11 Limite de uma Fun o

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1 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CAMPUS IV-CCAE 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho 
 
Limite de uma Função 
 
I) Introdução ao Limite de uma Função 
 
 Você já deve ter tido a experiência de tentar calcular o custo aproximado de um produto. Imagine 
você perguntando a um amigo sobre o custo do quilo do feijão carioquinha nos mercados de sua cidade e 
obtém a seguinte resposta: “O custo do feijão carioquinha nos mercados de nossa cidade, eu não sei ao 
certo, mas sei que é de aproximadamente R$5,00.” 
Veja que se você necessita de 7 quilos de feijão carioquinha, o que teremos é uma estimativa de 
quanto você vai gastar para obter os 7 quilos de feijão, isto é, quanto mais próximo de R$5,00 estiver o 
custo do feijão, o valor a ser pago pelos 7 quilos estará cada vez mais próximo do valor de R$35,00. 
Observe que se “
x
” representa o custo do quilo do feijão carioquinha e “
P
” representa o valor a 
ser pago pro 7 quilos de feijão, então 
( ) 7P x x
. Note que, pela situação problema descrito 
anteriormente, vemos que se 
x
 estiver cada vez mais próximo do valor 5 (denotaremos isso da forma 
5x
), teremos 
( )P x
 cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma 
( ) 35P x 
). 
Podemos representar esse fato da seguinte forma: 
5
lim ( ) 35
x
P x


 
A notação acima nos diz que se 
x
 é um valor suficientemente próximo de 5, então o valor da função 
( ) 7P x x
 estará cada vez mais próximo do valor 35. 
Veja gráfico abaixo, bem como a planilha de valores, e constate o limite 
5
lim ( ) 35
x
P x


. 
 
 
 
 2 
II) Noção Intuitiva do Limite 
 
O que faremos agora é estudar o que acontece com os valores de uma função 
( )f x
 quando o 
valor de 
x
 estiver suficientemente próximo de um ponto 
a
, ou seja, se 
x a
, qual o comportamento 
dos valores de 
( )f x
. 
Para ficar mais claro o estudo do limite de uma função num ponto, considere a função 
2 1
( )
1
x
f x
x



, onde 
( ) {1}Dom f IR 
, ou seja, 2 1
( )
1
x
f x
x



 não esta definida para 
1x 
. 
Vamos ver o comportamento dos valores de 
( )f x
, quando 
1x
. Para isso, observe a tabela 
abaixo com valores de 
1x 
(tanto valores x<1 quanto x>1) e os respectivos valores de 
( )f x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos pela tabela acima que se 
x
 tende 1, ou seja, 
1x
 então os valores de 
2 1
( )
1
x
f x
x



 estarão cada vez mais próximos de 2, isto é, 
( ) 2f x 
 sempre que 
1x
. 
Desta forma, diremos que o limites de 2 1
( )
1
x
f x
x



 quando 
1x
 é 2 e denotaremos este fato 
da forma 2
1 1
1
lim ( ) lim 2
1x x
x
f x
x 

 

. 
Veja graficamente a ilustração do limite da função 2 1
( )
1
x
f x
x



 quando 
1x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 Pelo gráfico da função, observe que se o valor de 
x
 estiver suficientemente próximo do valor 1, o 
valor de 
( )f x
 estará cada vez mais próximo do valor 2. Assim, diremos que o limite de 
( )f x
 quando 
x
 
tende a 1 é 2 e denotaremos da forma 
1
lim ( ) 2
x
f x


. 
 De um modo geral, dizemos que o limite da função 
( )f x
, quando 
x
 tende ao valor 
a
, é igual ao 
número real 
L
 se, e somente se, os números reais 
( )f x
, para os infinitos valores de 
x
 permanecerem 
próximos de 
L
, sempre que 
x
 estiver suficientemente próximo de 
a
. 
 Notação: 
lim ( )
x a
f x L


 
III) Limites Laterais 
 Note que quando estudamos o limite da função 2 1
( )
1
x
f x
x



 quando 
1x
, tivemos que 
considerar valores de 
x
 menores que 1 quanto valores de 
x
 maiores que 1, ou seja, valores x<1 e valores 
x>1. Vamos rever novamente a tabela que nos ajudou a determinar o limite 
1
lim ( ) 2
x
f x


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na tabela na qual temos 
1x
 com x<1, notamos que 2
1 1 1
1
1
lim ( ) lim ( ) lim 2
1x x x
x
x
f x f x
x   


  

. 
Analogamente, na tabela na qual temos 
1x
 com x>1, também verificamos que 
2
1 1 1
1
1
lim ( ) lim ( ) lim 2
1x x x
x
x
f x f x
x   


  

. Desta forma, se 
1x
, seja com valores x<1 ou x>1, 
teremos 2
1 1
1
lim ( ) lim 2
1x x
x
f x
x 

 

. 
O limite 
1
lim ( ) 2
x
f x


 é denominado de limite lateral pela esquerda da função 2 1
( )
1
x
f x
x



 
quando 
1x 
(x<1) e o limite 
1
lim ( ) 2
x
f x


 é denominado de limite lateral pela direita da função 
2 1
( )
1
x
f x
x



 quando 
1x 
(x>1). 
 
 4 
 
 De uma forma geral, se 
x
 se aproxima de 
a
 através de valores maiores que 
a
(
x a
) ou 
simplesmente pela sua direita, e 
( )f x L
 escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


. (Esse limite é chamado de limite lateral à direita de 
a
) 
 Analogamente, se 
x
 se aproxima de 
a
 através de valores menores que 
a
(
x a
) ou 
simplesmente pela sua esquerda, e 
( )f x M
 escrevemos 
lim ( )
x a
f x M


(Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de 
a
) 
 
Teorema: O limite 
lim ( )
x a
f x L


, se, e somente se, os limites laterais 
lim ( )
x a
f x

 e 
lim ( )
x a
f x

 
existirem e forem iguais a 
L
. 
Simplificando: 
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x L f x f x L
   
   
 
 Note que, para a função 2 1
( )
1
x
f x
x



 temos que 2 2
1 1
1 1
lim 2 lim
1 1x x
x x
x x  
 
 
 
 e assim 
2
1 1
1
lim ( ) lim 2
1x x
x
f x
x 

 

. 
Observação Importante: 
Se 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
  

, então não existe 
lim ( )
x a
f x

. 
Exemplos 
1) Calcule o limite 
2
lim ( )
x
g x

, caso exista, sabendo que 
2( ) 3g x x x 
. 
Resolução: 
Note que, quando 
2x
, isto é, 
x
 se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela esquerda 
com x<2) o valor de 2x estará cada vez mais próximo de 4. 
Analogamente, quando 
2x
, isto é, 
x
 se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela 
esquerda com x<2) o valor de 
3x
 estará cada vez mais próximo de 6. 
Assim, quando 
2x
, isto é, 
x
 se aproxima de 2, o valor de 
2( ) 3g x x x 
 estará cada vez 
mais próximo de 
4 6 2  
, ou seja, 
2( ) 3 2g x x x  
, quando 
2x
. 
Portanto, 
2
2 2
lim ( ) lim( 3 ) 4 6 2
x x
g x x x
 
     
. 
Dica para Você: Baixe o arquivo, “Limite g(x).ggb” e veja o gráfico da função 
2( ) 3g x x x 
 e do limite 
2
lim ( ) 2
x
g x

 
. 
 
 5 
2) Considere a função 
2 1, 1
( ) 3, 1 2
2 1, 2
x se x
h x x se x
x se x
  

    
  
 , cujo gráfico esta representado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule, caso exista, os limites 
1 2
lim ( ) lim ( )
x x
h x e h x
 
. 
Resolução: 
a) Note que quando consideramos 
1x
, devemos levar em conta o fato de que x<1 ou x>1. Assim, note 
que quando 
1x 
(x<1), a função é dada por 
2( ) 1h x x 
. 
Logo,2
1 1
lim ( ) lim( 1) 1 1 2
x x
h x x
  
    
 . 
Analogamente, note que quando 
1x 
(x>1), a função é dada por 
( ) 3h x x  
. 
Logo, 
1 1
lim ( ) lim( 3) 1 3 2
x x
h x x
  
      
. 
Como 
1 1
lim ( ) lim ( ) 2
x x
h x h x
  
 
, então 
1
lim ( ) 2
x
h x


. Observe o gráfico da função e veja este 
limite graficamente. 
 
b) Note que quando consideramos 
2x
, devemos levar em conta o fato de que x<2 ou x>2. Assim, note 
que quando 
2x 
(x<2), a função é dada por 
( ) 3h x x  
. 
Logo, 
2 2
lim ( ) lim ( 3) 2 3 1
x x
h x x
  
      
 . 
Analogamente, note que quando 
2x 
(x>2), a função é dada por 
( ) 2 1h x x 
. 
Logo, 
2 2
lim ( ) lim (2 1) 4 1 3
x x
h x x
  
    
. 
Como, 
2 2
lim ( ) lim ( )
x x
h x h x
  

, então o limite 
1
lim ( )
x
h x

 não existe. 
Observe o gráfico da função e veja que há uma quebra no gráfico da função para valores próximo de 
2. 
Dica para Você: Baixo o Arquivo “Limite-h(x).ggb” e veja a animação gráfica dessa função. 
 
 
 6 
IV) Propriedades do Limite 
 Suponhamos que 
lim ( )
x a
f x L


, 
lim ( )
x a
g x M


 e 
k IR
. 
I) Limite de uma constante 
 O limite de uma constante é a própria constante, isto é, 
lim
x a
k k


. 
Exemplos: a) 
4
lim3 3
x

 b) 
8
2 2
lim
3 3x

 
II) Limite da soma ( ou da diferença ) 
 O limite da soma (ou da diferença) de duas funções é igual à soma ( ou à diferença ) dos limites 
dessas funções, isto é: 
 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
Exemplos: 
a) 
2 2
4 4 4
lim( 3) lim lim3 16 3 19
x x x
x x
  
     
 
b) 
2 2 2
lim( 5) lim lim5 2 5 3
x x x
x x
  
      
 
 
II) Limite do produto 
 O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é: 
     lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .
x a x a x a
f x g x f x g x LM
  
   
 
Exemplo:
2 2
2 2 2
lim4 lim4 lim 4 4 16
x x x
x x
  
    
 
 
III) Limite do quociente 
 O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o 
limite do divisor for igual a zero), isto é: 
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x L
g x g x M



 
, desde que 
lim ( ) 0
x a
g x M

 
 
Exemplo: 
2
2
2
lim( 3)3 5
lim
2 lim( 2) 4
x
x
x
xx
x x




 
 
 
IV) Limite de uma potência 
 O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, 
isto é: 
 
lim[ ( )] lim ( )
n
n n
x a x a
f x f x L
 
  
 
 
Exemplo: 
 
2
2 2
2 2
lim 5 lim5 10 100
x x
x x
 
   
 
 
 
 7 
V) Limite de uma raiz 
 O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é: 
lim ( ) lim ( ) nn n
x a x a
f x f x L
 
 
, desde que n L exista. 
 
Exemplo: 
5 4 4 5
5
2 2
lim 2 lim2 32 2
x x
x x
 
  
 
 
 
-EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Explique com suas palavras com suas palavras o significado da equação 
2
lim ( ) 5
x
f x


 
É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que 
(2) 3f 
? Explique. 
 
2) Explique o que significa dizer que 
1
lim ( ) 5
x
f x


 e 
1
lim ( ) 7
x
f x


 
Nesta situação, é possível que 
1
lim ( )
x
f x

 exista? Explique. 
3) Considere uma função 
 xf
 cujo gráfico esta representada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função 
 xf
 acima, obtenha: 
         
       
6 2 0 2 4
64 10 10
) ) ) ) )
) ) ) )
lim lim lim lim lim
lim lim lim lim
x x x x x
xx x x
a f x b f x c f x d f x e f x
g f x h f x i f x j f x

  
    
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
4) Utilize o gráfico da função 
( )g x
para estimar os limites e os valores da função ou explique por que os 
limites não existem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o limite da função no ponto indicado. 
     
     
2 3 2
2 1 3
5
3
2 4
3
2 0 1
) lim 1 ) lim 3 4 )lim 3 4 2
4 3
) lim 3 . 4 )lim )lim 1
2 4 2
x x x
x x x
a x x b x c x x x
x x
d x x e f x
x x
  
  
     
 
  
  
 
 
6) Considere as funções 
    2132 32  xxgexxxf
. Determine : 
          
 xg
xf
cxgxfbxgxfa
xxx 121
lim).lim)lim)


 
 
7) Suponha que 
lim ( ) 5
x a
f x


 e 
0
lim ( ) 2
x
g x

 
. Determine: 
 
( )
) lim ( ) ( ) ) lim2 ( ) ( ) ) lim ( ) 3 ( ) )lim
( ) ( )x a x a x a x a
f x
a f x g x b f x g x c f x g x d
f x g x   


 
 
8) Os gráficos de 
f
 e 
g
 são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique por 
quê. 
 
 
     
2 1 0
3
1 2 1
( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ). ( )
( )
( ) lim ( )lim . ( ) ( ) lim 3 ( )
( )
x x x
x x x
a f x g x b f x g x c f x g x
f x
d e x f x f f x
g x
  
  
 
 
        
 
 
 
 
2 2
2
1 1
1
2
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) ( 2)
) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) (1)
) lim ( ) ) (2)
x x
x
x x
x
x
a g x b g x
c g x d g
e g x f g x
g g x h g
i g x j g
 
 
 

 



 
 9 
9) Considere a função 
 
2
2 4 , 2
2 , 2 0
4, 0
x se x
f x x se x
x se x





   
     
  
. 
a) Calcule o valor da expressão 
( 3) ( 2) (0) (1)f f f f    
; 
b) Calcule 
     xfxfxf
xxx
limlimlim
102
.2



 ; 
c) Represente graficamente essa função. 
 
10) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função 
f
que satisfaça todas as condições dadas em cada 
caso. 
1 1
0 0 2
2
) lim ( ) 2, lim ( ) 2, (1) 2.
) lim ( ) 1, lim ( ) 1, lim ( ) 0,
lim ( ) 0, (2) 1, (0) .
x x
x x x
x
a f x f x f
b g x g x g x
g x f f não está definida
 
  

 
  

   
   
 