algebra linear

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4. Aplicações Lineares — T
4.1def Sejam A e B dois conjuntos. Diz-se que uma correspon-
dência f : A −→ B é uma aplicação se
∀a ∈ A,∃1b ∈ B : b = f (a).
Ao conjunto A chama-se domínio de f e ao conjunto B
chama-se contradomínio de f .
4.2def Sejam A, B, C e D conjuntos tais que C ⊂ A e D ⊂ B, e
f : A −→ B uma aplicação. Então,
(a) chama-se ao conjunto {f (x) : x ∈ C} imagem de C
por f , que se denota por f(C).
(b) Chama-se ao conjunto f (A) imagem de f .
(c) Chama-se ao conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ D} imagem
inversa de D por f , que se denota por f←(D).
4.3exe Sejam os conjuntos A = {x1, x2}, B = {y1, y2, y3}, C =
{x2}, D = {y1, y3}. Então,
(a) dê um exemplo de uma correspondência entre A e B que
não é uma aplicação:
(b) Dê um exemplo de uma correspondência entre A e B
que é uma aplicação:
(c) Considerando a aplicação dada na alínea anterior, deter-
mine a imagem de f , f (C) e f←(D):
4. Aplicações Lineares — T 64
4.4def Sejam A e B conjuntos e f : A −→ B uma aplicação.
Então,
(a) f diz-se uma aplicação injectiva se ∀x, y ∈ A : x 6= y ⇒
f (x) 6= f (y).
(b) f diz-se uma aplicação sobrejectiva se B = f (A), i.e.,
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : y = f (x).
(c) f diz-se uma aplicação bijectiva se f for injectiva e so-
brejectiva, i.e., ∀y ∈ B, ∃1x ∈ A : y = f (x).
4.5exe Dê exemplos de uma aplicação que não é injectiva nem
sobrejectiva (f1), que é injectiva mas não é sobrejectiva
(f2), que não é injectiva mas é sobrejectiva (f3) e que é
bijectiva (f4):
4. Aplicações Lineares — T 65
4.6def Sejam V e V ′ espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e
f : V −→ V ′ uma aplicação. Então,
(a) diz-se que f é uma aplicação linear (ou um homo-
morfismo) se
∀x, y ∈ V, ∀α ∈ K : f (αx + y) = αf (x) + f (y).
(b) Representa-se por LK(V,V ′) o conjunto de todas as
aplicações lineares de V em V ′.
4.7obs (a) a condição para uma aplicação ser linear pode ser subs-
tituída pelas duas seguintes condições:
∀x, y ∈ V : f (x + y) = f (x) + f (y).
∀x ∈ V, ∀α ∈ K : f (αx) = αf (x).
(b) Se f é uma aplicação linear, então herda os conceitos de
injectividade, sobrejectividade e bijectividade.
(c) Quando não for relevante especificar o corpo sobre o qual
se definem os espaços vectoriais V e V ′ ou se depreender
do contexto, denotaremos o conjunto de todas as aplica-
ções lineares de V em V ′ por L(V, V ′).
4.8teo Seja f ∈ L(V, V ′). Então, f (0V ) = 0V ′.
4.9obs Sejam V e V ′ espaços vectoriais e f : V −→ V ′ uma
aplicação. Então, se f (0V ) 6= 0V ′, f não é uma aplicação
linear.
4. Aplicações Lineares — T 66
4.10exe Exemplos de aplicações lineares:
(a) sejam a matriz A ∈ Rm×n e a aplicação
f1 : Rn −→ Rm
x 7−→ Ax.
Então, f1 ∈ L(Rn,Rm), pois
(b) Seja a aplicação
f2 : R1[x] −→ R
ax + b 7−→
∫ 1
0
(ax + b)dx.
Então, f2 ∈ L(R1[x],R), pois
4.11obs O exemplo da alínea (a) é fundamental, pois como se verá
mais adiante, todas as aplicações lineares podem ser repre-
sentadas por uma aplicação linear daquele tipo.
4.12exe A aplicação
g : R2 −→ R2
(a, b) 7−→ (a2, 0)
não é uma aplicação linear de R2 em R2, pois
4. Aplicações Lineares — T 67
4.13def Seja f ∈ L(V, V ′). Então,
(a) ao conjunto f (V ) chama-se imagem de f , que se de-
nota por Imf , i.e., Imf = {f (x)|x ∈ V }.
(b) Ao conjunto f←(0V ′) chama-se núcleo de f , que se
denota por Nucf , i.e., Nucf = {x ∈ V |f (x) = 0V ′}.
4.14teo Seja f ∈ L(V, V ′). Então,
(a) se F é um subespaço de V , f (F ) é um subespaço de V ′
(em particular, Imf é um subespaço de V ′).
(b) Se F ′ é um subespaço de V ′, f←(F ′) é um subespaço de
V (em particular, Nucf é um subespaço de V ).
4.15def Seja f ∈ L(V, V ′). Então,
(a) à dimensão do subespaço imagem de f chama-se ca-
racterística de f , que se denota por cf , i.e., cf =
dim(Imf ).
(b) À dimensão do subespaço núcleo de f chama-se nuli-
dade de f , que se denota por nf , i.e., nf = dim(Nucf ).
4.16teo Sejam V e V ′ espaços vectoriais e f ∈ L(V, V ′). Então, se
dim(V ) = n, n = cf + nf .
4.17teo Sejam f ∈ L(V, V ′) e {u1, . . . , un} um conjunto gerador
de V (podendo ser, como caso particular, uma base de V ).
Então,
(a) a aplicação f fica definida desde que se conheçam os
vectores f (u1), . . . , f (un) (do ev V ′).
(b) Imf = 〈f (u1), . . . , f (un)〉.
4. Aplicações Lineares — T 68
4.18exe Seja a aplicação linear
f : R3 −→ R2
(x1, x2, x3) 7−→ (0, x1 + 2x2 − x3).
Determine Imf , cf , Nucf e nf :
4. Aplicações Lineares — T 69
4.19teo Sejam f ∈ L(V, V ′) e C = {u1, . . . , un} um subconjunto
de V . Então,
(a) f é uma aplicação injectiva sse Nucf = {0V }, i.e., nf =
0.
(b) Se C é um conjunto gerador de V (podendo ser, como
caso particular, uma base de V ), então f é uma apli-
cação sobrejectiva sse V ′ = 〈f (u1), . . . , f (un)〉, i.e.,
cf = dim(v′).
(c) Se C é uma base de V , então f é uma aplicação bijectiva
sse {f (u1), . . . , f (un)} é uma base de V ′.
4.20obs Sejam V e V ′ espaços vectoriais de dimensão finita e
f ∈ L(V, V ′). Então, se dim(V ) 6= dim(V ′), f não é uma
aplicação linear bijectiva.
4. Aplicações Lineares — T 70
4.21obs Sejam f ∈ LK(V, V ′), C = {v1, . . . , vn} uma base de V ,
C ′ = {v′1, . . . , v′m} uma base de V ′ e v ∈ V . Então,(∃α1, . . . , αn ∈ K : v = α1v1 + · · · + αnvn)⇒
f (v) = f (α1v1 + · · · + αnvn) = α1f (v1) + · · · + αnf (vn),
em que cada f (vi) (i = 1, . . . , n) pode escrever-se como
combinação linear dos vectores da base de V ′, vindo:
f (v1) = a11v
′
1+· · ·+am1v′m, . . . , f (vn) = a1nv′1+· · ·+amnv′m.
Tem-se, então,
f (v) = α1
m∑
i=1
ai1v
′
i+· · ·+αn
m∑
i=1
ainv
′
i =
n∑
j=1
m∑
i=1
αjaijv
′
i =
=
m∑
i=1
( n∑
j=1
aijαj
)
v′i.
Assim, se f (v) = β1v′1 + · · · + βmv′m, as coordenadas de
f (v) em relação à base C ′ são dadas porβ1...
βm
 =
a11 · · · a1n... . . . ...
am1 · · · amn
α1...
αn
 ,
i.e., se conhecermos a matriz Af,C,C ′ = [aij] ∈ Km×n, po-
demos sempre determinar o transformado de um vector v
por maio da aplicação linear f . À matriz Af,C,C ′ chama-se
matriz da aplicação f em relação às bases C e C′.
O teorema seguinte é o caso particular quando V = Rn
e V ′ = Rm e quando se consideram as respectivas bases
canónicas.
4. Aplicações Lineares — T 71
4.22teo (a) Sejam f ∈ L(Rn,Rm), {e1, . . . , en} a base canónica
de Rn, f (e1) = v1, . . . , f (en) = vn e a matriz Af =
[v1 · · · vn] ∈ Rm×n (i.e., a j-ésima coluna de Af é o vec-
tor vj). Então
f : Rn −→ Rm
x 7−→ Afx.
(b) Reciprocamente, seja A ∈ Rm×n. Então,
fA : Rn −→ Rm
x 7−→ Ax
define uma aplicação linear pertencente a L(Rn,Rm).
4.23exe Determine a matriz da aplicação
f : R3 −→ R2
(x1, x2, x3) 7−→ (x1 + x2, 2x2 − x3)
4. Aplicações Lineares — T 72
4.24teo Sejam f : Rn −→ Rm uma aplicação linear e Af ∈ Rm×n
a matriz da aplicação f . Então,
(a) f é uma aplicação injectiva sse c(Af) = n.
(b) Condição necessária para f ser uma aplicação injectiva:
n 6 m, i.e., se n > m, f não é uma aplicação injectiva.
(c) Se f é uma aplicação injectiva, então o sistema Afx = b,
x ∈ Rn, é PD ou Imp ∀b ∈ Rm.
(d) f é uma aplicação sobrejectiva sse c(Af) = m.
(e) Condição necessária para f ser uma aplicação sobrejec-
tiva: n > m, i.e., se n < m, f não é uma aplicação
sobrejectiva.
(f) Se f é uma aplicação sobrejectiva, então o sistema
Afx = b, x ∈ Rn, é PD ou PI ∀b ∈ Rm.
(g) f é uma aplicação bijectiva sse c(Af) = m = n.
(h) Condição necessária para f ser uma aplicação bijectiva:
n = m, i.e., se n 6= m, f não é uma aplicação bijectiva.
(i) Se f é uma aplicação bijectiva, então o sistema Afx = b,
x ∈ Rn, é PD ∀b ∈ Rm.
4. Aplicações Lineares — TP 73
4. Aplicações Lineares — TP
4.1 Considere a seguinte aplicação
f : R2 −→ R3
(x, y) 7−→ (x− y, 0, x).
(a) Calcule f(2, 1).
(b) Calcule f(y, 1).
(c) Calcule f(y, x).
(d) Calcule f(x+ 2y, y − x).
sols 4.1(a) f(2, 1) = (1, 0, 2).
(b) f(y, 1) = (y − 1, 0, y).
(c) f(y, x) = (y − x, 0, y).
(d) f(x+ 2y, 2y − x) = (2x, 0, x+ 2y).
4.2 Indique quais das seguintes aplicações são lineares:
f1 : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (2x− y, x).
f2 : R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (x+ y + 2, z − 3).
f3 : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (0,−x).
f4 : R2 −→ R
(x, y) 7−→ |x− y|.
sols 4.2 f1 e f3 são aplicações lineares. f2 e f4 não são aplicações lineares.
4.3 Seja f uma aplicação definida por
f : R −→ R2
x 7−→ (x+ α− 2β,−x),
em que α e β são duas constantes reais. Diga, justificando, qual a relação entre α e β para que f seja uma
aplicação linear.
sols 4.3 α = 2β.
4.4 Considere as seguintes aplicações lineares:
f1 : R2 −→ R
(x, y) 7−→ x+ y,
f2 : R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (x+ y + z, 2x+ 2y + 2z),
f3 : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x− z, 0, y − 2z),
f4 : R4 −→ R3
(x, y, z, w) 7−→ (x− y, z − w, x− 3w).
Determine Imf , cf , Nucf e nf para cada uma delas.
sols 4.4 f1: Imf1 = R, cf1 = 1, Nucf1 = {(x,−x)|x ∈ R}, nf1 = 1.
f2: Imf2 = {(a, 2a)|a ∈ R}, cf2 = 1, Nucf2 = {(−y − z, y, z)|y, z ∈ R}, nf2 = 2.
f3: Imf3 = {(a, 0, c)|a, c ∈ R}, cf3 = 2, Nucf3 = {(z, 2z, z)|z ∈ R}, nf3 = 1.
f4: Imf4 = R3, cf4 = 3, Nucf4 = {(3w, 3w,w,w)|w ∈ R}, nf4 = 1.
4.5 Para cada uma das alíneas seguintes, determine a função f sabendo que é uma aplicação linear definida por:
(a) f(1, 0) = (−1, 1, 2) e f(0, 1) = (3, 0, 1).
(b) f(1, 2) = (3,−1, 5) e f(0, 1) = (2, 1,−1).
4. Aplicações Lineares — TP 74
(c) f(1, 1, 1) = 3, f(0, 1,−2) = 1 e f(0, 0, 1) = −2.
sols 4.5 (a) f(x, y) = (−x+ 3y, x, 2x+ y);
(b) f(x, y) = (−x+ 2y,−3x+ y, 7x− y);
(c) f(x, y, z) = 8x− 3y − 2z.
4.6 Considere o conjunto de matrizes
A =
{[
x −y
y x
]
|x, y ∈ R
}
e a aplicação
f : A −→ R2×2[
x −y
y x
]
7−→
[
x+ y y
−y 2x
]
.
(a) Mostre que f é uma aplicação linear.
(b) Determine as dimensões do Nucf e da Imf .
(c) f é injectiva? Justifique.
sols 4.6 (b) nf = 0; cf = 2.
(c) Sim.
4.7 Sejam o espaço vectorial Kn×n, a matriz M ∈ Kn×n e aplicação
f : Kn×n −→ Kn×n
A 7−→ AM −MA.
(a) Mostre que a aplicação f é linear.
(b) Considerando M =
[
1 2
0 3
]
, encontre uma base e a dimensão para o núcleo de f .
sols 4.7 (b) Por exemplo:
{[
1 −1
0 0
]
,
[
1 0
0 1
]}
. nf = 2.
4.8 Seja f uma aplicação linear de R2 em R3. Sabendo que f(1, 0) = (0, 1, 1) e Nuc f = 〈(0, 1)〉, determine f(x, y)
para qualquer (x, y) ∈ R2.
sols 4.8 f(x, y, z) = (0, x, x).
4.9 Seja f uma aplicação linear de R3 em R3. Sabendo que f(0, 0, 1) = (0, 0, 1) e Nuc f = 〈(1, 1, 1), (0, 1, 1)〉,
determine f(x, y, z) para qualquer (x, y, z) ∈ R3.
sols 4.9 f(x, y, z) = (0, 0, z − y).
4.10 Seja f uma aplicação linear de R4 em R3 definida pelo sistema y1 = 3x1 + 2x2 + x3y2 = x1 − x4
y3 = 2x1 + 5x2 + x3 − x4.
(a) Escreva a matriz Af da aplicação.
(b) Determine o transformado do vector (1, 0, 3, 2).
sols 4.10 (a)
3 2 1 01 0 0 −1
2 5 1 −1
 .
(b) (6,−1, 3).
4.11 Considere o seguinte sistema de vectores lineares sobre R 2x1 + x2 = 1x1 + x2 = −1
x1 − 2x2 = −3.
Dê uma interpretação em termos de aplicações lineares do conjunto de soluções deste sistema de equações lineares
e determine-o.
4. Aplicações Lineares — TP 75
sols 4.11 Ax = b em que A =
2 11 1
1 −2
. O sistema é impossível, logo C.S. = ∅.
4.12 Sendo α ∈ R, considere as aplicações lineares associadas às seguintes matrizes:
A1 =
1 2 1 00 −3 3 α
0 0 0 −3 + α
 , A2 =
1 00 α
0 0
 , A3 = [1 24 α
]
.
Para cada uma das aplicações, indique para que valores de α a aplicação é injectiva e sobrejectiva.
sols 4.12(A1): nunca é injectiva e é sobrejectiva para α 6= 3.
(A2): injectiva para α 6= 0 e nunca é sobrejectiva.
(A3): injectiva e sobrejectiva para α 6= 8.
4.13 Seja f uma aplicação linear de R3 em R3 tal que f(1, 0, 0) = (1, 0, α), f(0, 1, 0) = (1,−1, 1) e f(0, 0, 1) = (1, 1, α2).
Determine os valores de α para os quais f é bijectiva.
sols 4.13 α 6= 1.
4.14 Seja f uma aplicação tal que f ∈ L(Rn,Rm). Dê exemplos de aplicações injectivas, não injectivas, sobrejectivas,
não sobrejectivas e bijectivas para m > n,m = n e m < n, sempre que tal seja possível.