Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia Seção 01

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Probabilidade e Estatística Aplicada 
à Engenharia
Prof. Me. Aragão Júnior
Seção 1
Conteúdo da Seção
• Introdução ao Estudo da Estatística
• Definir os conceitos básicos;
• Classificar as variáveis por níveis de mensuração;
• Apresentar os métodos de representação gráfica e 
tabular de dados estatísticos.
2
Introdução
• O que é Estatística?
• Estatística pode ser entendida como a ciência dos dados.
• Por que estudar Estatística?
• Para melhor entendermos os fenômenos que nos 
cercam.
• Qual é a importância da Estatística para a 
Administração?
• Melhorar a nossa capacidade de decidir.
3
Áreas de Aplicação
4
Áreas de Aplicação
• Finanças
• Estudo de tendências.
• Previsões do mercado.
• Análise de risco.
• Decisões sobre investimento.
• Contabilidade
• Auditoria.
• Custos.
5
Áreas de Aplicação
• Mercadologia
• Perfil dos consumidores.
• Campanhas publicitárias.
• Pesquisas de mercado.
• Segmentação de mercado.
• Operações
• Controle de qualidade.
• Previsão de Produção.
6
Áreas de Aplicação
• Administração de Empresas
• Pesquisas de Salários.
• Controle de qualidade.
• Logística.
• Clima organizacional.
• Administração Pública
• Avaliações de políticas públicas.
• Instrumentos de controle.
7
Áreas da Estatística
8
Estatística
Descritiva
Estatística
Envolve as técnicas que 
permitem representar, 
mensurar e analisar um 
conjunto de dados.
Envolve as técnicas que 
permitem utilizar dados de uma 
amostra para generalizações 
sobre a população.
Estatística
Inferencial
Conceitos Básicos
• População
• Conjunto de todos os elementos que constituem a 
abrangência do estudo.
9
 Amostra
– Um subconjunto da população.
Conceitos Básicos
• Unidade Observável
• A portadora da característica ou propriedade que se 
deseja investigar.
• Variável
• Representação simbólica da característica ou 
propriedade que se deseja investigar.
10
Conceitos Básicos
• Cálculos Estatísticos
• Processo para a obtenção dos parâmetros de uma 
população, ou das medidas estatísticas de uma amostra.
• Inferência
• Processo de generalização para a população, a partir dos 
resultados obtidos em uma amostra.
11
População
• Conjunto constituído pelos alunos deste curso.
12
Amostra
13
 Alguns dos alunos deste curso, que foram 
selecionados.
Unidades Observáveis
• Cada aluno deste curso
14
Aluno 1 – unidade observável 1
Aluno 2 – unidade observável 2
Aluno N – unidade observável N
Variável
• Sexo dos alunos
15
masculino
feminino
masculino
Cálculos Estatísticos
• Medida estatística: percentagem de mulheres na 
amostra.
16
33,33% dos alunos da amostra são 
mulheres.
Inferência Pontual
17
Como 33,33 % dos alunos da 
amostra são mulheres, então 
33,33% do total dos alunos 
deste curso são mulheres.
Inferência por Intervalo
18
Como 33,33 % dos alunos 
da amostra são mulheres, há 
uma probabilidade de 90% 
de que a percentagem de 
alunos do sexo feminino 
deste curso esteja entre 
28,3% e 38,3%.
VARIÁVEIS
QUALITATIVAS QUANTITATIVAS
Tipos de Variáveis
19
Nominais Ordinais Contínuas Discretas
Variáveis Qualitativas
• São expressas por meio de categorias.
• Qualquer número associado às categorias deve ser 
entendido como rótulo.
• Não caracterizam propriamente uma escala.
• São analisadas apenas à luz das freqüências 
verificadas nas categorias.
20
Variáveis Qualitativas
• As categorias devem ser:
• Mutuamente exclusivas – a escolha de uma categoria 
implica na impossibilidade de se escolher qualquer outra 
categoria. 
• Exaustivas – a união das categorias define o universo de 
todas as possíveis escolhas.
21
Variáveis Qualitativas
Exemplo
• Variável: Sexo
• Categorias: 
1. Feminino
2. Masculino.
• Os números associados a cada categoria não 
recebem tratamento aritmético.
• As categorias são mutuamente exclusivas e 
exaustivas.
22
Variáveis Qualitativas
• Embora não caracterize de fato uma escala, as 
variáveis qualitativas representam o nível mais 
baixo de “mensuração”.
• Podem, ainda, ser classificadas como:
• Nominais
• Ordinais.
23
Variáveis 
Qualitativas Nominais
• As categorias não são ordenadas, isto é, não há 
uma hierarquia pré-determinada entre as 
categorias.
• A representação gráfica e a tabular podem ser 
feitas por ordem de freqüência ou alfabética.
24
Variáveis Qualitativas Nominais
Exemplos
• Variável: Sexo.
• Categorias: 
1. Feminino
2. Masculino
•Variável: Estado Civil.
• Categorias:
1. Solteiro 
2. Casado
3. Divorciado 
4. Viúvo
5. Outros
25
Variáveis 
Qualitativas Ordinais
• As categorias são ordenadas, isto é, há uma 
hierarquia pré-determinada entre as categorias 
(menos que, mais que, menor que, maior que).
• A representação gráfica e a tabular devem ser feitas 
respeitando a ordem das categorias.
• Qualquer transformação nos rótulos das categorias 
deve respeitar o seu ordenamento.
26
Variáveis Qualitativas Ordinais
Exemplo
• Variável: Patentes do 
exército.
• Categorias: 
1. Soldado
2. Cabo
3. Sargento
27
 Variável: Classes de 
Renda.
– Categorias:
1. Baixa
2. Média
3. Alta
Variáveis Quantitativas
• São expressas por meio de uma escala: contínuo 
com origem e unidade definidas. 
• Qualquer observação pode ser associada a um 
ponto na escala.
• Por receberem valores no campo dos números 
reais, são analisadas por qualquer tratamento 
matemático.
28
Variáveis Quantitativas
• Uma escala fica determinada quando conhecemos 
dois elementos:
• Origem 
• Define o ponto referencial do contínuo.
• Unidade 
• Determina as distâncias entre dois valores 
quaisquer no contínuo.
29
Variáveis Quantitativas
• As variáveis quantitativas representam o nível mais 
alto de mensuração.
• Podem, ainda, ser classificadas como:
• Intervalares
• de razão.
30
Variáveis 
Quantitativas Contínuas
• As variáveis contínuas podem assumir qualquer 
valor num intervalo contínuo.
31
Variáveis Quantitativas Contínuas
Exemplo
• Variável: 
• Peso
• Comprimento
32
Variáveis 
Quantitativas Discretas
• Variáveis discretas são aquelas resultantes de 
contagens e apresentadas sob a forma de números 
inteiros.
33
Variáveis Quantitativas Discretas
Exemplo
• Variável: 
• Número de filhos de um casal
• Número de voos feitos por uma aeronave.
34
Representando Dados
35
Dados
Qualitativos
Métodos
Gráficos
Barras
Setores
(Pizzas)
Métodos
Tabulares
Tabelas de
Freqüência
Quantitativos
Métodos
Gráficos
Histograma
Linha
Métodos
Tabulares
Classes de
Freqüência
Representando 
Dados Qualitativos
36
Dados
Qualitativos
Métodos
Gráficos
Barras
Setores
(Pizzas)
Métodos
Tabulares
Tabelas de
Freqüência
Quantitativos
Métodos
Gráficos
Histograma
Linha
Métodos
Tabulares
Classes de
Freqüência
Representando 
Dados Qualitativos
• Variáveis qualitativas podem ser:
• Nominais 
• Categorias não ordenadas
• Ordinais 
• Categorias ordenadas
37
Representando 
Dados Qualitativos
• Variáveis qualitativas nominais podem ser 
apresentadas, em gráficos ou tabelas, ordenando 
as categorias em:
• Frequências (crescentes ou decrescentes); 
ou
• Ordem alfabética das categorias.
38
PLANO DE SAÚDE Votos
(Freq. Absoluta)
Percentual (%)
(Freq. Relativa)
A 8 20
B 12 30
C 6 15
D 14 35
Total 40 100
Preferência dos VendedoresRepresentando 
Dados Qualitativos
39
PLANO DE SAÚDE Votos
(Freq. Absoluta)
Percentual (%)
(Freq. Relativa)
C 6 15
A 8 20
B 12 30
D 14 35
Total 40 100
Preferência dos Vendedores
Ordem crescente de 
freqüência
Representando 
Dados Qualitativos
40
Representando 
Dados Qualitativos
• Variáveis qualitativas ordinais são apresentadas, em 
gráficos ou tabelas, ordenando as categorias 
naturalmente (crescente ou decrescentemente).
• As freqüências das categorias podem ser simples 
ou acumuladas e absolutas ou relativas.
• As freqüências absolutas ou relativas podem ser 
acumuladas de modo crescente ou decrescente. 
• Gráficos e tabelas com as freqüências acumuladas 
fornecem informações importantes quanto aos 
processos produtivos.
41
Representando 
Dados Qualitativos
42
Relativas (%)
Cresc. Decresc.
AbsolutasRelativas(%)AbsolutasESCOLARIDADE
Freqüências Acumuladas
Freqüências 
Simples
NÍVEL DE
------200Total (n)
10050Pós- Graduação
86Superior
42Médio
18Fundamental
1004Sem Formação
Representando 
Dados Qualitativos
43
Relativas (%)
Cresc. Decresc.
AbsolutasRelativas(%)AbsolutasESCOLARIDADE
Freqüências Acumuladas
Freqüências 
Simples
NÍVEL DE
------100200Total (n)
251002002550Pós- Graduação
68751504386Superior
8932642142Médio
981122918Fundamental
1002424Sem Formação
Representando 
Dados Qualitativos
44
Qualitativos
Métodos
Gráficos
Métodos
Tabulares
Barras
Setores
(Pizzas)
Tabelas de
Freqüência
Representação Gráfica
•
45
30% 32% 34% 36%
Nós
Y
X
Estamos bem 
acima dos nossos 
competidores Market Share
32%
33%
35%
0 10 20 30 40
NÓS
Y
X
%
Representação Gráfica
• Forma Correta de Representação Gráfica
46
32%
33%
NÓS
35%
X
Y
Representação Gráfica
• Outra Forma de Representação Gráfica
47
0
2
4
6
8
10
12
14
V
o
to
s
Preferência dos Vendedores
Plano
de 
SaúdeB C D
Gráfico de Barras
48
A
Altura 
mostra 
freqüência 
ou %
Largura 
da base 
são 
iguais
A
20%
Preferência dos Vendedores
Gráfico de Setores
49
B
30%
C
15%
D
35%
Séries Geográficas
• Representadas por Barras ou Setores
• Permite identificar as localizações onde o 
fenômeno atua com mais intensidade
50
Séries Geográficas
51
(2008)
Dados Qualitativos
52
Freqüências AcumuladasFreqüências SimplesNÍVEL DE
Relativas (%)
Cresc. Decresc.
AbsolutasRelativas(%)AbsolutasESCOLARIDADE
------100200Total (n)
251002002550Pós- Graduação
68751504386Superior
8932642142Médio
981122918Fundamental
1002424Sem Formação
Gráficos de Freqüências
53
Nível de Escolaridade
P.GradSup.MédioFund.S/Form
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
 S
im
p
le
s
 A
b
s
o
lu
ta
100
80
60
40
20
0
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
 A
c
u
m
u
la
d
a
 A
b
s
o
lu
ta
200
150
100
50
0
Nível de Escolaridade
P.GradSup.MédioFund.S/Form
Alguns Cuidados
• A arte não deve ser mais importante do que o 
modo mais adequado de representar dados.
54
1960: $1.00
1970: $1.60
1980: $3.10
1990: $3.80
0
2
4
2000 2001 2002 2003
$
Modo Errado Modo Correto
Alguns Cuidados
• Representar dados sem relativizar.
Exemplo: Financiamentos concedidos por trimestre
Modo correto leva em conta quantos financiamentos foram solicitados 
em cada trimestre.
55
0
100
200
300
1o. 2o. 3o. 4o.
Freq.
0
10
20
30
1o. 2o. 3o. 4o.
%
Modo Errado Modo Correto
Alguns Cuidados
• Compressão do eixo vertical.
Exemplo: Volume de vendas por trimestre
56
0
100
200
300
1o. 2o. 3o. 4o.
$
0
20
40
60
1o. 2o. 3o. 4o.
$
Modo Errado Modo Correto
Dados
57
Dados
Qualitativos
Métodos
Gráficos
Barras
Setores
(Pizzas)
Métodos
Tabulares
Tabelas de
Freqüência
Quantitativos
Métodos
Gráficos
Histograma
Linha
Métodos
Tabulares
Classes de
Freqüência
Freqüências
Valores
Representando 
Dados Quantitativos
• Variáveis quantitativas podem ser:
• Contínuas
• Discretas
58
Representação 
Tabular
• Variáveis quantitativas podem ser apresentadas, 
em séries e tabelas, de acordo com três possíveis 
formas de distribuições:
• Distribuições de valores;
• Distribuições de frequências por valores; ou
• Distribuições de frequências por classes de valores.
59
Representação Tabular
Distribuição de Valores
• Utilizada quando o número de observações for 
reduzido, sem incidência de valores particulares.
• Exemplo: 
• Amostra de 5 alunos para saber o tempo semanal de acesso 
à internet (horas);
• Valores amostrais: 10, 8, 11, 9, 8;
• Valores ordenados: 8, 8, 9, 10, 11.
60
Representação Tabular
Distribuição de Freqüência por Valores
• Utilizada quando as observações incidirem em torno de 
alguns valores em particular.
• Exemplo 
• Amostra de 10 alunos para saber o tempo semanal de acesso à
internet (horas);
• Valores amostrais: 10, 8, 13, 9, 8, 10, 10, 9, 9, 11
• Valores ordenados: 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11
61
Representação Tabular
Distribuição de Freqüência por Valores
Tempo Freqüência
8 2
9 3
10 3
11 2
Total 10
• Tempo semanal de acesso à Internet (h)
62
Representação Tabular
Distribuição de Freqüência por Classes de Valores
• Utilizada quando o número de observações for 
elevado mas sem incidência de valores particulares.
• Exemplo: 
• Temperaturas tomadas duas vezes por mês no ano passado 
na cidade do Rio de Janeiro;
• Valores: 22, 26, 36, 28, 37, 38, 40, 42, 34, 30, 28, 24, 17, 19, 
22, 23, 27, 29, 30, 34, 32, 25, 31, 38.
63
Representação Tabular
Distribuição de Freqüência por Classes de Valores
• Procedimentos para Construção
1. Identificar o menor (x) e o maior (X) valores observados;
2. Determinar o número de classes k – máximo10;
3. Calcular a amplitude (h) 
4. Estabelecer os limites das classes e os pontos médios das classes 
5. Alocar o número de observações (frequências) a cada uma das 
classes.
64
nk 
k
xX
h
)( 

Representação Tabular
Distribuição de Freqüência por Classes de Valores
• Temperaturas tomadas duas vezes por mês no ano passado 
na cidade do Rio de Janeiro:
22, 26, 36, 28, 37, 38, 40, 42, 34, 30, 28, 24, 17, 19, 22, 23, 
27, 29, 30, 34, 32, 25, 31, 38.
• Valor Máximo=42 e Valor Mínimo=17
• Nº de classe (k) e tamanho da classe(h)
65
5
5
)1742()(
524






k
xX
h
nk
Representação Tabular
Distribuição de Freqüência por Classes de Valores
Classes
Pontos 
Médios
Freqüências
Absoluta Relativa (%)
17x <22 19,5 2 8,33
22x <27 24,5 6 25,00
27x < 32 29,5 7 29,17
32 x < 37 34,5 4 16,67
37  x < 42 39,5 5 20,83
66
Dados
67
Dados
Qualitativos
Métodos
Gráficos
Barras
Setores
(Pizzas)
Métodos
Tabulares
Tabelas de
Freqüência
Quantitativos
Métodos
Gráficos
Histograma
Linha
Métodos
Tabulares
Classes de
Freqüência
Freqüências
Valores
Representação Gráfica
• Distribuições de freqüências, por valores e por 
classes de valores são representadas por 
Histogramas.
• Distribuições de séries de valores no tempo são 
representadas por gráficos de linha.
68
Representação Gráfica
69
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
8 9 10 11
Horas
Horas de Acesso Semanal à Internet
Gráfico 
de Barras
Representação Gráfica
• HISTOGRAMA
• Representauma tabela de Distribuição de Freqüências 
por Classes de Valores.
• Condensa dados agrupando valores em classes, ou 
intervalos, de valores.
• Alturas das barras refletem freqüências absolutas ou 
relativas (percentuais), quando as classes tiverem 
intervalos constantes.
70
Representação Gráfica
Histograma
Classes
Freqüências
Absoluta Relativa (%)
2 8,33
6 25,00
7 29,17
4 16,67
5 20,83
71
0
1
2
3
4
5
6
7
0 17 22 27 32 37 42
2217 < x
2722 < x
3227 < x
3732 < x
4237 < x
Representação Gráfica
Gráficos de Linha
• Representam séries de valores no tempo.
• Permitem visualizar a tendência do fenômeno no 
tempo.
• Demarcações do tempo na linha horizontal devem 
ser compatíveis com a escala.
72
Representação Gráfica
Gráficos de Linha
73
0
2
4
2000 2001 2002 2003
R$
Evolução do dólar frente ao Real (2000-03)
Representação Gráfica
Curva Poligonal Característica
• Caso particular do gráfico de linha.
• É o gráfico de curva que passa pelos pontos médios 
das classes em um histograma.
• Permite visualizar o tipo da assimetria da 
distribuição.
74
Representação Gráfica
Curva Poligonal Característica
75
3,00 4,00 5,00 6,00
Faixas de Renda 
(Salário Mínimo)0
5
10
15
P
er
ce
n
ta
g
em
 n
a
 A
m
o
st
ra
Poligonal 
Característica
Histograma
Representação Gráfica
• Alguns Cuidados
• Alguns jornais publicam séries de valores no tempo como o gráfico 
abaixo. Note que as distâncias da escala não são iguais.
76
Representação Gráfica
• Alguns Cuidados
• Identificamos alguns problemas nesse tipo de gráfico.
• Poucas observações – não permite antecipar tendência.
• Escala – o eixo horizontal apresenta a unidade de tempo de 
modo não equispaçado, distorcendo a escala.
• A utilidade deste gráfico se limita a comparar o valor da 
última barra com os valores observados no primeiro dia útil 
de cada um dos três meses anteriores.
77