Calculo Vetorial1

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1.
		Uma equação linear com três variáveis determina um plano.Portanto Ax+By+Cz+D=0 é a equação geral de um plano e o vetor N=Ai+Bj+Ck é perpendicular a esse plano. Se D=0 o plano passa pela origem (0,0,0). Se A=0 (ou B=0,ou C=0) o plano é paralelo ao eixo dos x ( respectivamente , ou  ao eixo dos y, ou ao eixo dos z).
Dados os planos do R3 definidos pelas equações:
 α : 3x +4y -z  =0  ;  β: x+4z -10 = 0 ; π: 2x +y -3=0 conclua:
		
	
	
	
	
	α ; β e  π são planos que passam pela origem.
	
	 
	α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos y  e  π é um plano paralelo ao eixo dos z.
	
	
	  α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos x  e  π é um plano paralelo ao eixo dos z.
	
	
	α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos y  e  π é um plano que passa pela origem.
	
	
	α é um plano paralelo ao eixo dos y ; β é um plano paralelo ao eixo dos x  e  π é um plano paralelo ao eixo dos z.
	
	
	
		2.
		Dar a equação do plano que passa pelo ponto A(2,4,0) e é paralelo aos vetores u=(1,1,1) e v=((3,1,2)
		
	
	
	
	
	3x-y+2z-5=0
	
	 
	x+y-2z-6=0
	
	
	2x-2y+3z-7=0
	
	 
	x+z-6=0
	
	
	x-y-2z+6=0
	
	
	
		3.
		Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P(1, 1, 2) e é paralelo ao plano §: x - y + 2z + 1 = 0
		
	
	
	
	
	x - y + 2z + 4 = 0
	
	
	x - 2y + 2 z - 4 = 0
	
	
	2x - y + 2 z - 4 = 0
	
	 
	x - y + 2z - 4 = 0
	
	 
	x - y + 2 z + 4 = 0
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Determine aproximadamente o ângulo entre os planos α1: 4x + 2y -2z +3 = 0
 e α2: 2x +2y -z + 13 = 0.
		
	
	
	
	
	17,45°
	
	 
	17,71°
	
	 
	15,26°
	
	
	16,74°
	
	
	19,38°
	
	
	
		5.
		o ponto (m , m-3, m+1) pertence ao plano de equação 2x + 3y -4z +2 = 0. Podemos afirmar que o valor de m , é:
		
	
	
	
	
	3
	
	 
	2
	
	 
	4
	
	
	-2
	
	
	-3
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(3,-2,4) sendo n=(2,3,4) um vetor normal a esse plano.
		
	
	
	
	 
	2x+3y+4z-16=0
	
	
	3x+2y+4z-15=0
	
	
	5x-3y+4z-15=0
	
	
	x+2y+z-15=0
	
	
	3x-2y-4z-17=0
	
	
	
		7.
		Estabelecer a equação geral do plano determinado pelo pontos A(0,2,-4) , B(2,-2,1) e C(0,1,2)
		
	
	
	
	
	-19x-12y-2z-16=0
	
	
	19x-12y-2z+16=0
	
	 
	19x+12y+2z+16=0
	
	
	-19x+12y-2z+16=0
	
	 
	-19x-12y-2z+16=0
	 Gabarito Comentado
	
	
		8.
		A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano é:
		
	
	
	
	 
	3x - y + 2z + 2 = 0
	
	
	2x - y + 3z - 2 = 0
	
	
	2x - y + 3z - 6 = 0
	
	 
	2x - y + 3z + 2 = 0
	
	
	3x + y + 2z + 2 = 0
	
	
	
	
		1.
		Calcular a distância do ponto A=(-2,3,1) ao plano π: 3x+2y+5z-1=0.
		
	
	
	
	
	7/V38
	
	
	6/V38
	
	 
	5/V38
	
	
	2/V38
	
	 
	4/V38
	
	
	
		2.
		Determinar os valores de k para que o ponto P(-1,2,-4) diste 6 unidades do plano 2x-y+2z+k=0.
		
	
	
	
	
	k=-5 ou k=-30
	
	 
	k=6 ou k=30
	
	
	k=5 ou k=-30
	
	 
	k=-6 ou k=30
	
	
	k=6 ou k=-30
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		 Calcular a distância entre os pontos P1=(2;-1;3) e P2=(1,1,5)
		
	
	
	
	 
	3
	
	
	 4
	
	
	 8
	
	
	 2
	
	
	 5
	
	
	
		4.
		A distância entre um ponto P(x,y) e uma reta r: ax + by + c = 0, é dada pela fórmula d(P, r) = |a.x+b.y+c|a2+b2. Sendo assim, a menor distância entre o ponto P(7, -3) e a reta r: 8x + 6y + 17 = 0 é:
		
	
	
	
	 
	5,5
	
	 
	10
	
	
	7,5
	
	
	3
	
	
	8
	
	
	
		5.
		Determine o valor aproximado da distância entre o ponto P=(0, 3) e a reta y = 3x - 1.
		
	
	
	
	
	1,98 u.c
	
	 
	2,21 u.c
	
	 
	1, 12 u.c
	
	
	2,65 u.c
	
	
	3,15
	
	
	
		6.
		O valor de x no ponto A(x; 2), para que este seja equidistante dos pontos B(1;0) e C(0;2), é:
		
	
	
	
	
	x = 3/5
	
	 
	x = 5/4
	
	 
	x = 3/4
	
	
	x = 4/5
	
	
	x = 3/7
	
	
	
	
		1.
		 Sabendo que a parábola representa o gráfico da função de 2° grau, as equações:   y2 = qx  e  x2 = qy
	
	
	
	
	
	descrevem elipses sendo q∈ℝ
	
	 
	 descrevem parábolas sendo q∈ℝ
	
	
	descrevem elipses  se, e somente se, q≠0
	
	 
	descrevem parábolas se, e somente se,  q≠0
	
	
	não descrevem parábolas, visto que, a equação geral da parábola é y = A x2 + B x + C
	
	
	
		2.
		A equação da parábola de foco F(0,1) e diretriz de equação y + 1 = 0 é:
	
	
	
	
	
	y = -4x2
	
	 
	(y - 1)2 = 4x2
	
	 
	x2 = 4y
	
	
	y = 4x2
	
	
	y = -0,25x2
	
	
	
		3.
		Determine as coordenadas do vértice da parábola de equação: y=-1/12 x² + 5/6 x + 23/12.
	
	
	
	
	 
	(4,5)
	
	 
	(5,4)
	
	
	(-4,-5)
	
	
	(-4,5)
	
	
	(5,-4)
	
	
	
		4.
		A equação da parábola de foco F(-4,0) e diretriz d: x - 4 = 0 é:
	
	
	
	
	
	y2-16x=0
	
	
	y2+8x=0
	
	 
	y2-8x=0
	
	
	x2+16y=0
	
	 
	y2+16x=0
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		A equação da parábola de foco F(0,3) e diretriz d: y = -3 é:
	
	
	
	
	
	x2+12y=0
	
	 
	x2-6y=0
	
	
	y2+12x=0
	
	
	y2-12x=0
	
	 
	x2-12y=0
	
	
	
		6.
		A equação da parábola de foco F(0,-3/2) e diretriz d: y - 3/2 = 0 é:
	
	
	
	
	 
	x2+6y=0
	
	
	x2-6y=0
	
	
	y2+6x=0
	
	
	x2+3y=0
	
	
	x2-3y=0
	
	
	
		7.
		A Equação da parábola com foco em F = (1, 3) e diretriz de equação y = -1 é:
	
	
	
	
	
	(x - 1)2 = 4(y - 1)
	
	
	(x - 1)2 = 3(y - 1)
	
	 
	(x - 1)2 = 8(y - 1)
	
	 
	(x - 1)2 = 6(y - 1)
	
	
	(x - 1)2 = 2(y - 1)
	
	
	
		8.
		A equação da parábola cuja diretriz é y+1=0 e o foco é dado pelo ponto (4, -3) é:
	
	
	
	
	
	(x-2)^2=4(y+4)
	
	
	(x-4)^2=4(y-2)
	
	 
	(x-4)^2=-4(y+2)
	
	
	(x-2)^2=-4(y+4)
	
	
	(x+4)^2=-4(y-2)
	
	
	
		1.
		A intersecção da parábola y2 = 8x e sua diretriz com a elípse x2/36 + y2/18 = 1 determinam os pontos M, N, P, Q. Calcular a área do quadrilátero MNPQ.
	
	
	
	
	
	36
	
	 
	32
	
	
	16
	
	 
	44
	
	
	18
	
	
	
		2.
		Indique respectivamente a equação reduzida e a excentricidade da elipse, sabendo que ela tem focos F1(3,0) e F2(-3,0), e o comprimento do eixo maior igual 8.
	
	
	
	
	
	x216-y27=1; e = 34
	
	
	x24+y27=1; e = 43
	
	 
	x216+y27=1; e = 34
	
	
	x216+y27=1; e = 43
	
	
	x24+y27=1; e = 34
	
	
	
		3.
		Dada a elipse 9x2+5y2+54x-40y-19= 0 , a equação na forma reduzida é.
	
	
	
	
	 
	(x+3)220+(y-4)236=1
	
	 
	x+320+y-436 =1
	
	
	x-320-y-436=1
	
	
	(x-3)220+(y+4)236=1
	
	
	(x+3)220-(y-4)236 =1
	
	
	
		4.
		A elipse de  equação 9(x - 3)2 + 8(y - 7)2 = 72 terá seu centro em
	
	
	
	
	
	C =(-9, -8)
	
	
	C = (-3, -7)
	
	
	C = (9,8)
	
	 
	C = (3, 7)
	
	 
	C = (27, 56)
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Uma elipse de focos F1=(0,5) e F2=(0,-5) e que passa pelo ponto
 A =( 0,13), terá equação
	
	
	
	
	
	x2/49 + y2/64 = 1
	
	 
	x2/144 + y2/169 = 1
	
	
	x2/100 - y2/81 = 1
	
	
	x2/100 + y2/49 = 1
	
	
	x2/225 + y2/169 = 1
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		 A cônica representada pela equação 4x2 + 9y2 = 25 é uma:
	
	
	
	
	
	 Reta.
	
	
	 Circunferência
	
	 
	 Elipse
	
	
	 Hipérbole
	
	 
	 Parábola
	
	
	
		7.
		A equação da elipse que passa pelos pontos (2,0) , (-2,0) e (0,1) é:
	
	
	
	
	
	x²-4y²=4
	
	
	x²+y²=4
	
	 
	x²+4y²=4
	
	
	4x²+y²=4
	
	
	4x²+4y²=1
	
	
	
		8.
		Dada as coordenadas dos focos F1(0,+3) e F2(0,-3), das extremidades maior da elipse A1(0,+4) e A2(0,-4) e excentricidade 3/4, escreva a equação reduzida desta elipse.
 
	
	
	
	
	 
	(X2/7) + (Y2/16) = 1
	
	
	(X2/16) - (Y2/7) = 1
	
	
	(X2/7) - (Y2/16) = 1
	
	
	(X2/4) + (Y2/7) = 1
	
	 
	(X2/16) + (Y2/7) = 1
	
	
	
		1.
		Dada a hipérbole de equação 25x2 -144y2-3600=0, determine as coordenadas dos focos.
	
	
	
	
	
	F1=(0,2) F2=(0, -2)
	
	 
	F1=(-13,2) F2=(-3, -12)
	
	 
	F1=(-13,0) F2=(13, 0)
	
	
	F1=(-3,2) F2=(-3, -2)
	
	
	F1=(5,21) F2=(-5, -12)
	
	
	
		2.
		Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(2, 1, 0) e Q(3, 4, 2) e é perpendicular ao plano (π): x+y+z+5=0.
	
	
	
	
	
	2x+y-z+3=0
	
	
	x-y-z-3=0
	
	 
	2x-y-2z-3=0
	
	 
	x+y-2z-3=0
	
	
	x-y-z+3=0
	
	
	
		3.
		Determine a equação do plano mediador do segmento de extremos P(5, -1, 5) e Q(1, -5, -1).
	
	
	
	
	 
	2x + 2y + 3z - 6 = 0
	
	
	x - y + + 3z -6 = 0
	
	 
	x + y + z + 2 = 0
	
	
	x - y + 3z - 6 = 0
	
	
	2x + 2y - 3z + 6 = 0
	
	
	
		4.
		A equação do plano que passa pelo ponto (4, -2, 3) e é paralelo ao plano  3x - 7z = 12  é
	
	
	
	
	 
	3x + 7z = -9
	
	
	 -3x + 7z = 9
	
	
	3x - 7z = 9
	
	 
	3x - 7z = -9
	
	
	3x + 7z = 9
	
	
	
		5.
		Para que valor de k os pontos A (k, -1, 5),   B (7, 2, 1), C (-1, -3, -1) e D (1, 0, 3) são coplanares?
	
	
	
	
	
	-1
	
	 
	-3
	
	 
	-2
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	
		6.
		A cônica representada pela equação 3x²-4y²+8y-16=0 é:
	
	
	
	
	
	elipse
	
	
	duas retas
	
	 
	hipérbole
	
	 
	parábola
	
	
	circunferência
	
	
	
		7.
		Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores -u e -v.
	
	
	
	
	
	100O
	
	
	120O
	
	
	110O
	
	 
	80O
	
	 
	60O
	
	
	
		8.
		Encontre o centro da elipse x2+2y2-4x-4y-2=0
	
	
	
	
	
	C(1, 2)
	
	
	C(2, 2)
	
	 
	C(2, 1)
	
	
	C(0, 0)
	
	
	C(1, 1)