MECANICA DOS SOLIDOS I - TORÇÃO

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Cap. 5: Torção
Prof. Me. Vagner do Nascimento
Mecânica dos Sólidos I
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Serão estudados os efeitos da aplicação de cargas
torcionais em eixos e tubos.
Torção em uma
chave de fenda devido a um
torque T.
2
Introdução
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O esforço de
torção desenvolvido no
eixo de acionamento
deste ventilador de
condensação depende
da potência de saída
do motor.
3
Introdução
Exemplos
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Introdução
Exemplos
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Momentos que
produzem giro na barra,
como os momentos T1 e T2
são chamados de torques.
Definição de torque: É
o momento que tende a
torcer o membro em torno
de seu eixo longitudinal.
5
Introdução
Representação
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5.1 Deformação por torção de um eixo circular
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5.1 Deformação por torção de um eixo circular
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( )x
5.1 Deformação por torção de um eixo circular
Ângulo de torção
o ângulo de torção aumenta à medida que aumenta.
( )x
x
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Analisando um elemento a
uma distância radial ρ. Analisando o
elemento, as faces posterior e
anterior sofrem rotação, a face
posterior por e a face anterior
por , a diferença entre as
rotações torna o elemento sujeito
ao cisalhamento.
( )x
( )x 

5.1 Deformação por torção 
de um eixo circular
Ângulo de torção
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Antes da deformação
principal o ângulo entre AB
e AC era de 90°; depois
dela, entretanto, as bordas
do elemento passam a ser
AD e AC, e o ângulo entre
elas passa a ser θ’.
lim '
2 C A
B A

 


 
5.1 Deformação por torção de um eixo circular
Ângulo de torção
Pela definição de deformação 
por cisalhamento
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d
dx

 
Podemos dizer que:
Como dФ e dx são
constantes pra todos os
elementos, a deformação por
cisalhamento varia apenas de
acordo com a sua distância
radial a partir do centro do eixo,
considerando o raio máximo da
peça igual a c, temos:
máx
c

 
 
  
 
Ocorre no ponto mais distante do centro
5.1 Deformação por torção de um eixo circular
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G 
Já temos a deformação cisalhante

   dAdFT 
(Lei de Hooke)
5.2 A fórmula da torção
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máx
c

 
 
  
 
Pela proporcionalidade
ou pela lei de Hooke, temos:
Pelo equilíbrio devemos
ter que a distribuição de tensão
em toda seção transversal seja
equivalente ao torque interno
resultante T.
5.2 A fórmula da torção
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Cada elemento de área
dA localizado em ρ, está
submetido a uma força
o torque produzido por esta
área é para toda
área temos:
dF dA
( )dT dA 
( ) máx
A A
T dA dA
c
       
 
 
Como é uma constate.
máx
c

Logo
2
máx
A
T dA
c

 
5.2 A fórmula da torção
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A integral é dependente apenas da geometria do eixo,
ela representa o momento de inércia polar da área da seção
transversal, calculado em torno da linha de centro longitudinal
do eixo. O letra utilizada é o J.
2
máx
A
T dA
c

  máx
Tc
J
 
T
J

 
Onde para um eixo sólido:
4
2
J c


Onde para um eixo tubular:
 4 4
2
e iJ c c

 
J é uma propriedade geométrica (unidades em mm^4, pol^4
e etc)
5.2 A fórmula da torção
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4
2
1 cJ   414221 ccJ  
Plotagem da tensão de cisalhamento no interior de eixos
ou tubos.
5.2 A fórmula da torção
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O torque interno T não só desenvolve uma distribuição
linear de tensão de cisalhamento ao longo de cada reta radial
do plano da área da seção transversal, como também
desenvolve uma distribuição da tensão de cisalhamento
associada ao longo de um plano axial.
5.2 A fórmula da torção
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Exemplo: eixo de uma hélice
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Distribuição da Tensão de 
cisalhamento
Exemplo: eixo de uma hélice
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Madeira, é anisotrópica. A resistência ao cisalhamento no
sentido paralelo aos grãos ou às fibras, na direção da linha de
centro do eixo é muito menor do que sua resistência no sentido
perpendicular às fibras.
Eixo de caminhão com 
carregamento excessivo.
Exemplos
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A potência é definida como o trabalho realizado
por unidade de tempo. O trabalho transmitido por um eixo
rotativo é igual ao torque aplicado multiplicado pelo
ângulo de rotação. Logo, se durante um instante dt o torque
aplicado T fizer o eixo girar dθ, então a potência instantânea
será:
P Td
P T
dt


é velocidadeangular
No caso de maquinaria, a freqüência de rotação, f é
expressa em Hertz (1 Hz = 1 ciclo/s)
2P fT
5.3 Transmissão de potência
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No SI a potência é expressa em watts,
quando o torque é medido em newton metros (N .
m) e w é medido em radianos por segundo
(rad/s) (1 W = N.m/s).
No sistema Pés-Libra-Segundo ou FPS, a
unidade básica de potência é pés-libras por
segundo (pés .lb/s); entretanto, o horsepower (hp)
é usado comumente na prática da engenharia,
sendo: 1 hp = 550 pés . Lb/s*
5.3 Transmissão de potência
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Perfuração de poços de
petróleo, o ângulo de torção é
fundamental e deve ser
calculado.
(fundamental para analisarmos as
reações em eixos estaticamente
indeterminados.)
5.4 Ângulo de torção
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Será estudado o ângulo de torção Φ (fi) de uma
extremidade de um eixo em relação a outra.
5.4 Ângulo de torção
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Um disco infinitesimal de espessura dx.
d
dx

 
5.4 Ângulo de torção
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Analisando este elemento localizado a uma distância ρ no 
interior do disco sobre deformação por cisalhamento. A relação 
entre eles é:
dx
d 


Aplicando a relação da lei de Hooke se aplica, temos a relação:
( )
( )
T x
d dx
J x G
 
0
( )
( )
L
T x
dx
J x G
  
Integrando no 
comprimento L
5.4 Ângulo de torção
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Típico caso onde o ângulo de torção e a tensão são
função de uma carga variável ao longo do comprimento.
5.4 Ângulo de torção
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Torque e área da Seção transversal constantes
No caso do material ser homogêneo, de modo que G
seja constante, o torque aplicado sendo constante, T(x) = T,
o momento de inércia polar J(x) = J, logo:
TL
JG
 
Se o eixo estiver submetido a diversos torques diferentes,
ou se a área da seção transversal mudar abruptamente de
uma região do eixo a outra.
TL
JG
 
5.4 Ângulo de torção
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Para se conseguir somar os torques é necessário
que haja uma convenção nos sinais. Usa-se a regra da mão
direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos se a
direção indicada pelo polegar for no sentido de se afastar do
eixo.
Convenção de sinais
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- -+
Método das seções/ ?A D
Convenção de sinais
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/
( 70 . ) ( 10 . )( 80 . ) BC BCAB
A D
N m L N m LN m L
JG JG JG
    
Convenção de sinais
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=
Exemplo
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Exemplo
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• Quando a torção é submetida em
um material dúctil, a quebra
ocorre no plano normal ao
comprimento.
• Quando a torção age em um
material frágil, a quebra ocorre
ao plano a 45°.
• Materiais dúcteis falham por
cisalhamento. Materiais frágeis
são mais suscetíveis a falharem
por tensão normal do que
cisalhamento.
Comportamento dos materiais
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0A BT T T  
0xM 
A equação do momento na
condição de equilíbrio aplicado em
torno da sua linha de centro não for
suficiente para determinar os
torques desconhecidos que atuam
sobre ele.
Como temos duas incógnitas e
temos apenas uma equação, o problema
é estaticamente indeterminado.
Quais são as reações?
5.5 Elementos estaticamente indeterminados 
carregados com torque
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TL
JG
 
/ 0A B 
Para resolver este problema, uma condição que se faz
necessária é do ângulo de torção.
Pois ambos os lados são fixos.
O material se comportando de forma linear 
elástica:
Sendo o torque interno no
segmento AC é +TA e no
segmento CD é –TB, a equação
de compatibilidade:
0A AC B BC
T L T L
JG JG
 
5.5 Elementos estaticamente indeterminados 
carregados com torque
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BC
A
L
T T
L
 
  
 
Lembrando que J é o momento de inércia polar e G, o
módulo de elasticidade ao cisalhamento.
Resolvendo as equações anteriores para as reações,
tendo que L = LAC + LBC.
AC
B
L
T T
L
 
  
 
e
Podemos perceber que o torque aumenta linearmente
se aumentarmos LBC ou LAC.
5.5 Elementos estaticamente indeterminados 
carregados com torque
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Exemplo 5.11
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0
800 500 0 ( . )
x
B A
M
T T N m

    

1
Exemplo 5.11
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(0,2 ) 500 . (1,5 ) (0,3)
0B A
T m T N m m TA
JG JG JG
 
  
2
Exemplo 5.11
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5.6 Eixos maciços não circulares
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Anteriormente foi mostrado que as deformações por
cisalhamento variam linearmente de zero no centro a um máximo
na superfície externa. A tensão de cisalhamento na seção
transversal é distribuída de forma muito complexa, em razão
disso, alguns casos em particulares irão ser estudados.
não-deformado deformado
5.6 Eixos maciços não circulares
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5.6 Eixos maciços não circulares
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5.6 Eixos maciços não circulares
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Exemplo 5.13
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Exemplo 5.13
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Exemplo 5.13
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Em estruturas leves, este tipo de tubo é
extremamente utilizado.
5.7 Tubos de parede fina com seções 
transversais fechadas
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Analisando um elemento de largura s e espessura dx.
Como estes lados tem
espessura constante tA e tB,
as forças que atuam sobre
eles são:
( )A A AdF t dx
e
( )B B BdF t dx
A força de equilíbrio requer
que essas força sejam de
intensidades iguais, mas sentidos
oposto. E o equilíbrio:
A A B Bt t 
5.7 Tubos de parede fina com seções 
transversais fechadas
Fluxo de cisalhamento
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Podemos afirmar que o produto da tensão de
cisalhamento longitudinal média multiplicada pela
espessura do tubo é o mesmo em cada ponto da
área da seção transversal. Esse produto é
denominado fluxo de cisalhamento q:
médq t
Como q é constante, a maior tensão de
cisalhamento ocorre onde a espessura é
menor.
Onde t é a espessura do tubo
5.7 Tubos de parede fina com seções 
transversais fechadas
Fluxo de cisalhamento
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2
méd
m
T
tA
 
O fluxo de cisalhamento em toda a seção transversal
2 m
T
q
A

Como:
médq t
5.7 Tubos de parede fina com seções 
transversais fechadas
Tensão de cisalhamento média
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Ângulo de Torção e um tubo de parede fina comprimento L é 
determinado por meio de métodos de energia.
24 m
TL ds
A G t
  
A integral representa o comprimento
(perímetro) em torno do limite da linha de centro.
5.7 Tubos de parede fina com seções 
transversais fechadas
(em radianos)
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Quando ocorrerem mudanças bruscas na seção
transversal, as distribuições de cisalhamento-tensão e
deformação tornam-se complexas, onde são obtidas por meio
de métodos experimentais ou análises matemáticas
baseadas na teoria da elasticidade.
Acoplamentos
usados para unir eixos
colineares
Rasgos de
chaveta usados para
acoplar engrenagens
ou roldanas a um eixo
Curvas de
concordância usados
para fabricar um único
eixo colinear a partir
de dois eixos de
diâmetros diferentes
5.8 Concentração de tensão
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Para que o engenheiro não tenha que fazer uma
análise complexa da tensão descontinuidade, a tensão de
cisalhamento máxima é determinada para uma geometria
especificada utilizando o fator de concentração de tensões
de torção K.
máx
Tc
K
J
 
A equação tem como
foco o menor dos dois eixos
acoplados, já que o
cisalhamento máximo ocorre
na base da curva de
concordância.
(na base do raio)
5.8 Concentração de tensão
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Podemos observar que um aumento de raio r provoca
um decréscimo de K. Deve ser realizado sempre com muita a
atenção a razão D/d, já que K também diminui com o
decréscimo de D.
No caso de material dúctil ser submetido a uma carga
de torção estática alta, ocorrerão deformações inelásticas,
como resultado do escoamento do material. Isso torna a
distribuição de tensão mais uniforme em todo o eixo, de modo
que a tensão máxima resultante não se limita ao ponto de
concentração de esforço.
5.8 Concentração de tensão
Esses conceitos estudados para o fator de
concentração de tensão K, devem sempre ser usados quando
se projetam eixos com materiais frágeis ou eixos sujeitos à
fadiga ou cargas cíclicas. Pois essas condições ocasionam à
formação de trincas no ponto de concentração de tensões.