Interpolação Matemática

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Professor: Fernando 
Interpolação 
Definição: 
 Em Matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de 
um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos. Assim a interpolação permite fazer a 
reconstituição (aproximada) de uma função, apenas conhecendo algumas das suas 
abscissas e respectivas ordenadas (imagens). 
 Na engenharia dispomos habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de 
uma amostragem ( Experimento). Tal conjunto de dados pontuais (também 
denominado conjunto degenerado) não possui continuidade, e isto muitas vezes 
torna demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno 
real empiricamente observado. 
Com a interpolação, pode-se construir uma Função que aproximadamente se 
"encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade desejada. Outra aplicação da interpolação é 
a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja 
complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados 
pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos 
a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, 
mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode 
compensar o erro. A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para tanto 
conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-domínio da função). A 
função resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relação aos outros pontos, pode ser 
considerada um mero ajuste. 
 
Conceito de Interpolação 
 
Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados nós 
da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), f(x1), ..., 
f(xn). 
Uma forma de interpolação de f(x) consiste em se obter uma 
determinada função g(x) tal que: 
g(x0) = f(x0) , g(x1) = f(x2) ...... g(xn) = f(xn) 
 
Interpolação linear 
 Denomina-se interpolação linear o método que se 
utiliza de uma função linear p(x) (Polinômio de primeiro grau) 
para representar, por aproximação, uma suposta 
função f(x) que originalmente representaria as imagens de 
um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido no 
domínio de f(x). 
Obtenção da fórmula: Dados dois pontos distintos de uma 
função y = f(x) : (x0,y0) e (x1,y1), deseja-se calcular o valor de ӯ 
para um determinado valor de ẍ entre x0 e x1 , usando a 
interpolação polinomial. 
O polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos conhecidos. 
Assim, o polinômio interpolador nesse caso terá grau 1, isto é: P1(x) = a1x + a0 
Para determinar este polinômio, os coeficientes a0 e a1 devem ser calculados de forma que se tenha: 
P1(x0) = f(x0) = y0 e P1(x1) = f(x1) = y1 
Ou seja, basta resolver o sistema linear abaixo: 
 a1x0 + a0 = y0 
 a1x1 + a0 = y1 
 
 
 
Exemplo – Seja a função y = f(x) definida pelos pontos da tabela abaixo. Determinar o valor de f(15). 
Solução: P1(15) = a115 + a0 ,para determinar este polinômio, os coeficientes a0 e a1 devem ser 
calculados de forma que se tenha: P1(10) = f(10) = 250 e P1(20) = f(20) = 432 
 Ou seja, basta resolver o sistema linear abaixo: 
 a1.10 + a0 = 250 
 a1. 20 + a0 = 432 , assim temos a1 = 18,2 e a0 = 68 e substituindo em : 
 P1(15) = 18,2. 15 + 68 → P1(15) = 341 
 
 
Exercício – Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de temperatura em que 
o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a temperatura do forno a todo instante, ela é medida em 
intervalos periódicos de tempo e esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi “queimada” a 
fim de se conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os seguintes dados 
foram coletados: 
Estime a temperatura do forno ás 14:30. 
 
 
 
 
Interpolação Quadrática 
 Denomina-se interpolação quadrática o método que se utiliza de uma função quadrática p(x) (Polinômio de 
segundo grau) para representar, por aproximação, uma suposta função f(x) que originalmente representaria as 
imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido no domínio de f(x). 
Obtenção da fórmula: Dados três pontos distintos de uma função y = f(x) : (x0,y0) , (x1,y1) e (x2,y2) temos que o 
polinômio interpolador será: P2(x) = a2x
2 + a1x + a0 , 
 O polinômio P2(x) conhecido como função quadrática cuja imagem geométrica é uma parábola. Portanto, a função f(x) é 
aproximada por uma parábola que passa pelos três pontos conhecidos (x0,y0) , (x1,y1) e (x2,y2) 
 
Obtenção da fórmula : Para determinar este polinômio, os coeficientes a0 , a1 e a2 devem ser calculados de forma 
que se tenha: 
P2(x0) = f(x0) = y0 , P2(x1) = f(x1) = y1 e P2(x2) = f(x2) = y2 
Ou seja, basta resolver o sistema linear abaixo: a2x0
2 + a1x0 + a0 = y0 
 a2x1
2 + a1x1 + a0 = y1 
 a2x2
2 + a1x2 + a0 = y2 
 
Exemplo – A velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo com a tabela ao lado: 
Pretende-se estimar a velocidade do som na água a uma temperatura de 100 °C, com quatro casas decimais com 
arredondamento. 
Solução: P2(93,3) = f(93,3) = 1548 , 
P2(98,9) = f(98,9) = 1544 e P2(104,4) = 
f(104,4) = 1532 
Ou seja, basta resolver o sistema linear 
abaixo: a2(93,3) 
2 + a1(93,3) + a0 = 1548 
 a2(98,9) 
2 + a1 (98,9) + a0 = 1544 
 a2(104,4) 
2 + a1(104,4) + a0 = 1532 
assim temos por GAUS que a2 = -0,1322 , a1 = 2469,65 e a0 = 394,6901 e substituindo em : 
 P2(100) = a2 100
2 + a1 100 + a0 → P1(100) = (-0,1322 ) 10000 + (24,6965) 100 + 394,6901 = 1542,3401 m/s 
 
Exercício – A resistência de um certo fio (de uma certa substância), f(x), varia com o diâmetro desse fio. A partir de 
uma experiência registraram-se os seguintes valores: 
 
Estime a resistência de um fio com o diâmetro de 2,7, com quatro 
casas decimais de arredondamento. 
 
 
 
 
 
Interpolação polinomial de Lagrange 
As interpolações vistas anteriormente são casos particulares da interpolação de Lagrange. Vamos estudar agora o 
polinômio interpolador de grau menor ou igual a n, sendo dados n + 1 pontos distintos. 
Teorema: Sejam(xi,yi), i = 0, 1, 2, ..., n, n+1 pontos distintos, isto é, xi ≠ xj para i ≠ j. Existe um único polinômio 
interpolador P(x) de grau menor ou igual a n, tal que P(xi) = yi, para todo i. 
O polinômio interpolador P(x) pode ser escrito na forma: Pn(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + .....+anx
n 
Para determinar este polinômio, os coeficientes a0 , a1 , a2, .... an devem ser calculados de forma que se tenha: 
P2(x0) = f(x0) = y0 , P2(x1) = f(x1) = y1 , P2(x2) = f(x2) = y2 , …… , Pn(xn) = f(xn) = yn 
 a0 + a1x0+ a2 x0
2 + .....+an x0
n = y0 
 a0 + a1x1+ a2 x1
2 + .....+an x1
n = y1 
Ou seja, basta resolver o sistema linear : a0 + a1x2+ a2 x2
2 + .....+an x2
n = y2 
 ...............................................................a0 + a1xn+ a2 xn
2 + .....+an xn
n = yn 
 
Resolvendo o sistema linear, determina-se o polinômio Pn(x). 
Para provar que tal polinômio é único, basta que se mostre que o determinante da matriz A, dos coeficientes das 
incógnitas do sistema, é diferente de zero. A matriz A é: 
 
 
O determinante da matriz A é conhecido como determinante das potências ou de Vandermonde (da Álgebra Linear) 
sabe-se que seu valor é dado por: det A = ∏i > j (xi - xj) e como: xi ≠ xj para i ≠ j, vem que det(A) ≠ 0, Logo, P(x) é 
único. 
 
Exemplo: Sejam os valores: x0 = 5, x1 = 3, x2 = 2 e x3 = 4 (Coeficientes da incógnitas do sistema), Calcule a 
determinante dessa matriz. 
 Det = 
 
 
 
 
Assim: det A = ∏i > j (xi - xj) = (x1-x0) (x2-x0) (x3-x0) (x2-x1) (x3-x1) (x3-x2) temos Det A = (-2)(-3)(-1)(-1)(1)(2)= 12 
 
Exercício Dada a tabela: 
 
determine o valor aproximado de log 2,45, usando interpolação polinomial. 
Solução: Vamos calcular o polinómio P3 de grau menor ou igual a 3, interpolador de y = log x nos pontos 2,3 ; 2,4 
; 2,5 e 2,6. De acordo com a definição temos P3(2,3) =0,361728 , P3(2,4) = 0,380211, P3(2,5) = 0,397940, e P3(2,6) = 
0,414973. Isto é, se P3(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3, temos que: 
 
(determinante das potências ou de Vandermonde) 
Tal polinômio existe e é único e resolvendo o sist. Linear: 
 
 
Assim: P3(x) = −0,404885 + 0,528963x − 0,107300x
2 + 0,009667x3 como log 2,45 ≈ P3(2,45) 
P3(2,45) = −0,404885 + 0,528963(2,45) − 0,107300(2,45) 
2 + 0,009667(2,45) 3 = 0,389170 
Comparando este valor com o valor exato log 2,45 = 0,38916608 . . .. Note-se que o erro cometido na aproximação não excede 0,4 × 10
−5
.
 
 
 
 
 
 
1 X0 X0
2 ..... X0
n 
1 X1 X1
2 ..... X1
n 
1 X2 X2
2 ..... X2
n 
..... ..... ..... ..... ..... 
1 Xn Xn
2 ..... Xn
n 
1 5 25 125 X0 
1 3 9 27 X1 
1 2 4 8 X2 
1 4 16 64 X3 
Fórmula de Interpolação de Lagrangeana 
O método de determinar um polinômio interpolador usado no exercício anterior não e eficiente nem estável. 
Apresentaremos, métodos mais eficientes para a sua determinação. 
 O próximo teorema, devido a Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), estabelece a existência e unicidade do 
polinômio de grau inferior ou igual a n interpolador de uma função em n+1 pontos distintos. Alem disso, indica-nos 
um processo que permite a sua determinação. 
Teorema Lagrange: Seja f uma função definida num intervalo [a, b] e conhecida nos pontos da partição. Existe um e 
um só polinômio Pn de grau menor ou igual a n interpolador de f nos pontos dados. 
 
Exemplo: Dada a tabela, determine uma aproximação para f(1.5), usando a interpolação cúbica. 
 
 
 
 
Assim : f(1.5) ≈ P3(1, 5) = 1+ 1,5 +1,5
2+ 1,53 = 1+ 1,5+2,25+3,375 = 8,125 
 
Trabalho 
Exercícios: 
1) Conhecem-se as coordenadas de cinco pontos de uma curva plana que representa uma região de uma peça 
em corte. Determine o polinómio de Lagrange de grau 4 que interpola a referida curva sabendo que os 
pontos de coordenadas conhecidas são: P1 = (1, 2), P2 = (2, 1), P3 = (3, 1), P4 = (4, 2.5) e P5 = (5, 4). 
Determine ainda valores aproximados para as ordenadas dos pontos cujas abcissas são : 0, 2 e 6. 
 
2) Na seguinte tabela são dados diferentes valores para o peso específico p da água a diferentes temperaturas t 
(em 0C): 
Usando interpolação linear, quadrática e cúbica, determine 
uma aproximação para p quando t = 4oC. Compare os 
resultados obtidos sabendo que o valor exato é 1,000000. 
 
3) O censo da população dos Estados Unidos, entre 1930 e 1980, produziu os seguintes resultados: 
 
Use um polinômio interpolador apropriado para estimar a população nos anos de 1920, 1965, e 2000.