Introdução ao Cálculo das Probabilidades

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Prof. Selmo Pires 
 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
 O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária 
para sugerir certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá 
no futuro ou o que está ocorrendo no presente. 
 A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações 
que envolvem uma tomada de decisão. 
 Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento humano, tais 
como: Engenharias, Administração de empresas, Informática, Economia, Psicologia, Biologia e outros 
ramos da ciência. 
 Para a avaliação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, poderá basear-se em 
duas escolas de pensamento: 
 I. A escola objetiva ou clássica: considera que as regras do cálculo das probabilidades devem ser 
aplicadas somente a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
Exemplo: receber duas figuras em um jogo de cartas; ou ganhar numa loteria em que 15 000 pessoas 
possuam bilhetes. 
 Esses ”experimentos” podem ser repetidos sob as mesmas condições e diferentes pessoas 
“provavelmente” obteriam os mesmos resultados. 
 II. A escola subjetiva ou personalista: considera que a probabilidade de certo evento é medida 
pelo grau de crença que cada pessoa atribui a ocorrência desse evento. Evidentemente, neste caso, 
teremos diferentes “probabilidades” para um mesmo evento. 
1. CONCEITOS BÁSICOS 
Fenômeno: é qualquer acontecimento natural. 
Fenômeno determinístico: é um fenômeno que fornece um único resultado sob as mesmas condições. 
Fenômeno probabilístico: aleatório ou estocástico: é um fenômeno que fornece mais de um resultado sob 
as mesmas condições. 
Experimento Aleatório: é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente. 
 Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar, a priori, qual será 
sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, descrever todos possíveis 
resultados: “as possibilidades”. Exemplos de experimentos aleatórios: 
 S1: Lançamento de um dado; 
 S2: Lançamento de três moedas; 
 S
 3: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe; 
 S
 4: Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna (com 5 bolas brancas e seis pretas; 
 S
 5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A; 
 S
 6: Sortear um aluno de um determinado curso. 
Espaço amostral (S ou Ω): conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. 
Evento (E): qualquer conjunto de resultados de um experimento aleatório (subconjunto retirado do espaço 
amostral). 
Evento simples é aquele formado por um único elemento do espaço amostral. 
Evento composto é aquele que possui mais de um elemento. 
Evento certo formado pelo espaço amostral (S). 
Evento impossível formado pelo conjunto vazio (ΦΦΦΦ). 
 Como evento é um conjunto, podemos realizar as operações costumeiras de união e interseção de 
conjuntos. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1o 2o 3o 4o 
1o diagrama: União: A ∪ B; A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem. 
2o diagrama: Interseção: A ∩ B; A ∩ B é o evento que ocorre se A e B ocorrerem. A ∩ B corresponde à 
área escura do 2o diagrama de Venn. 
 
 
 
 
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3o diagrama: Exclusão: A ∩ B = Φ; Eventos mutuamente exclusivos: Dois eventos A e B são denominados 
mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A intersecto B = conjunto 
vazio. No exemplo anterior A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de A impede a ocorrência 
de B e vice-versa: A ∩ B = Φ (evento impossível). 
4o diagrama: Negação ou evento complementar: (Complementar: A = U – A), a negação do evento A, 
denotada por Å ou A (lê-se A complementar ou A traço) é o evento que ocorre se A não ocorrer. 
Corresponde à área em branco do 4o diagrama. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
1º. Seja ε o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10. 
Sejam os eventos A = {sair o número 7} e B = {sair um número par}, então, 
se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, teremos: A = {7} e B = {2, 4, 6, 8, 10}. 
A ∪ B = {7, 2, 4, 6, 8, 10}; 
A ∩ B = Φ ( evento impossível) 
O complementar de A será: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}; 
O complementar de B será: B = {1, 3, 5, 7, 9} 
A ∪ A = S; A ∩ A = Φ; B ∪ B = S; B ∩ B = Φ. 
 
2. AVALIAÇÃO DA PROBABILIDADE 
 Nossa preocupação maior será avaliar a probabilidade dos eventos. Para tanto, iremos admitir que 
todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance (igualmente prováveis). 
 Se “n” for o número de elementos de S, então a probabilidade de um evento simples será dada por 
1/n. 
 Para avaliação da probabilidade de um evento composto, basta somarmos as probabilidades 
individuais quantas vezes for o número de elementos do evento composto. 
 Simbolicamente, temos: S = {a
 1, a 2, a 3,..., a n} → espaço amostral equiprovável. 
 Então, P {a
 i} = 1/n → probabilidade de cada evento simples. 
 Para A = {a
 1, a 2,..., a r }, com r menor ou igual a n , que é um evento composto, teremos: 
44444 344444 21
parcelasr
n/rn/1...n/1n/1)A(P =+++= 
 Essa maneira de cálculo das probabilidades é enunciada da seguinte forma: 
 P(A) = 
.C.T.N
A.evento.ao.F.C.N
 Lê-se: A probabilidade do evento A é dada pelo quociente entre o 
número de casos favoráveis ao evento A (N.C.F. ao evento A) e o número total de casos (N.T.C.). Note 
que para avaliar a probabilidade de certo evento, você deve contar o número de casos favoráveis ao 
evento e o número total de casos possíveis do experimento. Trata-se, em última análise, de um problema 
de contagem. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
1º. Qual a probabilidade de aparecer uma face ímpar no lançamento de um dado? 
 
Solução: Seja A o evento: {aparecer um número ímpar}. 
Então: A = { 1, 3, 5 }, ou seja, N.C.F. = 3. 
Quanto ao número total de casos (N.T.C.) será igual a seis, pois o espaço-amostral desse experimento é S 
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Portanto: 
 P(A) = %505,0
2
1
6
3
.C.T.N
A.evento.ao.F.C.N
==== Logo, a probabilidade de aparecer um número 
ímpar no lançamento de um dado é 1/2 ou 0,50, ou 50%. A primeira maneira (½) de expressar a resposta é 
a mais comum. 
 
2º. Qual a probabilidade de se tirar um “rei“ de um baralho com 52 cartas? 
Solução: Seja A o evento: aparecer um rei quando se tira uma carta do baralho. Relembrando seus 
“amplos” conhecimentos dos jogos de cartas você irá concluir que N.C.F. = 4 (existem 4 reis num baralho) 
e que N.T.C. = 52, pois existem 52 cartas possíveis de serem sorteadas. Assim: 
 P(A) = ==
13
1
52
4
 0,07692 ≅ 0,077 → 7,7 % 
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3
3. REGRAS dos CÁLCULOS das PROBABILIDADES 
1ª REGRA →→→→ 0 ≤ P(E) ≤ 1 → A probabilidade de um evento E deve ser um número maior ou igual a 
zero e menor ou igual a 1. 
2ª REGRA →→→→ P(S) = 1 → A probabilidade do evento certo é igual a 1. 
3ª REGRA →→→→ P(ΦΦΦΦ) = 0 → A probabilidade do evento impossível é igual a zero. 
4ª REGRA →→→→ REGRA DA SOMA: P(A ∪∪∪∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B) 
 Regra da soma das probabilidades, se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos. 
 ( A ∩∩∩∩ B = ΦΦΦΦ ). Tal propriedade pode ser generalizada para um número maior de eventos, desde 
que eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos: 
 ( A ∩∩∩∩ B = ΦΦΦΦ; A ∩∩∩∩ C = ΦΦΦΦ; B ∩∩∩∩ C = ΦΦΦΦ ), então: 
 P(A ∪∪∪∪ B ∪∪∪∪ C) = P(A) + P(B) + P(C). 
5ª REGRA →→→→ REGRA DA SOMA: P(A ∪∪∪∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B) 
 Regra da soma das probabilidades, se A e B NÃO forem dois eventos mutuamente exclusivos: 
6ª REGRA →→→→ Probabilidadedo Complementar: 
 )A(P1)A(P −= , Se A (traço) é o evento complementar de A. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Aplicação das regras R4, R5 e R6: 
1º. Seja o experimento E: lançamento de um dado e os eventos A, B, e C: 
 A = {sair o número 3}; B = { sair um número par }; C = {sair número ímpar}. 
 Avaliar P(A); P(B); P(C); P(A ∪ B); P(A ∩ C); P(A ∪ C); P(A). 
Solução: 
S = {1,2,3,4,5,6}; A = {3}; B = {2,4,6}; C = { 1,3,5} 
 P(A) =1/6; P(B) = 3/6 = ½; P(C) = 3/6 = 1/2; P(A ∪ B) = 1/6 + 1/2 = 2/3 
 (A ∩ B = Φ); P(A ∩ C) = 1/6; P(A ∪ C) = 1/6 + 1/2 - 1/6 = 1/2; 
 P(A) = 1 - 1/6 = 5/6. Observe que A = {1, 2, 4, 5, 6}. 
7ª REGRA →→→→ PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
( ) ( )( )BP
BAPB/AP ∩= → Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) diferente de 
zero, então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento, é indicado por P(A/B) e 
definida pela relação acima. 
 Para o cálculo da probabilidade condicional de A em relação a B, P(A/B), basta contarmos o 
número de casos favoráveis ao evento A ∩ B e dividirmos pelo número de casos favoráveis do evento B: 
( )
Ba.F.C.N
B AaF.C.NB/AP ∩= 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Aplicação da Probabilidade Condicional 
1º. Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2,...,15. Se o número sorteado for par, qual a 
probabilidade de que seja o número 6? 
Solução: S={1, 2, 3,...,15}; A = { o número ser o 6 } ; B = { o número ser par }. Notem que a probabilidade 
do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é: P(A) =1/15 = 0,0666. ≅ 0,067 Dado porém, a 
informação de que o número sorteado foi par, o espaço-amostral reduz-se para S* = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 
14}, e é neste espaço-amostral que iremos avaliar a probabilidade do evento A. Assim: A ∩ B = {6} e 
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; logo, 
 P(A/B) = ( )( ) 14,29% .0,142857..7
1
Ba.F.C.N
BAa.F.C.N
BP
 B AP
===
∩
=
 ∩
 
 P(A/B) lê-se: probabilidade de sair o número 6, dado que o número sorteado foi par. 
 
2º. De um baralho comum de 52 cartas, retirou-se uma e verificou-se que ela era vermelha. Qual a 
probabilidade de essa carta ser uma figura? 
Solução: A = {a carta é uma figura }; B = {a carta é vermelha}; então: Observem que há 6 cartas que são 
figuras e vermelhas, bem como 26 cartas vermelhas. 
P(A/B) = ( )( ) ,01%23 0,23076... 13
3
26
6
Ba.F.C.N
BAa.F.C.N
BP
 B AP
====
∩
=
 ∩
 
 Neste exemplo P(A/B) lê-se: probabilidade de sair uma figura, dado que a carta retirada tenha sido 
vermelha. 
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8ª REGRA →→→→ REGRA DO PRODUTO A partir da definição de probabilidade condicional. 
 
( ) ( )( )BP
BAPB/AP ∩= , poderemos “explicitar” P(A ∩ B) e encontrar a regra do produto: 
P(A ∩∩∩∩ B) = P(B) . P(A/B) ou P(A ∩∩∩∩ B) = P(A). P(B/A) 
 Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo espaço-amostral é 
igual a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro. 
Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto. 
 Retira-se, sem reposição, duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são boas. Qual a 
probabilidade de que ambas sejam defeituosas? 
 
Solução: Sejam os eventos: 
 A={a primeira peça ser defeituosa}; B={a segunda peça ser defeituosa}. 
Precisamos, então, avaliar P(A ∩ B). 
 P(A ∩ B) = P(A). P(B/A) → P(A ∩ B) = 6/10 . 5/9 = 1/3 = 0,3333... → 33,33 % 
 Observem que P(B/A) é a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, dado que a primeira foi 
defeituosa. 
 
9ª REGRA →→→→ REGRA DO PRODUTO PARA DOIS EVENTOS INDEPENDENTES 
 Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não depende ou 
não está vinculada com a ocorrência do outro, isto é, 
 P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B). 
 Logo, a regra do produto para dois eventos independentes é dada por: 
P (A ∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B) 
 
Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto. 
1º. Retiram-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que 
ambas sejam de “paus”? (♣→13 cartas de paus; ♠→13 de espadas;♦→ 13 de ouros;♥→ 13 de copas) 
Solução: Sejam os eventos: A={a primeira carta é de “paus”}; B={a segunda carta é de “paus”} 
 Como A e B são independentes, a ocorrência de um deles não está vinculada à ocorrência do 
outro. 
 Observem que, como o processo é com reposição, o espaço-amostral não é alterado para o 
cálculo da probabilidade do outro evento. Assim: 
 P (A ∩ B) = P(A). P(B) = 13/52 . 13/52 = 1/16 = 0,0625 → 6,25% 
 
10ª REGRA →→→→ REGRA DE BAYES 
 Sejam A1, A2, A3, ... , An , n eventos mutuamente exclusivos tais que: 
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S. Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas de todos os eventos Ai e B um 
evento qualquer de S tal que conhecemos todas as probabilidades condicionais P(Ai ). Então para cada “i” 
teremos: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn2211
ii
i A/BP.AP...A/BP.APA/BP.AP
A/BP.APB/AP
+++
= 
 
 
Exercício Resolvido: Aplicação da regra de Bayes. 
1º. Suponhamos a seguinte configuração: 
Cor Urna 1 Urna 2 Urna 3 Total 
Preta 3 4 2 9 
Branca 1 3 3 7 
Vermelha 5 2 3 10 
Total 9 9 8 26 
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é 
branca. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da urna 2? 
Solução: Probabilidades a priori: P(U1) = 1/3; P(U2) = 1/3; P(U3) = 1/3; 
 Probabilidades a posteriori : P(br/U1 ) = 1/9; P(br/U2 ) = 1/3; P(br/U3 ) = 3/8; 
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Desejamos calcular P(U2/br), Assim: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211
22
2 U/brP.UPU/brP.UPU/brP.UP
U/brP.UPbr/UP
++
= 
( ) 4068,04067966,0
59
24
8
3
.3
1
3
1
.3
1
9
1
.3
1
3
1
.3
1
br/UP 2 ===
++
= → 40,68% 
 A regra de Bayes nos permite relacionar probabilidades a priori: P(Ai) com probabilidades a 
posteriori: P(Ai/B), que neste caso é a probabilidade de ser escolhida a urna 2 dada a informação de que a 
bola retirada foi branca. 
 
2º. Três máquinas M1, M2 e M3 produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma 
fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. 
 Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça 
tenha vindo da máquina M2? Solução: P(M2 /Def.) = ? 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211
22
2 M/DPxMPM/DPxMPM/DPxMP
M/DPxMP
D/MP
++
= 
 
( ) 6410,0
002,0012,0025,0
025,0
02,0x1,005,0x5,003,0x4,0
05,0x50,0D/MP 2 =
++
=
++
= → 64,1% 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1º. O encarregado pelo tratamento de quatro cavalos que irão disputar o próximo páreo afirma que: “as 
chances do cavalo A vencer a corrida são cinco vezes maiores do que as de B vencer; por sua vez, as 
chances do cavalo B vencer a corrida são três vezes maiores as de C vencer; e por fim, as chances do 
cavalo C vencer são as mesmas de D vencer. Se acreditarmos nas afirmações deste tratador dos cavalos, 
quais as chances de cada cavalo vencer este próximo páreo?”. 
2º. Uma prova é composta de cinco testes de múltipla escolha, com quatro alternativas cada um, sendo 
apenas uma correta. Determine a probabilidade de um aluno “no chute”: a. acertar todos os testes; b. 
acertar os dois primeiros e errar o quarto. 
3º. Em cada lote de doze peças uma média de quatro chegam defeituosas no destino, devido a ineficiência 
do transporte. Foram retiradas três peças aleatoriamente em seqüência de um destes lotes. Determine a 
probabilidade de que: a) todas sejam perfeitas; b) tenha nesta seqüência uma peça defeituosa; c) tenha 
nesta seqüência uma peça perfeita e uma defeituosa; d) a primeira peça da seqüência seja defeituosa. 
4º. Num lote de doze peças, das quais quatro são defeituosas, foram retiradas três peçasaleatoriamente 
em seqüência. Determine a probabilidade de que: a) todas sejam perfeitas; b) tenha nesta seqüência uma 
peça defeituosa; c) tenha nesta seqüência uma peça perfeita e uma defeituosa; d) a primeira peça da 
seqüência seja defeituosa. 
5ª. Certo processo de fabril é conhecido e estudado por um administrador, que registra, através de 
mensuração, tudo que ocorre na produção. Ele afirma que: a máquina A é responsável por 35% do total da 
produção; a máquina B por 25%; e a máquina C pelo restante. Da produção de A, 20% apresenta defeito; 
da produção de B, 25% é que apresenta defeito; e da produção de C, 15% é que apresenta defeito. No 
final do dia, esse administrador retira ao acaso da produção, uma peça e verifica que é perfeita: a) Qual a 
probabilidade de que essa peça tenha sido produzida pela máquina “A”?; b) Qual a probabilidade de que 
essa peça tenha sido produzida pela máquina “B”? ; c) Qual a probabilidade de que essa peça tenha sido 
produzida pela máquina “C”? 
6º. São dadas duas urnas: 
Cor Urna A Urna B Total 
Preta 2 3 5 
Branca 5 12 17 
Vermelha 3 5 8 
Total 10 20 30 
a) Calcular a probabilidade de retirar uma bola branca da urna “A” ;b) Qual a probabilidade de retirarmos 
uma bola preta da urna “B” ; c) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da 
urna “A” ; d) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou preta da urna “B” ; e) Determine 
a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna “B” ; f) Qual a probabilidade de serem 
retiradas duas bolas vermelhas da urna “A”, com reposição?; g) Qual a probabilidade de serem retiradas 
duas bolas brancas da urna “B”, com reposição?; h) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas 
pretas da urna “A”? (* sem reposição). 
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6 
6
7º. Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obter: a) exatamente duas caras; b) 
duas caras; c) somente uma coroa; d) pelo menos uma coroa; e) no máximo duas caras; f) nenhuma 
cara; g) uma coroa. 
8º. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de se obter: a) um par de pontos diferentes? 
b) um par de pontos iguais?; c) um par de pontos onde o primeiro número é menor que o segundo?; d) um 
par onde a soma dos pontos é um número par?; e) um par de pontos onde a soma resulta sete pontos?; f) 
obtermos soma seis, dado que o par de pontos é igual?; g) de a soma dos pontos ser menor do que 18 ; h) 
da soma dos pontos ser maior do que 13? 
9º. A probabilidade de o aluno “x” resolver este problema é de 3/5, e de o aluno “Y” é de 4/7. Qual a 
probabilidade de que o problema seja resolvido por eles? 
10º. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de resultar um número maior que 3 ou um número 
par? 
11º. Um inteiro é escolhido ao acaso dentre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 28, 29, 30}. Qual a probabilidade de o 
número escolhido ser: a) divisível por 6 ou 8; b) divisível por 5 ou 8; c) divisível por 5 ou 7; d) divisível por 2 
ou 3; e) divisível por 7 ou 11. 
12º. Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: 
 Homens Mulheres 
Menores 5 3 
Adultos 5 2 
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ser homem?; b) Qual a 
probabilidade de ser adulto?; c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher?; d) Sabendo-se que o 
elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem? ;e) Sabendo-se que o elemento 
escolhido é mulher, qual a probabilidade de ser menor? 
13º. Um grupo de 100 pessoas apresenta de acordo com o sexo e qualificação a seguinte composição: 
Sexo Especializados Não-especializados Total 
Homens 21 39 60 
Mulheres 14 26 40 
Total 35 65 100 
Calcular: 
a) a probabilidade de um escolhido ser Homem; b) a probabilidade de um escolhido ser Mulher e não 
especializada; c) qual a porcentagem dos não especializados? d) qual a porcentagem dos Homens não 
especializados? e) se o sorteado é especializado, qual a probabilidade de ser mulher?; f) se o sorteado for 
homem, qual a probabilidade de ser não especializado? 
14º. Uma urna contém quatro bolas brancas, cinco azuis e seis pretas em uma outra temos cinco bolas 
brancas, seis azuis e duas pretas. Extrai-se uma bola de cada urna, na seqüência estabelecida 
anteriormente, qual a probabilidade: a) de que ambas sejam da mesma cor? b) de a primeira ser azul e a 
segunda ser preta?; c) de uma ser azul e a outra ser preta?; d) de a primeira ser branca e a segunda não 
ser branca? 
15º. Numa caixa de oito lâmpadas, três são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas sem reposição. 
Calcule a probabilidade de: a) ambas serem perfeitas; b) ambas serem defeituosas; c) pelo menos uma ser 
boa. 
16º. Temos duas caixas: Na primeira há três bolas brancas e sete pretas, e na segunda uma bola branca e 
cinco pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual a 
probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja: a) a primeira caixa? ; b) a segunda caixa? 
17º. A probabilidade da classe "A" comprar um carro é 3/4, da "B" é 1/6 e da "C", 1/20. 
A probabilidade de o indivíduo da classe "A" comprar um carro da marca "W" é 1/10; de B comprar da 
marca "W" é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou um carro da marca "W". Qual a probabilidade de 
que o indivíduo: a) da classe "A" o tenha comprado?; b) da classe "B" o tenha comprado? c) da classe 
"C" o tenha comprado? 
18º. Três máquinas M1, M2 e M3 produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma 
fábrica. As porcentagens das peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. 
I. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a 
peça tenha vindo da máquina: a) M1?; b) M2?; c) M3? 
II. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é perfeita. Qual a probabilidade de que a peça 
tenha vindo da máquina: a) M1?; b) M2?; c) M3? 
19º. O veterinário “W” afirma que: “a cada quatro animais que nasce no zoológico “Y”, três são machos”. 
Sabe-se que estão para nascer na próxima semana três animais, determine a probabilidade de nascer (ou 
de nascerem): a) exatamente uma fêmea; b) uma fêmea; c) no máximo uma fêmea; d) todos de mesmo 
gênero ; e) pelo menos um macho. 
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7
20ª. Numa turma de 70 alunos, 8 estudam espanhol e inglês, 20 estudam espanhol e não estudam inglês e 
7 não estudam essas línguas. Um aluno é retirado aleatoriamente desta turma, qual a probabilidade dele 
estudar apenas uma dessas línguas? Resp.≅78,6% 
21ª. Num grupo de 36 rapazes, 19 jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13 jogam basquete, 12 jogam futebol e 
vôlei, 8 jogam vôlei e basquete, 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os três esportes. Um rapaz é 
retirado aleatoriamente deste grupo, qual a probabilidade dele praticar mais de um destes esportes? 
 Resp.≅55,6% 
22ª. Numa pesquisa feita com as pessoas que foram aprovadas em três concursos, A, B e C, obtiveram-se 
os resultados tabelados a seguir. Pergunta-se: a. Quantas pessoas foram aprovadas nesses concursos?; 
b. Quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos?; c. Um candidato é retirado 
aleatoriamente entre os aprovados, qual a probabilidade dele ter sido aprovados em pelo menos dois dos 
três concursos?; d. Quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C? 
 Resp.: a.290; b.200; c.90/n; d.190. 
concurso A B C A e B A e C B e C A, B e C 
nº aprov. 150 140 10045 30 35 10 
23ª. Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 crianças 
receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Pede-se: a. 
Quantas crianças receberam as duas vacinas?; b. Quantas crianças só receberam a vacina contra 
sarampo? Respostas: a. 46; b. 4. 
24ª. Analisando-se os currículos de 50 candidatos a um emprego na área de informática, verificou-se que 
32 sabiam usar Windows 95, que 16 operam com OS-2 e que 20% não conheciam nenhum desses dois 
sistemas operacionais. Foram selecionados apenas os candidatos capazes de operar com ambos os 
sistemas. Pede-se: a. Qual foi o número de candidatos aprovados? ; b. Qual foi o número de candidatos 
que só sabiam usar Windows 95? Respostas: a. 8; b. 24. 
25ª. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres 
jogam xadrez. Escolhendo um aluno ao acaso desta turma, qual a probabilidade deste aluno: a. ser 
homem que não joga xadrez?; b. ser mulher? Respostas: a. ≅33%; b. ≅53% 
26ª. Uma cidade de 10 000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com 
população, constatou-se que 1 200 pessoa não apreciam nenhum dos clubes, 1 300 pessoas apreciam os 
dois clubes e 4 500 pessoas apreciam o clube A. Quantas pessoas apreciam: a. apenas o clube A?; b. o 
clube B?; c. apenas o clube B? Respostas: a. 3200; b. 5600; c. 4300. 
27ª. Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 
acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a 
prova? Resp. 450 
28ª. Numa turma, os 25 alunos lêem as revistas A ou B. O número de alunos que só lêem a revista A é o 
dobro do número de alunos que só lêem a revista B. Se 10 alunos lêem ambas, quantos alunos só lêem a 
revista B? Resp. 5 
29ª. Numa turma com 50 alunos, 30% só cursam Inglês e 50% só cursam Francês. Se 10 alunos fazem os 
dois cursos, qual é a porcentagem dos alunos que fazem francês? Resp. 70% 
30ª. Numa caixa com 50 palitos de fósforo, existem 20 já usados. Escolhido, ao acaso, um desses 50 
palitos, a probabilidade que ele NÃO tenha sido usado é de: Resp. e 
 a. 40% ; b. 70%; c. 50%; d. 80%; e. 60%. 
31ª. De um grupo de 120 pessoas, 30 têm sangue do tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao 
acaso, a probabilidade de seu sangue não ser tipo O, é de: Resp. d 
 a. 20% ; b. 50%; c. 25%; d. 75%; e. 30%. 
32ª. Cem etiquetas estão numeradas de 0 a 99. Uma das etiquetas será sorteada ao acaso. A 
probabilidade de a etiqueta sorteada apresentar dois dígitos diferentes é de: Resp. e 
 a. 70% ; b. 75%; c. 80%; d. 85%; e. 90%. 
33ª. Num único lance de um par de dados honestos, a probabilidade de saírem às somas 7 ou 11 é: 
 a. 4/36; b. 5/36; c. 6/36; d. 7/36; e. 8/36. Resp. e 
*34ª. Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número 
escolhido ser primo ou quadrado perfeito é: Resp. c 
 a. 1/5; b. 2/5; c. 3/5; d. 2/25; e. 4/25. 
*35ª. A probabilidade de Agenor se aprovado no vestibular par o curso de Medicina é igual a 30%. A 
probabilidade de Bento ser aprovado no vestibular para o curso de Engenharia é igual a 10%. Sabendo-se 
que os resultados dos respectivos exames são independentes, então a probabilidade de apenas Agenor se 
aprovado no vestibular para o curso de Medicina, é de: Resp. c 
 a. 0,10; b. 0,27; c. 0,30; d. 0,45; e. 0,50. 
*36ª. Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é de: 
a. 3/8; b. 1/2; c. 6/8; d. 8/6; e. 8/3. Resp. a 
 Prof. Selmo Pires 
 
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37ª. Em 30% das vezes, João chega a casa tarde par jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 25% das 
vezes. Se não há qualquer relacionamento entre os dois atrasos, a probabilidade de ocorrerem ambos os 
atrasos é de: a. 5,0% ; b. 5,5%; c. 5,7%; d. 7,0%; e. 7,5%. Resp. e 
38ª. Numa prateleira existem 4 lâmpadas perfeitas e 6 lâmpadas queimadas. Escolhidas duas dessas 
lâmpadas, ao acaso, a probabilidade de que ambas estejam queimadas é de aproximadamente: 
 a. 27%; b. 29%; c. 30%; d. 31%; e. 33%. Resp. e 
39ª. Uma cadela dá à luz a uma ninhada de quatro filhotes. A probabilidade de todos os filhotes serem 
fêmeas é de: a. 1/4; b. 1/8; c. 1/12; d. 1/16; e. 1/18. Resp. d 
40ª. Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para 
representantes de classe. Qual a probabilidade, aproximada, de essa comissão vir a ser formada 
exclusivamente por meninos? a. 12,6%; b. 0,126%; c.1,27%; d.126%; e.25%. Resp. c 
41ª. Uma urna contém 6 balas brancas numeradas de 1 a 6 e 4 bolas vermelhas numeradas de 7 a 10. 
Retirando-se ao acaso uma dessas bolas, a probabilidade de sair uma bola vermelha e com número ímpar 
é de: a. 40% ; b. 35%; c. 30%; d. 25%; e. 20%. Resp. e 
42ª. Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são 
sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo 
sexo é de: a. 15%; b. 20%; c. 25%; d. 30%; e.35%. Resp. b 
43ª. Dois jogadores A e B lançam um par de dados e combinam que, se a soma dos números dos dados 
for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não 
ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganhado? a. 10/36; b. 5/32; c. 5/36; d. 5/35; e. 7/36. Resp. b 
44ª. Num sorteio, concorreram 50 bilhetes com número de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é 
múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é de: Resp. c 
 a. 15% ; b. 5%; c. 10%; d. 30%; e. 20%. 
45ª. (MPOG_02) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo 
vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao 
acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a 
probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarelaé 
igual a: a. 1/6; b. 1/3; c. 2/3; d. 4/5; e. 5/6. Resp. a 
46ª. Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa 
comunidade revelou que: 25 pessoas consomem carnes e verduras; 83 pessoas consomem verduras; 39 
pessoas consomem carnes. Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de 
ela consumir exclusivamente carnes? a. 4%; b. 14%; c. 24%; d. 34%; e. 44%. Resp. b 
47ª. Numa turma de 35 alunos, 7 deles não usam óculos. Escolhido, ao acaso, um dos alunos dessa 
turma, a probabilidade de que ele use óculos é: a. 65%; b. 70%; c. 75%; d. 80%; e. 85%. Resp. d 
48ª. Um agente administrativo observa duas pastas em que existem alguns documentos não carimbados. 
A primeira pasta possui 18 documentos dos quais 6 sem carimbo, e a segunda possui 15, dos quais 9 sem 
carimbo. Dois documentos são retirados ao acaso, sendo um de cada pasta. A probabilidade de ambos 
estarem carimbados é de aproximadamente: Resp. d 
 a. 21% ; b. 23%; c. 25%; d. 27%; e. 30%. 
49ª. No lançamento de um dado, a probabilidade de sair o número 4 ou um número ímpar é de: 
 a. 1/6; b. 3/4; c. 1/3; d. 2/3; e. 1/2. Resp. d 
50ª. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento a retirada de uma bola, e 
considere os eventos: A= {a bola retirada possui um úmero múltiplo de 2} e B= {a bola retirada possui um 
úmero múltiplo de 5}. Então, a probabilidade do evento A ∪∪∪∪ B é: Resp. d 
 a. 13/20; b. 4/5; c. 7/10; d. 3/5; e. 11/20. 
51ª. Retirando-se uma carta de baralho comum e sabendo-se que saiu uma carta de copas, qual a 
probabilidade de que seja uma dama? a. 1/52; b. 4/13; c. 1/3; d. 1/4; e. 1/13. Resp. e 
52ª. Num dado viciado, as chances de sair um número ímpar é o dobro ao de sair um número par. 
Lançando-se esse dado a probabilidade de sair o número 5 é: Resp. c 
 a. 1/6; b. 1/9; c. 2/9; d. 1/5; e. 2/3. 
53ª. Numa urna existem 50 bolas numeradas de 1 a 50. Escolhendo ao acaso uma dessas bolas, a 
probabilidade de que ela esteja numerada com um múltiplo de 5 é de: Resp. c 
 a. 5% ; b. 10%; c. 20%; d. 25%; e. 50%. 
54ª. Sabendo-se que se somarmos dois números pares encontraremos um número par; se somarmos dois 
números ímpares também encontraremos um número par e somente se somarmos um número par com 
um número ímpar, encontraremos um número ímpar, é correto pensar que, em um jogo de par-ou-ímpar: 
a. terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número ímpar; 
b. terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número par; 
c. terá maior probabilidade de sair vitorioso o jogador que pedir par e colocar um número par; 
d. terá maior probabilidade de sair vitorioso o jogador que pedir par e colocar um número ímpar; 
e. os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer. Resp. e 
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55ª. De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e Química, sabe-se que: 
1) 30 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino; 
2) o total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química; 
3) existem 10 moças que se destinam ao curso de Química. 
Nessas condições, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e sabendo-se que é do sexo feminino, 
a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática vale: Resp. a 
 a. 1/5; b. 1/4; c. 1/3; d. 1/2; e. 1. 
56ª. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão 
matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A 
probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas 
(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a: Resp. d 
 a. 30/200; b. 130/200; c. 150/200; d. 160/200; e. 190/200. 
57ª. Utilizando os dados do problema anterior, a probabilidade de que o estudante selecionado esteja 
matriculado em exatamente uma dessas disciplinas é igual a: Resp. b 
 a. 30/200; b. 130/200; c. 150/200; d. 160/200; e. 190/200. 
58ª. Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um milhão de homens, a 
probabilidade de que um homem, tomando ao acaso, não seja afetado é: 
 a. superior a 0,99; b. igual a 0,99; c. menor que 0,99; d. igual a 1/700; e. 1000. Resp.a 
59º. Sejam E1 e E2 dois eventos associados a um mesmo experimento. Suponha ainda que P(E1) = 40%, 
enquanto P(E1 ∪ E2) = 70%. Se adotarmos P(E2) = p. Para que valor de p, E1 e E2 serão independentes? 
 )EE(P)E(P)E(P)EE(P 212121 IU −+= ⇒ p40,0p40,070,0 ×−+= 
 p60,030,0 ×= ⇒ 
60,0
30,0p = ≅ 0,50 ⇒ ≅ 50% 
60ª. Uma peça de reposição do osso do quadril está sendo testada no laboratório, com relação à tensão. A 
cada cinco peças repostas, quatro peças completam com sucesso o teste. Três peças, escolhidas 
aleatória e independentemente, são testadas. Qual é a probabilidade de que pelo menos duas destas 
peças não tenham sucesso no teste? Resp. % 
61ª. Relatos confirmam que, 25% dos pacientes do Dr. “Y” são homens e que apenas 10% deles têm 
menos de 50 anos, contrastando com a porcentagem das mulheres que, 10% delas têm mais de 50 anos. 
Selecionando uma ficha de um de seus pacientes aleatoriamente, o Dr “Y” observa que o paciente tem 
menos de 50 anos, qual a probabilidade de ser uma mulher? Resp. % 
62ª. Em uma caixa são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas (a, b) são retiradas (sem 
reposição). Qual a probabilidade de que: a + b = 10 ? Resp. % 
63ª. Suponha que, das pessoas que compram câmeras digitais, 60% incluem cartão de memória 
opcional na compra, 40% incluem uma pilha extra e que 30% incluem cartão e uma pilha. Considerando 
a confirmação acima, determine a probabilidade do próximo comprador de uma câmera digital: 
a) comprar a memória opcional, dado que esta pessoa comprou uma pilha extra; Resp. % 
b) comprar uma pilha extra, dado que esta pessoa comprou um cartão opcional; Resp. % 
64ª. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre aqueles pertencentes ao conjunto 
U = { 1, 2, 3, 4, ... ,23, 24, 25}. Determine a probabilidade de o número escolhido ser dito quadrado perfeito 
ou não ser um número ímpar. Resp. % 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13, 14,15, 16, 17,18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}. 
65ª. Um lote contém seis peças, das quais quatro estão em perfeitas condições de serem utilizadas. Três 
destas peças serão retiradas aleatoriamente para teste. Determine a probabilidade de que se tenha nesta 
seqüência no máximo duas peças defeituosas. Resp. 100% 
66ª. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de uma comunidade, onde residem 300 pessoas, 
identificou que o número de pessoas que consomem apenas verduras é a quarta parte das pessoas que 
consomem apenas carnes, e que 100 pessoas consomem ambas. Uma pessoa da comunidade é 
escolhida ao acaso, determine a probabilidade dela consumir carne. 
67ª. Um lote contém doze peças, das quais sete estão em condições de serem utilizadas. Três destas 
peças serão retiradas aleatoriamente para teste. Determine a probabilidade de que se tenha nesta 
sequencia no máximo duas peça defeituosa. 
68ª. Em caixas de oito peças, uma média de três peças chega ao destino sem condições de uso 
(inutilizadas) devido aos maus tratos das Empresas Transportadoras. Duas destas peças serão retiradas 
aleatoriamente para teste. Determine a probabilidade de que se tenha nesta sequencia pelo menos uma 
peça perfeita. 
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69ª. Relatos confirmam que, 75% dos alunos das Engenharias são homens e que apenas 30% deles 
concluem o curso em dez períodos, contrastando com a porcentagem das mulheres, que apenas 30% 
delas não conseguem concluir o curso em dez períodos. Selecionando uma ficha dos formados num curso 
das Engenharias, observa-se que a mesma é de aluno que conseguiu concluir o curso em dez períodos, 
qual a probabilidade desta ficha ser de uma mulher? 
70ª. Das 400 famílias cadastradas no Programa Social de uma pequena cidade, 320 tem a Mulher como 
arrimo de família, das quais 300 tem renda inferior a dois salários mínimos. Sabe-se que 350 famílias tem 
a Mulher como arrimo de família ou tem renda superior a dois salários mínimos. Uma família será visitada 
pela assistente social da prefeitura, qual a probabilidade do arrimo desta família ter renda inferior a dois 
salários mínimos? OBS: Arrimo de família é a pessoa que ampara a família, ministrando-lhe os meios de 
subsistência. (complete corretamente o quadro acima) 
71ª. Relatos confirmam que, 25% dos pacientes do Dr. “Y” são homens e que apenas 20% deles têm 
menos de 30 anos, contrastando com a porcentagem das mulheres que, 20% delas têm mais de 30 anos. 
Selecionando uma ficha de um de seus pacientes aleatoriamente, o Dr “Y” observa que o paciente tem 
mais de 30 anos, qual a probabilidade de ser uma mulher? 
72ª. Dos 550 alunos do curso de Engenharia da Instituição “W”, 330 alunos se destinam a Mecânica, dos 
quais 280 são Homens. Sabe-se que 420 alunos são Mulheres ou são do curso de Mecânica. Um carro 
será sorteado entre estes alunos, qual a probabilidade de um Homem ganhar? (complete corretamente o 
quadro acima) 
73ª. Aleatoriamente são retiradas três bolas sucessivas de uma caixa que contém duas bolas pretas e três 
bolas brancas. Determine a probabilidade de que retire na sequência: 
a. no máximo uma bola branca; b. uma bola branca; c. uma bola preta e uma bola branca. 
74ª. Numa caixa são misturadas seis bolas numeradas de 0 a 5. Duas bolas são retiradas desta caixa. 
Determine a probabilidade da soma dos números das bolas retiradas não superar 4. 
75ª. Um número é escolhido ao acaso no Espaço Amostral abaixo: 
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 
 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, } 
Determine a probabilidade de esse número escolhido ser: a. dito quadrado perfeito ou não ser um 
número ímpar; b. dito primo ou ímpar. 
76ª. Numa turma, 50 alunos leem as revistas A ou B. O número de alunos que só leem a revista A é o 
triplo do número de alunos que só leem a revista B. Se 10 alunos leem ambas, qual a probabilidade de um 
aluno desta turma ao ser entrevistado, responder que lê a revista B? 
77ª. Qual a probabilidade de um casal que planeja ter três filhos, nascer no máximo um menino? 
78ª. Em cada lote de seis peças uma média de duas chega danificada no destino, devido à ineficiência do 
transporte. Foram retiradas três peças aleatoriamente em sequencia de um destes lotes depois do 
transporte. Determine a probabilidade de que tenha nesta sequencia uma peça danificada. 
 
79ª. Dos 750 alunos do curso de Engenharia 
da Instituição “W”, 300 alunos se destinam a 
Produção, dos quais 200 são Homens. Sabe-
se que 450 alunos são Mulheres ou são do 
curso de Produção. Um carro será sorteado 
entre estes alunos, qual a probabilidade de um 
Homem ganhar este carro? (complete 
corretamente o quadro apresentado acima) 
80ª. Ambientalistas de uma ONG (Organização Não Governamental), após um levantamento de dados, 
constataram, em uma cidade, a existência de três indústrias: I, II, III. Cada indústria participa com 45%, 
30%, 25%, respectivamente, da produção industrial da cidade. A proporção de gases poluentes lançados 
na atmosfera é de 2% pela indústria I, 3% pela indústria II e 4% pela indústria III. Uma análise da emissão 
de gases poluentes ou de partículas sólidas na atmosfera é realizada ao acaso nesta cidade, o que 
permitiu aos ambientalistas verificar a existência de polução atmosférica. Qual a probabilidade dos gases 
considerados poluentes terem sidos lançados por cada uma das indústrias mencionadas acima? 
Gênero Homem Mulher ∑ 
Mecânica _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
Produção _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
∑ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
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Resolução: 
1ª. P(A) + P( B) + P( C) + P( D) = 1 então 15.x + 3.x + x + x = 1 (100%) 
 x = 1/20 ou 0,05 ou 5% Resposta: P(A)�75%; P(B)�15%; P(C)�5% e P(D)�5%. 
2ª. p= ¼ e q= ¾ ; 
a) P(Ea) = P(ac1ª ∩ ac2ª ∩ ac3ª ∩ ac4ª ∩ ac5ª) = ¼ x ¼ x ¼ x ¼ x ¼ = 1/1024 ≅ 0,00098 ≅ 0,1%. 
b) P(Eb) = P(ac1ª ∩ ac2ª ∩ er4ª) = ¼ x ¼ x (¼+¾) x ¾ x (¼+¾) = 3/64 ≅ 0,046875 ≅ 4,6% ou 5% 
3ª. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) P(Ea) = P(1ªperf∩ 2ª perf ∩ 3ª perf ) = 512/1728 ≅ 0,29293 ≅ 29,3%; 
b) P(Eb) = 1 – P(1ªperf∩ 2ª perf ∩ 3ª perf) = 1 – 512/1728 = 1216/1728 ≅ 0,703703 ≅ 70,4%; 
c) P(Ec) = 1 – P(1ªperf∩ 2ª perf ∩ 3ª perf) – P(1ªdef∩ 2ª def ∩ 3ª def) = 
 = 1 – ( 512/1728 + 64/1728 ) = 1152/1728 ≅ 0,66666 ≅ 66,7%; 
d) P(Ed) = P(1ª def ∩ 2ª perf ∩ 3ª perf) + P(1ª def ∩ 2ª perf ∩ 3ª def) + 
 + P(1ª def ∩ 2ª def ∩ 3ª perf) + P(1ªdef∩ 2ª def ∩ 3ª def) = 
 = 256/1728 + 128/1728 + 128/1728 + 64/1728 = 576/1728 ≅ 0,3333 ≅ 33,3%; 
 
a)P(Ea) = P(1ªperf∩ 2ª perf ∩ 3ª perf ) 
 P(Ea) =336/1320 ≅ 0,3878779; 
 P(Ea) ≅ 38,8% 
b) P(Eb) = 
 
 
5ª. A →→→→ (35%) = 0,35 se ( 20%def e 80%perf) = 0,20defeit e 0,80perf; 
 B →→→→ (25%) = 0,25 se ( 25%def e 75%perf) = 0,25defeit e 0,75perf; 
 C →→→→ (40%) = 0,40 se ( 15%def e 85%perf) = 0,15defeit e 0,85perf. 
a) P(máq.A/perfeita) = 
= P(máq. A ) x P(perfeita. na máq.A) . = 
 P(máq.A).P(perf.na máq.A) + P(máq.B).P(perf.na máq.B) + P(máq.C).P(perf.na máq.C) 
 
 = _ 0,35 x 0,80 ___ = __ 0,28 = 0,28/0,8075 
 0,35 x 0,80 + 0,25 x 0,75 + 0,40 x 0,85 0,28 + 0,1875 + 0,34 
 b) P(máq.B/perfeita) = ? = 0,28/0,8075 ≅ 0,3467 ≅ 34,7%; 
= . P(máq. B) x P(perfeita. na máq.B) ______________ = 
 P(máq.A).P(perf.na máq.A) + P(máq.B).P(perf.na máq.B) + P(máq.C).P(perf.namáq.C) 
 
 = . ___ 0,25 x 0,75 . = 0,1875 _ = 0,1875/0,8075 
 0,35 x 0,80 + 0,25 x 0,75 + 0,40 x 0,85 0,28 + 0,1875 + 0,34 
c) P(máq.C/perfeita) = ? = 0,1875/0,8075 ≅ 0,2322 ≅ 23,2%; 
 = . P(máq. C ) x P(perfeita. na máq.C) _____________ = 
 P(máq.A).P(perf.na máq.A) + P(máq.B).P(perf.na máq.B) + P(máq.C).P(perf.na máq.C) 
 
 = . ____ 0,40 x 0,85 . = . 0,34 . = 0,34/0,8075 
 0,35 x 0,80 + 0,25 x 0,75 + 0,40 x 0,85 0,28 + 0,1875 + 0,34 
 = 0,34/0,8075 ≅ 0,4211 ≅ 42,1%; 
 P Ω ={(P, P, P) →→→→ 8/12 x 8/12 x 8/12 = 512/1728 
 P D (P, P, D) →→→→ 8/12 x 8/12 x 4/12 = 256/1728 
P P (P, D, P) →→→→ 8/12 x 4/12 x 8/12 = 256/1728 
 D D (P, D, D) →→→→ 8/12 x 4/12 x 4/12 = 128/1728 
 P (D, P, P) →→→→ 4/12 x 8/12 x 8/12 = 256/1728 
 P D (D, P, D) →→→→ 4/12 x 8/12 x 4/12 = 128/1728 
D P (D, D, P) →→→→ 4/12 x 4/12 x 8/12 = 128/1728 
 D D (D, D, D)} →→→→ 4/12 x 4/12 x 4/12 = 64/1728 
4ª. Ω={(P, P, P) 8/12 x 7/11 x 6/10 = 336/1320 
(P, P, D) 8/12 x 7/11 x 4/10 = 224/1320 
(P, D, P) 8/12 x 4/11 x 7/10 = 224/1320 
(P, D, D) 8/12 x 4/11 x 3/10 = 96/1320 
(D, P, P) 4/12 x 8/11 x 7/10 = 224/1320 
(D, P, D) 4/12 x 8/11 x 3/10 = 96/1320 
(D, D, P) 4/12 x 3/11 x 8/10 = 96/1320 
(D, D, D)} 4/12 x 3/11 x 2/10 = 24/1320 
 Prof. Selmo Pires 
 
12
12
6ª. a) P(Ea) = (N.C.F.)/(N.T.C.) = 5/10 = 0,50 ou Resposta: P(Ea) = 50%; 
 b) P(Eb) = (N.C.F.)/(N.T.C.) = 3/20 = 0,15 ou Resposta: P(Eb) = 15%; 
 c) P(Ea) = P(E1 ∪∪∪∪ E2) = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 0,80 ou Resposta: P(Ec) = 80%; 
 d) 75%; e) 85%; f) 9%; g) 36%; e h) 2,22%. 
7ª. a) 37,5%; b) 50%; c) 37,5%; d) 87,5%; e) 87,5%; f) 12,5% e g) 87,5%. 
8ª. a) 83,33%; b) 16,67%; c) 41,67%; d) 50%; e) 16,67%; f) 16,67%; g) 100%; h) 0%. 
 9º. )YX(P)Y(P)X(P)YX(P IU −+= 
 )
7
4
x
5
3(
7
4
5
3)YX(P −+=U ⇒⇒⇒⇒ )
35
12(
7
4
5
3)YX(P −+=U ⇒⇒⇒⇒ 
 )
35
12(
7
4
5
3)YX(P
/1/5/7
−+=U ⇒⇒⇒⇒ 
35
29)YX(P =U ≅≅≅≅ 0,8286 ⇒⇒⇒⇒ 83%. 
10ª. ≅≅≅≅67%. 
11ª. a) 23,33%; b) 30%; c) 33,33%; d) 66,67%; e) 20%. 
12ª. a) 66,7% ; b) 46,67% ; c) 20%; d) 71,43%; e) 60%. 
13ª. a) 60%; b) 26%; c) 65%; d) 39%; e) 40%; f) 65%. 
14ª. a) 31,79%; b) 5,13%; c) 23,5%; d) 16,4%. 
15ª. a) 35,71%; b) 10,71%; c) 89,29%. 
16ª. a) 45,65%; b) 54,35%. 
17ª. a) 39,5%; b) 52,63%; c) 7,89%. 
 18º. I. a. P(máq.A/defeituosa) = ? 
 
máq.C) (def.naP(máq.C).P+ máq.B) (def.naP(máq.B).P+máq.A) (def.naP(máq.A).P
máq.A) na saP(defeituo x )A P(máq.
 = 
 
 
%)31(...30769,0
002,0025,0012,0
012,0
x10,50,
=
++
⇒0,02.0+ x0,050+0,40x0,03
0,03 x 0,40
 = 
 
 b. P(máq.B/defeituosa) = ? 
 
máq.C) (def.naP(máq.C).P+ máq.B) (def.naP(máq.B).P+máq.A) (def.naP(máq.A).P
máq.B) na saP(defeituo x ) B P(máq.
 = 
 
 
%)64...(64102,0
002,0025,0012,0
025,0
x10,50,
=
++
⇒0,02.0+ x0,050+0,40x0,03
0,05 x 0,50
 = 
 
 
 c. P(máq.C/defeituosa) = ? 
 
máq.C) (def.naP(máq.C).P+ máq.B) (def.naP(máq.B).P+máq.A) (def.naP(máq.A).P
máq.C) na saP(defeituo x ) C P(máq.
 = 
 
 
%)1,5...(05128,0
002,0025,0012,0
002,0
x10,50,
=
++
⇒0,02.0+ x0,050+0,40x0,03
0,02 x 0,10
 = 
 
18º. II. a. P(máq.A/perfeita) = ? 
máq.C) (perf.naP(máq.C).P+ máq.B) (perf.naP(máq.B).P+máq.A) (perf.naP(máq.A).P
máq.A) na P(perfeita x )A P(máq.
 = 
%)40(...40374,0
098,0475,0388,0
388,0
x10,50,
=
++
⇒0,98.0+ x0,950+0,40x0,97
0,97 x 0,40
 =
 Prof. Selmo Pires 
 
13
13
 19ª. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
64
9
64
9
64
9)E(P a ++= ⇒ 64
27)E(P a = ⇒ ≅ 42,19%; 
b) )
64
27(1)E(P b −= ⇒ 64
37)E(P b = ⇒ ≅ 57,81%; 
c) 
64
9
64
9
64
9
64
27)E(P c +++= ⇒ 64
54)E(P c = ⇒ ≅ 84,38%; 
 
d) 
64
1
64
27)E(P d += ⇒ 64
28)E(P d = ⇒ ≅ 43,75%; 
 
 
e) )
64
1(1)E(P e −= ⇒ 64
63)E(P e = ⇒ ≅ 98,44%. 
 
 
25ª. 
 JOGAM Não JOGAM Total 
HOMENS X = 11 – 3 ⇒ x = 8 28 – 8 = 20 ⇒ y = 28 
MULHERES 3 32 – 3 = 29 60 – 28 = 32 
Total 11 60 – 11 = 49 60 
 
Relembrando a 5ª Regra: REGRA DA SOMA 
 P(A ∪∪∪∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B) 
 A ∪∪∪∪ B = A + B – A ∩∩∩∩ B 
 31 = 11 + y – x 
 y = 31 – 11 + 8 ⇒ y = 28 
Respostas: a. P (Ea) = 20/60 ≅33%; b. P (Eb) = 32/60 ≅53% 
 
34ª. Nos. primos de 1 a 20: E1 = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} ao todo oito elementos 
 Nos. Quadrados perfeitos de 1 a 20: E2 = { 1; 4; 9; 16} ao todo quatro elementos 
P(E1 ∪∪∪∪ E2) = P(E1) + P(E2) ⇒ P(E1 ∪∪∪∪ E2) = 20
8
 + 
20
4
 ⇒ P(E1 ∪∪∪∪ E2) = 20
12
 ⇒ 
5
3
 
 Respostas: c 
 
35ª. A = Agenor passar ⇒ A = Agenor não passar 
 B = Bento passar ⇒ B = Bento não passar 
P(A) = 0,30 ⇒ P( A ) = 0,70 e P(B) = 0,10 ⇒ P( B ) =0,90 
 
 Ω={(M, M, M) 3/4 x 3/4 x 3/4 = 27/64 
 (F, M, M) 1/4 x 3/4 x 3/4 = 9/64 
 (M, F, M) 3/4 x 1/4 x 3/4 = 9/64 
 (F, F, M) 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/64 
 (M, M, F) 3/4 x 3/4 x 1/4 = 9/64 
 (F, M, F) 1/4 x 3/4 x 1/4 = 3/64 
 (M, F, F) 3/4 x 1/4 x 1/4 = 3/64 
 (F, F, F)} 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64 
 Prof. Selmo Pires 
 
14
14
 
 
P(Agenor passar / Bento não passar) = ? 
 
 P( passarnãoBento
passarAgenor
 ) = 
90,0x70,090,0x30,0
90,0x30,0
+
 
 
 
 P( passarnãoBento
passarAgenor
 ) = 
63,027,0
27,0
+
 ⇒ 
90,0
27,0
 = 0,30 
 Respostas: c 
 
41ª. 
 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 
 b1 b2 b3 b4 b5 b6 v7 v8 v9 v10 
 URNA 
P(E) = 
.C.T.N
A.evento.ao.F.C.N
 ⇒ P(E) = 
10
2
 ou 0,20 ou 20% Respostas: e 
 
43ª. 
S = { (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); 
 (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); 
 (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); 
 
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); 
 (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6); 
 (6,1);(6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6) } 
 
 
 P(A) = 
36
4
 ⇒ P( A ) = 
36
32
 e P(B) = 
36
5
 ⇒ P( B ) = 
36
31
 
 P( ganharnãoA
ganharB
 ) = 
Aeventooamcomplementpares32
Beventonofavoráveiscasos5
 
 P( ganharnãoA
ganharB
 ) = 
32
5
 Respostas: b 
 
.....ª. Nos. Múltiplos de 2 de 1 a 20: E1 = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} ao todo dez elementos 
 Nos. Múltiplos de 5 de 1 a 20: E2 = {5; 10; 15; 20} ao todo quatro elementos 
P(E1 ∪∪∪∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩∩∩∩ E2) 
P(E1 ∪∪∪∪ E2) = 20
10
 + 
20
4
 – 
20
2
 ⇒ P(E1 ∪∪∪∪ E2) = 20
12
 ou 
5
3
 Respostas: d 
 
…..ª. P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 
 2x + x + 2x + x + 2x + x = 1 
 
 9 x = 1 ⇒ x = 
9
1
 ⇒ P(5) = 2 x logo P(5) = 
9
2
 
 
 ⇒ P(5) = 
5
1
 Respostas: d 
 Prof. Selmo Pires 
 
15
15
 
.....ª. 
 Matemática Física Química Σ 
Masculino 20 20 10 50 
Feminino 10 30 10 50 
Σ 30 50 20 100 
 
)inominFe(P
)inominFeMatemática(P)inominFeMatemática(P
I
= 
100
50
100
10
)inominFeMatemática(P = 
⇒ 
50
10)E(P = ⇒ ≅ 
5
1
 
 
.....º. )EE(P)E(P)E(P)EE(P 212121 IU −+= 
 p40,0p40,070,0 ×−+= 
 p60,030,0 ×= ⇒ 
60,0
30,0p = ≅ 0,50 ⇒ ≅ 50%