 3,02 1,82 1,15 1,37 2,04 2,47 2,6 
 
a) Calcule a média e o desvio-padrão das trincas 
b) Se uma trinca apresentar z-escore de 2, qual o comprimentoda trinca? 
 
 
27 
 
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Solução: 
ordem Trincas (xi) (xi-media)
2 
1 2,13 0,0018 
2 2,96 0,6194 
3 3,02 0,7174 
4 1,82 0,1246 
5 1,15 1,0465 
6 1,37 0,6448 
7 2,04 0,0177 
8 2,47 0,0882 
9 2,6 0,1823 
Total 19,56 3,4428 
 
a) Média: 
1732
9
5619
,
,


n
x
x
i
 mm 
 Desvio-padrão: 
6560
8
44283
1
2
,
,)(
)( 




n
xx
Xdp
i mm 
 
b) z = 2 e 
485317326560222 ,,),)(()(
)(


 ii
i xxxdpx
xdp
xx
 mm 
 
 
 
 
 
 
Questão 3: O histograma a seguir apresenta os valores das compras, em reais, dos clientes de 
um supermercado. 
28 
 
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Considerando esses dados calcule: 
a) A média dos valores das compras; 
b) O desvio-padrão; 
c) Os quartis 1, 2 e 3; 
d) O desvio-interquartílico; 
e) Qual o percentual de clientes que compram entre R$ 100,00 e R$ 150,00? 
f) Qual o valor mínimo da compra para os 10% dos clientes que mais gastam nesse 
supermercado? 
 
 
Solução: 
 
Para o cálculo dos itens (a) e (b) precisamos transformar o histograma em uma tabela de 
frequências: 
 
 
 
 
250200150100500
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Valores das compras (R$)
Fr
eq
ue
nc
ia
20
45
77
62
25
Histograma das Compras em um Supermercado
29 
 
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Faixa Freq (fi) 
xi (ponto médio 
da faixa) 
xifi (xi-media)
2*fi 
0 a 50 25 25 625 221392,851 
50 a 100 62 75 4650 120604,4889 
100 a 150 77 125 9625 2676,007323 
150 a 200 45 175 7875 140592,2847 
200 a 250 20 225 4500 224275,8529 
Total 229 27275 709541,4847 
 
a) Média: 
10,119
229
27275


n
fx
x
ii
 
b) Desvio-padrão: 
79,55
228
4847,709541
1
)(
)(
2





n
fxx
Xdp
ii
 
 
Para o cálculo do item (c) precisamos transformar o histograma em uma tabela de frequências 
absoluta e relativa simples e acumulada: 
Faixa 
Freq. 
simples 
Freq. 
acum 
Perc. 
acum 
 0 a 50 25 25 10,9% 
 
50 a 100 62 87 38,0% Q1 
100 a 150 77 164 71,6% Q2 
150 a 200 45 209 91,3% Q3 
200 a 250 20 229 100,0% 
 
Total 229 
 
Q1 é o percentil 25 (P25) , ou seja, deixa nele e abaixo dele 25% dos dados. Na primeira faixa 
tem-se 10,9% dos dados e até a segunda faixa, ou seja, de 0 a R$100,00 tem-se uma 
concentração de 38,0% dos valores das compras. Então o P25 encontra-se na faixa entre R$50,00 
e R$100,00. 
Analogamente, encontramos as faixas de Q2 e Q3. 
 
Utilizando a fórmula da interpolação, temos, para 0 < p < 1; 
 
H
C
BA
LP ip

100
30 
 
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Resumindo os cálculos: 
 Q1 Q2 Q3 P90 
p 0,25 0,5 0,75 0,90 
Li 50 100 150 150 
A 57,25 114,5 171,75 206,10 
B 25 87 164 164 
C 62 77 45 45 
H 50 50 50 50 
Valor de Qi 76,01 117,86 158,61 196,78 
Logo, 
c) Q1 = R$ 76,01 ; Q2 =R$ 117,86 e Q3= R$ 158,61 
 
d) Desvio interquartílico: DQ = Q3 – Q1 = R$ 158,61 – R$ 76,01 = R$ 82,60 
 
e) No histograma observa-se que 77 dos 229 clientes fizeram compras entre R$ 100,00 e R$ 
150,00, logo o percentual é de aproximadamente 33,6% 
 
f) O percentil 90 (P90) fornece o valor da compra que até 90% dos clientes fazem, logo esse 
será o valor mínimo para os 10% que mais gastam. Calculando o valor desse percentil de 
maneira análoga ao item (c), verifica-se que esse valor é de R$ 196,78. 
 
Questão 4: Prevenir a propagação de trinca de fadiga em estruturas de aviões é um importante 
elemento de segurança em aeronaves. Um estudo de engenharia para investigar a trinca de fadiga 
em n=9 asas carregadas ciclicamente reportou os seguintes comprimentos (em mm) de trinca: 
2,13; 2,96; 3,02; 1,82; 1,15; 1,37; 2,04; 2,47; 2,60. Os valores calculados para essa amostra da: 
(1) média, (2) variância e (3) coeficiente de variação (CV) são, respectivamente, aproximados por: 
a) 2,173; 0,656; 0,302 
b) 2,173; 0,430; 0,198 
c) 2,173; 0,430; 0,302 
Li = limite inferior da classe que contem o percentil desejado;
A = np
B = Freqüência acumulada da classe anterior
C = freqüência da classe que contem o percentil desejado
H = Tamanho da classe que contem o percentil
31 
 
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d) 2,173; 0,656; 0,198 
Solução: 
Média: mm173,2
9
6,19
n
x
x
n
1i
i


 
Variância:  









































2
2
2
n
1i
in
1i
2
i
2
9
1i
2
i
9
1i
i
)mm(4303.0
8
443.3
19
9
56.19
953.45
1n
n
x
x
s
953.45x
56.19x
 
 
Coeficiente de variação: 
3018,0
173,2
430,0
x
s
CV 
 
 
Questão 5: Prevenir a propagação de trinca de fadiga em estruturas de aviões é um importante 
elemento de segurança em aeronaves. Um estudo de engenharia para investigar a trinca de fadiga 
em n=9 asas carregadas ciclicamente reportou os seguintes comprimentos (em mm) de trinca: 
2,13; 2,96; 3,02; 1,82; 1,15; 1,37; 2,04; 2,47; 2,60. Os valores calculados para essa amostra da: 
(1) mediana; (2) primeiro quartil; (3) terceiro quartil e (4) desvio-interquartílico, são, 
respectivamente, aproximados por: 
a) 2,173; 1,656; 3,02; 2,05 
b) 2,13; 1,595; 2,78; 1,185 
c) 2,13; 2,04; 2,60; 0,56 
d) 2,173; 1,595; 3,02; 2,04 
 
Solução: 
 
Dados ordenados: 
32 
 
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Ordem Trinca aviões 
1 1,15 
2 1,37 
3 1,82 
4 2,04 
5 2,13 
6 2,47 
7 2,6 
8 2,96 
9 3,02 
 
1) Mediana – posição 5ª., pois 50% de 9 = 4,5. Logo mediana = 2,13 
2) Primeiro quartil: do menor para o maior: 25% de 9 = 2,25, logo 2ª. posição. 
 do maior para o menor: 75% de 9 = 6,75, logo 7ª. posição. 
Valor da 2ª. posição (do menor para o maior): 1,37 
Valor da 7ª. posição (do maior para o menor): 1,82 
 Então, o valor do percentil 25, ou seja, do quartil 1 é obtido pela média aritmética desses dois 
valores: 1,595 
3) Analogamente, faz-se o cálculo para o quartil 3 – percentil 75%. São encontrados: 
Valor da 7ª. posição (do menor para o maior): 2,6 
Valor da 2ª. posição (do maior para o menor): 2,96 
Então, o valor do percentil 75 ou do quartil 3 é obtido pela média aritmética desses dois valores: 
2,78 
 
4) O desvio-interquartílico (DI) é a diferença entre os quartis 3 (Q3) e 1 (Q1): DI = Q3 – Q1, 
Então, DI = 2,78 – 1,595 = 1,185. 
 
 
Questão 6: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados: 
Grupo Peso Médio (Kg) Desvio-padrão (Kg) 
A 66,5 6,4 
B 62,7 9,8 
 
33 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Com base nesses dados podemos responder as seguintes questões: (1) qual o grupo mais 
homogêneo?; (2) se no grupo A tiver uma pessoa que pesa 78,0 Kg e no grupo B outra pessoa 
que pesa 71,0 Kg,qual delas revela menor excesso relativo de peso? 
a) Grupo A ; pessoa do grupo A 
b) Grupo B ; pessoa do grupo B 
c) Grupo B; pessoa do grupo A 
d) Grupo A; pessoa do grupo B 
Solução: 
 
Grupo Peso Médio (Kg) Desvio-padrão (Kg) CV Pessoa z-escore 
A 66,5 6,4 0,0962 78 1,7969 
B 62,7 9,8 0,1563 71 0,8469 
 
 
Coeficiente de variação: 
média
padrãodesvio
x
s
CV


 - grupo mais homogêneo: Grupo A 
 z-escore: 
dp
xx
z ii


: pessoa com menor excesso relativo de peso: pessoa do Grupo B 
 
Questão 7: Cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira (V) ou Falsa (F) para a seguinte frase: 
a forma de uma distribuição de frequência pode ser descrita usando 
a) um gráfico de box-plot ou box-whisker 
b) um histograma; 
c) um gráfico de ramo e folhas; 
d) a média e a variância; 
e) uma tabela de frequências. 
Respostas: 
a) V 
b) V 
c) V 
d) F 
e) V 
Justificativa da letra d): 
34 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
- As medidas resumo de uma característica informam apenas sua locação e oscilação 
(espalhamento, dispersão) em torno da média. Para informação sobre a forma da 
distribuição (simetria, assimetria) elas precisam agregar outras medidas, tais como os 
quartis. 
 
Questão 8: Cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira (V) ou Falsa (F) para o seguinte 
conjunto de dados: 3, 1, 7, 2, 2 
a) a média é 3; 
b) a mediana é 7; 
c) a moda é 2; 
d) a amplitude é 1; 
e) a variância é 5,5. 
Respostas: 
a) V 
b) F 
c) V 
d) F 
e) V 
Justificativa das letras (b) e (d): 
b) mediana = 2, pois ao ordenarmos os dados ele é o valor que separa os dados em 
duas partes iguais (50% para cada lado): 1 2 2 3 7 
d) Amplitude (A) é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados, 
logo, A = 7 – 1 = 6 
 
Questão 9: O histograma abaixo apresenta a distribuição dos valores, em reais, em poder de 
uma amostra de estudantes de certa universidade. Os dados coletados foram armazenados em 
uma variável chamada Dinheiro. Com base nas informações do histograma responda Verdadeiro 
(V) ou Falso (F) para cada uma das frases seguintes: 
35 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
a) O número de classes é 8 
b) 10 e 20 são os limites da primeira classe 
c) Os limites da classe de maior frequência são: 40 e 50 
d) A classe com maior frequência tem 24 alunos 
e) 40% dos estudantes estavam com até R$ 30,00 no bolso; 
f) A mediana está na 3ª. Classe e é aproximadamente R$ 36,32 
g) A mediana está na 4ª. Classe e é aproximadamente R$ 35,00 
h) A média é aproximadamente R$ 35,00 
Respostas: 
a) V 
b) F 
c) F 
d) V 
e) V 
f) F 
g) V 
h) V 
 
Justificativas das letras (b), (c) e (f): 
 
- Primeiramente, para facilitar a visualização do histograma, vamos transformá-lo em uma tabela 
de dupla entrada: 
80706050403020100
30
20
10
0
Dinheiro
Fr
eq
ue
nc
ia
5
4
19
20
24
19
16
13
36 
 
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nº Classes Ponto xi fi Xi . fi Fi% 
Perc. 
Acum. 
 
1 0 ⊢ 10 5 13 65 10,83 10,83 
2 10 ⊢ 20 15 16 240 13,33 24,16 
3 20 ⊢ 30 25 19 475 15,83 39,99 
4 30 ⊢ 40 25 24 840 20 59,99  mediana 
5 40 ⊢ 50 45 20 900 16,67 76,66 
6 50 ⊢ 60 55 19 1045 15,83 92,49 
7 60 ⊢ 70 65 4 260 3,33 95,82 
8 70 ⊢ 80 75 5 375 4,17 99,99 
 120 4200 99,99 
 
(b) A 1ª classe é 0 ⊢ 10 , logo seus limites são 0 e 10. 
(c) A classe de maior frequência é a 4ª classe, com limites 30 e 40 e com 24 alunos 
 
(f) A mediana está na 4ª classe e é aproximadamente R$ 35,00. Pode-se verificar pelo percentual 
acumulado que até o limite superior dessa classe, 40, tem-se 59,99% dos dados. O valor pode ser 
estimado pela ogiva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
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ou calculado por interpolação: 
 
 , 0 < p <1 
 
 
Logo, 
 
 
Questão 10: Por engano o professor omitiu uma nota no grupo dos 7 alunos que não praticam 
exercícios físicos. As notas dos seis alunos restantes são: 72, 76, 82, 74, 65 e 64. A média das 7 
notas é 72,86. O valor da nota omitida é: 
a) 72,86 
b) 85,07 
c) 77,02 
d) 69,89 
Solução: 
Li = limite inferior da classe que contem o percentil desejado;
A = np
B = Freqüência acumulada da classe anterior
C = freqüência da classe que contem o percentil desejado
H = Tamanho da classe que contem o percentil
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Dinheiro (R$)
Pe
rc
 A
cu
m
ul
ad
o
H
C
BA
LP ip

100
3553010
24
4860
30P50 


38 
 
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Vamos supor que ele tenha esquecido a x7 . Temos: 
02,77
43302,510
43302,510
7
646574827672
86,72
86,72
7
7
7
7







x
x
x
x
n
x
x
x
i∑
 
 
Questão 11: Em certo ano, uma universidade pagou a cada um de seus 45 professores auxiliares 
um salário médio mensal de R$1.500,00, a cada um de seus 67 professores assistentes 
R$2.000,00, a cada um de seus 58 professores adjuntos R$2.600,00, e a cada um de seus 32 
professores titulares R$3.000,00. Qual o salário médio mensal dos docentes dessa universidade? 
a) R$2.275,00 
b) R$2.219,31 
c) R$2.000,00 
d) R$1.875,56 
Solução: 
A média do salário é ponderada pela categoria do professor. Temos: 
31,2219
202
448300
x
32586745
)32)(3000()58)(2600()67)(2000()45)(1500(
p
px
x
i
ii





∑
 
 
Questão 12: Certa marca de lâmpada que dura 1020 horas tem escore padronizado z = 2. 
Sabendo-se que as vidas dessas lâmpadas têm coeficiente de variação (CV) de 14%, a média e o 
desvio-padrão das vidas das lâmpadas, são respectivamente: 
a) 796,88 ; 58,96 
b) 720,85 ; 58,96 
c) 510 ; 14,0 
d) 796,88 ; 111,56 
39 
 
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Solução: 
Temos as seguintes fórmulas do escore padronizado (z) e do coeficiente de variação (CV), 
respectivamente: 
)X(dp
xx
z ii


 ; 
x
)X(dp
CV 
, as quais relacionam as duas incógnitas – média (
x
) 
e desvio-padrão (dp(X)) 
Seja a v.a. X: tempo de vida das lâmpadas, em horas. 
Xi =1020 
Temos: (3) x0,14dp(X) (2) de 
x
)X(dp
14,0 )2(
)X(dp
xx
2 )1( i











 
 Levando a equação obtida em (3) em (1) temos: 
796,88x1020x1,28 x1020)x14,0(2 
 
Logo, em (3) obtemos dp(X) =111,56 
 
Questão 13: O gráfico a seguir, apresenta as medidas do tórax dos ursos de certa área de 
preservação. Essas medidas são feitas para facilitar a estimação dos pesos dos ursos, em kg, por 
meio de um modelo estatístico. 
 
 
Os valores estimados para a mediana e o terceiro quartil são respectivamente: 
Ogiva: Tórax dos Ursos
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
5060 70 80 90 100 110 120 130 140
toráx (cm)
P
er
ce
n
tu
al
 A
cu
m
u
la
d
o
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
a) 87 ; 106 
b) 50 ; 75 
c) 95 ; 130 
d) 75 ; 125 
Solução: 
Os valores estimados são obtidos diretamente no gráfico: 
Mediana é o percentil 50, logo traçando uma reta paralela ao eixo das abscissas – tórax -, no valor 
50% do eixo das ordenadas – percentual acumulado - , até encontrar a curva, e projetando esse 
ponto encontrado, obtemos aproximadamente 87 (vide figura) 
 
Analogamente, o terceiro quartil é o percentil 75% - 75% dos dados nele ou abaixo dele. 
Repetindo o mesmo processo para ele, obtemos o ponto aproximado: 106 (vide figura) 
 
 
Questão 14: O gráfico a seguir, apresenta as medidas do tórax dos ursos de certa área de 
preservação. Essas medidas são feitas para facilitar a estimação dos pesos dos ursos, em kg, por 
meio de um modelo estatístico. 
 
Ogiva: Tórax dos Ursos
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
toráx (cm)
Pe
rc
en
tu
al
 A
cu
m
ul
ad
o
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
 
Um urso com 90 cm de tórax está aproximadamente no percentil: 
a) 50 
b) 75 
c) 58 
d) 25 
Solução: 
Repita o processo da questão 13, invertendo o sentido. A seta agora parte do ponto 90 do eixo 
das abscissas e encontra o ponto da curva e o mesmo é projetado no eixo das ordenadas, 
encontrando assim o valor aproximado de 58% - Percentil 58 (ou seja, 58% dos dados estão nele 
ou abaixo dele) 
 
 
Questão 15: O gráfico a seguir, apresenta as medidas do tórax dos ursos de certa área de 
preservação. Essas medidas são feitas para facilitar a estimação dos pesos dos ursos, em kg, por 
meio de um modelo estatístico. 
 
Ogiva: Tórax dos Ursos
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
toráx (cm)
P
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ce
n
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
 
O percentual estimado de ursos com tórax medindo acima de 115 cm é: 
a) 82% 
b) 18% 
c) 68% 
d) 25% 
Solução: 
Repita o processo da questão 138, invertendo o sentido. A seta agora parte do ponto 115 do eixo 
das abscissas e encontra o ponto da curva e o mesmo é projetado no eixo das ordenadas, 
encontrando assim o valor aproximado de 82% - Percentil 82. 
Como queremos o percentual estimado acima dele, temos que 100% - 82% = 18%. 
 
Questão 16: Se multiplicarmos cada um dos n elementos de um conjunto de dados X por uma 
constante b, podemos concluir que a nova média e a nova variância calculadas serão, 
respectivamente: 
a) adicionada de b; adicionada de b 
b) multiplicada por 2b ; multiplicada por 2b
 
c) multiplicada por b; multiplicada por 2b
 
Ogiva: Tórax dos Ursos
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
toráx (cm)
P
er
ce
n
tu
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 A
cu
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
d) multiplicada por (nb); adicionada de (nb) 
Solução: 
Seja o conjunto de dados X = {x1, x2,..., xn}, com n elementos. 
Temos, para esse conjunto: a média é dada por: 
n
x
x
n
i
i
 1
 
e a variância por: 1n
)xx(
)X(Var
n
1i
2
i





, que também pode ser escrita por: 
1n
xnx
)X(Var
2
n
1i
2
i





 
Seja o conjunto de dados, Y = bX ={bx1, bx2, ..., bxn}
 
A média de Y: xb
n
xb
n
bx
y
n
ii
i
n
ii
i


 
E a variância de Y: 
)X(Varb
1n
xnx
b
1n
xnbxb
1n
)xb(n)bx(
)Y(Var 2
2
n
1i
2
i
2
22
n
1i
2
i
22
n
1i
2
i











 
 
 
Questão 17: Se adicionarmos uma constante b a cada um dos n elementos de um conjunto de 
dados X, podemos concluir que a nova média e a nova variância calculadas serão 
respectivamente: 
a) adicionada de b; multiplicada por 2b
 
b) adicionada de b; não se altera 
c) não se altera; adicionada de b 
d) adicionada de (nb); multiplicada por (nb) 
Solução: 
Seja o conjunto de dados X = {x1, x2,..., xn}, com n elementos. 
44 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Temos, para esse conjunto: a média é dada por: 
n
x
x
n
1i
i

 
e a variância por: 1n
)xx(
)X(Var
n
1i
2
i





, que também pode ser escrita por: 
1n
xnx
)X(Var
2
n
1i
2
i





 
Seja o conjunto de dados, Y = X+b ={x1+b, x2 +b, ..., xn+b}
 
 
A média de Y: bx
n
nbx
n
)bx(
y
n
ii
i
n
ii
i






 
 
E a variância de Y: 
)X(Var
1n
xnx
1n
)bxb2x(nbxb2x
1n
)bx(n)bx(
)Y(Var
2
n
1i
2
i
22
n
1i
2
n
1i
i
n
1i
2
i
2
n
1i
2
i












 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Unidade 4 
 
 
Questão 1: Com base em experiências passadas, sabe-se que a resistência à quebra de um fio 
usado na fabricação de material moldável é normalmente distribuída com desvio-padrão 

 = 2 
psi. Uma amostra aleatória de nove espécimes é testada e a resistência média à quebra é 98 psi. 
Uma estimativa intervalar, com 95% de confiança, para a resistência média da população é 
aproximadamente: 
a) 96,7 a 99,3 
b) 93,1 a 102,9 
c) 95,3 a 95,7 
d) 96,0 a 100,0 
Solução: 
Seja X: resistência à quebra do fio, em psi 
X ~ N(

; 2) 
Dados do problema: n = 9; 
x
= 98; 

= 2 
Para 95% de confiança, o nível de significância, 

= 5%, logo, 
025,0
2
zz 
= 1,96 
O erro máximo provável ou margem de erro amostral: E = 

9
2
96,1
1,307 
I.C. com 95% de confiança: 
Ex 
 

 98 ± 1,307 

 (96,7; 99,3) 
 
Questão 2: De 1000 casos selecionados aleatoriamente de câncer de pulmão, 823 resultaram em 
morte dentro de 10 anos. Considerando esses dados, temos: (1) a estimativa pontual para a 
verdadeira proporção (p) de mortes nesse período e (2) o tamanho necessário da amostra para 
estar 95% confiante de que o erro em estimar o valor verdadeiro de p seja no máximo de 0,03 
são, respectivamente, aproximados por: 
a) 0,0823 e 622 
b) 0,823 e 500 
c) 0,0823 e 500 
d) 0,823 e 622 
 
Solução: 
 
46 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
1) Estimativa pontual para a verdadeira proporção: 
1000
823
pˆ 
= 0,823/10 anos 
2) Para 

= 5%, 
025,0
2
zz 
= 1,96; o erro máximo provável: E = 0,03 
Da fórmula do cálculo de E, temos: E = 
n
)pˆ1(pˆ
z
2


, donde obtemos: 
)177,0)(823,0(
03,0
96,1
)p1(p
E
z
n
2
2
2 

















  = 621,789
622 
 
Questão 3: Um sistema operacional de um computador pessoal tem sido estudado 
extensivamente. Sabe-se que o desvio-padrão do tempo de resposta seguinte a um comando 
particular é 

= 8 milissegundos. Uma nova versão do sistema operacional é instalada e 
desejamos estimar o tempo médio de resposta do novo sistema, de modo a assegurar que um 
intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média 

 tenha um comprimento de no máximo 5 
milissegundos. Se puder considerar que o tempo de resposta é normalmente distribuído e que 

= 8 milissegundos par ao novo sistema, o tamanho da amostra recomendado é de 
aproximadamente: 
a) 100 
b) 72 
c) 40 
d) 10 
Solução: 
Seja X: tempo de resposta a um comando particular, em milisegundos 
X ~ N(

; 8) 
 
Para 95% de confiança, o nível de significância, 

= 5%, logo, 
025,0
2
zz 
= 1,96 
I.C. com 95% de confiança: 
Ex 
 
  )Ex( )Ex( 
= 5 

E = 2,5 
De E, temos: 











 
 
22
2 5,2
8
96,1
E
zn
40 
 
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Questão 4: O calor liberado, em calorias por grama, de uma mistura de cimento tem distribuição 
aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Deseja-se testar as 
hipóteses: 
100:H0 
 versus 
100:H1 
 com uma amostra de 9 espécimes. Se a região de 
aceitação da hipótese nula for definida como 98,5 ≤ 
x
≤ 101,5, a probabilidade 

 do erro tipo I é 
aproximadamente: 
a) 0,05 
b) 0,024 
c) 0,012 
d) 0,09 
 
Solução: 
X: calor liberado em calorias por grama 
X ~ N (100; 2) 
n =9 e 
x
=100 
I.C. com 95%: 
x
± E 
Mas, I.C. com 95%: 98,5 ≤ 
x
≤ 101,5 
Logo, a amplitude do intervalo de confiança é 101,5 – 98,5 = 3 = 2E, donde E = 1,5 
Por definição, 
25,2
2
9
5,1
n
Ez 
n
zE
22




 
 
E a P(Z < -2,25) = P(Z > 2,25) = 0,01224 – da tabela da normal 
Dessa maneira, 

= P(Rejeitar H0 | H0 é verdadeira) = p-valor = 2(0,01224) = 0,024448  2,4% 
 
Questão 5: O calor liberado, em calorias por grama, de uma mistura de cimento tem distribuição 
aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Deseja-se testar as 
hipóteses: 
100:H0 
 versus 
100:H1 
 com uma amostra de 9 espécimes. Se a região de 
aceitação da hipótese nula for definida como 98,5 ≤ 
x
≤ 101,5, o valor da probabilidade 

 do erro 
tipo II para o caso em que o verdadeiro calor médio liberado seja de 103, é aproximadamente: 
a) 0,05 
b) 0,024 
c) 0,012 
d) 0,09 
 
48 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Solução: 
X: calor liberado em calorias por grama 
X ~ N (100; 2) 
 
Para 

=103, temos 

=P(98,5 ≤ 
x
 ≤ 101,5 | 

=103) 
















9
2
1035,101
9
2
103x
9
2
1035,98
P
= P(-6,75 ≤ Z ≤ -2,25) 
 = P(Z ≤ -2,25) - P(Z ≤ -6,75) = 0,01222 – 0 
 
Logo, 

0,012 
 
Questão 6: Um fabricante está interessado na voltagem de saída de um fornecimento de energia 
usado em um computador pessoal. A voltagem de saída é considerada normalmente distribuída 
com desvio-padrão de 0,25 V. O fabricante deseja testar 
5:0 H
 V contra 
5:1 H
 V., 
usando uma amostra com 8 unidades. Decida se cada uma das afirmativas a seguir é Verdadeira 
(V) ou Falsa (F): 
Solução: 
Seja X : voltagem de saída, em V. 
X ~ N (

; 0,25) 
n=8, 
  088,0;N~X 
8
25,0
;N~X 






 
 
a) Se a região de aceitação for de 4,85 ≤ 
x
≤ 5,15. Podemos afirmar que a probabilidade 
do erro tipo I (

) é 0,089; 
Correta: V 
Solução: 
 
 
 
 
 
49 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
     
        08913,0044565,0270,1270,170,1
8
25,0
15,0
8
25,0
15,0
8
25,0
515,5
8
25,0
585,4
515,585,45I tipo erro

























































ZPZPZP
ZPZPZPZP
XPXPP 
 
 
 
b) A potência (ou poder) do teste para detectar uma voltagem de saída média verdadeira 
de 5,1 V é de 28,7%; 
Correta: V 
Solução: 
Região de aceitação de H0: 4,85 ≤ x ≤ 5,15 
 
Para 

=5,1, temos 

=P(4,85 ≤ 
x
 ≤ 5,15 | 

=5,1) 





 





088,0
1,515,5
088,0
1,5x
088,0
1,585,4
P
= P(-2,84 ≤ Z ≤ 0,57) 
 = P(Z ≤ 0,57) - P(Z ≤ -2,84) = 0,715661 – 0,002256 = 0,713405 
 
Logo, Poder do teste é 1 - 

1 – 0,713405 

0,2866 (28,7%) 
 
c) Se a amostra selecionada for de 16 unidades e a região de aceitação de (a) for 
 
Correta: F 
Solução: 
 
Se n = 16 então  









16
25,0
;N~X
  
 0625,0;N~X 
 
Por Simetria 
50 
 
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    0164,00082,024,22
0625,0
15,0
0625,0
15,0
16
25,0
515,5
16
25,0
585,4












 





























ZP
ZPZPZPZP


 
Logo  é menor. 
 
d) Se a amostra selecionada for de 16 unidades e a região de aceitação de (a) for 
 
Correta: V 
Solução: 
Correta, pois em (a) n = 8 e  = 0,089; 
E em (c) n = 16 e  = 0,0164. 
Logo  é menor. 
 
Questão 7: Uma amostra aleatória de 300 circuitos apresentou 13 defeituosos. O fabricante 
deseja testar 
05,0:1 pH
, com um nível de significância de 5% (

 = 0,05). O valor p para a 
estatística do teste Z0, considerando 
n
pp
pp
Z
)1(
ˆ
00
0
0



, é aproximadamente: 
a) 0,425 
b) 0,050 
c) 0,950 
d) 0,575 
Solução: 
A proporção de defeituosos estimados nessa amostra: 
043,0
300
13
p 

 
A hipótese levantada pelo fabricante é que a proporção de defeituosos na população é diferente 
de 5% - não importando se ela é maior ou menor - : H1: p  p0 = 0,05, 
Por outro lado, a hipótese nula irá afirmar que a verdadeira proporção é de exatamente 5% - e 
ela será julgada para sabermos se é Falsa (rejeitar) ou Verdadeira (aceitar) considerando um nível 
de confiança de 95%. Ter uma confiabilidade de 95% significa que a probabilidade máxima que se 
0 (dizer que 
ela é falsa quando na realidade ela é verdadeira). 
51 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 Logo, 
H0: p = p0 = 0,05 
 
 = 5%  
96,1z
2

 
  
56,0
01258,0
007,0
300
95,005,0
05,0043,0
z bs0 




 
p–valor = 2P (Z  z0bs) = 2P (Z  - 0,56) = 2 (0,28774) = 0,57548  0,575 
 
Questão 8: As medidas de alcatrão em um cigarro da marca X obtidas de uma amostra acusou 
uma média amostral de 14,4 e um erro padrão de 0,12 miligramas por cigarro. Um serviço de 
defesa do consumidor pretende provar que o conteúdo médio de alcatrão por cigarro é maior que 
14,1. Suponhaque o conteúdo de alcatrão por cigarro tenha distribuição normal. Faça o teste 
estatístico adequado usando um nível de significância de 5%. Decida se cada uma das afirmações 
a seguir é Verdadeira (V) ou Falsa (F): 
a) O serviço de defesa do consumidor está correto, pois o teste indica rejeição de H0 
b) O serviço de defesa do consumidor está incorreto, pois o teste indica aceitação de H0 
c) O serviço de defesa do consumidor está correto, pois p-valor = 0,006 
d) O serviço de defesa do consumidor está incorreto, pois p-valor é maior que 0,05 
Solução: 
X: conteúdo de alcatrão por cigarro 
1,14:H
1,14:H
1
0


 
50,2
12,0
1,144,14
zobs 


 
Teste unilateral, então p-valor = P(Z > zobs) = P(Z > 2,50) = 0,0062110 0,006 
 
Conclusão: p-valor < 0,05 

a hipótese nula é rejeitada (ela é falsa) 

hipótese alternativa é 
aceita como verdadeira 
a) O serviço de defesa do consumidor está correto, pois o teste indica rejeição de H0 
VERDADEIRA 
 
b) O serviço de defesa do consumidor está incorreto, pois o teste indica aceitação de H0 
FALSA 
52 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
c) O serviço de defesa do consumidor está correto, pois p-valor = 0,006 
VERDADEIRA 
 
d) O serviço de defesa do consumidor está incorreto, pois p-valor é maior que 0,05 
FALSA 
 
Questão 9: Uma indústria deseja avaliar se o detergente líquido neutro e o limão são 
igualmente preferidos pelos consumidores. Em uma amostra de 250 consumidores, 145 
expressaram sua preferência pelo detergente líquido neutro, enquanto os 105 restantes preferem 
o detergente líquido limão. Com base nessa amostra e considerando 

=0,05, escolha a 
alternativa correta para as seguintes questões: (1) a estimativa pontual da proporção de 
consumidores que preferem o detergente líquido neutro e (2) o erro máximo cometido na 
estimação da verdadeira proporção de consumidores que preferem o detergente líquido neutro são 
respectivamente: 
a) 42% e 6,12% 
b) 58% e 6,12% 
c) 42% e 3,1% 
d) 58% e 3,1% 
Correta: B 
Solução: 
H0 : p = 0,50 (os detergentes são igualmente preferidos) 
H1 : p  0,50 (as preferências pelos detergentes são diferentes) 
(1) Proporção estimada para detergente liquido neutro: 
58,0
250
145
pˆ  
(2) 
06118,0
250
)58,01(58,0
96,1E 


 (

6,12%) 
 
Questão 10: Em um estudo para estimar a fração (proporção) de circuitos integrados defeituosos 
produzidos em um processo de fotolitografia foi retirada uma amostra de 300 circuitos para serem 
testados e foram encontrados 13 defeitos. Utilizando a estimativa pontual de p, obtida nessa 
amostra preliminar, o tamanho necessário da amostra para se estar 95% confiante de que o erro 
em estimar o verdadeiro valor de p seja no máximo 0,03. 
a) 176 
53 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
b) 246 
c) 150 
d) 285 
Correta: A 
Solução: 
A proporção de defeituosos estimados nessa amostra: 
043,0
300
13
p 

 
 = 5%  
96,1z
2

 
Do erro máximo provável temos: 







 







 

n
pp
z
n
pp
zE
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ
22

. Isolando o valor de n 
dessa fórmula obtemos: 
.
)ˆ1(ˆ
2
2 






 

E
pp
zn 
 
 
20286,0041151,0)043,01(043,0)ˆ1(ˆ  pp
 
 Então, 
.7,175)25,13(
03,0
20286,0
96,1
)ˆ1(ˆ 2
22
2














 

E
pp
zn 
 
 
Conclusão: o tamanho da amostra necessário será de no mínimo 176 circuitos. 
 
 
Questão 11: Uma indústria deseja avaliar se o detergente líquido neutro e o limão são 
igualmente preferidos pelos consumidores. Em uma amostra de 250 consumidores, 145 
expressaram sua preferência pelo detergente líquido neutro, enquanto os 105 restantes preferem 
o detergente líquido limão. Com base nessa amostra e considerando 

=0,05, escolha a 
alternativa correta para as seguintes questões: (1) a estimativa pontual da proporção de 
consumidores que preferem o detergente líquido limão; e (2) o p-valor indicando a existência de 
diferença significativa entre a popularidade dos dois tipos de detergente líquido; são 
respectivamente: 
a) 58% e 1,1% 
b) 42% e 1,1% 
c) 42% e 0,57% 
54 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
d) 58% e 0,57% 
e) 58% e 3,1% 
Correta: B 
Solução: 
Hipóteses: 
H0 : p = 0,50 (os detergentes são igualmente preferidos) 
H1 : p  0,50 (as preferências pelos detergentes são diferentes) 
(1) Proporção estimada para detergente liquido limão: 
42,0
250
105
pˆ  
(2) Estatística do teste: 
53,2
250
)50,01(50,0
50,042,0
n
)p1(p
ppˆ
z
00
0
obs 






 
Teste bilateral, então p-valor = 2P(Z < zobs) = 2P(Z < -2,53= 2(0,005703)=0,011406 ( 1,1%) 
 
Conclusão: p-valor < 0,05 

a hipótese nula é rejeitada (ela é falsa) 

hipótese alternativa é 
aceita como verdadeira, ou seja, a preferência pelos detergentes é diferente. 
 
 
Questão 12: Um engenheiro do controle de qualidade mediu a espessura da parede de 25 
garrafas de 2 litros e encontrou uma média de 4,05 milímetros e um desvio-padrão de 0,08 
milímetros. Dessa maneira, o engenheiro conclui, com 95% de confiança, que a verdadeira média 
da produção de garrafas possui espessura, em milímetros, entre: 
a) 4,15 e 4,25 
b) 5,05 e 6,01 
c) 4,02 e 4,08 
d) 4,03 e 5,03 
Correta: C 
Solução: 
Seja X: espessura das garrafas, em mm 
Temos: n=25 ; 
;05,4x 
 
08,0)X(dp 
 
 = 5%  
96,1z
2

 
03136,0)016,0)(96,1(
25
08,0
96,1E  
55 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
 
Estimativa intervalar com 95% de confiança: 4,05 

0,03136

(4,02 ; 4,08) 
 
Questão 13: Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de 
automóveis, 10 têm um acabamento de superfície que é mais rugoso que as especificações 
permitidas. O tamanho da amostra que deverá ser utilizada no caso de se querer estar com uma 
confiabilidade de 95% de que o erro em usar essa proporção para estimar a proporção verdadeira 
de superfícies fora das especificações seja menor que 5% é aproximadamente: 
a) 385 
b) 176 
c) 185 
d) 160 
 
Correta: D 
Solução: 
A proporção de defeituosos estimados nessa amostra: 
1176,0
85
10
p 

 
 = 5%  
96,1z
2
 
E = 5% = 0,05
 
Do erro máximo provável temos: 







 







 

n
pp
z
n
pp
zE
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ
22

. Isolando o valor de n 
dessa fórmula obtemos: 
.
)ˆ1(ˆ
2
2 






 

E
pp
zn 
 
 
3221,010376,0)1176,01(1176,0)pˆ1(pˆ 
 
 Então, 
.46,159)627,12(
05,0
3221,0
96,1
E
)pˆ1(pˆ
zn 2
22
2














 
 
 
 
Conclusão: o tamanho da amostra necessário será de no mínimo 160 mancais. 
 
56 
 
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Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Questão 14: Em certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é 
aproximadamente normal, com médiade 53 segundos e desvio-padrão de 14 segundos. Depois de 
realizadas algumas modificações no sistema, foram observadas que, em 30 consultas, o tempo 
médio caiu para 45 segundos. Há evidência de melhora? Admita que as 30 observações possam 
ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use 

=1%. 
Solução: 
Seja X: tempo para realização das tarefas, em segundos (s) 
X ~ N(53; 14) 
Após modificações: n = 30 e 
x
=45 s 
 
Hipóteses: H0 : 

= 53 vs H1 : 

< 53 
Estatística do teste: 
13,3
30
14
5345





n
x
zobs 
 
Teste unilateral para 

= 1%
32,2z 0,01 
 
Indicação do teste: rejeição de H0 , pois zobs < z0,01 
p-valor = P(Z < zobs) = P(Z < -3,13)= P(Z > 3,13)= 0,5 - 0,4991=0,0009 (  0,09%) 
 
Conclusão: p-valor < 0,05 

a hipótese nula é rejeitada (ela é falsa) 

hipótese alternativa é 
aceita como verdadeira, ou seja, o tempo médio realmente diminuiu. 
 
Questão 15: Padrões técnicos exigem que o nível de ruído em CPDs seja de, no máximo, 70 dB. 
Foram analisados 16 CPDs de várias organizações, obtendo-se os seguintes valores máximos de 
ruído: 
78 73 68 65 72 64 77 80 82 78 65 72 61 79 58 65 
 
a) Calcule a intensidade de ruído média e o desvio-padrão para esses 16 CPDs. 
Solução: 
 
Tem-se: n = 16; 
 x
= 1137 ; 
 2x
= 81639 

16
1137
x
71,06 
57 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
   
49,7
15
16
1137
81639
1
22
2








n
n
x
x
s 
 
b) Suponha que os 16 CPDs analisados são uma amostra aleatória de CPDs do país e que sejam 
normalmente distribuídos. Para verificar se na média os CPDs atendem aos padrões técnicos, 
como você construiria as hipóteses? 
Solução: 
 
As hipóteses a serem testadas são: 
H0 : 
70
 vs H1 : 
70
 
 
c) Você pode concluir que a intensidade de ruído média dos CPDs nos horários críticos é superior 
ao especificado? Faça o teste adequado ao nível de significância de 5%. 
Solução: 
 
Considerações: amostra proveniente de uma população normal com variância desconhecida e 
n<30 → teste a ser aplicado: T 
 
Para verificar se a amostra tem intensidade superior a especificado podemos verificar as hipóteses: 
 
57,0
16
49,7
7006,71





n
s
x
tobs
 
 
Para o teste do item (b), unilateral à esquerda, e ao nível de significância de 5%, com 15 graus de 
liberdade, tem-se o tcrítico = t0,05; 15 = 1,753 
 
Como tobs < tcritico a indicação do teste é aceitação da hipótese nula, ou seja, a intensidade de 
ruído média dos CPDs não é superior ao especificado, com 95% de confiabilidade. 
 
d) Sob o ponto de vista dos que trabalham nos CPDs, qual o pior erro? Explique. 
Solução: 
 
58 
 
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Do ponto de vista dos que trabalham o pior erro é aceitar H0 (dizer que é verdadeira) quando na 
realidade ela é falsa, que é o erro tipo II com probabilidade 

. 
 
Questão 16: Foram realizados 10 ensaios aleatórios para verificar se os catalisadores A e B têm 
efeitos diferentes no rendimento, em percentual, de certa reação química, considerando um nível 
de significância de 5%. Sabe-se que as duas amostras são provenientes de populações normais 
com variâncias iguais, porém desconhecidas. Os resultados estão apresentados na tabela a 
seguir: 
Catalisador Amostra n 
Rendimento (%) 
Média Variância 
A 1 10 49,9 35,656 
B 2 10 44,7 42,233 
 
Solução: 
 
As hipóteses são: 
0:
0:
211
210




H
H
 
 
Em que, H0 significa que em média, os dois catalisadores são iguais em termos de rendimento e, 
H1 significa que em média, os dois catalisadores são diferentes em termos de rendimento e 
 
A variância amostral combinada (
2
cs
) é obtida por: 
945,38
21010
)233,42)(110()656,35)(110(
2
)1()1(
21
2
21
2
112 






nn
snsn
sc
 
Logo, sc≈ 6,241
 
 
E a estatística do teste: 
86,1
791,2
2,5
10
1
10
1
241,6
7,449,49



tbst
 
 
Pela tabela tem-se que o valor crítico é 
18;025,0t
 = 2,101 . 
 
Como tobs < tcrítico a indicação do teste é a aceitação da hipótese nula (ela é verdadeira), ou seja, 
os dois catalisadores tem rendimentos médios iguais, com 95% de confiabilidade. 
 
O p-valor não pode ser obtido diretamente na tabela, mas o p-valor = 2P(T >1,86), logo 0,05 < 
p-valor < 0,10, pois 1,86 está entre os valores: 1,734 e 2,101, com 18 graus de liberdade. 
59 
 
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Obs: o p-valor exato, obtido por meio de software estatístico, é 0,079 > 0,05, indicando a 
aceitação da hipótese nula ao nível de 5% de significância. 
 
 
 Questão 17: Dois fornecedores fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora 
a laser. A resistência do impacto (medida em lbf-ft) dessas engrenagens é uma característica 
importante. Uma amostra aleatória de 10 engrenagens do fornecedor 1 resulta em 
1x
= 290 e 
1s
 
= 12, enquanto a outra amostra aleatória de 16 engrenagens do segundo fornecedor resulta em 
2x
 = 321 e 
2s
 = 22. 
a) Há evidência confirmando a afirmação de que o fornecedor 2 fornece engrenagens com 
maiores resistências medias ao impacto? Use 

 = 0,05 e considere que ambas as 
populações sejam normalmente distribuídas com variâncias desconhecidas. 
b) Aproxime o p-valor do teste. 
 
Solução: 
As máquinas são provenientes de população com variâncias desconhecidas, logo o teste a ser 
aplicado é o T. 
Os dados fornecidos: 
Fornecedor Média Desvio-padrão (s) Variância (s2) n 
1 290 12 144 10 
2 321 22 484 16 
 
a) As hipóteses a serem testadas: 
Solução: 
 
H0: μ1 – μ2 = 0 vs H1: μ1 – μ2 < 0 ( μ1 < μ2) 
 
Temos que a variância combinada para as duas amostras é: 
8812,185,356
24
8556
21610
)484)(116()144)(110(2 


 cc ss
 
 
A estatística do teste: 
 
60 
 
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07,4
6113,7
31
10
1
10
1
8812,18
321290





obst
 
 
O valor crítico para a área de rejeição de H0 é tc = -t0,05; 24 =-1,711 
 
Como tobs < tc o teste indica a rejeição de H0 
Então, pode-se concluir, com 95% de confiabilidade, que existem evidências que o fornecedor 2 
fornece as engrenagens com maior resistência média ao impacto que o fornecedor 1. 
 
b) Estimativa do p-valor = P(T < -4,07) 

0,000, pois P(T > t24 = 3,745)= 0,0005. 
 
 
Questão 18: Uma empresa de cerveja, após uma grande fusão, estuda a possibilidade de alterar 
o rótulo de uma de suas marcas, usando formas e cores mais vivas. Para avaliar se existe 
vantagem em alterar o rótulo, a empresa realizou uma pesquisa de marketing. Enlatou a cerveja 
com o rótulo tradicional e com o rótulo novo. A pesquisa foi feita em 12 estabelecimentos 
comerciais com apresentação das duas embalagens do produto feitas de maneiras idênticas. Em 6 
deles, extraídos por sorteio, colocou-se o produto com o rótulo novo e, nos outros 6, manteve-se o 
produto com o rótulo tradicional. Após um mês avaliou-se a quantidade, em milhares de unidades, 
vendida em cada estabelecimento. Os estabelecimentos queusaram o rótulo novo, grupo 1, 
tiveram uma venda média de 
1x
 = 26 e desvio-padrão de s1 = 10,5 e os com rótulo tradicional, 
grupo 2, obtiveram uma venda média de 
2x
 = 22 e desvio-padrão de s2 = 7,6. Os dados 
mostram evidência suficiente de que a média de vendas é superior com o rótulo novo ao nível de 
significância de 5%? 
Solução: 
As vendas nos estabelecimentos são provenientes de populações com variâncias desconhecidas, 
logo o teste a ser aplicado é o T. 
Os dados fornecidos: 
Estabelecimento - Rótulo Média Desvio-padrão (s) Variância (s2) n 
1 – Novo 26 10,5 110,25 6 
2 – Tradicional 22 7,6 57,76 6 
 
As hipóteses a serem testadas: 
61 
 
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Solução: 
 
H0: μ1 – μ2 = 0 vs H1: μ1 – μ2 > 0 ( μ1 > μ2) 
 
Temos que a variância combinada para as duas amostras é: 
165,9005,84
10
05,840
266
)76,57)(16()25,110)(16(2 


 cc ss
 
 
A estatística do teste: 
 
76,0
291,5
4
6
1
6
1
165,9
2226



obst
 
 
O valor crítico para a área de rejeição de H0 é tc = t0,05; 10 =1,812 
 
Como tobs < tc o teste indica a não rejeição de H0, ou seja, H0 é verdadeira. 
 
Então, pode-se concluir, com 95% de confiabilidade, que não existem evidências que o rótulo 
novo (amostra 1) tenha valor médio de vendas superior ao dos rótulos tradicionais. 
 
Estimativa do p-valor = P(T > 0,76), como com 10 graus de liberdade, tem-se 0,70 < 0,76 < 
0,879 então 0,25 < p-valor < 0,20, ou seja p-valor é maior que 5%. 
 
Obs: o p-valor exato, obtido por meio de software estatístico, é 0,234 > 0,05, indicando a 
aceitação da hipótese nula ao nível de 5% de significância. 
 
Questão 19 (Variação do experimento da Questão 18): Uma empresa de cerveja, após uma 
grande fusão, estuda a possibilidade de alterar o rótulo de uma de suas marcas, usando formas e 
cores mais vivas. Para avaliar se existe vantagem em alterar o rótulo, a empresa realizou uma 
pesquisa de marketing. Enlatou a cerveja com o rótulo tradicional e com o rótulo novo. A 
pesquisa foi feita em 6 estabelecimentos comerciais e as duas embalagens, rótulo 
tradicional e rótulo novo, foram apresentadas de maneiras idênticas. Após um mês 
62 
 
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avaliou-se o resultado das vendas, em milhares de unidades, vendida em cada estabelecimento e 
em cada embalagem. Foram obtidos os seguintes dados: 
Estabelecimento 1 2 3 4 5 6 
Rótulo Novo 20 11 33 40 21 31 
Rótulo Tradicional 16 12 28 32 19 25 
 
Os dados mostram evidência suficiente de que a média de vendas é superior com o rótulo novo ao 
nível de significância de 5%? 
Solução: 
Nesse caso, as amostras apresentadas nos estabelecimentos são pareadas, ou seja, elas possuem 
um grau de dependência entre elas. 
Para analisar, o procedimento é feito por meio da diferença entre os valores das vendas dos 
rótulos e essa nova variável passa a ser analisada como se fosse apenas uma, ou seja, 
Estabelecimento 1 2 3 4 5 6 
Rótulo Novo 20 11 33 40 21 31 
Rótulo Tradicional 16 12 28 32 19 25 
Diferença (D) 4 -1 5 8 2 6 
 
O teste é feito considerando a variável D = vendas do rótulo novo – vendas do rótulo tradicional. 
 
As hipóteses a serem testadas: 
Solução: 
 
H0: d = 0 vs H1: d > 0 (o que significa que μ1 > μ2: média das vendas do rótulo novo maior 
que média das vendas do rótulo tradicional) 
 
Calculando as média é o desvio-padrão para D, obtém-se 
Temos que a variância combinada para as duas amostras é: 
d
= 4,0 e sd = 3,16 
 
A estatística do teste será: 
 
10,3
29,1
0,4

n
s
d
t
d
obs
 
 
63 
 
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O valor crítico para a área de rejeição de H0 é tc = t0,05; 5 =2,015 
 
Como tobs > tc o teste indica a rejeição de H0, ou seja, H0 é falsa. 
 
Então, pode-se concluir, com 95% de confiabilidade, que existem evidências que o rótulo novo 
(amostra 1) tenha valor médio de vendas superior a dos rótulos tradicionais. 
 
Estimativa do p-valor = P(T > 3,10), como com 5 graus de liberdade, tem-se 2,571 < 3,10 < 
3,365 então 0,025 < p-valor < 0,001 , ou seja p-valor é menor que 5%. 
 
Obs: o p-valor exato, obtido por meio de software estatístico, é 0,013 < 0,05, indicando a rejeição 
da hipótese nula ao nível de 5% de significância. 
 
64 
 
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Unidade 5 
 
Questão 1: Com o objetivo de verificar se em uma certa região existe correlação entre o nível de 
escolaridade médio dos pais e o nível de escolaridade dos filhos, observou-se uma amostra 
aleatória de 8 indivíduos adultos. Foram verificados o número de anos que estes frequentaram (e 
tiveram aprovação) em escolas regulares (Y) e o número médio de anos que os seus pais 
frequentaram (e tiveram aprovação) em escolas regulares (X). Os resultados são apresentados na 
tabela: 
X 0 0 2 3 4 4 5 7 
Y 2 3 2 5 9 8 8 15 
 
Com base nesses dados: 
Solução: 
Y: no. de anos que freqüentaram escola (filhos) 
X: no. de anos que os pais freqüentaram a escola 
Temos: 
n = 8; 
25x 
; 
52y 
; 
232yx 
; 
119x2 
; 
476y2 
; 
125,3x 
; 
5,6y 
 
 
a) Calcule e interprete o coeficiente de correlação de Pearson. 
Solução: 
Coeficiente de correlação de Pearson: 
Txx
xy
SQS
S
r 
 
5,69
8
)52)(25(
232
n
yx
yxS
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
iixy 





















 
875,40
8
)25(
119
n
x
xS
2
2
n
1i
i
n
1i
2
ixx














 
138)5,6)(8(476ynySQ 22
n
1i
2
iT


 
Logo, o coeficiente de correlação de Pearson é 
925,0
)138)(875,40(
5,69
r 
 
65 
 
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Esse coeficiente indica correlação positiva forte. 
 
b) Calcule e interprete os coeficientes estimados da reta de regressão de Y em relação a X. 
Solução: 
70,1
875,40
5,69
S
S
ˆ
xx
xy
1 
 
19,1)125,3)(70,1(5,6xˆyˆ 10  
 
x70,119,1xˆˆyˆ 10 
 
 
Interpretação: 
19,1ˆ0 
 - indica o número médio de anos que os filhos estudam na ausência da frequência à 
escola dos pais (x=0). 
70,1ˆ1 
- indica a taxa de acréscimo no numero médio de anos que os filhos estudam para cada 
ano que os pais freqüentaram a escola. 
 
Questão 2: Modelos de regressão foram utilizados para analisar dados provenientes de um 
estudo de investigação da relação entre a temperatura (x) da superfície da estrada e a deflexão do 
pavimento (y). Um resumo das grandezas encontradas é: n =20; 
 iy
=12,75; 
 2iy
=8,86; 
 ix
=1478; 
 2ix
=143.215,8 e 
 ii yx
=1.083,67. Considerando esses dados, as estimativas 
de mínimos quadrados para a inclinação, intercepto e a mudança esperada para a deflexão média 
do pavimento para uma variação de 33,8ºC na temperatura da superfície são dadas, 
respectivamente, por: 
a) 73,29 ; 0,6375 e 0,33008 
b) 0,00416 ; 0,33008 e 0,47068 
c) 0,33008 ; 0,00416 e 0,47068 
d) 0,6375 ; 0,00416 e 0,33008 
Solução: 
(i) inclinação:00416,0
6,33991
445,141ˆ
1 
xx
xy
S
S

 ; pois 
66 
 
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445,141
20
)1478)(75,12(
67,1083
11
1






















n
yx
yxS
n
i
i
n
i
i
n
i
iixy
; 
6,33991
20
)1478(
8,143215
2
2
1
1
2 













n
x
xS
n
i
i
n
i
ixx 
 
(ii) intercepto: 
330076,0
20
1478
)00416,0(
20
75,12ˆˆ
10  xy 
 
 
(iii) reta estimada por (i) e (ii): 
xy )00416,0(33008,0ˆ 
 - para uma temperatura x=33,80C a 
deflexão média estimada do pavimento é: 
470688,0)8,33)(00416,0(33008,0ˆ y
 
 
Questão 3: Um artigo em uma conceituada revista cientifica americana descreveu um estudo que 
investigava a relação entre exposição ao barulho e hipertensão. Os dados do estudo estavam 
associados linearmente e a reta de regressão ajustada foi: 
xy 17429,0132,10ˆ 
, em que y 
representa o aumento da pressão sangüínea e x o nível da pressão sonora. O aumento médio 
previsto para a pressão sangüínea, associado com um nível de pressão sonora de 85 decibéis é: 
a) 1,737 
b) 0,17429 
c) -10,132 
d) 4,68265 
Solução: 
Basta substituir o valor de x=85 decibéis na reta de regressão estimada: 
68265,4)85)(17429,0(132,1017429,0132,10ˆ  xy
 
 
Questão 4: Um motor de um foguete é fabricado ligando-se dois tipos de proprlentes: um 
iniciador e um mantenedor. Pensa-se que a tensão cisalhante na ligação, Y, seja uma função linear 
da idade do propelente, x, quando o motor for moldado. Vinte observações são apresentadas na 
tabela a seguir: 
 
Observação 
Resistência, 
psi (Y) 
Idade, 
semanas 
Observação 
Resistência, 
psi (Y) 
Idade, 
semanas 
67 
 
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(X) (X) 
1 2158,70 15,50 11 2165,20 13,00 
2 1678,15 23,75 12 2399,55 3,75 
3 2316,00 8,00 13 1779,80 25,00 
4 2061,30 17,00 14 2336,75 9,75 
5 2207,50 5,00 15 1765,30 22,00 
6 1708,30 19,00 16 2053,50 18,00 
7 1784,70 24,00 17 2414,40 6,00 
8 2575,00 2,50 18 2200,50 12,50 
9 2357,90 7,50 19 2654,20 2,00 
10 2277,70 11,00 20 1753,70 21,50 
 
Os resultados obtidos no software Minitab® para esses dados estão reproduzidos abaixo: 
 
 
Correlação de Pearson: 
 
Resistência, psi e Idade, semanas = -0,947 
P-Valor = 0,000 
 
Equação da regressão: 
 
Resistência, psi = 2625 - 37,0 Idade, semanas 
 
 
Preditor Coef SE Coef T P 
2520151050
2600
2400
2200
2000
1800
1600
Idade, semanas 
Re
si
st
ên
ci
a,
 p
si
 
Diagrama de Dispersão: Resistência, psi vs Idade, semanas
68 
 
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Constant 2625,39 45,35 57,90 0,000 
Idade, semanas -36,962 2,967 -12,46 0,000 
 
 
S = 99,0516 R-Sq = 89,6% R-Sq(adj) = 89,0% 
 
 
Análise de Variância 
 
Fonte DF SS MS F P 
Regressão 1 1522819 1522819 155,21 0,000 
Erro Residual 18 176602 9811 
Total 19 1699421 
 
Com base nesses dados e resultados, decida se cada um dos itens a seguir é Verdadeiro (V) ou 
Falso (F): 
 
a) O coeficiente de correlação de Pearson indica existência de forte relação linear positiva 
entre essas duas variáveis. 
 
Resposta: F , pois correlação é forte, mas negativa! 
 
b) O coeficiente de correlação de Pearson não é significativo para essas duas variáveis, 
pois o p-valor (ou valor p) calculado é igual a zero; 
 
Resposta: F , pois esse p-valor indica que a correlação não é nula. 
 
c) A reta de regressão linear estimada é: 
xy 962,3639,2625ˆ 
; 
 
Resposta: V 
 
d) O diagrama de dispersão indica que a técnica de regressão linear não é adequada para 
esses dados; 
 
Resposta: F , pois o diagrama indica a presença de uma associação linear e 
negativa. 
 
e) A taxa de acréscimo que 1 semana produz, em média, na tensão cisalhante é 36,962; 
69 
 
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Resposta: F , pois a taxa é de DECRESCIMO 
 
f) A taxa de decréscimo que 1 semana produz, em média, na tensão cisalhante é 
2625,39; 
 
Resposta: F , pois esse é o intercepto. Indica a taxa média da tensão na ausência 
da influência da idade (item h) 
 
g) O diagrama de dispersão indica que existe uma forte tendência linear negativa entre 
essas variáveis; 
 
Resposta: V 
 
h) A média da resistência estimada é 2625,39 psi na ausência da influência da idade, em 
semanas. 
 
Resposta: V 
 
i) A taxa de decréscimo estimada é 36,962, na média da resistência a cada 1 semana; 
 
Resposta: V 
 
j) A estimativa para a variância do termo do erro da regressão linear, 2 é 9811 
 
Resposta: V 
 
 
Questão 5: Um estudo foi conduzido pelo Instituto Politécnico e pela Universidade Estadual da 
Virgínia (USA) para determinar se certa medida estática da força do braço tem influência nas 
características da “suspensão dinâmica” de certo indivíduo. Vinte e cinco indivíduos foram 
submetidos a testes de força e, depois, desempenharam um teste de levantamento de peso no 
qual o peso foi levantado dinamicamente sobre a cabeça. Os estão apresentados na tabela 
seguinte: 
70 
 
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SOLUÇÕES: - tabela contendo os cálculos necessários: 
Indivíduo 
Força 
braçal (X) 
Levantamento 
dinâmico (Y) 
X
2
 Y
2
 XY 
1 17,3 71,7 299,3 5140,9 1240,41 
2 19,3 48,3 372,5 2332,9 932,19 
3 19,5 88,3 380,3 7796,9 1721,85 
4 19,7 75,0 388,1 5625,0 1477,5 
5 22,9 91,7 524,4 8408,9 2099,93 
6 23,1 100,0 533,6 10000,0 2310 
7 26,4 73,3 697,0 5372,9 1935,12 
8 26,8 65,0 718,2 4225,0 1742 
9 27,6 75,0 761,8 5625,0 2070 
10 28,1 88,3 789,6 7796,9 2481,23 
11 28,2 68,3 795,2 4664,9 1926,06 
12 28,7 96,7 823,7 9350,9 2775,29 
13 29,0 76,7 841,0 5882,9 2224,3 
14 29,6 78,3 876,2 6130,9 2317,68 
15 29,9 60,0 894,0 3600,0 1794 
16 29,9 71,7 894,0 5140,9 2143,83 
17 30,3 85,0 918,1 7225,0 2575,5 
18 31,3 85,0 979,7 7225,0 2660,5 
19 36,0 88,3 1296,0 7796,9 3178,8 
20 39,5 100,0 1560,3 10000,0 3950 
21 40,4 100,0 1632,2 10000,0 4040 
22 44,3 100,0 1962,5 10000,0 4430 
23 44,6 91,7 1989,2 8408,9 4089,82 
24 50,4 100,0 2540,2 10000,0 5040 
25 55,9 71,7 3124,8 5140,9 4008,03 
Total 778,70 2.050,00 26.591,63 172.891,46 65.164,04 
 
 
Faça o que se pede: 
a) Verifique graficamente se existe tendência linear entre Y e X; 
 
Solução: 
 
71 
 
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6050403020
100
90
80
70
60
50
Força braçal (X)
Le
va
nt
am
en
to
 d
in
âm
ic
o 
(Y
)
Gráfico de Dispersão: Levantamento dinâmico (Y) vs Força braçal (X)
 
O gráfico de dispersão indica uma tendência linear leve, ou seja, não apresenta uma nuvem de 
pontos muito linear, provavelmente por influência de um ponto discrepante – valor alto de força 
braçal com valor mais baixo de levantamento dinâmico. 
 
b) Calcule a covariânciaentre Y e X; 
 
Solução: 
 
 
 
Utilizando os totais previamente calculados, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcule o coeficiente de correlação linear entre Y e X; 
  
111 









n
S
n
n
yx
xy
n
yyxx
YX
xy
),cov(
641310
25
020507778
0465164 ,
),)(,(
, 


n
yx
xySxy
6154
125
641310
1
,
,
),cov( 




n
S
YX
xy
72 
 
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Solução: 
Tem-se: ; 
n
x
xS
n
i
i
n
i
ixx
2
1
1
2












 
2
1
2 ynySQ
n
i
iT 

 
682336
25
7778
6326591
2
2
1
1
2 ,
),(
, 













n
x
xS
n
i
i
n
i
ixx
 
 
 
 
464791822546172891 22
1
2 ,))((, 

ynySQ
n
i
iT
 
Logo, 
 
 
Como o valor do coeficiente de correlação linear é menor ou praticamente igual a 0,40, ele indica 
que a força da tendência linear entre Y e X é fraca. 
 
d) Ajuste um modelo de regressão linear simples; 
 
Solução: 
 
Para o ajuste do modelo de regressão é preciso estimar os coeficientes 0 – intercepto e 1 – 
angular ou inclinação ou taxa: 
5610
682336
641310
1 ,
,
,ˆ 
xx
xy
S
S
 
 
 
564153156108210 ,),)(,(
ˆˆ  xy
 
 
A equação da reta ajustada pelo modelo de regressão linear é: 
 
Txx
xy
SQS
S
r ˆ
82
25
02050

 ,
n
y
y
3920
464791682336
641310
,
,)(,(
,
ˆ 
Txx
xy
SQS
S
r
1531
25
7778
,
,


n
x
x
73 
 
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xy 5610564 ,,ˆ 
 
 
e) Interprete os resultados do item (d); 
 
Solução: 
 
 O valor do intercepto indica a média de 64,5 unidades de medida para o levantamento dinâmico 
de peso na ausência da força estática braçal – não apresenta, portanto, sentido físico ou real. 
O valor de 1 indica a taxa de acréscimo no levantamento dinâmico de peso produzido para cada 
unidade de medida da força braçal. 
 
f) Teste a significância da regressão ao nível de significância de 5%, considerando que o 
valor tabelado da estatística F é 4,28; 
 
Solução: 
 
Calculando a tabela ANOVA da regressão: 
Causa da 
g.l. Soma de quadrados Quadrado Médio F0 
Rejeita 
Variação H0 se 
Regressão 1 SQR QMR = SQR/1 QMR/QME F0 > Fa;1;n-2 
Resíduos n-2 SQE QME =SQE/(n-2) ou p-valor < 0,05 
Total n-1 STotal 
*
 
 Causa da 
g.l. Soma de quadrados Quadrado Médio F0 
Conclusão 
Variação Não rejeita H0 
Regressão 1 735,16 735,1 4,17 F0 < 4,28 
Resíduos 23 4056,33 176,36 p-valor > 0,05 
Total 24 4791,46 
 
Pois, 
 
 
Obs.: 
 
 
33405664131056104647911 ,),)(,(,
ˆ  xyTE SSQSQ
16735334056464791 ,,,  ETR SQSQSQ
284050231 ,,)( ;  xxFP
x
74 
 
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A estatística F0 testa a significância da regressão utilizando a distribuição de Fisher. A hipótese 
nula desse teste é: H0 : 
1
=0, logo, pode-se concluir que ao nível de significância de 5% ou com 
95% de confiança, a regressão não é significativa, ou seja, ela não representa um bom ajuste dos 
dados. Lembre-se que o coeficiente de correlação linear era fraco!!! 
 
g) Estime a variância residual, 2; 
 
Solução: 
 
 
 
 
h) Encontre o levantamento dinâmico médio previsto para uma força braçal de 30. 
 
Solução: 
 
3381305610564 ,))(,(,ˆ y
 
 
para uma força braçal de 30 u.m. (unidade de medida) o levantamento dinâmico é de 81,33 u.m. 
de peso. 
 
 
Questão 6: Um administrador de marketing conduz um estudo para determinar se existe uma 
relação linear entre o dinheiro gasto em propaganda (X) e as vendas de uma companhia (Y), em 
milhares de dólares. Modelos de regressão foram utilizados para analisar esses dados. Um 
resumo das grandezas encontradas é: n =8; 
 iy
=1634; 
 2iy
=337558; 
 ix
=15,8; 
 2ix
=32,44 e 
 ii yx
=3289,8. Considerando esses dados, responda as questões que se seguem: 
(obs: os cálculos foram feitos considerando 4 casas decimais, por arredondamento) 
Solução: 
1) Cálculos intermediários: 
 
 
36176
2
2 ,ˆ 

 E
E QM
n
SQ
25,204
8
1634


n
y
y
75 
 
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65,62
8
)1634)(8,15(
8,3289
11
1

















 n
yx
yxS
n
i
i
n
i
in
i
iixy
 
235,1
8
)8,15(
44,32
2
2
1
1
2 










 n
x
xS
n
i
in
i
ixx
 
50,3813)25,204)(8(337558 22
1
2  

ynySSQ
n
i
iyyT
 
 
a) A covariância estimada entre esses dados é aproximadamente: 
e) 104,06 
f) 62,65 
g) 105,89 
h) 8,95 
 
Solução: 
95,8
7
65,62
1
),cov( 


n
S
YX
xy
 
 
b) O coeficiente de correlação linear de Pearson para esses dados é aproximadamente: 
a) 8,95 
b) 0,62 
c) 0,91 
d) 1,0 
Solução: 
913,0
)50,3813)(235,1(
65,62

Txx
xy
SQS
S
r
 
 
c) A taxa de acréscimo que 1 milhar de dólar investido em propaganda produz na venda estimada, 
em milhares de dólares, é aproximadamente: 
a) 104,06 
975,1
8
8,15


n
x
x
76 
 
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b) 50,73 
c) 62,65 
d) 204,25 
Solução: 
A taxa é dada por: 
73,507587,50
235,1
65,62ˆ
1 
xx
xy
S
S
 
d) O valor estimado médio das vendas da companhia, em milhares de dólares, obtido na ausência 
de investimento em propaganda é aproximadamente: 
a) 104,06 
b) 62,65 
c) 50,73 
d) 204,25 
 
Solução: 
Na ausência de investimento em propaganda, significa x = 0, é o intercepto: 
06,1040608,104)975,1)(7287,50(25,204ˆˆ 10  xy  
 
e) A estimativa para a variância do termo do erro  da regressão linear, 2 é aproximadamente: 
a) 635,34 
b) 62,65 
c) 23,34 
d) 105,89 
Solução: 
89,105
6
35,635
2
ˆ 2 


n
SQE
 
35,6353469,635)65,62)(7287,50(50,3813ˆ1  xyTE SSQSQ  
 
f) Se a empresa investir 3,8 milhares de dólares em propaganda ela espera obter de retorno das 
vendas, em milhares de dólares, aproximadamente: 
a) 104,76 
b) 296,83 
c) 50,73 
d) 204,25 
77 
 
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Solução: 
Modelo estimado: 
yˆ
 = 104,06 + 50,73 x 
Então para x = 3,8 , tem-se uma previsão média para vendas de : 
 
yˆ
 = 104,06 + (50,73)(3,8) 

 296,8299 

 296,83 milhares de dólares. 
 
g) Se a empresa espera obter um retorno de vendas de 350 milhares de dólares então ela deverá 
investir em propaganda, em milhares de dólares, aproximadamente; 
a) 4,85 
b) 50,73 
c) 104,76 
d) 8,95 
 
Solução: 
Modelo estimado:yˆ
 = 104,06 + 50,73 x 
Então para y = 350 , tem-se uma previsão média para investimento em propagandas de : 
 
350 = 104,06 + 50,73x 
73,50
06,104350
 x
 

 4,85 milhares de dólares. 
 
 
h) A estatística F0 , que testa a significância da regressão utilizando a distribuição de Fisher, 
calculada para esses dados, é aproximadamente: 
a) 50,73 
b) 105,89 
c) 30,01 
d) 62,65 
 
Solução: 
 
01,30
89,105
15,3178
0 
E
R
QM
QM
F
 
Pois, 
78 
 
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89,105
2
ˆ 2 

 E
E QM
n
SQ 
15,317835,63550,3813  ETR SQSQSQ
 
RR SQQM 
 
 
79 
 
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Tabela 3 – Distribuição NORMAL 
 
 
 
 
 
 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4485 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4700 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4762 0,4767
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4865 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4980 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000 0,5000
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
z
segunda casa decimal de z
u
n
i
d
a
d
e
 
e
 
p
r
i
m
e
i
r
a
 
c
a
s
a
 
d
e
c
i
m
a
l
 
d
e
 
z
 
80 
 
© Tânia F Bogutchi – PUC Minas – Revisão em 2013 
Estatística e Probabilidade 
Unidade Geral: Miscelânea de Exercícios 
Tabela 4 – Distribuição t-Student 
 
 
 
 
ptTP gl  )(