Apostila Lab Sinais Sistemas

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Laboratório de Sinais 
e Sistemas 
Engenharia 
 
 
 
2015 
Wesley Oliveira Maia 
Zélia Myrian Assis Peixoto 
14/03/2015 
 
 
 
1 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
 
 
 
 
2 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Sumário 
1. Introdução ao MATLAB ......................................................................................................... 6 
1.1. Fundamentos Teóricos .................................................................................................. 6 
1.2. Atividade Prática ........................................................................................................... 8 
2. Comandos Básicos e Operações com Matrizes ................................................................... 10 
2.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 10 
2.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 12 
3. Ramificações e Laços ........................................................................................................... 14 
3.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 14 
3.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 15 
4. Composição e Decomposição de Sinais .............................................................................. 17 
4.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 17 
4.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 17 
5. Energia e Potência de Sinais ................................................................................................ 21 
5.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 21 
5.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 22 
6. Sinais Periódicos e Não Periódicos ...................................................................................... 24 
6.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 24 
6.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 25 
7. Convolução Linear Discreta ................................................................................................. 28 
7.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 28 
7.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 29 
8. Sistemas no Domínio S ........................................................................................................ 33 
8.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 33 
8.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 34 
9. Resposta em Frequência ..................................................................................................... 38 
9.1. Fundamentos Teóricos ................................................................................................ 38 
9.2. Atividade Prática ......................................................................................................... 39 
10. Composição de Sinais ...................................................................................................... 42 
10.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................................ 42 
10.2. Atividade Prática ..................................................................................................... 43 
11. Transformada Rápida de Fourier .................................................................................... 45 
11.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................................ 45 
 
 
 
3 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
11.2. Atividade Prática ..................................................................................................... 46 
12. Transformada Rápida Inversa ......................................................................................... 48 
12.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................................ 48 
12.2. Atividade Prática ..................................................................................................... 48 
13. Teorema da Amostragem ................................................................................................ 53 
13.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................................ 53 
13.2. Atividade Prática ..................................................................................................... 55 
14. Reconstituição de um Sinal Analógico ............................................................................ 61 
14.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................................ 61 
14.2. Atividade Prática ..................................................................................................... 62 
15. Filtro Digital FIR ............................................................................................................... 64 
15.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................................ 64 
15.2. Projeto de Filtros ..................................................................................................... 65 
15.3. FDATool ................................................................................................................... 67 
15.4. Atividade Prática ..................................................................................................... 68 
Referências .................................................................................................................................. 70 
Apêncide A – Biblioteca de Blocos do Simulink .......................................................................... 72 
A.1. Sinks ................................................................................................................................. 72 
A.2. Sources ............................................................................................................................. 72 
A.3. Math Operations .............................................................................................................. 73 
A.4. Continuous ....................................................................................................................... 73 
A.5. Discrete ............................................................................................................................ 74 
Apêndice B – Sisotool .................................................................................................................. 75 
B.1. Fundamentos Teóricos ..................................................................................................... 75 
B.2. Controle de Temperatura ................................................................................................77 
B.3. Controlador Proporcional ................................................................................................ 77 
B.4. Sintonia do Controlador ................................................................................................... 79 
Apêndice C – Kit FRDM-KL25Z: Usando a Saída PWM como um Conversor Digital-Analógico .. 84 
C.1. Fundamentos Teóricos ..................................................................................................... 84 
C.2. Projeto do Filtro Passa-Baixas .......................................................................................... 86 
C.3. Implementação do Projeto no CodeWarrior ................................................................... 89 
C.4. Resultados Experimentais ................................................................................................ 91 
 
 
 
 
 
4 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
PREFÁCIO 
 
Esta apostila tem o objetivo de auxiliar os alunos do curso de Engenharia Elétrica nos estudos 
da disciplina de Laboratório de Sistemas Lineares, onde a pretensão é simplesmente facilitar o 
entendimento e compreensão do conteúdo de Sinais e Sistemas. 
Este material teve como referência a apostila do Laboratório de Sinais e Sistemas, elaborada 
pelos professores Antonius Henricus Maria de Knegt e Alessandra Lopes Carvalho (com 
colaboração de Cicéli Martins). Além disso, as bibliografias abaixo foram utilizadas como 
material complementar: 
 
 HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
 OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.. Sinais e Sistemas. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
 ROBERTS, Michael J.. Fundamentos em Sinais e Sistemas. São Paulo: McGrae-Hill, 2009. 
 
Como é apenas a primeira versão, não sendo realizada uma revisão mais criteriosa do material, 
desta forma, correções e sugestões são bem vindas podendo ser encaminhadas para o 
responsável da elaboração desta. 
 
Desejo que este material possa contribuir de forma agradável e eficiente para a formação dos 
alunos deste curso. 
 
 
Sejam Bem Vindos e Bons Estudos! 
 
WESLEY OLIVEIRA MAIA 
Professor do Curso de Engenharia de Controle e Automação 
FACIT 
ZÉLIA MYRIAN ASSIS PEIXOTO 
Professora do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica 
PUC Minas 
 
 
 
 
5 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Cronograma de Aulas 
 
Aula Capítulo(s) Data Observações 
1 1 e 2 
2 3 
3 4 e 5 
4 6 
5 7 
6 8 
7 Primeira Avaliação 
8 9 
9 10 
10 11 
11 12 
12 13 
13 14 
14 15 
15 Segunda Avaliação 
 
 
 
 
6 Introdução ao MATLAB 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
1. Introdução ao MATLAB 
1.1. Fundamentos Teóricos 
Segundo Chapman (2006), o MATLAB é um programa de computador de uso específico 
para a execução de cálculos científicos e de engenharia. Foi, inicialmente, concebido como um 
programa para operações matemáticas sobre matrizes, mas ao longo dos anos, com o 
incremento de suas funcionalidades, tornou-se um sistema computacional com recursos para 
soluções de problemas técnico-científicos, em geral. 
A seguir são listados alguns itens que constam no ambiente MATLAB: 
 Recursos 
 O MATLAB oferece uma ampla biblioteca de funções predefinidas: 
 sin(x); 
 fft(x). 
 feedback(C,G) 
 Comunicação com outros programas: 
 Excel; 
 Java; 
 PSIM. 
 Interface com kits de desenvolvimento: 
 Code Composer Studio/ C6000 / C2000 (Texas Instruments); 
 VisualDSP++ / Blackfin (AnalogDevices); 
 Green Hills MULTI / MPC5500 (Freescale). 
 
 Toolboxes 
O MATLAB possui uma família de aplicativos específicos (toolboxes), que são 
coleções de funções usadas para resolver determinados problemas, tais como: 
 Controle de Processos e Otimização; 
 Processamento de Sinais; 
 Eletrônica de Potência; 
 Redes Neurais, dentre outros. 
 
 Aplicações 
 Gerais 
 Verificação de softwares para detectar, em tempo de execução, erros antes da 
compilação ou testes; 
 Análise de projetos através de simulação, antes da implementação e teste; 
 Desenvolvimento de códigos C ou HDL para execução em sistemas embarcados 
via DSPs, ASICs e FPGAs. 
 Sistemas Embarcados 
 Verificação de projetos antes da implementação e teste; 
 Geração de códigos para prototipagem e produção; 
 
 
 
7 Introdução ao MATLAB 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 Processamento Digital de Sinais 
 Aquisição de dados e análise de sinais; 
 Desenvolvimento de algoritmos de processamento de sinais para aplicações 
em comunicação, áudio e vídeo. 
 Gerar códigos C ou HDL para execução em sistemas embarcados: DSPs, ASICs e 
FPGAs. 
 Sistemas de Controle 
 Criar modelos para a representação de plantas; 
 Projeto de compensadores e lógica de controle; 
 Verificar o projeto de controle através de simulação. 
 
 Área de Trabalho do MATLAB 
Integra diversas ferramentas para gerenciar arquivos, funções e variáveis internas, 
com a possibilidade de leitura/escrita em arquivos externos ao ambiente. Principais 
ferramentas presentes na área de trabalho ou que podem ser acessadas a partir dela: 
 CommandWindow (Janela de Comandos); 
 CommandHistory (Janela de Histórico de Comandos); 
 Workspace (Navegador do Espaço de Trabalho); 
 Figure (Janela de Figuras); 
 Editor (Janela de Edição / Depuração). 
Figura 1 - Área de trabalho do MATLAB. 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
 Obtendo Ajuda 
O usuário pode obter ajuda de três maneiras distintas: 
 Navegador de Ajuda; 
 Digitar “lookfor” seguido de uma palavra-chave do problema; 
 
 
 
8 Introdução ao MATLAB 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Ex.: lookfor integral <enter> 
 Digitar “help” seguido do nome da função na janela de Comandos. 
Ex.: help sin <enter> 
 
 Comandos Importantes 
 clc – limpa o conteúdo da Janela de Comandos; 
 clf – limpa o conteúdo da Janelas de Figuras; 
 clear all – limpa as variáveis do Espaço de Trabalho; 
 close all – fecha todas as janelas de Figuras; 
 whos – lista todas as variáveis e matrizes atuais; 
 ctrl+c – interrompe o programa em execução. 
 
1.2. Atividade Prática 
A. Assumindo que r = 5 (Ω) e i = 2 (A), calcule o valor de V através da Lei de Ohm, utilizando a 
Janela de Comandos. 
>> r = 5; <enter> 
>> i = 2; <enter> 
>> v = r*i <enter> 
 
B. O comando trapz é utilizado para cálculo de integração numérica através da aproximação 
trapezoidal. Com a ajuda do help do MATLAB, descubra como esse comando pode ser 
utilizado para o cálculo da área abaixo da curva figura abaixo. 
2y t 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t
y
 
 
 
9 Introdução ao MATLAB 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
C. O comando polyfit encontra os coeficientes de um polinômio p(x) de grau n que se ajuste a 
um conjunto de dados pré-definidos, no sentido dos mínimos quadrados. Dados os vetores 
x e y, determine os coeficientes do polinômio usando este comando. 
 
 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ;
y 1 2.5 2 3 3 3 2.5 2.5 2 1 ;


 
 
 
 
 
10 Comandos Básicos e Operações com Matrizes 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
2. Comandos Básicos e Operações com Matrizes 
2.1. Fundamentos Teóricos 
 
A. Iniciando Variáveis no MATLAB 
No MATLAB as variáveissão criadas automaticamente quando iniciadas. Existem três 
formas comuns de iniciar uma variável: 
 Associar dados à uma variável usando a declaração de valores: 
Ex.: r = 10; 
Ex.: r = [1 2 3 4]; 
Ex.: r = [1 2 3 4 ; 5 6 7 8]; 
 Fornecer dados à variável pelo teclado: 
Ex.: i = input('Entre com o valor da corrente (A):'); 
 Ler dados de um arquivo. 
Ex.: v = tensao.mat 
B. Expressões 
O MATLAB é uma linguagem de expressões que são interpretadas e avaliadas pelo 
sistema. As expressões são compostas por operadores e outros caracteres especiais, de 
funções e dos nomes das variáveis. As avaliações das expressões produzem matrizes, que 
podem (ou não) ser mostradas na tela e atribuídas às variáveis para uso futuro. 
É importante ressaltar que o MATLAB faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, 
assim a e A não são as mesmas variáveis. Além disso, todas as funções devem ser escritas em 
letras minúsculas: inv(A) calcula a inversa de A, mas INV(A) é uma função indefinida. 
C. Matrizes 
A unidade fundamental de dados, em qualquer programa MATLAB, é a matriz. Matriz é 
uma coleção de dados organizados em linhas e colunas, conhecidos por um único nome. 
Matrizes podem ser classificadas como vetores e matrizes: 
 
 
 
11 Comandos Básicos e Operações com Matrizes 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 Vetor – matriz com somente uma dimensão; 
 
1 2 3
1
2
3
[ ]i
T
i
a a a a
a
a a
a

 
   
  
 (1) 
 Matriz – matriz com i linhas e j colunas (separar linhas com ; ) 
 
11 1
1
j
ij
i ij
a a
A
a a
 
 
  
 
 

   (2)
 
 
D. Operações com Escalares 
Tabela 1 - Operações no MATLAB 
Operação Forma Algébrica Forma MATLAB 
Soma a + b a + b 
Subtração a - b a - b 
Multiplicação a x b a* b 
Divisão a / b a / b 
Exponencial ab a^b 
 
E. Operações com Matrizes 
As operações com matrizes no MATLAB são realizadas de duas formas distintas: 
 Operações Estruturais – São operações entre matrizes executadas elemento a 
elemento. Podem também ocorrer entre uma matriz e um escalar. 
 Operações Matriciais – São operações entre matrizes executadas segundo as regras 
normais da álgebra linear. 
O MATLAB utiliza um ponto (.) antes do símbolo da operação para diferenciar operações 
estruturais de operações matriciais. 
 
 
 
 
12 Comandos Básicos e Operações com Matrizes 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
2.2. Atividade Prática 
A. A profundidade de um poço, em metros, pode ser determinada deixando-se cair uma pedra 
dentro dele (com velocidade inicial zero) e aguardando-se até que ela atinja o fundo do 
mesmo. Isso ocorre após a distância: 
21
2
d gt 
Onde t é o tempo de queda livre do objeto e g = 9,8m/s2. Plote a curva dxt de queda livre 
de um objeto para um intervalo de 0 a 10s. 
 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 2a - Comandos Básicos e Operações com Matrizes 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
 
t = 0:1:9; % Vetor t com os valores de tempo 
g = 9.8; % Aceleração da gravidade 
d = (1/2)*g*t.^2; % Cálculo da distância 
 
%===================================================================== 
% Plotando figura(s) 
 
figure(1) 
plot(t,d) 
title('Gráfico de Distância em Queda Livre') 
xlabel('tempo(s)') 
ylabel('Distância (m)') 
grid on 
 
%===================================================================== 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 Comandos Básicos e Operações com Matrizes 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Figura(s) 
 
B. O circuito mostrado na figura seguinte representa um gerador com resistência interna (R1) 
e uma carga com resistência variável ( 2 0 200R   ) conectada externamente. 
Determine o valor de R2 para a máxima transferência de potência através da curva PxR2. 
 
C. A figura seguinte mostra um circuito elétrico composto de resistores e fontes de tensão. 
Determine a corrente de cada malha usando a Lei de Kirchhoff para tensões e o método das 
correntes de malha. 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Gráfico de Distância em Queda Livre
tempo(s)
D
is
tâ
n
c
ia
 (
m
)
R1
100Ω R2
50%V1
20 V 
R1
100Ω
V1
20 V 
R2
220Ω
R3
200Ω
R 4
150Ω
V2
10 V 
R 5
330Ω
R 6
100Ω
 
 
 
14 Ramificações e Laços 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
3. Ramificações e Laços 
3.1. Fundamentos Teóricos 
As ramificações são declarações do MATLAB que permitem selecionar e executar seções 
específicas de um código. O MATLAB disponibiliza três variações desse tipo de construção 
(CHAPMAN, 2003): 
 IF / ELSE; 
 SWITCH / CASE; 
 TRY / CATCH. 
O comando IF tem a seguinte forma: 
if condicao1 
 Comandos1 
 Comandos2 
 ... 
elseif 
 Comandos3 
 Comandos4 
 ... 
else 
 Comandos5 
 Comandos6 
 ... 
end 
 
A primeira condição é sempre escrita com IF, a última com ELSE e todas as 
intermediárias com ELSEIF. 
A estrutura SWITCH permite selecionar um bloco específico do código para ser 
executado, com base no valor de um único inteiro, caractere ou expressão lógica. A forma 
geral é: 
switch(expressao) 
 case expressao_case_1, 
 Comandos1 
 Comandos2 
 ... 
 
 case expressao_case_2, 
 Comandos1 
 Comandos2 
 ... 
 
 otherwise, 
 Comandos1 
 Comandos2 
 ... 
end 
 
 
 
 
15 Ramificações e Laços 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
O MATLAB contém dois comandos para gerar loops, o comando FOR e o comando 
WHILE. O laço FOR executa um bloco de comandos durante um número especificado de vezes. 
Ele tem a seguinte forma: 
for indice = expressao 
 Comandos1 
 Comandos2 
 ... 
end 
 
O laço WHILE é um bloco de comandos que se repetem indefinidamente, enquanto uma 
condição for satisfeita. Sua forma geral é: 
while expressao 
 Comandos1 
 Comandos2 
 ... 
end 
 
3.2. Atividade Prática 
A. Desenvolva um script MATLAB que leia três valores de temperatura em graus Fahrenheit, 
converta essa temperatura para um valor absoluto em Kelvin e Celsius e mostre o 
resultado. 
5( 32)
9
F
C
T
T

 
5
32 273,15
9
F
K
T
T
 
   
 
 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 3a - Ramificações e Laços 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
closeall; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
 
for i=1:1:3 
 Tf = input('Entre com o valor de temperatura em graus 
Fahrenheit(F):'); 
 
 Tc = (5*(Tf-32))/9; 
 
 
 
16 Ramificações e Laços 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 Tk = (5/9)*(Tf-32)+273.15; 
 
 fprintf('A temperatura em graus Celsius = %6.2f \n',Tc) 
 fprintf('A temperatura em graus Kelvin = %6.2f \n',Tk) 
end 
 
%===================================================================== 
 
B. Construa uma rotina para determinar a soma dos n primeiros termos da série: 
1
( 1)
2
kn
k
k

 
Execute a rotina para n = 4 e n = 20. 
 
C. A função sin(x) pode ser escrita em termos da série de Taylor, como: 
2 1
0
( 1)
sin( )
(2 1)!
k kx
x
k
 


 
Escreva uma função que calcule sin(x) usando a série de Taylor. 
 
 
 
 
17 Composição e Decomposição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
4. Composição e Decomposição de Sinais 
4.1. Fundamentos Teóricos 
Um sinal de tempo ( )x t , contínuo no tempo, será um sinal par se atender a condição 
dada pela Equação 3, o que significa que sinais serão simétricos em relação ao eixo vertical 
(Haykin e Van Veen, 2001): 
 ( ) ( )x t x t  (3) 
Um sinal de tempo contínuo ( )x t será um sinal ímpar se o mesmo estiver de acordo com 
a Equação (4). Isto significa que sinais ímpares serão simétricos em relação à origem. 
 ( ) ( )x t x t  (4) 
O sinal qualquer ( )x t pode ser expresso como a soma das componentes par ( )px t e 
impar ( )ix t , da seguinte maneira: 
 ( ) ( ) ( )p ix t x t x t  (5) 
Desta forma, tem-se que: 
  
1
( ) ( ) ( )
2
px t x t x t   (6) 
  
1
( ) ( ) ( )
2
px t x t x t   (7) 
 
4.2. Atividade Prática 
A. Considere o sinal descrito pela função 2( ) ty t e , com uma taxa de amostragem 0.01t  
e o intervalo [-3, 3]. Implemente um script para a construção dos seguintes gráficos: 
 
I. Sinal original; 
II. Componente par; 
III. Componente ímpar; 
IV. Reconstrução do sinal (componente par + componente ímpar). 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 Composição e Decomposição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 4a - Composição e Decomposição de Sinais 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
% Criar um vetor (Operador dois pontos) 
% prim:incr:ultm 
t = -3:0.01:3; 
 
% Sinal Original 
y = exp(-2*t); 
 
% Componente Par 
yp = 1/2*(exp(-2*t)+exp(2*t)); 
 
% Componente Impar 
yi = 1/2*(exp(-2*t)-exp(2*t)); 
 
%===================================================================== 
% Plotando figura(s) 
 
figure(1) 
subplot(3,1,1) 
plot(t,y); 
title('Sinal Original'); % Título da figura 
xlabel('t'); % Legenda para o eixo X 
ylabel('Y'); % Legenda para o eixo Y 
legend ('exp(-2t)'); % Legenda para o figura 
grid on 
 
subplot(3,1,2) 
plot(t,yp); 
title('Componente Par'); % Título da figura 
xlabel('t'); % Legenda para o eixo X 
ylabel('Yp'); % Legenda para o eixo Y 
legend ('Par'); % Legenda para o figura 
grid on 
 
subplot(3,1,3) 
plot(t,yi); 
title('Componente Impar'); % Título da figura 
xlabel('t'); % Legenda para o eixo X 
ylabel('Yi'); % Legenda para o eixo Y 
legend ('Impar'); % Legenda para o figura 
grid on 
 
 
 
 
 
19 Composição e Decomposição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
% Reconstrução do sinal 
yrec = yp + yi; 
figure(2) 
plot(t,yrec,'*'); 
title('Reconstrução do sinal'); % Título da figura 
xlabel('t'); % Legenda para o eixo X 
ylabel('Yrec'); % Legenda para o eixo Y 
legend ('Sinal'); % Legenda para o figura 
grid on 
 
%===================================================================== 
 
 
Figura(s) 
 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
500
Sinal Original
t
Y
 
 
exp(-2t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
200
400
Componente Par
t
Y
p
 
 
Par
-3 -2 -1 0 1 2 3
-500
0
500
Componente Impar
t
Y
i
 
 
Impar
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Reconstrução do sinal
t
Y
re
c
 
 
Sinal
 
 
 
20 Composição e Decomposição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
B. Considere o sinal descrito pela função 3( ) 2 cos (10 )y t t t , com uma taxa de amostragem 
0.01t  e o intervalo [-5, 5]. Escreva um scriptpara a construção dos seguintes gráficos: 
 
I. Sinal original; 
II. Componente par; 
III. Componente ímpar; 
IV. Reconstrução do sinal (componente par + componente ímpar). 
 
C. Considere o sinal descrito pela função 3 3( ) (1 )cos (10 )y t t t  , com uma taxa de 
amostragem 0.02t  e o intervalo [-4, 4]. Desenvolva umscriptpara a construção dos 
seguintes gráficos: 
 
I. Sinal original; 
II. Componente par; 
III. Componente ímpar; 
IV. Reconstrução do sinal (componente par + componente ímpar). 
 
 
 
 
21 Energia e Potência de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
5. Energia e Potência de Sinais 
5.1. Fundamentos Teóricos 
No processamento de sinais, informações de qualquer natureza (ex.: corrente elétrica, 
força, temperatura, etc.) são representadas matematicamente. Devido aos diversos tipos de 
sinais físicos existentes, a energia de um sinal é definida como a área sob a sua magnitude 
quadrática, independentemente da natureza do sinal como: 
 
2
( )E x t dt


  (8) 
Para muitos sinais, como por exemplo, os sinais periódicos, a integral da Equação 8 não 
converge e a energia de sinal resulta em um valor infinito. Isso ocorre devido ao sinal não ter 
comprimento finito no tempo (Roberts, 2011). 
Para sinais cuja energia é infinita, é mais conveniente lidar com a potência média, sobre 
um intervalo de tempo T. Para sinais periódicos, a determinação da potência de sinal média é 
definida como: 
 
0
0
21
( )
t T
t
P x t dt
T

  (9) 
Similarmente, no caso de um sinal de tempo discreto x[n], a energia total é definida por: 
 
2[ ]
n
E x n


  (10) 
E a potência média para um sinal periódico x[n], com período fundamental N amostras, é 
definida por: 
 
1
2
0
1
[ ]
N
n
P x n
N


  (11) 
Um sinal é chamado de sinal de energia se, e somente se, a energia total do sinal satisfizer 
a condição: 
0 E   
Um sinal é chamado de sinal de potência se, e somente se, a potência média do sinal 
satisfizer a condição: 
0 P   
 
 
 
 
22 Energia e Potência de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
5.2. Atividade Prática 
A. Usando o MATLAB, calculea energia e potência de sinal para o sinal periódico mostrado 
abaixo. Este tem período fundamental igual a 10. Inicialmente, busque o Help para a função 
trapz. 
( ) 3 , 5 5x t t t     
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 5a - Energia e Potência de Sinais 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
% Período Fundamental e passo de integração 
To = 10; dt = 0.1; 
 
% Cria um vetor (Operador dois pontos) 
t = -5:dt:5; 
 
% Calcula os valores da função 
y = -3*t; 
 
% Calcula o sinal y ao quadrado 
y_sq = y.^2; 
 
% Calculando a potência do sinal 
P = (1/To)*(trapz(t,y_sq)) 
 
% Calculando a energia do sinal 
E = (trapz(t,y_sq)) 
 
%===================================================================== 
% Plotando figura(s) 
 
figure(1) 
plot(t,y) 
title('Sinal'); % Título da figura 
xlabel('t'); % Legenda para o eixo X 
ylabel('Y'); % Legenda para o eixo Y 
grid on 
 
%===================================================================== 
 
 
Figura(s) 
 
 
 
23 Energia e Potência de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
 
B. Usando o MATLAB, calcule a energia para o sinal: 
[ ] 0,9 (2 n/ 4)
n
x n sen  
 
C. Usando o MATLAB, calcule a energia ou a potência média para os sinais abaixo: 
 
I. 
5cos( ), 1 t 1
( )
0,
t
x t
casocontrário
   
 

 
 
II. 
cos[ n], 4 t 4
[ ]
0,
x n
casocontrário
   
 

 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
10
15
Sinal
t
Y
 
 
 
24 Sinais Periódicos e Não Periódicos 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
6. Sinais Periódicos e Não Periódicos 
6.1. Fundamentos Teóricos 
A caracterização dos sinais quanto à simetria (par ou ímpar) ou periodicidade são de 
grande importância para o desenvolvimento de algoritmos eficientes. Quanto à periodicidade, 
para um sinal x(t) no domínio do tempo contínuo e x[n] no domínio do tempo discreto, tem-se 
que: 
A. Sinais de Tempo Contínuo 
Um sinal x(t) é periódico se satisfaz a condição: 
 ( ) ( )x t x t T  , *,t T    (12) 
Ou seja, se esta condição for satisfeita para T = To, ela também será satisfeita para T = 
2To, T=3To, (...). Assim, o menor valor de T que satisfaz a expressão 12 é chamado período 
fundamental e define a duração de um ciclo completo de x(t). A frequência do sinal é calculada 
como: 
0
2
T

  [rad/s] 
Figura 2 - Forma de onda de um sinal periódico de tempo contínuo 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
B. Sinais de Tempo Discreto 
Um sinal x[n] é periódico se satisfaz a condição: 
 ( ) ( )x n x n N  , *,n N    (13) 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal de Tempo Contínuo
 
 
 
25 Sinais Periódicos e Não Periódicos 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
O menor valor de N inteiro que satisfaz a expressão 13 é chamado período fundamental 
do sinal discreto x[n]. A frequência angular ou frequência fundamental é: 
 
2
N

  [rad/amostra] (14) 
Figura 3 - Forma de onda de um sinal periódico de tempo discreto 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
 
6.2. Atividade Prática 
A. Um sinal discreto é descrito por: 
[ ] (0,3 )x n sen n 
 
I. Plote este sinal para 20 20n   ; 
II. Este sinal é periódico? Se for qual o período fundamental? 
III. Repita I e II para o sinal: 
[ ] (0,3 )x n sen n 
 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 6a - Sinais Periódicos e Não Periódicos 
%===================================================================== 
5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal de Tempo Discreto
 
 
 
26 Sinais Periódicos e Não Periódicos 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
% Cria um vetor (Operador dois pontos) 
n = -20:1:20; 
 
% Calcula os valores da função 
y = sin(0.3*n); 
 
%===================================================================== 
% Plotando figura(s) 
 
figure(1) 
stem(y,'LineWidth',2);axis([1 41 -1 1]) 
title('y = sin(0.3*n)') % Título da figura 
grid on 
 
%===================================================================== 
 
 
Figura(s) 
 
 
B. Um sinal contínuo é descrito por: 
( ) (2 )x t sen ft 
Onde f = 60 Hz e o sinal é amostrando amostrado com uma frequência fa= 1000 Hz. 
I. Plote este sinal para 0 0.1t  ; 
II. Este sinal é periódico? Se for qual o período fundamental? 
III. Repita I e II para uma frequência de amostragem fa = 300π. 
5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y = sin(0.3*n)
 
 
 
27 Sinais Periódicos e Não Periódicos 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
C. Elabore o gráfico da função g[n]: 
[ ] 2 cos(9 / 4) 3 (6 / 5), 50 50g n n sen n n      
Com base no gráfico determine o período fundamental. 
 
 
 
 
28 Convolução Linear Discreta 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
7. Convolução Linear Discreta 
7.1. Fundamentos Teóricos 
Um sistema discreto é definido, matematicamente, como uma transformação ou um 
operador�	que mapeia uma sequência de entrada �[�]em uma sequência de saída �[�], ou 
seja,(OPPENHEIM; SCHAFER, 2010): 
  [ ] [ ]y n H x n (15) 
 “Se um sistema atende às propriedades da linearidade (teorema da superposição) e 
invariância no tempo (qualquer deslocamento sobre o sinal de entrada implica em um mesmo 
deslocamento no sinal de saída), então o sistema é denominado linear e invariante no tempo 
(SLIT) e poderá ser completamente caracterizado por sua Resposta ao Impulso!” 
Genericamente, um sinal discreto qualquer pode ser expresso como sequência de 
impulsos deslocados no tempo e amplitude �[�], em � = �: 
 [ ] [ ] [ ]
k
x n x k n k


  (16) 
Tomando a expressão (16) e indicando ℎ�[�] como a resposta do sistema ao impulso 
aplicado à entrada �[� − �], em � = �, a saída do SLIT poderá ser calculada conforme a 
seguinte expressão: 
  
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
k
k
k
k
y n H x k n k
y n x k H n k
y n x k h n








 
  
 
 




 (17) 
Figura 4 - Sistema Discreto representado pelo operador H{}. 
 
Fonte: Arquivo Pessoal.29 Convolução Linear Discreta 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
7.2. Atividade Prática 
A. O exemplo a seguir tem por objetivo a aplicação do método gráfico para o cálculo manual 
da saída de um SLIT discreto cuja resposta ao impulso e sinal de excitação são dados a 
seguir: 
3, 1
2, 0
[ ]
1, 1
0, . .
n
n
h n
n
c c
  
 
 


 
4, 0
3, 1
[ ]
2, 2
0, . .
n
n
x n
n
c c

 
 
 

 
 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 7a - Convolução Discreta (Método Gráfico) 
% PROGRAMA DEMONSTRATIVO 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
% Parte 1 
 
n1 = -1:1; 
h = [-3 2 1]; 
 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
fprintf('MÉTODO GRÁFICO PARA O CÁLCULO DA CONVOLUÇÃO \n'); 
fprintf('PROGRAMA DEMONSTRATIVO \n') 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
fprintf('Pressione qualquer tecla para visualizar a Resposta ao 
Impulso: \n') 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
 
pause 
 
 
 
 
30 Convolução Linear Discreta 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
figure(1) 
stem(n1,h,'LineWidth',2); axis([-4 6 -3 3]) 
title('Resposta ao Impulso h[n]'); 
xlabel('Amostras'); ylabel('Amplitude'); grid on; 
 
fprintf('Pressione qualquer tecla para visualizar o Sinal de 
Excitação: \n') 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
pause 
 
%===================================================================== 
% Parte 2 
 
n2 = 0:2; 
x = [4 3 -2]; 
 
figure(2) 
stem(n2,x,'r','LineWidth',2); axis([-4 6 -3 4]) 
title('Sinal de Excitação x[n]') 
xlabel('Amostras'); ylabel('Amplitude'); grid on; 
 
%===================================================================== 
% Parte 3 
 
fprintf('Pressione qualquer tecla para a Resposta ao Impulso 
espelhada: \n') 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
 
pause 
 
hespelhado = [1 2 -3]; 
 
figure(3) 
stem(n1,hespelhado,'LineWidth',2); axis([-4 6 -3 3]) 
title('Resposta ao Impulso h[n] espelhada') 
xlabel('Amostras'); ylabel('Amplitude'); grid on; 
 
%===================================================================== 
%Parte 4 
 
fprintf('Pressione qualquer tecla para visualizar os deslocamentos 
sucessivos entre os sinais. \n') 
fprintf('Os resultados parciais da convolução serão a soma dos 
produtos, ponto a ponto, dos impulsos. \n') 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
pause 
 
%===================================================================== 
% Parte 5 
 
for(i=0:6) 
 n1 = -3:-1; 
 n1 = n1+i; 
 
 figure(4) 
 stem(n1,hespelhado,'LineWidth',2) 
 
 
 
31 Convolução Linear Discreta 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 hold on 
 stem(n2,x,'r','LineWidth',2); axis([-4 6 -3 4]) 
 xlabel('Amostras'); ylabel('Amplitude'); 
 grid on; 
 
 if i==0 
 title('Se n < 0, y[n] = 0') 
 elseif i==1 
 title('y[0] = -12') 
 elseif i==2 
 title('y[1] = -1') 
 elseif i==3 
 title('y[2] = 16') 
 elseif i==4 
 title('y[3] = -1') 
 elseif i==5 
 title('y[4] = -2') 
 else 
 title('n > 5, y[5] = 0 ') 
 end; 
 
 pause 
 close all 
 
end 
 
%===================================================================== 
%Parte 6 
 
fprintf('Pressione qualquer tecla para o gráfico resultante da saída 
y[n]: \n') 
fprintf('\n') 
fprintf('\n') 
pause 
 
saida = [0 -12 -1 16 -1 -2 0]; 
eixox = [-1 0 1 2 3 4 5]; 
figure(5) 
stem(eixox,saida,'LineWidth',2); axis([-1 5 -15 20]); grid on; 
title('Saída y[n] resultante') 
xlabel('Amostras'); ylabel('Amplitude') 
 
%===================================================================== 
 
 
B. Considere os sinais x[n] e h[n]: 
[ ] [ ] [ 16]x n u n u n   
 
 
1
1 2
2
[ ] 10 ( 4) ( 1)
[ ] [ ] [ ]
[ ] 0,1 ( ) ( 5)
n
n
h n u n u n
h n h n h n
h n u n u n
    
   
  
 
Resolver a convolução x[n]*h[n] usando a função conv() disponível no MATLAB. Construa os 
gráficos dos sinais x[n], h[n] e y[n]. Interprete. 
 
 
 
32 Convolução Linear Discreta 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
C. Considere os sinais discretos h[n] = [-1 1 2 1], onde h[n] é a resposta ao impulso do sistema 
H, e x[n] é um sinal senoidal com amplitude máxima igual a 10V e frequência 100Hz. 
Construa os gráficos dos sinais x[n], h[n] e y[n]. Interprete. 
 
 
 
 
 
33 Sistemas no Domínio S 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
8. Sistemas no Domínio S 
8.1. Fundamentos Teóricos 
A Transformada de Laplace é, basicamente, um método dedicado à solução de equações 
diferenciais lineares, dentre outros (OGATA,2003). Operações como diferenciação e integração 
podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo, também chamado de 
Plano s . Assim, uma equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação linear 
algébrica, função de uma variável complexa s (HAYKIN e VAN VEEN, 2001): 
   s j (17) 
Se considerarmos uma exponencial complexa ste , 
    cos sin   st t te e t e t (18) 
então as parcelas real e imaginária de ste são, respectivamente, um cosseno e um seno 
exponencialmente amortecidos. 
A Transformada de Laplace de uma função ( )f t , no domínio do tempo contínuo, é 
definida como: 
 L[ ( )] ( ) ( )



  
stf t F s f t e dt (19) 
Um sistema pode ser facilmente modelado por uma função de transferência ( )G s que 
relaciona algebricamente as transformadas de Laplace dos sinais de saída ( )Y s e entrada 
( )X s , conforme equação 20, 
 
( )
( )
( )
Y s
G s
X s
 (20) 
Esta abordagem ainda permite a modelagem do sistema através de um diagrama de 
blocos, relacionando a entrada, o sistema e saída, conforme a figura 5. 
Figura 5 - Representação por diagrama de blocos 
 
Fonte: Arquivo Pessoal 
 
 
 
34 Sistemas no Domínio S 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Um dos requisitos básicos para a análise e projeto de um sistema de controle é 
determinar a resposta no domínio do tempo desse sistema a uma dada entrada. Desta 
maneira, geralmente são selecionados entradas para teste padronizadas para verificação da 
resposta e se os requisitos de desempenho podem ser alcançados através de um simples 
ajuste nos parâmetros do sistema. Estas entradas de teste são mostradas na tabela 2 (NISE, 
2002). 
Tabela 2 - Sinais de Teste Usados em Sistemas de Controle 
Entrada Função Gráfico Uso 
Impulso ( )t 
 
Modelagem de Resposta 
Transitória 
Degrau ( )u t 
 
Resposta transitória; 
Erro de Estado Estacionário 
Rampa ( )tu t 
 
Erro de Estado Estacionário 
Senóide ( )sen t 
 
Resposta transitória; 
Erro de Estado Estacionário 
Fonte: Nise (2002). 
 
8.2. Atividade Prática 
A. Seja o sistema M(s) um motor CC controlador pela corrente de campo, cuja função de 
transferência é dada por: 
( )
( )
( ) ( )( )
m
f f f
Ks
M s
V s s Js b L s R


 
 
Onde, 
 ( )s : Ângulo de rotação; 
 ( )fV s : Tensão de campo; 
 mK : Constante de torque do motor; 
 J : Inércia; 
f(t) 
t 
f(t) 
t 
f(t) 
t 
f(t) 
t 
 
 
35 Sistemas no Domínio S 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 b : Coeficiente de atrito viscoso; 
 fL : Indutância da armadura; 
 fR : Resistência da armadura. 
Os valores dos parâmetros são fornecidos na Tabela 3. 
Tabela 3 - Parâmetros do motor CC 
Parâmetros Valores 
Constante de torque do motor 5 N.m/A 
Inércia 1 N.m.s2 / rad 
Coeficiente de atrito viscoso 20 kg /m /s 
Indutância da armadura 1 mH 
Resistência da armadura 1 Ω 
 
Implemente um script que plote: 
 
I. A resposta do sistema quando submetido a um degrau unitário na entrada; 
II. A resposta do sistema quando submetido a um impulso unitário na entrada; 
III. Calcule a saída do sistema em resposta a uma entrada x(t) senoidal com frequência 
5Hz amostrada com ta=0.01 durante 1 segundo. 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 8a - Sistemas no Domínio S 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
 
s = tf('s') 
 
Km = 5; J = 1; b = 20; Lf = 1; Rf = 1; f = 5; 
 
t=0:0.01:1; 
 
y = sin(2*pi*f*t); 
 
M = Km/(s*(J*s+b)*(Lf*s+Rf)) 
 
%===================================================================== 
 
 
36 Sistemas no Domínio S 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
% Plotando figura(s) 
 
figure(1) 
step(M) 
title('Resposta ao Degrau') 
grid on 
 
figure(2) 
impulse(M) 
title('Resposta ao Impulso') 
grid on 
 
figure(3) 
lsim(M,y,t) 
title('Resposta à Senoide') 
grid on 
 
%===================================================================== 
 
Figura(s) 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Resposta ao Degrau
Time (seconds)
A
m
p
lit
u
d
e
0 1 2 3 4 5 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Resposta ao Impulso
Time (seconds)
A
m
p
lit
u
d
e
 
 
37 Sistemas no Domínio S 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
B. O diagrama de blocos mostrado abaixo representa um sistema térmico com malha de 
realimentação unitária. Com base na função de transferência em malha aberta (FTMA), 
determine a constante de tempo (Tc), o tempo de assentamento (Ts) e erro de estado 
estacionário para uma entrada em degrau unitário. Compare estes resultados com aqueles 
obtidos para o sistema em malha fechada (FTMF). 
 
 
0,01665
( )
0,002299
G s
s


 
 FTMA FTMF 
Tc 
Ts 
Erro 
 
C. Considere o acréscimo de um controlador proporcional (KP) para melhorar a resposta do 
sistema. Determine o valor de KP de modo que o erro de estado estacionário seja de 1%, 
considerando a entrada degrau unitário. 
 
 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Resposta à Senoide
Time (seconds)
A
m
p
lit
u
d
e
 
 
 
38 Resposta em Frequência 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
9. Resposta em Frequência 
9.1. Fundamentos Teóricos 
Para o levantamento prático da Resposta em Frequência de um sistema linear, varia-se a 
frequência de um sinal senoidal aplicado à sua entrada, dentro de uma faixa adequada à 
análise do sistema, e para cada valor aplicado obtém-se a amplitude e fase do sinal de saída. 
Considere o sistema linear, estável e invariante no tempo, mostrado na figura 6. 
Figura 6 - Sistema no domínio da frequência 
 
Fonte: Arquivo Pessoal 
Se a entrada x(t) for um sinal senoidal, a saída y(t) em regime permanente também será 
um sinal senoidal com a mesma frequência, mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase 
serão diferentes, conforme figura 7. 
Figura 7 - Sinais senoidais de entrada e saída do sistema G(s) 
 
Fonte: Arquivo Pessoal 
A função G(jω), denominada Resposta em Frequência, é a Transformada de Fourier da 
Resposta ao Impulso do sistema e relaciona-se à sua Função de Transferência G(s) pela 
substituição da variável complexa � = � + �� por ��, ou seja, considerando o sistema em 
regime estacionário, no qual o fator de amortecimento é igual a zero (� = 0). 
 
( )
( )
( )




Y j
G j
X j
 (21) 
G(jω) é uma função complexa que pode ser caracterizada na forma polar pelo seu 
módulo e fase, respectivamente, |�(��)| e �(�). O módulo é, usualmente, avaliado em 
decibéis (dB) conforme a expressão (22): 
 
 
39 Resposta em Frequência 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 10( ) 20log ( ) dBG j G j (22) 
 
9.2. Atividade Prática 
A. Dado o circuito RC mostrado na figura abaixo, obter a função de transferência G(jω) e 
plotar o diagrama de Bode deste filtro, identificando a frequência de corte. 
 
 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% LAB 9a - Resposta em Frequência 
%===================================================================== 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
%===================================================================== 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
%===================================================================== 
 
s = tf('s'); 
 
R = 100; % Resistência 
C = 47e-6; % Capacitância 
 
G = 1/(R*C*s+1); % Função de transferência do circuito RC série 
 
%===================================================================== 
% Plotando figura(s) 
 
figure(1) 
bode(G) 
 
%===================================================================== 
 
Vs
R1
100Ω
C1
47µF
 
 
40 Resposta em Frequência 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Figura(s) 
 
B. Suponha que um sinal a ser capturado por um sistema de aquisição de dados é conhecido 
por ter um espectro de amplitude que é plano até 100 kHz e decai a zero repentinamente a 
partir daí. Suponha ainda que a maior taxa na qual nosso sistema de aquisição de dados 
pode amostrar o sinal seja de 60 kHz. Projete um filtro antialiasingpassa-baixa RC que 
reduza o espectro de amplitude do sinal em 30 kHz para menos de 1% de seu valor nas 
freqüências muito baixas de maneira que o efeito aliasing seja minimizado. Com o auxílio 
do MATLAB, plotar o diagrama de Bode deste filtro. 
 
C. Os filtros ativos são implementados utilizando-se amplificadores operacionais, juntamente 
com resistores e capacitores. A figura abaixo mostra um filtro passa-alta (FPA) na topologia 
Sallen-Key, cuja principal característica é facilidade de implementação a partir da função de 
transferência. 
 
10
1
10
2
10
3
10
4
-90-45
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
-40
-30
-20
-10
0
System: G
Frequency (rad/s): 212
Magnitude (dB): -3
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
U1
741
3
2
4
7
6
51
C1 C2
R1
R2
Vin
Vo ut
 
 
41 Resposta em Frequência 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
2
2 2
1 2 1 2
2 1 2
( )
2 (2 )
1
2
1
2 ( )
c
c
c
c
s
H s
f
s s f
Q
f
R R C C
Q
f R C C
 



 
  
 



 
O fator de qualidade Q determina o formato da resposta do filtro: 
 Bessel: Q=0,5; 
 Butterworth: Q=0,707; 
 Chebyshev: Q>0,707. 
Projete um FPA a partir da topologia anterior para uma frequência de corte 1cf  kHz.Com o 
auxílio do MATLAB, plotar o diagrama de Bode deste filtro. 
 
 
 
 
42 Composição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
10. Composição de Sinais 
10.1. Fundamentos Teóricos 
 
Conhecendo os coeficientes da Série de Fourier é possível reconstruir um sinal periódico 
qualquer: 
 0 0 0
1
( ) cos(2 ) (2 )n n
n
y t a a f nt b sen f nt 


   , para n = 1, 2, 3, 4, 5, ... (23) 
Onde, 
 f0: freqüência fundamental; 
 n: harmônico atual; 
 a0, an, bn: coeficientes. 
 
Para gerar uma onda triangular, considere: 
 0 02
1
( ) cos(2 )ny t a a f nt
n
   , para n = 1, 3, 5, 7, ... (24) 
0 2
0 0
1 8
0; ;n nb a a
T T
  

 
 
Para gerar uma onda quadrada, considere: 
 
1
2
0 0
( 1)
( ) cos(2 )
n
ny t a a f nt
n



   , para n = 1, 3, 5, 7, ... (25) 
0
1 2
0; ;
2
n nb a a

   
 
Para gerar uma onda dente de serra, considere: 
 
( 1)
0
( 1)
( ) (2 )
n
ny t a sen f nt
n


  , para n = 1, 2, 3, 4, ... (26) 
0
2
0; 0;n nb a a

   
 
 
43 Composição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
10.2. Atividade Prática 
A. Utilize os coeficientes da Serie de Fourier para traçar um onda triangular entre 0 e 3 seg 
com ta=0.01seg e frequência fundamental fo=1Hz. 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% 
% LAB 10a - Composição de Sinais 
% 
%===================================================================== 
% 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
% 
%===================================================================== 
 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memoria do matlab 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
 
%===================================================================== 
 
A=1; 
Ta=0.01; 
fa=1/Ta; 
t=0:Ta:3; 
m = input('numero de harmonicos da serie: '); 
f0=1; 
T0=1/f0; 
w0=2*pi*f0; 
somatorio=zeros(1,length(t)); 
 
pause; 
 
for n=1:2:m; 
 yatual=(1/(n^2))*cos(n*w0*t); % harmonico atual 
 yy=yatual + somatorio; % soma anterior + yatual 
 somatorio=yy; % atualizaçao do somatorio 
 if n==1; 
 z=[yatual' somatorio']; 
 elseif n>1; 
 z=[yatual' somatorio' z]; 
 end; 
 y=(A/T0) + (A*8/((pi^2)*T0))*z; 
 figure(1),plot(t,y), grid on; 
 pause; 
end; 
 
figure(2),plot(t,y(:,2)), grid on 
 
%===================================================================== 
 
 
 
44 Composição de Sinais 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Figura(s) 
 
 
B. Utilize os coeficientes da Serie de Fourier para traçar um onda quadrada entre 0 e 3 seg 
com ta=0.01seg e frequência fundamental fo=1Hz. 
 
 
C. Utilize os coeficientes da Serie de Fourier para traçar um onda dente de serra entre 0 e 3 
seg com ta=0.01seg e frequência fundamental fo=1Hz. 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
 
 
 
45 Transformada Rápida de Fourier 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
11. Transformada Rápida de Fourier 
11.1. Fundamentos Teóricos 
Em diversos problemas da engenharia, há a necessidade de analisar sistemas 
discretizados no tempo, excitados por sinais aperiódicos. A representação por Transformada 
de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) é expressa como: 
   [ ]j j n
n
X e x n e

  

  (27) 
A notação prática da DTFT é definida por: 
 
1
/
0
[ ] [ ] ,0 1
N
j nk N
n
X k x n e k N



    (28) 
Em (ROBERTS, 2009) é proposto o seguinte algoritmo para calcular computacionalmente 
a DTFT (escrito em script MATLAB), que implementa as operações realizadas na equação 13: 
 
% Calcular X[k] em um laço de repetição duplo aninhado 
 
for k = 0:N-1 
 for n = 0:NF-1 
 X(k+1) = X(k+1) + X(n+1)*exp(-j*2*pi*n*k/N); 
 end 
end 
 
O cálculo computacional de uma DTFT utilizando este algoritmo requer N2 operações de 
soma e multiplicações complexas. Em 1965, Cooley e Tukey propuzeram um algoritmo mais 
eficiente em termos computacionais para grandes vetores de entrada cujo comprimento seja 
uma potência inteira de dois. Esse algoritmo é denominado de Transformada Rápida de 
Fourier (Fast Fourier Transform - FFT). 
Abaixo são destacadas algumas considerações importantes para a aplicação da FFT 
(PEIXOTO, 2013): 
 Deve-se observar que se L < N, então o sinal [ ]x n deve ser preenchido com zeros até 
o comprimento N, adaptando o comprimento da sequência para o cálculo da DFT 
(zero-padding); 
 Quanto maior é o número de zeros acrescentados a [ ]x n , mais a DFT se parece com 
a sua transformada de Fourier. Isto ocorre devido ao maior número de amostras 
tomadas no intervalo; 
A quantidade de zeros no preenchimento depende da complexidade aritmética permitida pela 
aplicação desejada, pois quanto maior o número de zeros maiores os requisitos 
computacionais e de memória envolvidos. 
 
 
46 Transformada Rápida de Fourier 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
11.2. Atividade Prática 
A. O sinal y(t) é a soma de dois sinais senoidais, o primeiro com amplitude de 0,7 e frequência 
de 50Hz e o segundo com amplitude 1 e frequência de 120Hz. Usando o MATLAB, calcule a 
FFT do sinal y(t) para uma frequência de amostragem igual a 1kHz. Além disso, plote as 
figuras do sinal y(t) e da sua FFT. 
 0,7 (2 50 ) (2 120 )y sen t sen t   
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% 
% LAB 11 - Transformada Rápida de Fourier 
% 
%===================================================================== 
% 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
% 
%===================================================================== 
 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memoria do matlab 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
 
%===================================================================== 
 
Fs = 1000; % Frequência de amostragem 
T = 1/Fs; % Período de amostragem 
L = 1000; % Comprimento do sinal 
t = (0:L-1)*T; % Vetor de tempo 
 
% Soma de uma senoide de 50 Hz e umasenoide de 120 Hz 
y = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); 
 
NFFT = 2^nextpow2(L); % Calcula a potência de 2 mais próxima do 
 % comprimento do vetor y 
 
Y = fft(y,NFFT)/L; % Calcula a FFT 
 
f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); 
 
%===================================================================== 
% Plotando figuras 
 
% Sinal y 
figure(1) 
subplot(2,1,1) 
plot(Fs*t(1:50),y(1:50)) 
title('Sinal y(t)') 
xlabel('Tempo (milisegundos)') 
 
 
47 Transformada Rápida de Fourier 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
% Espectro de Amplitude de y(t) 
subplot(2,1,2) 
plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) 
title('Espectro de Amplitude de y(t)') 
xlabel('Frequência (Hz)') 
ylabel('|Y(f)|') 
 
%===================================================================== 
 
Figura(s) 
 
 
B. O sinal z(t) é a soma de dois sinais senoidais (y(t) e x(t)). Usando o MATLAB, calcule a FFT do 
sinal y(t) para uma frequência de amostragem igual a 1kHz. Além disso, plote as figuras do 
sinal y(t) e da sua FFT. 
( ) 1,15 ( )
( ) ( ) ( )
( ) (3 )
6
y t Vm sen t
z t y t x t Vm
x t sen t


 

  
 
 
Considere: 
 Vm = 10; 
 f = 60. 
 
C. Na pasta da disciplina, no portal acadêmico, se encontram dois arquivos de extensão “.cvs” 
com os dados capturados, via osciloscópio, da forma de onda de tensão fase-fase e da 
corrente de saída de um inversor 3-níveis. Faça o upload desses dados para o MATLAB e, na 
sequência, calcule a FFT das duas formas de onda. 
 
 
 
48 Transformada Rápida Inversa 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
12. Transformada Rápida Inversa 
12.1. Fundamentos Teóricos 
As equações 29 e 30 são denominadas de par de transformação de Fourier no tempo 
contínuo, pois permitem a mudança do domínio do tempo para o domínio da freqüência (e 
vice-versa), conforme figura 8. A função X(jω) é conhecida como transformada de Fourier e a 
função x(t) é conhecida como transformada inversa de Fourier (OPPENHAIM; WILLSKY, 2010). 
 ( ) ( ) j tX j x t e dt



  (29) 
 
1
( ) ( )
2
j tx t X j e d 



  (30) 
Figura 8 - Relação entre FFT e IFFT. 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
 
12.2. Atividade Prática 
A. O sinal y(t) é a soma de dois sinais senoidais (z(t) e x(t)). Usando o MATLAB, calcule a FFT do 
sinal y(t) para uma frequência de amostragem igual a 1kHz. Além disso, calcule da IFFT para 
recuperar o sinal a partir das componentes geradas pelo cálculo da FFT. 
1 1
2 2
( ) (2 )
( ) ( ) ( )
( ) (2 )
z t A sen f t
y t z t x t
x t A sen f t


 
  
 
 
Considere: 
 A1 = 0,7; 
 A2 = 1; 
 f1 = 25; 
 f2 = 60. 
 
 
49 Transformada Rápida Inversa 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% 
% LAB 12 - Transformada Rápida Inversa de Fourier 
% 
%===================================================================== 
% 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
% 
%===================================================================== 
 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memoria do matlab 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
 
%===================================================================== 
 
Fs = 1000; % Frequência de amostragem 
T = 1/Fs; % Período de amostragem 
L = 1024; % Comprimento do sinal 
t = (0:L-1)*T; % Vetor de tempo 
 
f1 = 25; % frequência 1 
f2 = 60; % frequência 2 
A1 = 0.7; % amplitude 1 
A2 = 1; % amplitude 2 
 
% PARTE 1 
% Soma de uma senoide de 6 Hz e uma senoide de 20 Hz 
y = A1*sin(2*pi*f1*t) + A2*sin(2*pi*f2*t); 
 
%PARTE 2 
NFFT = 2^nextpow2(L); % Calcula a potência de 2 mais próxima do 
 % comprimento do vetor y 
 
Y = fft(y,NFFT)/L; % Calcula a FFT 
 
f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); 
 
%PARTE 3 
w = (-NFFT/2:NFFT/2-1)*(Fs/NFFT); % intervalo de frequência 
centralizado 
Yshift = fftshift(Y); 
 
% PARTE 4 
yf = ifft(fftshift(Yshift)); 
 
%===================================================================== 
% Plotando figuras 
 
% Sinal y 
 
 
50 Transformada Rápida Inversa 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
figure(1) 
subplot(2,1,1) 
plot(t,y),title('Onda senoidal 25Hz + 60Hz');axis([0 0.4 -2 2]) 
grid on 
xlabel('Tempo (s)') 
ylabel('y(t)') 
% Espectro de Amplitude de y(t) 
subplot(2,1,2) 
plot(t,y,'r'),title('Sinal com Ruido') 
grid on 
plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) 
title('Espectro de Amplitude de y(t)') 
xlabel('Frequência (Hz)') 
ylabel('|Y(f)|') 
 
 
figure(2) 
plot(w,2*abs(Yshift)); 
grid on 
xlabel('Frequência (Hz)') 
ylabel('Amplitude') 
title('FFT centralizada') 
 
figure(3) 
subplot(2,1,1) 
plot(t,NFFT*real(yf));axis([0 0.4 -2 2]) 
title('Sinal Recuperado a partir das Componentes Geradas pela FFT') 
grid on 
xlabel('Tempo (s)') 
ylabel('y(t)') 
subplot(2,1,2) 
plot(t,y);axis([0 0.4 -2 2]) 
title('Sinal Original') 
grid on 
xlabel('Tempo (s)') 
ylabel('y(t)') 
 
%===================================================================== 
 
Figura(s) 
 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-2
-1
0
1
2
Onda senoidal 25Hz + 60Hz
Tempo (s)
y
(t
)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Espectro de Amplitude de y(t)
Frequência (Hz)
|Y
(f
)|
 
 
 
51 Transformada Rápida Inversa 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
 
B. O sinal y(t) é a soma de dois sinais senoidais (w(t), z(t) e x(t)). Usando o MATLAB, calcule a 
FFT do sinal y(t) para uma frequência de amostragem igual a 2kHz. Além disso, calcule da 
IFFT para recuperar o sinal a partir das componentes geradas pelo cálculo da FFT. 
1 1
2 2
3 3
( ) (2 )
( ) (2 )( ) ( ) ( ) ( )
( ) cos(2 )
z t A sen f t
x t A sen f ty t z t x t w t
w z A f t



 

    
  
 
Considere: 
 A1 = 0,7; 
 A2 = 1; 
 A3 = 2; 
 f1 = 25; 
 f2 = 60; 
 f3 = 40. 
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Frequência (Hz)
A
m
p
lit
u
d
e
FFT centralizada
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-2
-1
0
1
2
Sinal Recuperado a partir das Componentes Geradas pela FFT
Tempo (s)
y
(t
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-2
-1
0
1
2
Sinal Original
Tempo (s)
y
(t
)
 
 
52 Transformada Rápida Inversa 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
C. Seja o sinal x(t) amostrado com frequência de amostragem Fs = 10kHz. Considere f1=200Hz 
e f2=400Hz. Foram coletados 200 pontos. 
1 2( ) 2 cos(2 ) cos(2 )x t f t f t    
Plote: 
I. O sinal no domínio do tempo; 
II. O sinal no domínio da freqüência; 
III. A transformada inversa de Fourier. 
 
 
 
 
53 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
13. Teorema da Amostragem 
13.1. Fundamentos Teóricos 
De acordo com Oppenhaim e Willsky (2010), uma forma de representara amostragem 
de um sinal de tempo contínuo em intervalos regulares é por meio de um trem de impulsos 
periódico multiplicado pelo sinal de tempo continuo x(t) que se deseja amostrar. 
 ( ) ( )px x t p t (31) 
Em que, 
 ( ) ( )p t t nT


  (32) 
Desta forma, xp(t) é um trem de impulsos com amplitudes dos impulsos iguais às 
amostras de x(t) em intervalos espaçados de T: 
 ( ) ( )px x nT t nT


  (33) 
De acordo com o Teorema de Nyquist, a frequência de amostragem Sf deve ser maior 
ou igual ao dobro da maior frequência contida no sinal amostrado mf , ou seja, 2S mf f . 
Desta forma o sinal amostrado pode ser reproduzido integralmente sem erro de alisiang, 
conforme é demonstrado na figura 9. 
Figura 9 - Amostragem de um sinal contínuo no tempo 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10
4
-20
-10
0
10
20
Sinal y(t)
5 10 15 20 25 30 35 40 45
-20
-10
0
10
20
Sinal amostrado
 
 
54 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Na prática, como esses impulsos são difíceis de serem gerados e transmitidos, é utilizado 
o retentor de ordem zero (zero-order hold - ZOH). Este sistema, mostrado na figura 10, 
amostra o sinal x(t) em determinado instante e mantém esse valor durante um intervalo de 
tempo até a próxima amostragem. A frequência de amostragem determina esse intervalo de 
tempo entre as amostragens. 
Figura 10 - Sistema com retentor de ordem zero 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
O resultado desse processo é mostrado na figura 11, onde um sinal senoidal x(t), com 
frequência de 50 Hz, é amostrado a uma taxa de 500 Hz, gerando o sinal xp(t). 
Figura 11 - Amostragem utilizando o retentor de ordem zero. 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
Para digitalizar um sinal, precisamos de uma base de tempo e um conversor analógico 
digital (analog-to-digital converter - ADC), que fornece uma aproximação digital do sinal 
original, conforme figura 12. Essa aproximação digital é registrada em N–bits. A base de tempo 
determina a velocidade como que podemos amostrar a forma de onda e varia mais com o tipo 
de ADC. É possível ter uma precisão de 24 bits e frequências de 1 GHz, mas não 
simultaneamente. Em geral, quanto maior for o número de bits, mais lento o dispositivo. 
 
 
55 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Figura 12 - Conversor analógico-digital. 
 
Fonte: Arquivo Pessoal. 
Nos microcontroladores, após o processo de conversão do ADC, as aproximações digitais 
de N-bits são armazenadas temporariamente na memória RAM do dispositivo. O bit mais 
significativo (MSB) é o que registra a maior variação de tensão, e o bit menos significativo (LSB) 
registra a menor variação de tensão. 
 
13.2. Atividade Prática 
A. Considere o sinal x(t) , onde f1=20Hz e f2=90Hz. 
1 2( ) 20 (2 ) 10 (2 )x t sen f t sen f t   
Plote: 
I. O sinal x(t) no domínio do tempo; 
II. O sinal x(t) com frequência de amostragem Fs = 300 Hz; 
III. O sinal x(t) com frequência de amostragem Fs = 600 Hz; 
IV. O sinal x(t) com frequência de amostragem Fs = 1200 Hz. 
 
Análise e compare os resultados obtidos para as diferentes frequências de 
amostragem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
Solução 
Script MATLAB 
%===================================================================== 
% Laboratório de Sinais e Sistemas 
% FACIT / PUC MINAS 
%===================================================================== 
% 
% LAB 13a - Transformada Rápida de Fourier 
% 
%===================================================================== 
% 
% Ajuste interface 
% Menu VIEW -> Desktop Layout -> Default 
% 
%===================================================================== 
 
clc; % Limpa a janela de comando 
clear all; % Remove todas as variáveis e funções da memoria do matlab 
close all; % Fecha todas as janelas de figuras abertas 
 
%===================================================================== 
 
Fs = 300; % Frequência de amostragem 
Tamost = 1/Fs; % Período de amostragem 
 
dt = 1e-6; 
amost = 0; 
 
f1 = 20; 
f2 = 70; 
 
temp = []; 
sinal_cont = []; 
amost_Z = []; 
t_cont = []; 
 
for(t=0:dt:0.05) 
 X = 20*sin(2*pi*f1*t); 
 Y = 10*sin(2*pi*f2*t); 
 Z = X + Y; 
 
 if t>=amost; 
 amost = amost + Tamost; 
 temp = [temp; t]; 
 amost_Z = [amost_Z; Z]; 
 end 
 
 sinal_cont = [sinal_cont; Z]; 
 t_cont = [t_cont, t]; 
end 
 
%===================================================================== 
% Plotando figuras 
 
% Sinal y 
figure(1) 
 
 
57 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
plot(t_cont,sinal_cont,'LineWidth',2); 
title('Sinal x(t)') 
grid on 
 
% Sinal Amostrado 
figure(2) 
plot(amost_Z,'LineWidth',2); axis([1 15 -30 30]) 
title('Sinal Amostrado - Fs = 1200') 
hold on 
stem(amost_Z, 'r'); axis([1 15 -30 30]) 
grid on 
 
%===================================================================== 
 
Figura(s) 
 
 
B. Considere o sinal x(t) , onde f1=50Hz. 
1( ) 10 (2 )x t sen f t 
Implemente no Simulink um modelo de simulação e plote: 
I. O sinal x(t) no domínio do tempo; 
II. O sinal x(t) com frequência de amostragem Fs = 200 Hz; 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-30
-20
-10
0
10
20
30
Sinal x(t)
2 4 6 8 10 12 14
-30
-20
-10
0
10
20
30
Sinal Amostrado - Fs = 300
5 10 15 20 25 30
-30
-20
-10
0
10
20
30
Sinal Amostrado - Fs = 600
10 20 30 40 50 60
-30
-20
-10
0
10
20
30
Sinal Amostrado - Fs = 1200
 
 
58 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
III. O sinal x(t) com frequência de amostragem Fs = 1000 Hz; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
 
 
Command Window 
>> plot(sinal(:,1),sinal(:,2)) 
>> hold on 
>> plot(sinal(:,1),sinal(:,3),'r') 
 
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
60 Teorema da Amostragem 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
C. Considere o sinal y(t): 
1 1
2 2
( ) (2 )
( ) ( ) ( )
( ) (2 )
z t A sen f t
y t z t x t
x t A sen f t


 
  
 
 
Onde: 
 A1 = 0,7; 
 A2 = 1; 
 f1 = 25; 
 f2 = 60. 
Plote: 
I. O sinal y(t) no domínio do tempo; 
II. O sinal y(t) com frequência de amostragem Fs = 180 Hz; 
III. O sinal y(t) com frequência de amostragem Fs = 300 Hz; 
IV. O sinal y(t) com frequência de amostragem Fs = 600 Hz. 
 
Calcule a FFT e compare os resultados obtidos para as diferentes frequências de 
amostragem. 
 
 
 
 
 
61 Reconstituição de um Sinal Analógico 
L a b o r a t ó r i o d e S i n a i s e S i s t e m a s 
 
2015 
14. Reconstituição de um Sinal Analógico 
14.1. Fundamentos Teóricos 
De acordo com a teoria de Fourier, qualquer sinal pode ser decomposto em uma soma 
infinita de harmônicos em frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. Desta 
forma, a Série de Fourier pode ser utilizada para representar um sinal de onda quadrada, como 
o sinal proveniente da modulação por largura de pulso (PWM - pulse width modulation). Este