Aula Teórica Nº 009

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
Av: Dom José Gaspar, 500 Coração Eucarístico 
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Tel.: (0**31) 3319-4444 – Fax: (0**31) 3319-4225 
- 1 - 
FUNÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
ÁREA DE CONHEC.: INFRA-ESTRUTURA VIÁRIA 
AULAS Nº: 09 – TEÓRICA 
PROF.: HENRIQUE J. RAAD (henriquejraad@yahoo.com.br) 
 
1. TEÓRICA: Projeto Geométrico 
 
Nesta aula serão estudados os seguintes tópicos: 
• Revisão sobre pontos de importância direta no estudo de projetos viários. 
o Explicação e comentários sobre o capítulo 2 de [DNER, 1999]; 
o Revisão sobre o tópico 3.1 de [DNER, 1999]; 
o Explicação sobre os itens 3.2 e 3.3 de [DNER, 1999]; 
o Explicação sobre o item 4 de [DNER, 1999]; 
• Explicação sobre o capítulo 5 de [DNER, 1999] (até item 5.4.1, inclusive). 
• Cálculo de curvas horizontais simples [LEE, 2000], seguindo os métodos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Representação das curvas horizontais [sic LEE, 2000] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Curva circular Simples [sic LEE, 2000] 
 
O cálculo da curva circular simples resume-se em encontrar os valores da tangente exterior (T) e o comprimento do 
desenvolvimento D, bem como definir a estaca de início da curva (PC) e de término (PT). A metodologia de cálculo está 
representada nos tópicos abaixo. 
PI : Ponto de Interseção; 
PC : Ponto de Curva; 
PT : Ponto de Tangente; 
I : Ângulo de deflexão; 
AC : Ângulo Central; 
T : Tangente Externa ou Exterior (m); 
D : Desenvolvimento (ou comprimento) 
da curva circular (m); 
R : Raio da curva circular (m); 
O : Centro da curva circular. 
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1- Cálculo de AC: Como o somatório dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º e a curva é tangenciada pelos 
segmentos de reta concorrentes em PI nos pontos PC e PT (raios do círculo perpendiculares à tangente), tem-se, por cálculo 
geométrico que: 
IAC = , Equação 001 
onde 
AC é o ângulo formado entre os raios que cortam PT e PC, e 
I é a deflexão da curva. 
 
No caso de ângulos centrais AC pequenos, iguais ou inferiores a 5º, para evitar a aparência de quebra do alinhamento, 
os raios deverão ser suficientemente grandes para proporcionar os desenvolvimentos circulares mínimos D, obtidos pela 
fórmula a seguir [sic DNER, 1999]: 
( ) º51030 ≤→−≥ ACACD , Equação 002 
onde 
D é o desenvolvimento da curva, em metros, e 
AC é o ângulo central, em graus. 
 
Não é necessária curva horizontal para AC < 0º 15’, entretanto, deverão ser evitados tanto quanto possível traçados 
que incluam curvas com ângulos centrais tão pequenos [sic DNER, 1999]. 
 
2- Cálculo de T: Extraindo da análise do arco um triângulo retângulo de faces R, T e a bissetriz do ãngulo AC 
(ligando PI a O), tem-se: 






⋅=
2
AC
tgRT , Equação 003 
onde 
T é a tangente exterior, ligando PC a PI e PI a PT, 
R é o raio do círculo, e 
AC é o ângulo central. 
 
Na sucessão de curvas com intervalos em tangentes curtas deverão ser seguidos os parâmetros descritos no item 
5.4.1.e de DNER. 
 
3- Cálculo de D: O cálculo de D resume-se a encontrar o comprimento do arco para o ângulo AC, ou seja: 
ACRD ⋅= , Equação 004 
onde 
D é o desenvolvimento da curva, 
R é o raio do círculo, e 
AC é o ângulo central, considerado em radianos. 
 
4- Cálculo da estaca PC: para encontrar o valor da estaca PC basta comparar a medida de T com a da estaca de PI, 
lembrando que normalmente considera-se estacas de 20 em 20 metros e precisão da medida complementar da estaca com duas 
casas decimais. A fórmula de cálculo de PC é dado por [PONTES FILHO, 1998]: 
( ) ( ) TPIEPCE −= , Equação 005 
onde 
E(PC) é a estaca do ponto PC, 
E(PI) é a estaca do ponto PI, e 
T é a tangente exterior. 
 
5- Cálculo da estaca PT: para encontrar o valor da estaca PT basta somar a estaca de PC com a distância de 
desenvolvimento, ou seja [PONTES FILHO, 1998]: 
( ) ( ) DPCEPTE += , Equação 006 
onde 
E(PT) é a estaca do ponto PT, 
E(PC) é a estaca do ponto PC, e 
D é a medida do desenvolvimento. 
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O cálculo da curva deve considerar ainda raios mínimos para concordância vertical que atendam simultaneamente às 
condições mínimas de segurança e conforto no uso. Tais cálculos consideram valores máximos admissíveis de superelevação 
(como será visto em aulas posteriores) e de atrito das rodas dos veículos com o pavimento, considerados coeficientes de 
segurança para os mesmos. Para tanto, considera-se a equação 4 para que se saibam os valores destes raios mínimos: 
( )maxmax
2
min 127 fe
VR
+
= , Equação 007 
onde 
R é o raio mínimo para a curva, 
V é a velocidade diretriz, 
e é a máxima taxa de superelevação adotada, e 
f é o máximo coeficiente de atrito transversal admissível entre o pneu e o pavimento (adimensional) 
 
A Figura 4 relaciona valores de raios mínimos considerando velocidades diretrizes e coeficientes de superelevação pré-fixados, 
estando o coeficiente de atrito inserido nos cálculos dos valores. O coeficiente de atrito, conforme descrito em DNER, varia, 
conforme valores práticos, de 0,50 para velocidades de 30 km/h para 0,35 para velocidades de 95 km/h, considerando veículos 
com pneus novos e pavimento de concreto em boas condições e molhado (tais valores são inferiores para pneus usados e 
pavimento menos rugoso). Na Figura 3 estão representados valores do coeficiente de atrito máximo relacionados com a 
velocidade diretriz da via. 
 
 
 
 
 
Figura 3: Valores do coeficiente de atrito para respectivas velocidades diretrizes [sic DNER, 1999] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Valores de raios mínimos para respectivas velocidades diretrizes [sic DNER, 1999] 
 
Os valores para velocidades diretrizes estão representados na Figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Velocidades diretrizes [sic DNER, 1999] 
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O exemplo 1 demonstra o cálculo de uma curva circular simples para um eixo de via. 
 
Exemplo1: Calcule as concordâncias horizontais, indicando os comprimentos de tangente exterior, desenvolvimento e as 
estacas de PC e PT, a seguir considerando o uso de curva circular simples e utilizando raio no valor mínimo exigido para o 
trecho da via com classe III e relevo montanhoso descrita a seguir, considerando os dados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PI 01: estaca E821+13,60 m 
PI 02: estaca E861+16,83 m 
I1: 33º 
I2: 27º 
emax: 6% 
 
Resolução: 
 
A velocidade diretriz para a classe de projeto e relevo descritos, conforme Figura 5, é V = 40 km/h. O raio de curvatura 
mínimo, considerando a Figura 4 e a superelevação máxima de 6% é de 55 metros. 
 
Cálculo de T01 e T02: 
 
Pelas equações 001 e 003, para o ponto PI 01, teremos 
metrosTTtgT 29,162962,055
2
º3355 010101 =∴⋅=∴





⋅= . 
 
E, para PI 02, 
metrosTTtgT 20,132401,055
2
º2755 020202 =∴⋅=∴





⋅= 
 
Cálculo de D01 e D02: 
 
Pelaequação 004, com AC em radianos, teremos 
5757,001
º180
3301
º180
º =∴⋅=∴⋅= radradrad ACACACAC
pipi
, 
471,002
º180
2702 =∴⋅= radrad ACAC
pi
, 
metrosDD 66,315757,055 0101 =∴⋅= , e 
metrosDD 91,25471,055 0202 =∴⋅= . 
 
Cálculo de PC01 e PT01: 
 
( ) ( ) metrosEPCmEPCTmEPC 31,082129,1660,1682160,16821 01010101 +=∴−+=∴−+= , e 
( ) ( ) metrosEPTmEPTDmEPT 97,1182266,3131,082131,0821 01010101 +=∴++=∴++= . 
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Cálculo de PC02 e PT02: 
 
( ) ( ) metrosEPCmEPCTmEPC 83,1086100,683,1686183,16861 02020202 +=∴−+=∴−+= , e 
( ) ( ) metrosEPTmEPTDmEPT 74,1686291,2583,1086183,10861 02020202 +=∴++=∴++= . 
 
*** 
 
Muitas vezes é usual definir o raio a ser utilizado na curva através da análise do limite de deslocamento do eixo da via 
no momento da curva considerando o ponto de interseção desta (PI), já que o traçado inicial feito por tangentes pode ocultar a 
viabilidade de execução de curvas horizontais uma vez que o relevo pode não oferecer espaço suficiente para o deslocamento 
do eixo em tais concordâncias. Para isso, é comum calcular-se o afastamento permitido para a curva, ou seja, a distância 
máxima de deslocamento da curva, medida do Ponto de Interseção (PI) até o ponto médio da curva de desenvolvimento, dado 
pela fórmula: 






−






=
2
tan
2
AC
T
AC
sen
TE , Equação 008 
onde 
E é o afastamento da curva, ou seja, a medida entre o PI e o ponto médio da curva de desenvolvimento, 
T é a tangente exterior da curva, e 
AC é o ângulo central da curva. 
 
2. PRÁTICA: Exercícios extra-classe não pontuados 
 
Calcule as concordâncias horizontais para PI01 e PI02 do eixo do Exemplo 1, considerando que as deflexões I1 e I2 
são respectivamente 72º e 47,5º. 
 
3. BIBLIOGRAFIA 
 
DNER – Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. 1999. 
LEE, Shu Han. Projeto Geométrico de Estradas. Apostila do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de 
São Carlos – UFSC. 2000. 
PONTES FILHO, Glauco. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. São Carlos. 1998. 
SENÇO, Wlastermiler de. Estradas de Rodagem: Projeto. Universidade de São Paulo. 1980. 
CARVALHO1, M. Pacheco de. Curso de Estradas: Estudos, Projetos e Locação de Ferrovias e Rodovias. 2ª Edição. 
Rio De janeiro. Editora Científica. 1967. 
CARVALHO2, M. Pacheco de. Método Prático de Construção de Estradas de Rodagem. Rio De janeiro. Editora 
Rodovia. 1954.