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Universidade Paulista – Campus Manaus Complementos De Física – Laboratório Relatório Manaus-Am 2016 Universidade Paulista – Campus Manaus Complementos De Física – Laboratório Pêndulo Simples e Pêndulo De Mola Relatório da atividade realizada em laboratório, na disciplina de Complementos de Física, orientada pelo professor Marinilson de Lima, para obtenção de nota parcial referente à NP2. Componentes: RA: Artur Aguiar C69GCB-2 Carla Ferreira C560BG-3 Carlos Mateus C57BJE-0 Keven Rocha C669AC-5 Rúbenn Oliveira C63BGB-7 Manaus-Am 2016 PÊNDULO SIMPLES 1. OBJETIVO Estudar a lei que rege o período de oscilação de um pêndulo simples. 2. INTRODUÇÃO Considere uma partícula de massa 𝑚 suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento 𝑙; o sistema assim formado pode ser colocado a oscilar sob a ação da gravidade em torno da sua posição de equilíbrio, constituindo dessa forma um pêndulo simples. O movimento de um pêndulo simples, no caso de oscilações de pequenas amplitudes, é um caso típico de movimento harmônico simples. Decompondo, na direção tangente à trajetória da partícula as forças atuantes na mesma, tem-se como resultante nesta direção: 𝑅 = −𝑚.𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃. Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica, tem-se: 𝑅 = −𝑚.𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚. 𝛼𝑡 = 𝑚. 𝑙𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 Reescrevendo-se a equação anterior, tem se: 𝑙𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 + 𝑔 𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (I) Se o ângulo 𝜃 for pequeno (pequenas amplitudes), podemos utilizar a aproximação 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (em radianos). Com esta última aproximação a equação (I) transforma-se em: 𝑙𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 + 𝑔 𝑙 𝜃 = 0 (II) A solução da equação (II) é do tipo: 𝜃 = 𝜃𝑜 cos(𝜔𝑜𝑡 + 𝛼) sendo: 𝜃 − 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 𝜔𝑜 − 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 𝛼 − 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 A função 𝜃 = 𝜃(𝑡) é solução da equação diferencial (II) desde que: 𝜔𝑜² = 𝑔 𝑙 Lembrando que 𝜔𝑜 = 2𝜋/𝑇 pode ter a expressão para o período T da oscilação. 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙 𝑔 3. MATERIAL UTILIZADO a) Fio; b) Cronômetro; c) Trena; d) Balança; e) Esferas de massas diferentes; f) Tripé, hastes e garras de sustentação. 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL a) Considere pequenas amplitudes; para diferentes amplitudes e meça o respectivo período T; b) Estude a dependência do período de oscilação com a massa do pêndulo simples, varie a massa m e meça o respectivo período; c) Estude a dependência do período de oscilação com o comprimento do pêndulo simples; para isto varie o comprimento l medindo os respectivos períodos. 5. ANÁLISE DE DADOS E CONCLUSÕES 1. Qual o objetivo deste experimento? R= Determinarmos o período, a oscilação do pêndulo e a gravidade. 2. Quais os aparelhos de medição utilizados? Indicar a precisão dos mesmos. R= Balança de Torção; Balança de Precisão ½ g (0,5 g); régua cm ½ cm (0,5 cm); Pêndulo com massa desprezível; cronômetro. 3. Apresentar os resultados obtidos preenchendo as tabelas anexas. m(g) 89,492 22,956 71,250 64,468 𝑻𝟏𝟎(s) 14,92 14,87 14,86 15,08 T(s) 1,492 1,487 1,486 1,508 l (m) 0,10m 0,20m 0,30m 0,60m 𝒕𝟏𝟎(s) 5,59 8,68 10,47 15,02 T(s) 0,559 0,868 1,047 1,502 T²(s²) 0,312481 0,753424 1,096209 2,256004 𝜽(°) 5° 10° 15° 20° 𝒕𝟏𝟎(s) 14,67 14,78 14,93 15,21 T(s) 1,467 1,478 1,493 1,521 4. Qual a relação entre o período e a amplitude? R= Observamos que ao aumentarmos a amplitude o período também aumenta, se diminuirmos a amplitude, concomitantemente o período também diminui. Temos, portanto, uma relação diretamente proporcional. 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙 𝑔 5. Qual a relação entre o período e a massa do pêndulo? Mesmo que a massa seja alterada, o período não varia em pequenas oscilações. 6. GRÁFICOS 7. Construir o diagrama cartesiano (T, l) 8. Construir o diagrama cartesiano (T², l) 0,1 0,2 0,3 0,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,5 1 1,5 2 L (m ) T(s) T(L) 0,559 0,868 1,047 1,502 0,1 0,2 0,3 0,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 L (m ) T²(s²) T²(L) 0,312481 0,753424 1,096209 2,256004 9. A partir do diagrama (T², l) determinar a aceleração da gravidade local. Para calcular a aceleração da gravidade basta substituir os valores de L e T na equação deduzida. 𝑻² = 𝟒𝝅². 𝒍 𝒈 𝑔 = 4𝜋². 𝑙 𝑇2 Dados: L=0,60 e T=1,502 𝑔 = 4𝜋². 0,60 1,5022 𝑔 ≅ 10,50𝑚/𝑠² 10. O diagrama (T², l) confirma o resultado previsto pelo nosso modelo teórico? R= Confirma, pois, se o comprimento L for nulo não ocorrerá nenhuma oscilação, portanto, quanto maior for a distância L, maior será o período T de oscilação, sendo este diretamente proporcional. 11. Justifique quantitativamente o fato de se determinar o tempo de dez oscilações para calcular o período, em vez de medi-lo. R= Ao medirmos a quantidade de oscilações que o pêndulo executa em dez segundos, obteremos um valor médio para o período. Portanto, temos: 𝑇 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 10 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 10 12. Um pêndulo simples que oscilasse com período 𝑇𝑡 na Terra, oscilaria com que período 𝑇𝑙 na Lua? Dado: (𝑔𝑡 = 6𝑔𝑙). 𝑔𝑙 = 9,81 6 = 1,64𝑚/𝑠² 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙 = 0,6𝑚 𝑇 = 2𝜋√ 0,60 1,64 𝑇 = 2𝜋√0,366 𝑇 = 3,80 𝑜𝑢 38 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 PÊNDULO DE MOLA 1. OBJETIVO Determinação da constante elástica de molas helicoidais. 2. INTRODUÇÃO Uma mola helicoidal é constituída de um pedaço de fio metálico enrolado de forma a acompanhar o desenvolvimento de uma hélice; se a mola for tracionada e depois abandonada, ela retorna ao seu comprimento natural, desde que a intensidade da força nela aplicada não ultrapasse um certo valor (limite de elasticidade). Caso a mola seja tracionada com forças muito intensas ela se deforma irreversivelmente, ou seja, ultrapassa o seu limite de elasticidade. Hooke verificou, em 1678, que abaixo do limite de elasticidade a deformação x produzida na mola é diretamente proporcional á intensidade da força F aplicada na mesma: F= k.x (l) Onde: k é constante elástica da mola (depende do material do fio, do diâmetro das espiras que constituem a mola e do número de espiras). Durante este experimento a mola será presa por uma extremidade, na outra extremidade serão presos massores aferidos, ficando a mesma sob a ação do peso desses massores. Cada vez que for colocado um massor adicional num porta-cargas preso á extremidade inferior da mola, o comprimento da mola irá aumentar, até atingir um valor no qual o sistema permanece em equilíbrio estático; em cada situação de equilíbrio estático, a carga presa á extremidade da mola recebe da mesma uma força restauradora que equilibra seu peso. Seja m a massa de um corpo, em equilíbrio estático, preso a extremidade inferior da mola; caso esse corpo seja deslocado de uma distância x medida a partir do equilíbrio estático, e depois abandonado, a resultante das forças atuantes o mesmo será: R⃗⃗ = − k x i Aplicando-se a 2º lei de Newton, tem-se: − k x = m ẍ(ll) ou seja, �̈� + 𝑘 𝑚 𝑋 = 0 (lll) A equação diferencial (lll) caracteriza um movimento harmônio simples (M.H.S.); sua solução é do tipo: 𝑥 = 𝑎 cos( 𝜔0𝑡 + α) (lV) Sendo: 𝑎 - amplitude do M.H.S. 𝜔0 - pulsação do M.H.S. (𝜔0 = 2𝜋 𝑇 ) 𝛼 - fase inicial Deve-se ressaltar ainda, que a função x(t) dada pela identidade (lV) satisfaz a equação (lll) desde que: 𝜔 2 0 = 𝑘 𝑚 (V) A partir da identidade (V) pode-se concluir que o período T do MHS será dada por: 𝑇 = 2𝜋√ 𝑚 𝑘 3. ASSOCIAÇÃO DE MOLAS Supor um sistema genérico de molas acopladas de forma que as deformações sejam independentes. a) Paralelo Quando se aplica uma força que produz nas molas deformações idênticas, a associação é dita em paralelo. A constante elástica equivalente é dada por: 𝐾𝑒𝑞 = ∑ 𝐾𝑖 = 𝐾1 + 𝑛 𝑖=𝑙 𝐾2 … + 𝐾𝑛 b) Série Se ao sistema de molas aplica-se uma força que se transmite em intensidade para todas as molas, consequentemente produzindo deformações inversamente proporcionais ás respectivas constantes elásticas, a associação é dita em série. A constante elástica equivalente é dada por: 1 𝑘𝑒𝑞 = ∑ 1 𝑘𝑖 = 1 𝑘1 + 1 𝑘2 𝑛 𝑖=𝑙 + …+ 1 𝑘𝑎 4. MATERIAL UTILIZADO a) Mola helicoidal; b) Porta-cargas e massores aferidos; c) Escala graduada; d) Cronômetro; e) Base, haste e garras de sustentação. 5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Resumo O experimento será feito com duas molas distintas, de constantes elásticas 𝐾1 e 𝐾2 respectivamente. Vamos determinar as constantes elásticas de cada mola utilizando dois métodos: estático e dinâmico (ver a seguir). Em seguida associamos as molas em serie e medimos a constante elástica equivalente pelo método dinâmico; associamos as molas em paralelo, medimos a constante elástica equivalente pelo método estático. Método estático a) Monte o dispositivo indicado na figura 2, suspendendo a mola com o eixo na vertical. Prenda o porta-cargas na extremidade inferior da mola; meça a posição do porta-cargas no equilíbrio estático (adote a borda do porta-cargas como referência para leituras): figura 2. b) A partir da situação de equilíbrio estático (já descrita no item a), aplique na mola forças de diferentes intensidades F, medindo as respectivas deformações x produzidas na mola (vide a tabela 1 do estudo dirigido). Método dinâmico a) Montar o sistema esquematizado na figura 2. b) Prender um corpo de massa m (porta-cargas mais massores) á extremidade inferior da mola; coloque o sistema a oscilar. Meça o tempo gasto pelo sistema, durante 10 oscilações completas (𝑡10); c) Repetir o procedimento anterior, utilizando outros valores de massa m (vide a tabela 2 do estudo dirigido). 6. ANALISE DE DADOS (TABELAS) 1. Quais os objetivos deste experimento? Temos por objetivo descobrir qual é a constante elástica da mola usada no experimento. 2. Indicar os instrumentos de medição utilizados e suas respectivas precisões. Régua 1/5mm. 3. Apresentar os resultados obtidos, preenchendo as tabelas anexas: ESTÁTICO: F (N) 0,0062 0,092 0,288 0,384 0,480 x (m) 0,045 0,094 0,141 0,190 0,240 DINÂMICO: m (kg) 0,0098 0,0196 0,0290 0,0392 0,049 𝑡10 (s) 4,95 6,05 7,51 8,10 9,87 T (s) 0,495 0,605 0,751 0,810 0,987 T² (s²) 0,245 0,366 0,564 0,656 0,974 GRÁFICOS 4. Utilizando os dados obtidos, construa o diagrama cartesiano (x, F). 0,0062 0,092 0,288 0,384 0,48 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 F (N ) x(m) x , F 0,045 0,094 0,141 0,19 0,24 5. Construa os diagramas cartesianos (T², m). 6. A partir do diagrama cartesiano (T², m) determinar a constante elástica k da mola. Usando m=0,0392 e T²=0,656 𝐾 = 4𝜋2. 𝑚 𝑇2 = 4𝜋2. 0,0392 0,656 𝐾 = 2,36 Sugestão: Mostrar que o coeficiente angular b, no diagrama (T², m) vale: 𝑏 = 𝑘 4𝜋2 T = 2π. √m k → (T)2 = (2π. √m k ) 2 → T² = 4π². m k → m = k 4π2 . T² ∴ 𝐛 = 𝐤 𝟒𝛑𝟐 7. Podemos afirmar, independente dos instrumentos utilizados, que o método estático é mais preciso que o dinâmico ou vice-versa? R= Tanto o método dinâmico quanto o estático são muito precisos, ou seja, praticamente não há diferença de precisão entres ambos, os dois métodos apontam dados obtidos com exatidão. 0,245 0,366 0,564 0,656 0,974 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 T² (s ²) m(kg) T² , m 0,0098 0,0196 0,029 0,0392 0,049 CONCLUSÃO Concluímos, portanto, que ao aumentarmos a amplitude em um pêndulo simples, o período também aumentará, se diminuirmos a amplitude, o período também diminuirá, ou seja, a massa do pêndulo não influencia no tempo, mas, a amplitude e a gravidade. Nessa situação, temos uma relação diretamente proporcional, a amplitude está em função do tempo, e a partir dos dados obtidos, podemos esboçar os nossos gráficos que mostram a variação entre tempo e espaço (amplitude), quanto maior a área a ser utilizada, maior será o tempo gasto. Já em um pêndulo de mola, podemos observar que a oscilação possui uma constante elástica, de modo que, na associação de molas temos dois tipos de deformações independentes, um em paralelo e o outro em série. Em paralelo, quando uma força é aplicada, as molas produzem deformações parecidas, já em série, quando aplica-se uma força transmitida a todas as molas, elas tendem a produzir um efeito inversamente proporcional às constantes elásticas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Livros: Apostila de Complementos de Física (Laboratório); Arduino Francesco Lauricella, Brasílio Camargo Brito Filho, Francisco Xavier Sevegnani, Pedro Américo Frugoli, Roberto Gomes Pereira Filho Fisica IV, Sears & Semansky 12ed. Links: www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.ht imagem.casadasciencias.org/online/36_pendulo-elastico_massa-mola-teoria.htm
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