Integrais Múltiplas

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Capítulo 8
INTEGRAÇÃO DUPLA
8.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos porR = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângu-
lo em R2. Consideremos P1 = {x0, x1, ...., xn} e P2 = {y0, y1, ...., yn} partições de
ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:
a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e c = y0 < y1 < . . . . . . < yn = d
e xi+1 − xi = b− a
n
, yj+1 − yj = d− c
n
.
a b
c
d
x x
R
i i+1
yj+1
yj
R ij
Figura 8.1: Partição de R.
O conjunto P1×P2 é denominada partição do retânguloR de ordem n. Sejam os n2
sub-retângulos Rij = [xi, xi+1]× [yj, yj+1] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1).
Considere a função limitada f : R −→ R. A soma
Sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(cij)∆x∆y,
onde∆x =
b− a
n
e ∆y =
d− c
n
é dita soma de Riemann de f sobre R.
203
204 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se
lim
n→+∞
Sn,
existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite
por: ∫∫
R
f(x, y) dx dy,
que é denominada integral dupla de f sobre R.
Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].
8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de
f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3
definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
Figura 8.2: O sólidoW .
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferiormente
por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por
V (W ) o volume deW , então:
V (W ) =
∫∫
R
f(x, y) dx dy
De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R
é fechado, limitado e f é contínua), então f(cij) ×∆x×∆y é o volume do parale-
lepípedo de base Rij e altura f(cij).
8.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 205
Figura 8.3: Partição e os paralelepípedos deW , respectivamente.
Sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(cij)∆x∆y
é o volume do sólido circunscrito aW . Analogamente se eij é o ponto onde f atinge
seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então:
sn =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
f(eij)∆x∆y
é o volume do sólido inscrito emW . Como f é integrável, os limites das somas de
Riemann Sn e sn independem da escolha de cij e eij :
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
sn =
∫∫
R
f(x, y) dx dy.
Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem
ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume deW .
Figura 8.4: Reconstrução do sólido.
206 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Figura 8.5: Reconstrução do sólido.
Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geo-
métrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij .
A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma
variável.
Proposição 8.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então
para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:∫∫
R
(
α f(x, y) + β g(x, y)
)
dx dy = α
∫∫
R
f(x, y) dx dy + β
∫∫
R
g(x, y) dx dy.
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f(x, y), para todo (x, y) ∈ R, então:∫∫
R
g(x, y) dx dy ≤
∫∫
R
f(x, y) dx dy.
3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i = 1, ..., k então
f é integrável sobre R e,
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
k∑
i=1
∫∫
Ri
f(x, y) dx dy.
8.3 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy.
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral
∫ b
a
f(x, y) dx como integral de uma
veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com
limites de integração c e d.
A integral
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx é calculada de forma análoga.
8.3. INTEGRAIS ITERADAS 207
Exemplo 8.1.
[1] Calcule
∫ 2
0
[∫ 3
1
x2y dy
]
dx.
∫ 3
1
x2y dy = x2
∫ 3
1
y dy = 4x2 e
∫ 2
0
[∫ 3
1
x2y dy
]
dx =
∫ 2
0
4x2 dx =
32
3
.
[2] Calcule
∫ pi
0
[∫ pi
0
cos(x+ y) dx
]
dy.
∫ pi
0
cos(x+ y) dx = sen(x+ y)
∣∣x=pi
x=0
= sen(y + pi)− sen(y),
e ∫ pi
0
[∫ pi
0
cos(x+ y) dx
]
dy =
∫ pi
0
(sen(y + pi)− sen(y)) dy = −4.
[3] Calcule
∫ 1
−1
[∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy.
∫ 1
−2
(x2 + y2) dx =
(x3
3
+ x y2
)∣∣∣∣
x=1
x=−2
= 3 + 3 y2
e
∫ 1
−1
[∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy =
∫ 1
−1
(3 + 3 y2) dy = 8.
[4] Calcule
∫ pi
3
pi
6
[∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ.
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ = sen(φ)
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
dρ = sen(φ)
eρ
3
3
∣∣∣∣
4
0
= sen(φ)
e64 − 1
3
e
∫ pi
3
pi
6
[∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ =
e64 − 1
3
∫ pi
3
pi
6
sen(φ) dφ =
(e64 − 1) (√3− 1)
6
.
[5] Calcule
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy.
∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx = 1− y2, e
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy =
∫ 1
0
(1− y2) dy = 2
3
.
208 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por:
f(x, y) =
{
1 se x ∈ Q
2 y se x /∈ Q.
Então:
∫ 1
0
dy =


∫ 1
0
dy = 1 se x ∈ Q∫ 1
0
2 y dy = 1 se x /∈ Q.
Logo,
∫ 1
0
[ ∫ 1
0
dy
]
dx = 1.
Por outro lado
∫ 1
0
f(x, y) dx não existe, exceto quando y =
1
2
; logo,
∫ 1
0
[ ∫ 1
0
dx
]
dy
não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.
8.4 Teorema de Fubini
O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais itera-
das, o que facilitará seu cálculo.
Teorema 8.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx
Prova: Veja o apêndice.
Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princí-
pio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção trans-
versal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o volume do
sólido é dado por: V =
∫ d
c
A(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e máxima
ao plano de referência”.
Se f é uma função contínua e f(x, y) ≥ 0 em todo R, então
∫∫
R
f(x, y) dx dy repre-
senta o volume do sólidoW :
W = {(x, y, z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.
8.4. TEOREMA DE FUBINI 209
c
Rb
d
a
Figura 8.6:
Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da
origem, obtemos uma seção plana que tem como área A(x) =
∫ d
c
f(x, y) dy. Pelo
princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é:∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx.
Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma
distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) =
∫ b
a
f(x, y) dx e pelo
princípio de Cavalieri:∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
A(y) dy =
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy.
Exemplo 8.2.
[1] Calcule
∫∫
R
dx dy, onde R = [a, b]× [c, d].
∫∫
R
dx dy =
∫ b
a
[∫ d
c
dy
]
dx =
∫ b
a
(d− c) dx = (b− a) (d− c);
numericamente a integral dupla
∫∫
R
dx dy, corresponde a área de R ou ao volume
do paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule
∫∫
R
f(x, y) dx dy, onde R = [a, b] × [c, d] e f(x, y) = h, h constante
positiva. ∫∫
R
f(x, y) dx dy = h
∫∫
R
dx dy = h×A(R) = h (b− a) (d− c),
onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedode base R e altura
h.
[3] Calcule
∫∫
R
(x y + x2) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1].
∫∫
R
(x y + x2) dx dy =
∫ 1
0
[∫ 1
0
(x y + x2) dx
]
dy =
∫ 1
0
[
x2 y
2
+
x3
3
]∣∣∣∣
x=1
x=0
dy
=
∫ 1
0
[
y
2
+
1
3
]
dy =
7
12
.
210 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
O número
7
12
representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico
da função f(x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]).
0
1
0
1
Figura 8.7: Exemplo [4].
[4] Calcule
∫∫
R
x y2 dx dy, onde R = [−1, 0] × [0, 1].
∫∫
R
x y2 dx dy =
∫ 1
0
[∫ 0
−1
x y2 dx
]
dy = −1
2
∫ 1
0
y2dy = −1
6
.
[5] Calcule
∫∫
R
sen(x+ y) dx dy, onde R = [0, pi]× [0, 2pi].
∫∫
R
sen(x+y) dx dy =
∫ 2pi
0
[∫ pi
0
sen(x+y) dx
]
dy =
∫ 2pi
0
(cos(y)−cos(y+pi)) dy = 0.
[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1−y e inferiormente
pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
Figura 8.8: Sólido do exemplo [6].
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo
retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:
V =
∫∫
R
(1− y) dx dy =
∫ 1
0
[∫ 1
0
(1− y) dx
]
dy =
∫ 1
0
(1− y) dy = 1
2
u.v.
8.4. TEOREMA DE FUBINI 211
[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2+y2 e pelos planos x = 0, x = 3,
y = 0 e y = 1.
Figura 8.9: Sólido do exemplo [7].
R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é:
V =
∫∫
R
(x2 + y2) dx dy =
∫ 1
0
[∫ 3
0
(x2 + y2) dx
]
dy =
∫ 1
0
(9 + 3y2) dy = 10u.v.
u.v. =unidades de volume.
[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y2 e pelos planos x = −1, x = 1,
y = −1 e y = 1.
Figura 8.10: Sólido do exemplo [8].
R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é:
V =
∫∫
R
(1− y2) dx dy =
∫ 1
−1
[∫ 1
−1
(1− y2) dx
]
dy = 2
∫ 1
−1
(1− y2) dy = 8
3
u.v.
8.4.1 Extensão do Teorema de Fubini
Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma gene-
reralização do teorema 8.1.
212 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Definição 8.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo
nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que A ⊂
R1 ∪R2 ∪ . . . ∪Rn−1 ∪Rn e:
lim
n→+∞
n∑
i=1
|Ri| = 0;
onde |Ri| é a área de Ri.
Exemplo 8.3.
[1] Se A = {p1, p2, ......., pm}, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo.
Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos:
|Ri| = (b− a) (d− c)
n2
,
1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos,
então:
0 <
n∑
i=1
|Ri| ≤ 4m (b− a) (d − c)
n2
.
Logo lim
n→+∞
n∑
i=1
|Ri| = 0.
[2] ∂R tem conteúdo nulo.
b
c
d
x xa i i+1
yj+1
y
RRij
j
Figura 8.11: ∂R.
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4n − 4 sub-retângulos Rij :
0 <
n∑
i=1
|Ri| ≤ (4n − 4) (b− a) (d− c)
n2
≤ 4 (b− a) (d − c)
n
,
pois n−1
n
< 1. Logo:
lim
n→+∞
n∑
i=1
|Ri| = 0.
É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem con-
teúdo nulo.
8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 213
Figura 8.12: G(f).
Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua
tem conteúdo nulo, então f é integrav´el sobre R.
Prova: Veja [EL] na bibliografia.
8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados
para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais
8.6 Regiões Elementares
SejaD ⊂ R2.
Regiões de tipo I
D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)}
sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1(x) ≤ φ2(x) para todo
x ∈ [a, b].
a b
D
D
ba
φ φ
φ
φ
1
2
2
1
Figura 8.13: Regiões de tipo I.
214 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Regiões de tipo II
D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}
sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1(y) ≤ ψ2(y) para todo
y ∈ [c, d].
D
d
c
ψ Dψ ψ1 2
ψ
1 2
Figura 8.14: Regiões de tipo II.
Regiões de tipo III
D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II.
As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. As regiões elementares
são fechadas e limitadas.
Exemplo 8.4.
[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x − x2 pode ser descrita como de
tipo I:
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:{
y = x2
y = 4x− x2,
do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤
4x− x2}.
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
5
Figura 8.15: Região de tipo I.
8.6. REGIÕES ELEMENTARES 215
[2] Seja a regiãoD limitada pelas seguintes curvas: y2 − x = 1 e y2 + x = 1.
A região pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y2 − 1 ≤ x ≤ 1− y2};
D é uma região de tipo II.
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
Figura 8.16: Região de tipo II.
[3] A região D limitada pela reta x+ y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro
quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2− y}.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 8.17: Região de tipo III.
[4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y2 = 2x + 6, pode ser descrita
como de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:{
y = x− 1
y2 = 2x+ 6,
do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R2/− 2 ≤ y ≤ 4, y
2
2
− 3 ≤ x ≤ y + 1}.
216 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
1 2 3
1
2
3
1 2 3
1
2
3
Figura 8.18: Região de tipo II.
[5] SejaD a região limitada pela curva x2 + y2 = 1; esta região é do tipo III. De fato:
De tipo I:
D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ x ≤ 1, φ1(x) = −
√
1− x2 ≤ y ≤ φ2(x) =
√
1− x2}.
De tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ y ≤ 1, ψ1(y) = −
√
1− y2 ≤ x ≤ ψ2(y) =
√
1− y2}.
8.7 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R
uma função contínua (logo limitada). Definamos f∗ : R −→ R por:
f∗(x, y) =
{
f(x, y) se (x, y) ∈ D
0 se (x, y) ∈ R−D.
f∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma
união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f∗ é
integrável sobre R.
D
R
R
D
Figura 8.19: Gráficos de f e f∗, respectivamente.
Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f∗ é integrável sobre R e em tal caso
definimos: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
R
f∗(x, y) dx dy.
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 217
Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f∗1 : R1 −→ R é definida como antes,
então: ∫∫
R
f∗(x, y) dx dy =
∫∫
R1
f∗1 (x, y) dx dy,
pois f∗ = f∗1 = 0 onde R e R1 diferem.
R
D
R
f* =f* =0
1
1
Figura 8.20:
Logo,
∫∫
D
f(x, y) dx dy não depende da escolha do retângulo.
8.8 Integral Dupla e Volume de Sólidos
Proposição 8.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então:
1. Se D é uma região de tipo I:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
[∫ φ2(x)
φ1(x)
f(x, y) dy
]
dx
2. Se D é uma região de tipo II:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
[∫ ψ2(y)
ψ1(y)
f(x, y) dx
]
dy
Para a prova, veja o apêndice.
Corolário 8.4. Se f(x, y) = 1 em todo D, então:
∫∫
D
dx dy = Área(D)
De fato, seD é de tipo I, temos
∫∫
D
dx dy =
∫ b
a
[
φ2(x)− φ1(x)
]
dx = A(D).
218 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Se f(x, y) ≥ 0 e é contínua emD, podemos novamente interpretar aintegral dupla
de f sobre D como o volume do sólidoW limitado superiormente pelo gráfico de
f e inferiormente porD.
W = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
D é a projeção deW sobre o plano xy e:
V (W ) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy
8.8.1 Exemplos
[1] Calcule
∫ 1
0
[∫ 1
y
ex
2
dx
]
dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada.
Observe que: ∫∫
D
ex
2
dx dy =
∫ 1
0
[∫ 1
y
ex
2
dx
]
dy.
A regiãoD, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1
1
1
1
Figura 8.21: A região D.
A região D é de tipo III; logo,D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x
e: ∫∫
D
ex
2
dx dy =
∫ 1
0
[∫ x
0
ex
2
dy
]
dx =
∫ 1
0
x ex
2
dx =
1
2
(e− 1).
[2] Calcule
∫ 1
0
[∫ 1
x
sen(y)
y
dy
]
dx.
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por
outro lado,D é de tipo III, logoD também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y:
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 219
1
1
1
1
Figura 8.22: A região D.
∫ 1
0
[∫ 1
x
sen(y)
y
dy
]
dx =
∫ 1
0
[∫ y
0
sen(y)
y
dx
]
dy =
∫ 1
0
sen(y) dy = 1− cos(1).
[3] Calcule
∫∫
D
√
1− y2 dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y2 = 1 no pri-
meiro quadrante.
1
1
1
1
Figura 8.23: A região D.
ConsideramosD como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
√
1− y2}.
Pela proposicão:
∫∫
D
√
1− y2 dx dy =
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy =
∫ 1
0
(1− y2) dy = 2
3
.
Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais com-
plicada.
[4] Calcule
∫∫
D
(x+ y)2 dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o
eixo dos y.
220 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
1 2
1
1 2
1
Figura 8.24: A região D.
As retas se intersectam no ponto (2, 2). EscrevendoD como região de tipo I:
0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x
2
+ 1.
∫∫
D
(x+ y)2 dx dy =
∫ 2
0
[∫ x
2
+1
x
(x+ y)2 dy
]
dx =
1
3
∫ 2
0
((3x
2
+ 1
)3 − 8x3) dx = 21
6
.
[5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planos coor-
denados.
Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é li-
mitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0)
e inferiormente pelo plano z = 0.
-1
1
-1
1
Figura 8.25: O sólido e a região, respectivamente.
A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo grá-
fico da função z = f(x, y) = 1+x− y e, inferiormente pela regiãoD projeção deW
no plano xy.
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1 + x− y},
onde D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 1} é região do tipo I. Seu
volume é:
V (W ) =
∫∫
D
(1 + x− y) dx dy =
∫ 0
−1
[∫ x+1
0
(1 + x− y) dy
]
dx
=
1
2
∫ 0
−1
(x+ 1)2dx =
1
6
u.v.
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 221
[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2x+ 1, x = y2 e x− y = 2.
-2
0
2
4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
5
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
-2
0
2
4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
5
-2
0
2
4
Figura 8.26: O sólido do exemplo [6].
1 2
-1
1
1 2
-1
1
Figura 8.27: A região D.
Observe que z = f(x, y) = 2x+ 1 e
V (W ) =
∫∫
D
(2x+ 1) dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo
II, ela é definida por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y + 2}.
O volume é:
V (W ) =
∫∫
D
(2x+ 1) dx dy =
∫ 2
−1
[∫ y+2
y2
(2x+ 1) dx
]
dy
=
∫ 2
−1
(5 y + 6− y4) dy = 189
10
u.v.
[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por
z = x2 + 4 y2 e x2 + 4 y2 = 4.
222 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
O gráfico de z = x2+4 y2 é um parabolóide elítico e o de x2+4 y2 = 4 é um cilindro
elítico.
-2
-1
0
1
2
x
-0.5
0
0.5
1
y
0
1
2
3
z
-2
-1
0
1
2
x
-0.5
0
0.5
-2
-1
0
1
2
x
-1
-0.5 0
0.5 1
y
0
1
2
3
z
-2
-1
0
1x
-1
-0.5 0
0.5
Figura 8.28: O sólido do exemplo [7].
1-1 2
-1
1
1-1 2
-1
1
Figura 8.29: A região do exemplo [7].
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos
o resultado por 4.
1 2
1
1 2
1
Figura 8.30: A região D.
D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤
√
4− x2
2
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 223
e,
V = 4
∫∫
D
(x2 + 4y2) dx dy = 4
∫ 2
0
[ ∫ √4−x2
2
0
(x2 + 4 y2) dy
]
dx
= 2
∫ 2
0
(
x2
√
4− x2 + (4− x
2)
3
2
3
)
dx = 4pi u.v.
[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2.
Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
5
Figura 8.31: A região D.
D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x− x2.
A =
∫∫
D
dx dy =
∫ 2
0
[∫ 4x−x2
x2
dy
]
dx = 2
∫ 2
0
(2x− x2) dx = 8
3
u.a.
[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2 + y2 = a2 e
x2 + z2 = a2, a 6= 0.
O sólido é simétrico em relação à origem.
224 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Figura 8.32: Interseção dos cilindros.
Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o
resultado por 8.
Figura 8.33: O sólido no primeiro octante.
Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ √a2 − x2. A altura do sólido
W é dada por z = f(x, y) =
√
a2 − x2 e:
V = 8
∫∫
D
√
a2 − x2 dx dy
= 8
∫ a
0
[∫ √a2−x2
0
√
a2 − x2dy
]
dx
= 8
∫ a
0
(a2 − x2) dx = 16 a
3
3
.
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 225
[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3x + 4 y = 10, z = x2 + y2 e situado
acima do plano xy, no primeiro octante.
0 1 2 3
0
1
2
3
0
2
4
6
8
0
2
4
6
1 2 3
1
2
1 2 3
1
2
Figura 8.34: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente.
D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤ 5
2
e 0 ≤ x ≤ 10− 4y
3
; logo:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫ 5
2
0
[∫ 10−4 y
3
0
(x2 + y2) dx
]
dy
= − 2
81
∫ 5
2
0
[2 y − 5] [43 y2 − 80 y + 100] dy
= − 2
81
∫ 5
2
0
[86 y3 − 375 y2 + 600 y − 500] dy = 15625
1296
u.v.
[11] Calcule o volume do sólido limitado por z−x y = 0, z = 0, y = x2 e y2−x = 0.
Figura 8.35: Sólido do exemplo [11].
D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤ √x,
226 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
1
1
1
1
Figura 8.36: RegiãoD.
Logo:
V =
∫∫
D
x y dx dy =
∫ 1
0
[∫ √x
x2
x y dy
]
dx =
1
2
∫ 1
0
[x2 − x5] dx = 1
12
u.v.
8.9 Exercícios
1. Calcule
∫∫
R
f(x, y) dx dy, se:
(a) f(x, y) = x2 y3 e R = [0, 1] × [0, 1]
(b) f(x, y) = (x+ y)2 (x2 − y2) e R = [0, 1] × [0, 1]
(c) f(x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3]
(d) f(x, y) =
x2
y2 + 1
e R = [−1, 1]× [−1, 1]
(e) f(x, y) = ex y (x2 + y2) e R = [−1, 3]× [−2, 1]
(f) f(x, y) = x y − y2 e R = [0, 5] × [0, 4]
(g) f(x, y) = 5x y2 e R = [1, 3] × [1, 4]
(h) f(x, y) = 2x+ c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1]
(i) f(x, y) = x2 − y2 e R = [1, 2] × [−1, 1].
2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e
inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z =
√
9− y2 e R = [0, 4] × [0, 2]
(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2]× [−3, 3]
(c) z = y2 − x2 e R = [−1, 1]× [1, 3]
(d) z = 2x+ 3 y + 6 e R = [−1, 2]× [2, 3]
(e) z = a cos(2 θ) + b sen(2α) e R = [0, pi2 ]× [0, pi2 ]
(f) z = x sen(y) e R = [0, pi] × [0, pi]
8.9. EXERCÍCIOS 227
3. Calcule as seguintes integrais mudandoa ordem de integração:
(a)
∫ 1
0
[ ∫ 1
y
tg(x2) dx
]
dy
(b)
∫ 2
1
[ ∫ x
1
x2
y2
dy
]
dx
(c)
∫ 1
0
[ ∫ √1−x2
0
√
1− y2 dy
]
dx
(d)
∫ 1
0
[ ∫ 1
x
sen(y2) dy
]
dx
(e)
∫ 1
0
[ ∫ y
3y
ex
2
dx
]
dy
(f)
∫ 3
0
[ ∫ 9
y2
y cos(x2) dx
]
dy
4. Calcule as seguintes integrais sabendo queD é limitada pelas curvas dadas:
(a)
∫∫
D
y dx dy; y = 2x2 − 2, y = x2 + x
(b)
∫∫
D
x y dx dy; x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, x, y ≥ 0
(c)
∫∫
D
x dx dy; x− y2 = 0, x = 1
(d)
∫∫
D
dx dy
x2 + 1
; y − x2 = 0, y = 1
(e)
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy; y = 0, y = x− 1 e x = 1, x = 0
(f)
∫∫
D
ex+y dx dy; y = 0, y = x e x− 1 = 0
(g)
∫∫
D
x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2 e x = 1
(h)
∫∫
D
4 y3 dx dy; y = x− 6 e y2 = x
(i)
∫∫
D
(y2 − x) dx dy; y2 = x e x = 3− 2 y2
(j)
∫∫
D
(x2 + 2 y) dx dy; y = 2x2 e y = x2 + 1
(k)
∫∫
D
(1 + 2x) dx dy; x = y2 e y + x = 2
(l)
∫∫
D
dx dy; y2 = x3 e y = x
228 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Capítulo 9
MUDANÇADE COORDENADAS
9.1 Introdução
SejaD∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e:
x, y : D∗ −→ R,
onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais
contínuas num retângulo abertoR tal queD∗ ⊂ R. Estas duas funções determinam
uma transformação do plano uv no plano xy. De fato:
T : D∗ −→ R2,
onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por:{
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Denotemos a imagen deD∗ por T como D = T (D∗), contida no plano xy.
TD* D
y
x
v
u
Figura 9.1: Mudança de coordenadas.
Exemplo 9.1.
Seja D∗ = [0, 1] × [0, 2pi] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)), Determinemos D = T (D∗)
no plano xy. {
x = r cos(t)
y = r sen(t);
229
230 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
logo: x2 + y2 = r2 ≤ 1; entãoD = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.
pi2
L D
t
1 r
* D
x
y
1
T
Figura 9.2:
Definição 9.1. Uma transformação T é injetiva emD∗ se T (u1, v1) = T (u2, v2) implica
em u1 = u2 e v1 = v2, para todo (u1, v1), (u2, v2) ∈ D∗.
No exemplo 9.1, temos que:
D∗ = [0, 1] × [0, 2pi] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1) = T (0, t2) = (0, 0) para t1 6= t2.
Observe que:
T (L) = (0, 0), onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2pi}.
Mas seD∗ = (0, 1] × (0, 2pi], T é injetiva.
9.1.1 Jacobiano da Mudança de Coordenadas
Seja T : D∗ −→ D uma transformação definida por:{
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Considere a seguinte matriz:
J =


∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v


onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗. J é chamada
matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .
Definição 9.2. O determinante da matriz J , dito jacobiano de T , é denotado e definido
por:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det(J) =
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.
9.1. INTRODUÇÃO 231
A importância damatriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com
mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte pro-
posição, sem prova:
Proposição 9.1. Se:
∂(x, y)
∂(u, v)
(u0, v0) 6= 0, (u0, v0) ∈ D∗,
então existe uma vizinhança do ponto (u0, v0) tal que a restrição de T a esta vizinhança é
injetiva.
Exemplo 9.2.
[1] No exemplo 9.1, temos que D∗ = [0, 1] × [0, 2pi] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
Logo,
∂(x, y)
∂(r, t)
= r.
Note que para todo (r, t) ∈ L temos ∂(x, y)
∂(r, t)
= 0.
[2] Seja o quadradoD∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u+ v, u− v).{
x = u+ v
y = u− v.
Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e se v = 1,
então y = x− 2. A região D = T (D∗) é a região do plano xy limitada pelas curvas
y = x, y = −x, y = x− 2 e y = 2− x. O jacobiano:
∂(x, y)
∂(u, v)
= −2.
1
1
1 2
-1
1
Figura 9.3: RegiõesD∗ eD, respectivamente.
[3] SejaD∗ a região limitada pelas curvas u2 − v2 = 1, u2 − v2 = 9, u v = 1 e u v = 4
no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v2, u v). Determinemos T (D∗) = D,
fazendo: {
x = u2 − v2
y = u v;
232 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
se u2 − v2 = 1, então x = 1; se u2 − v2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se
u v = 4, então y = 4
1 2 3
1
2
1 2 3
1
2
1 5 9
1
4
Figura 9.4: RegiõesD∗ eD, respectivamente.
∂(x, y)
∂(u, v)
= 2(u2 + v2), que não se anula emD∗.
9.2 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas
O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudan-
ças de coordenadas.
Teorema 9.1. Sejam D e D∗ regiões elementares no plano, T uma transformação de classe
C1 e injetiva emD∗. Suponha que T (D∗) = D. Então, para toda função integrável f sobre
D temos:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
f(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
onde
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
Em particular a área de D é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num
subconjunto de conteúdo nulo deD∗, como no caso de L, no exemplo 1.
Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.
9.3 Mudança Linear de Coordenadas
Consideremos a seguinte transformação:
x = x(u, v) = a1 u+ b1 v
y = y(u, v) = a2 u+ b2 v
9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 233
onde a1 b2 − a2 b1 6= 0. Como:∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = |a1b2 − a2b1|,
do teorema anterior, segue:
Corolário 9.2. Se f(u, v) = f(a1 u+ b1 v, a2 u+ b2 v), então:∫∫
D
f(x, y) dx dy = |a1b2 − a2b1|
∫∫
D∗
f(u, v) du dv
Em particular, a área de D é:
A(D) = |a1b2 − a2b1|A(D∗)
Note que: 

u = u(x, y) =
b2 x− b1 y
a1b2 − a2b1
v = v(x, y) =
−a2 x+ a1 y
a1b2 − a2b1
,
e que
∣∣∣∣∂(u, v)∂(x, y)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣
−1
.
Exemplo 9.3.
[1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2x, y = x, y = 2x − 2 e y = x + 1,
calcule: ∫∫
D
x y dx dy.
A presença dos termos 2x− y e y − x sugerem a seguinte mudança:{
u = 2x− y
v = y − x.
A nova regiãoD∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1.
1 2 3
1
2
3
4
1 2 3
1
2
3
4
-2 1
1
Figura 9.5: RegiõesD eD∗, respectivamente.
234 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
Note que: {
x = u+ v
y = u+ 2 v,
logo,
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 1 e f(u, v) = (u+ v) (u+ 2 v) = u2 + 3u v + 2 v2. Então:
∫∫
D
x y dx dy =
∫ 1
0
[∫ 0
−2
(u2 + 3u v + 2 v2) du
]
dv = 1.
[2] SejaD a região limitada pela curva y+x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule:∫∫
D
e
y−x
x+y dx dy.
A presença dos termos x+ y e x− y sugerem a seguinte mudança:{
u = x+ y
v = y − x.
D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x+y = 2; então,D∗ é limitada pelas curvas
u = v, u = −v e u = 2, respectivamente.
1 2
1
2
1 2
1
2
1 2
-2
2
Figura 9.6: RegiõesD∗ eD, respectivamente.∣∣∣∣∂(u, v)∂(x, y)
∣∣∣∣ = 2 e
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12 , f(u, v) = e vu ; então:
∫∫
D
e
y−x
x+y dx dy =
1
2
∫∫
D∗
e
v
u du dv =
1
2
∫ 2
0
[∫ u
−u
e
v
u dv
]
du
=
1
2
∫ 2
0
u e
v
u
∣∣∣∣
v=u
v=−u
du
=
e− e−1
2
∫ 2
0
u du
= e− e−1.
[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada
(2x− 4 y + 7)2 + (x− 5 y)2 = 16.
9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 235
Considere a mudança: {
u = 2x− 4 y
v = x− 5 y.
D∗ é a região limitada pela curva (u+ 7)2 + v2 = 16 que é um círculo centrado em
(−7, 0) de raio 4.
-10 -5 1
-3
1
-10 -5 1
-3
1
-14 -12 -10 - 8 - 6 - 4 - 2
-6
- 4
- 2
2
4
6
Figura 9.7: RegiõesD∗ eD, respectivamente.
∣∣∣∣∂(u, v)∂(x, y)
∣∣∣∣ = 6; então
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 16 e:
A(D) =
1
6
∫∫
D∗
du dv =
1
6
A(D∗) =
8
3
piu.a.
[4] SejaD a região limitada pela curva y+x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule:∫∫
D
cos
(x− y
x+ y
)
dx dy.
A presença dos termos x+ y e x− y sugerem a seguinte mudança:{
u = x− y
v = x+ y.
1
1
1
1
1-1
1
1-1
1
Figura 9.8: RegiõesD∗ eD, respectivamente.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12
e
236 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
f(u, v) = cos
(u
v
)
; então:
∫∫
D
cos
(
y − x
x+ y
)
dx dy =
1
2
∫∫
D∗
cos
(u
v
)
du dv
=
1
2
∫ 1
0
[∫ v
−v
cos
(u
v
)
du
]
dv
=
1
2
∫ 1
0
v
(
sen(1)− sen(−1)) dv = sen(1)∫ 1
0
v dv
=
sen(1)
2
.
[5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2x = 2, y + 2x = 2, y − 2x = 1 e
y + 2x = 1, calcule: ∫∫
D
y + 2x
(y − 2x)2 dx dy.
A presença dos termos y + 2x e y − 2x sugerem a seguinte mudança:
{
u = y + 2x
v = y − 2x.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
-0.5-1 10.5
1
2
-0.5-1 10.5
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
Figura 9.9: RegiõesD∗ eD, respectivamente.
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 14 e f(u, v) = uv2 ; então:
∫∫
D
y + 2x
(y − 2x)2 dx dy =
1
4
∫∫
D∗
u
v2
du dv
=
1
4
∫ 2
1
[∫ 2
1
u
v2
du
]
dv
=
3
16
.
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 237
9.4 Mudança Polar de Coordenadas
Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ)
onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o
segmento de reta que liga a origem a P .
r
x
y
θ
P’
r
P
Figura 9.10: Mudança polar de coordenadas.
A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:
{
r =
√
x2 + y2
θ = arctg
(y
x
)
x 6= 0.
Ou, equivalentemente:
{
x = r cos(θ)
y = r sen(θ).
Esta mudança é injetiva em:
D∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2pi},
com θ0 =constante.
Note que a região circular D = {(x, y) /x2+y2 ≤ a2} corresponde, em coordenadas
polares, à região retangular:
D∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2pi} = [0, a] × [0, 2pi].
Exemplo 9.4.
[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y2 =
√
x2 + y2 − y; em
coordenadas polares fica r = 1− sen(θ), r ≥ 0.
238 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
-1 1
-1
-2
Figura 9.11: Cardióide.
[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana:
(x2 + y2)2 = a2 (x2 − y2);
em coordenadas polares fica r2 = a2 cos(2θ).
Figura 9.12: Lemniscata.
[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o
seguinte conjunto:
C = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 = a2, a ≥ 0};
em coordenadas polares:
C∗ = {(r, θ, z) ∈ R3/r = a, 0 ≤ θ ≤ 2pi}.
Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = r > 0.
Do teorema anterior, segue:
Corolário 9.3. Se f(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)), então:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
r f(r, θ) dr dθ
Esta igualdade ainda é válida se D∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2pi}.
Em particular a área de D é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
r dr dθ
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 239
9.4.1 Regiões Limitadas por Círculos
Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y2 = a2, em coordenadas polares
é dada por:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2pi}.
Figura 9.13: A região D.
Neste caso: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ 2pi
0
[∫ a
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
A regiãoD, limitada pelo círculo (x− a)2 + y2 ≤ a2, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
}.
Figura 9.14: A região D.
Neste caso: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ pi
2
−pi
2
[∫ 2 acos(θ)
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
A regiãoD, limitada pelo círculo x2 + (y − a)2 ≤ a2, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a sen(θ), 0 ≤ θ ≤ pi}.
240 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
Figura 9.15: A região D.
Neste caso: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ pi
0
[∫ 2a sen(θ)
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
Exemplo 9.5.
[1] Calcule
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy, ondeD é a região limitada pelas curvas:
x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e y =
√
3x
3
,
no primeiro quadrante.
1 2
1
1 2
1
Figura 9.16: A região D.
Usando coordenadas polares, a nova regiãoD∗ no plano rθ é determinada por:
D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2, pi
6
≤ θ ≤ pi
4
}.
Como x2 + y2 = r2, temos:∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
r3 dr dθ =
∫ pi
4
pi
6
[∫ 2
1
r3 dr
]
dθ =
5pi
16
.
[2] Calcule
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy, ondeD é a região limitada pelas curvas:
x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, (0 < a < b).
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 241
Usando coordenadas polares temos que D∗ está determinada por: a ≤ r ≤ b e
0 ≤ θ ≤ 2pi. Por outro lado, ln(x2 + y2) = 2 ln(r),∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
2 r ln(r) dr dθ
= 4pi
∫ b
a
r ln(r) dr
= pi (r2(2 ln(r)− 1))
∣∣∣∣
b
a
= pi (2 b2 ln(b)− 2 a2 ln(a) + a2 − b2).
[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos grá-
ficos de z = x2 + y2 e x2 + y2 = 2 y.
O gráfico de z = x2 + y2 é um parabolóide centrado na origem e o de x2 + y2 = 2y
é um cilindro circular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escrever
x2 + y2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
00.250.50.75
1
x
0
0.5
1
1.5
2
y
0
1
2
3
4
z
0.250.50.75
1
0
1
2
3
Figura 9.17: O sólido do exemplo [3].
LogoD = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ pi}.
O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide. V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy.
Utilizando coordenadas polares temos x2 + y2 = r2 e:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
r3 dr dθ =
∫ pi
0
[∫ 2sen(θ)
0
r3 dr
]
dθ = 4
∫ pi
0
sen4(θ) dθ
= 4
∫ pi
0
[
3
8
+
cos(4θ
8
− sen(2θ
2
]
dθ
= −sen3(θ) cos(θ)− 3
2
cos(θ) sen(θ) +
3 θ
2
∣∣∣∣
pi
0
=
3pi
2
u.v.
242 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y2 + z2 = 25 e
internamente por x2 + y2 = 9.
0
1
2
3
4
5x
0
1
2 3
y
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
5x
0
1
2
Figura 9.18: O sólido do exemplo [4].
3 5
3
5
3 5
3
5
Figura 9.19: A região D.
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos
o resultado por 8.
V = 8
∫∫
D
√
25− x2 − y2 dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos
a nova região D∗ definida por:
D∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ pi
2
}
e
√
25− x2 − y2 = √25− r2:
V = 8
∫∫
D
√
25 − x2 − y2 dx dy = 8
∫ pi
2
0
[∫ 5
3
r
√
25− r2 dr
]
dθ =
256pi
3
u.v.
[5] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 243
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1;
onde a, b, c 6= 0.
Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:
V = 8 c
∫∫
D
√
1−
[
x2
a2
+
y2
b2
]
dx dy.
A região D é limitada pela porção de elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 no primeiro quadrante.
Usemos primeiramente a seguinte mudança:
{
x = au
y = b v;
o determinante Jacobiano da mudança é a b eD∗ é limitada por u2 + v2 = 1. Temos:
V = 8 c
∫∫
D
√
1−
[
x2
a2
+
y2
b2
]
dx dy = 8 a b c
∫∫
D∗
√
1− u2 − v2 dudv.
Agora, usamos coordenadas polares:
{
u = r cos(θ)
v = r sen(θ).
O determinante Jacobiano é r;
√
1− u2 − v2 = √1− r2 e a nova região D∗∗ é defi-
nida por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ pi
2
:
V = 8 a b c
∫∫
D∗∗
r
√
1− r2 dr dθ = 4 a b c pi
3
u.v.
Em particular, se a = b = c temos uma esfera de raio a e V =
4pi a3
3
u.v.
[6] Calcule
∫ +∞
0
e−x
2
dx.
Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a]× [−a, a]. Então:
∫∫
R
e−(x
2+y2) dx dy =
∫ a
−a
[∫ a
−a
e−x
2
e−y
2
dy
]
dx =
[∫ a
−a
e−x
2
dx
] [∫ a
−a
e−y
2
dy
]
.
O gráfico de f(x, y) = e−(x
2+y2) é:
244 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
Figura 9.20:
Se denotamos por L(a) =
∫ a
−a
e−u
2
du = 2
∫ a
0
e−u
2
du, temos:
L2(a) =
∫∫
R
e−(x
2+y2) dx dy.
Sejam D e D1 regiões elementares tais queD ⊂ R ⊂ D1 ondeD é a região limitada
pelo círculo inscrito em R eD1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R:
R
D1
D
Figura 9.21:
Como f(x, y) = e−(x
2+y2) é contínua em D1 e e−(x
2+y2) > 0, para todo x, y,∫∫
D
e−(x
2+y2) dx dy ≤ L2(a) ≤
∫∫
D1
e−(x
2+y2) dx dy.
Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2pi, D1 é
definida por 0 ≤ r ≤ √2 a e 0 ≤ θ ≤ 2pi; e−(x2+y2) = e−r2 e:
∫ 2pi
0
[∫ a
0
r e−r
2
dr
]
dθ = pi (1− e−a2);
então,
√
pi (1− e−a2) ≤ L(a) ≤
√
pi (1− e−2a2).
Como lim
a→+∞
∫ a
0
e−u
2
du =
∫ +∞
0
e−u
2
du, temos:
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 245
∫ +∞
0
e−u
2
du =
√
pi
2
.
[7] SeD = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ (x− y)2 + (x+ y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x+ y ≥ 0}, calcule:
∫∫
D
e
x+y
x−y
(x− y)2dx dy.
Usamos mudança linear:
{
u = x− y
v = x+ y.
Logo, a nova região D∗ é limitada pelas curvas u2 + v2 = 1, u2 + v2 = 4, v ≤ u e
0 ≤ v:
1 2
1
2
1 2
1
2
Figura 9.22: RegiãoD.
∂(u, v)
∂(x, y)
= 2 então
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
2
e
∫∫
D
e
x+y
x−y
(x− y)2dx dy =
1
2
∫∫
D∗
e
v
u
u2
du dv.
Usando coordenadas polares obtemos a região D∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2 e
0 ≤ θ ≤ pi
4
:
1
2
∫∫
D∗
e
v
u
u2
du dv =
1
2
∫∫
D∗∗
r etg(θ)
r2 cos2(θ)
dr dθ =
ln(2)
2
(e− 1).
9.4.2 Aplicação
SejaD região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ)
e r = h(θ) e definida por:
D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2},
onde g, h : [θ1, θ2] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).
246 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
D
h
g
y
x
θ1
θ2
r
θ
D*
θ2
θ1
Figura 9.23:
Então: ∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ θ2
θ1
[∫ h(θ2)
g(θ1)
r f(r, θ) dr
]
dθ
Em particular, a área deD é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
1
2
∫ θ2
θ1
[
(h(θ))2 − (g(θ))2
]
dθ
Exemplo 9.6.
[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e pelo cilindro
r = 4 sen(θ), no primeiro octante.
Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o
cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ pi
2
.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
1
2
3
4
0
0.5
1
1.5
2x
0 1
2 3
4
y
0
1
2
3
4
z
0
0.5
1
1.5
2
0 1
2 3
Figura 9.24:
V =
∫∫
D∗
r2 dr dθ =
∫ pi
2
0
[∫ 4 sen(θ)
0
r2dr
]
dθ =
128
9
u.v.
[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo
exterior do círculo r = 2.
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 247
-2 2
-2
2
-2 2
-2
2
Figura 9.25:
Os círculos se intersectam em: θ = pi6 e θ =
5pi
6 e:
A(D) =
1
2
∫ 5pi
6
pi
6
(16 sen2(θ)− 4) dθ = (2pi
3
+ 2
√
3
)
u.a.
[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Figura 9.26:
0 ≤ θ ≤ 2pi. Logo:
A(D) = 2
∫ 2pi
0
(1 + sen(θ))2dθ = 6piu.a.
[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).
Figura 9.27:
248 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
0 ≤ θ ≤ 2pi. Logo:
A(D) =
1
2
∫ 2pi
0
sen2(3θ) dθ =
pi
2
u.a.
9.5 Outras Aplicações da Integral Dupla
Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem
ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e
momento de inércia.
9.5.1 Massa Total
Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e conside-
remos que a massa está distribuida sobreD com densidade conhecida, isto é, existe
uma função z = f(x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em
cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é
constante. Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área
da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função
integrável sobreD, a massa totalM(D) deD é dada por:
M(D) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy
9.5.2 Momento de Massa
O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua
massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da
lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:
Mx =
∫∫
D
y f(x, y) dx dy, My =
∫∫
D
x f(x, y) dx dy
x
y (x,y) D
Figura 9.28:
9.5.3 Centro de Massa
O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:
x =
My
M(D)
, y =
Mx
M(D)
9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 249
Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concen-
trada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f(x, y) = k,
(k > 0) em todoD, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa
é o centro geométrico da região D.
Exemplo 9.7.
[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela
função: f(x, y) = ex+y.
A massa total deD = [0, 1] × [0, 1] é:
M(D) =
∫ 1
0
[∫ 1
0
ex+y dx
]
dy = e2 − 2e+ 1.
Os momentos de massa respectivos são:
Mx =
∫ 1
0
[∫ 1
0
y ex+y dx
]
dy = e− 1 e My =
∫ 1
0
[∫ 1
0
x ex+y dx
]
dy = e− 1
e o centro de massa deD é (
1
e− 1 ,
1
e− 1).
[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D de raio
a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à
distância do ponto à origem.
Figura 9.29:
f(x, y) = k
√
x2 + y2. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A
nova região D∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ pi;
√
x2 + y2 = r:
M(D) = k
∫ pi
0
[∫ a
0
r2 dr
]
dθ =
k pi a3
3
.
Os momentos de massa respectivos são:
Mx =
∫ a
0
[∫ pi
0
r3 cos(θ) dθ
]
dr = 0 e My =
∫ a
0
[∫ pi
0
r3 sen(θ) dθ
]
dr =
a4
2
;
o centro de massa deD é (0,
3 a
2 k pi
).
250 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2.
1 2
4
2
1 2
4
2
Figura 9.30:
Neste caso f(x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4x− x2}
eM(D) = A(D) =
8
3
. Esta área já foi calculada anteriormente.
Mx =
∫ 2
0
[∫ 4x−x2
x2
y dy
]
dx =
16
3
e My =
∫ 2
0
[∫ 4x−x2
x2
x dy
]
dx =
8
3
;
o centróide deD é (2, 1).
[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x+ x2, y = 0
e x = 2 se a densidade em cada ponto é f(x, y) = y1+x .
M(D) =
∫ 2
0
[∫ x(x+1)
0
y
1 + x
dy
]
dx =
1
2
∫ 2
0
(x3 + x2) dx =
10
3
,
Mx =
∫ 2
0
[∫ x(x+1)
0
y2
1 + x
dy
]
dx =
1
2
∫ 2
0
(x4 + x3) dx =
412
45
,
My =
∫ 2
0
[∫ x(x+1)
0
x y
1 + x
dy
]
dx =
1
3
∫ 2
0
(x5 + 2x4 + x3) dx =
26
5;
o centro de massa deD é (
39
25
,
206
75
).
9.5.4 Momento de Inércia
Sejam L uma reta no plano,D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde
d é a distância no plano e (x, y) ∈ D.
9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 251
D
L(x,y)
δ
Figura 9.31:
Se f(x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em
relação à reta L é:
IL =
∫∫
D
δ2(x, y) f(x, y) dx dy
Em particular, se L é o eixo dos x:
Ix =
∫∫
D
y2 f(x, y) dx dy
Se L é o eixo dos y:
Iy =
∫∫
D
x2 f(x, y) dx dy
Omomento de inércia polar em relação à origem é:
I0 = Ix + Iy =
∫∫
D
(x2 + y2) f(x, y) dx dy
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de
resistir à aceleração angular em torno desse eixo.
Exemplo 9.8.
[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex,
x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f(x, y) = x y.
Ix =
∫∫
D
xy3 dx dy =
∫ 1
0
[∫ ex
0
x y3 dy
]
dx =
1
64
(3 e4 + 1),
Iy =
∫∫
D
yx3 dx dy =
∫ 1
0
[∫ ex
0
y x3 dy
]
dx =
1
16
(e2 + 3);
logo, o momento de inércia polar é:
I0 = Ix + Iy =
1
64
(3 e4 + 4 e2 + 13).
[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y2 = a2 e
x2 + y2 = b2, (0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.
252 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS
Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2pi
e o momento de inércia polar é:
I0 = k
∫ 2pi
0
[∫ b
a
r3 dr
]
dθ =
k (b4 − a4)pi
2
.
9.6 Exercícios
1. Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z = x2 + y2 e inferiormente pela região
limitada por y = x2 e x = y2.
(b) Limitado superiormente por z = 3x2 + y2 e inferiormente pela região
limitada por y = x e x = y2 − y.
(c) Limitado por y2 + z2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
(d) Limitado por z = x2 + y2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y = 1.
(e) Limitado por x2 + y2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e
y = cos(x).
3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(a) y = x2, y = 2x+ 54
(b) y = −x2 − 4, y = −8
(c) y = 5− x2, y = x+ 3
(d) x = y2, y = x+ 3, y = −2, y = 3
(e) y3 = x, y = x
(f) y = −x2 − 1, y = −2x− 4
(g) x = y2 + 1, y + x = 7
(h) y = 4− x2, y = x2 − 14
4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade
dada f :
(a) R é limitado por x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = x y
(b) R é limitado por y = x e y = x2 e f(x, y) = x2 + y2
5. Definimos o valor médio de f sobre a regiãoD por:
VM =
1
A
∫∫
D
f(x, y) dx dy,
onde A é a área deD. Calcule VM se:
9.6. EXERCÍCIOS 253
(a) f(x, y) = x2, eD do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(b) f(x, y) = x2 y2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(c) f(x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)
(d) f(x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)
Mudanças de Variáveis
1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u+ v e y = u− v, calcule:∫ 1
0
[ ∫ 1
0
(
x2 + y2
)
dx
]
dy.
2. Utilizando a mudança de variáveis: x+ y = u e x− y = v, calcule:∫∫
D
(
x+ y
)2
(x− y)2 dx dy,
ondeD é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).
3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x− y e v = x+ y, calcule:∫∫
D
(
x2 − y2) sen2(x+ y) dx dy,
ondeD = {(x, y)/ − pi ≤ x+ y ≤ pi, −pi ≤ x− y ≤ pi}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
∫∫
D
ex
2+y2 dx dy, sendoD = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}
(b)
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y2 ≤
b2}
(c)
∫∫
D
sen(
√
x2 + y2)√
x2 + y2
dx dy, sendoD limitadas por x2+y2 = pi
2
4 e x
2+y2 =
pi2
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4−y2 e x+2 y−
4 = 0.
6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas cur-
vas:
(a) r = 1 e r = 2cos(θ)√
3
(fora a circunferência r = 1).
(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).
(c) r = 2 (1 − cos(θ)) e r = 2.
7. Calcule
∫∫
D
sen(x2+y2) dx dy, sendoD o disco unitário centrado na origem.
8. Sendo dadas a parábola y2 = x+ 1 e a reta x + y = 1, calcule o momento de
inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
254 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS