Aula02 IntroducaoAstronomia

Prévia do material em texto

Introdução à Astronomia
Semestre: 2015.1
Sergio Scarano Jr 
22/10/2013
Horário de Atendimento do Professor
Professor: Sergio Scarano Jr Sala: 119
Horário de Atendimento***:
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
14:00-15:00 14:00-15:00 14:00-15:00 14:00-15:00 A ser 
discutido
Homepage: http://www.scaranojr.com.br/
*** Os horário podem ser articulados em caso de demanda dos alunos em
acordo com o professor
E-mail: scaranojr.ufs@gmail.com**
*
* Nosso canal de comunicação principal será o SIGAA, mas o material será
disponibilizado na homepage;
** Não serão respondidas dúvidas sobre a matéria por e-mail
Revisão de Matemática e
Como Utilizar uma 
Calculadora Científica
Sergio Scarano Jr 
04/06/2013
Exponencial
Operação que envolve uma variável no expoente. Também está
associadas às comuns "leis de potência" encontradas na física.
bx = a 
O Logaritmo
O logaritmo é a operação que permite obter o expoente de uma potência.
Isso é extremamente útil para operar com números muito grandes ou
quando se estuda variações numéricas muito grandes de uma grandeza.
log = n
b
(a) bn = a 
No tratamento de imagens, a função logaritmo permite ver 
simultaneamente regiões de grande contraste.
100.000
10.000
1.000
100
10
1
0
105
104
103
102
101
100
ø
a1=bn1
a2=bn2
a3=bn3
a4=bn4
a5=bn5
a6=bn6
ø
log10(a1) 
= n1
log10(a2) 
= n2
log10(a3) 
= n3
log10(a4) 
= n4
log10(a5) 
= n5
log10(a6) 
=n6
ø
5
4
3
2
1
0
ø
logn = b(a)
I
n
t
e
n
s
i
d
a
d
e
Pixel
O Logaritmo
O logaritmo é a operação que permite obter o expoente de uma potência.
Isso é extremamente útil para operar com números muito grandes ou
quando se estuda variações numéricas muito grandes de uma grandeza.
bn = a 
No tratamento de imagens, a função logaritmo permite ver 
simultaneamente regiões de grande contraste.
log = n
b
(a)
Relações Genéricas para os Logaritmos
Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações
fundamentais para os logaritmos.
log =
c
(A·B) log
c
(A) + log (B)
c
log =
c
(A/B) log
c
(A) - log (B)
c
log =
c
(AB) B·log (A)
c
log =c(A)
log (A)
b
log (C)
b
Definições:
log (A) = log(A)
10
log (A) = ln(A)
e
Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos
Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações
fundamentais para os logaritmos.
Assim: A=cm , B=cn
Multiplicando as duas expressões: A·B =cm·cn
A·B =cm + n
Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados:
logc(A·B) =logc(cm + n) logc(A·B) = m + n
logc(A·B) = logc(A) + logc(B)
Chamando: logc(A) = m, logc(B) = n
logc(A·B) = logc(A) + logc(B)
Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos
Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações
fundamentais para os logaritmos.
Assim: A=cm , B=cn
Multiplicando as duas expressões: A/B =cm/cn
A/B =cm - n
Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados:
logc(A/B) =logc(cm - n) logc(A/B) = m - n
logc(A/B) = logc(A) - logc(B)
Chamando: logc(A) = m, logc(B) = n
logc(A/B) = logc(A) - logc(B)
Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos
Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações
fundamentais para os logaritmos.
Assim: A=cm
Elevando os dois lados por B: AB = (cm)B = c (m·B)
Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados:
logc(AB) = logc(c(m·B)) logc(AB) = m·B
logc(AB) = B·logc(A)
Chamando: logc(A) = m
logc(AB) = B·logc(A)
Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos
Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações
fundamentais para os logaritmos.
logc(A) =
logb(A)
logb(C)
Chamando: logc(A) = m . Assim: A=Cm
Extraindo o logaritmo na base b dos dois lados:
logb(A) = logb(Cm) logb(A) =m· logb(C)
Substituindo m na expressão: logb(A) =logc(A)·logb(C)
logc(A) =
logb(A)
logb(C)
Usando a Calculadora para Logaritmos
Esse procedimento é possível com calculadoras científicas.
1-) Digite
2-) Digite
3-) Digite
Note que a calculadora só tem opções para
logaritmo decimal e logaritmo na base e. Para
outras bases é necessário calcular a mudança de
base.
log = n
10
(1)
Razão e Proporção em Termos Intuitivos
Ser proporcional significa que qualquer alteração de um objeto em uma
direção tem que ser seguida por uma alteração com o mesmo fator
multiplicativo em todas as outras direções.
Quem está 
na foto?
Aumentando a 
foto 50 vezes
só na vertical
Aumentando a 
fot 50 vezes só 
na horizontal
Quem está 
na foto?
Quem está 
na foto?
Aumentando a 
foto 20 vezes na
horizontal
Aumentando a 
foto 20 vezes 
na vertical
Razão e Proporção em Termos Matemáticos
Chamamos de razão de uma grandeza A para outra grandeza B da mesma
espécie ao número que exprime a medida de A quando se toma B como
unidade. Isso se resume no popular “quantas vezes B cabe em A”.
B
A
B B B
A
Brazão =
Razão e Proporção em Termos Matemáticos
Chamamos de proporção a igualdade entre duas razões.
b
a
b b
d
d
d
c
a
b
razãohoriz =
c
d
razãovert =
Sendo a razão horizontal 
igual a razão vertical:
a
b
c
d=
Proporções e Regra de Três em Exemplos
Resolva os seguintes exemplos para grandezas diretamente proporcionais:
1-) Ao corrigir as provas de uma turma um professor pode usar 2 minutos por
questão. Se a prova é composta por 12 questões, quantos minutos será
necessário para o professor corrigir a prova de um aluno?
2-) Sabendo que esse professor tem 120 alunos, qual o tempo total necessário
para o professor corrigir todas as provas?
3-) Para fazer uma correção mais detalhada das questões, o professor poderá
gastar 5 minutos por questão. Nessa condição, quanto tempo o professor
levará para corrigir todas as provas?
Dica: Identifique se a grandeza cresce ou decresce com a outra, e depois 
monte as frações considerando as mesmas grandezas, colocando a maior no 
numerador e a menor no denominador (ou o inverso) para ambas as frações. 
Lembre: as frações tem que ser iguais!
Proporções e Regra de Três em Exemplos
Resolva os seguintes exemplos para grandezas inversamente
proporcionais:
1-) Um avião, voando a uma velocidade de 300 km/h faz o percurso entre duas
cidades em 2h. Se aumentar a velocidade para 400 km/h, qual será o tempo
necessário para fazer o mesmo percurso?
Dica: Identifique se a grandeza cresce ou decresce com a outra, e depois 
monte as frações considerando as mesmas grandezas, colocando a maior no 
numerador e a menor no denominador (ou o inverso) para ambas as frações. 
Lembre: as frações tem que ser iguais!
O Princípio da Resolução de Equações
Resolver equações é análogo a encontrar o equilíbrio em uma balança. Tudo
o que eu faço de um lado eu posso fazer do outro:
x
x x 5 5x 5
5
Generalizando o Conceito de Área
Compreendendo o conceito de Área e Perímetro para um quadrilátero pode-
se generalizar o raciocínio para qualquer polígono.
b
bb
b
h
a
baA 
Retângulo:
2bA 
Quadrado:
hbA 
Trapézio:
h
b
Triângulo:
2
hbA 
Teorema de Pitágoras
Se a relação vale para um triângulo de lados 3, 4 e 5, ela vale para qualquer
triângulo semelhante (ou seja, de lados proporcionais).
a2 = b2 + c2
a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto
E Para uma Círcunferência?
Para um polígono o perímetro é dado pela soma dos lados. Uma
circunferência é o limite de um polígono regular com muitos lados.
RD  2

D
C
RC  2
......1415,3?
Usando  na Calculadora
Esse procedimento é possível com calculadoras científicas.
1-) Digite
2-) Digite
+
Para inserir o valor de :
Área deUm Círculo
... no limite:
2RA  
R
R
Medidas de Ângulos
A Lua é maior próximo do horizonte?
4
5
 
m
 
=
 
1
5
 
a
n
d
a
r
e
s
0,5°
0,5°
Não!!! Comparamos a abertura 
angular dela com coisas próximas do 
horizonte que sabemos que são 
grandes. Aí temos impressão que ela é 
grande.
1. Grau ( º ) – arco que corresponde à fração 1/360 da circunferência.
2. Grado (gr) – arco que corresponde à fração 1/400 da circunferência.
3. Radiano (rad) – ângulo contido pelo arco cujo comprimento é igual
ao raio da circunferência que o contém.
RO
. A
B
Unidades de Medida de Ângulos ou Arcos
Como para o caso de medidas lineares, medidas angulares podem assumir
diferentes referências:
R 1 rad
l  rad
1 rad
[rad]Rl 
360º 400 gr 2π rad
(÷ 2)
180º 200 gr π rad
(÷ 2) (÷ 2)
180º π rad
Como não utilizaremos o grado nas atividades deste curso, a relação
que nos importa é a relação simplificada abaixo:
Correspondências Entre as Unidades
Como para o caso de medidas lineares, medidas angulares podem assumir
diferentes referências:
Exemplo 1: Converta 30º para radianos:
180º π rad
30º x
180
30
=
π
x
180 x = 30π
x = 
30π
180
(÷ 30)
(÷ 30)
x = rad 
π
6
Exemplo de Conversão Entre Ângulos
Ajustando a Calculadora para Radianos, Graus ou Grados
Esse procedimento é possível com calculadoras científicas.
1-) Digite até que apareça as opções:
Deg Rad Gra
1 2 3 
2-) Digite para graus, ou
para radianos, ou
para grados
3-) Digite o valor desejado e depois
Note que no display aparece um D (Graus), R
(Radianos) ou G (Grados), conforme a medida
escolhida. A partir disso é possível fazer
conversões de ângulos para a unidade do display
(passo 2). Basta digitar o valor e escolher a
unidade de entrada digitando:
+ e depois
Trabalhando com o Sistema Sexagesimal
Esse procedimento é possível com calculadoras científicas.
1-) Digite o número de graus e depois
2-) Digite o número de minutos de arco e
depois
3-) Digite o número de segundos de arco e
depois
4-) Digite e o número será exibido na
parte do display destinada às respostas
5-) Para alternar a visualização do valor em
formato sexagesimal e formato decimal,
basta digitar
Triângulo Retângulo, Proporções e Funções 
Trigonométricas
Considerando a proporcionalidade entre triângulos retângulos pode-se
definir grandezas que dependam apenas dos ângulos do mesmo.

cateto adjacente
(cpequeno)
cateto oposto
(bpequeno)
Multiplicando pelo
mesmo fator
Multiplicando pelo
mesmo fator
Multiplicando
pelo mesmo
fator
c
a
t
e
t
o
o
p
o
s
t
o
(bgrande)
cateto adjacente
(cgrande)
bpequeno
cpequeno
bgrande
cgrande
=
cateto oposto
cateto adjacente=
sen() = cateto opostohipotenusa
cos() = cateto adjacentehipotenusa
sen()
cos()tan() = 
tan() = 
Usando a Calculadora para Funções Trigonométricas
Esse procedimento é possível com calculadoras científicas.
1-) Digite ou ou
2-) Digite
3-) Digite
As funções ou
ou calculam os ângulos cujo seno,
cosseno ou tangente do valor inserido na
calculadora e não o inverso dessas funções
(cossecante, secante e cotangente) , 
respectivamente.
+ +
+
Equação de uma Reta
assim a equação da reta fica:
y = m·x + n 
x
y
x0 x
y0
y
m
Sabendo que dois pontos determinam uma reta:
y
 
-
y
0
x - x0
e o local onde a reta intercepta o
eixo y é o coeficinte linear:
n = y0 - m·x0
onde a inclinação da reta recebe o
nome de coeficiente angular:
m =
y - y0
x - x0
tg() = m = y - y0x - x0 y = m·x + n 
n
Noções de Uso do Software Máxima
Software para cálculos numéricos, algébricos e plotagem de gráficos
gratuito, equivalente ao software pago Maple.
http://maxima.sourceforge.net/download.html
Volume V e Superfície S dos Polígonos e do Círculo
No geral deriva-se multiplicando mais uma dimensão à área da base. Para
os polígonos os sólido gerados são prismas e para o círculo o cilíndro.
alturaáreaVolume base 
Primas, cubos, 
paralelepípedos
Cilindro
A
l
t
u
r
a
n
=
 
c
cbaV  hRV  2
A
l
t
u
r
a
n
=
 
h
0
a b
)(2 bcacabS  )(2 RhRS  
R
R
h
Volume V e Superfície S de Pirâmides e Cones
Resolvidos rigorosamente por meio de Cálculo Integral.
alturaáreaVolume base  3
1
h
háreaV base  3
1 hRV  2
3
1 
facesbase áreasáreaS  2222 RRhRS  
Volume V e Superfície S de Uma Esfera
Obtido de modo análogo ao da área de um círculo.
Volume da Esfera:
3
3
4 rV  
Área da Esfera:
24 RS 
A Memória Especial M+
Em diversas calculadoras, mesmo não científicas, é possível adicionar,
subtrair valores e recuperar a memória da tecla M+.
Para limpar valor da memória:
+ +1-) Digite
2-) Digite
Para adicionar um valor (2.3 por ex.) na memória:
+
Para subtrair o valor 0.3 da memória:
+ +
Para adicionar um valor 0.7 por ex.) na memória:
+
Para consultar o valor da memória:
+
Usando Valores na Memória
Uma das vantagens de uma boa calculadora é permitir armazenar valores
de cálculos parciais em memórias.
Para limpar valor da memória:
+1-) Digite
2-) Digite e
Para inserir um valor (2.3 por ex.) na memória:
ou ou ....
+ +
Lembre que é memória do último cálculo.
Para acessar o valor na memória:
eou ....+