Lista de Exercícios 4 - Derivadas

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Quarta lista de exercícios 
 
1. Para cada função f dada, calcule a derivada indicada: 
a) ; 2536)( 45 −−+−= xxxxf 25
25
dx
yd . 
 b) ; . c) xxf sen )( = )()37( xf
x
xf 1)( = ; n
n
dx
yd . 
 
2. Determine a derivada de ordem n de y = ln x. 
 
3. Derive: 
a) y = arctg (arcsen x). b) y = ln(sec x + tg x). c) . xxy =
 d) y = arcsen ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 21 x . e) y = arcsen (e2x – 1). 
4. Determine para quais valores de x cada função a seguir está definida: 
a) y = arcsen(2x + 1) b) y = arccos(ex − 5) c) y = arctg(3x + 2) 
 
5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir. 
a) y = 3x4 – 16x3 + 18x2. b) y = x3 – 3x2 + 1. 
 
6. Determine os pontos críticos de cada função a seguir: 
a) y = x3 + x2 – x. b) 
1
1)( 2 ++
+=
xx
xxf . 
c) 3
2
xy = . d) 5
2
xy = . 
 
Respostas: 1) a) .025
25
=
dx
yd b) c) .cos)()37( xxf = ( ) .!1 1+−= n
n
n
n
x
n
dx
yd 
 2) ( ) ( ) .!11ln 1n
n
n
n
x
n
dx
xd −−=
−
 3) a) .
1
1
arcsen1
1
22 xxdx
dy
−+
= b) .sec x
dx
dy = 
 c) ( .ln1 xx
dx
dy x += ) d) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
−
>
−
−
=
−
−=
.0
1
1
0
1
1
1||
2
2
2
xse
x
xse
x
xx
x
dx
dy 
 e) ( ) .1e-1
e2
22x
2
−
=
x
dx
dy 4) a) .01 ≤≤− x b) .6ln4ln ≤≤ x c) .∞<<∞− x 
5) a) cresce para e 10 << x ∞<< x3 ; decresce para 0<<∞− x e .31 << x
 b) cresce para e 0<<∞− x ∞<< x2 ; decresce para .20 << x 
6) a) e 1−=x
3
1=x . b) 2−=x e 0=x . 
 c) ; aí a derivada não existe. d) 0=x 0=x ; aí a derivada não existe. 
 
 2
7. Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no 
 intervalo indicado: 
 a) , [0, 3]. b) 133 +−= xxy ( )32 1−= xy , [–1, 2]. 
 c) 24)( tttg −= , [–1, 2]. d) xxy sen2−= , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2
,
2
ππ . 
 e) 
2
xx eey
−−= , . f) , na reta. 
 
),( ∞−∞ 133 +−= xxy
8. O produto de dois números positivos é 200; determine esses números sabendo que a 
 soma deles tem o menor valor possível. 
 
9. Determine dois números cuja soma seja 45 e cujo produto seja o maior possível. 
 
10. Encontre o ponto da reta de equação y = 3x + 4 mais próximo do ponto (1, −2). Qual 
é a distância entre esses dois pontos? 
 
11. Uma área retangular de 1080 m 2 será cercada e dividida, também por meio de 
cercas, conforme a figura seguinte. 
 
 Cada metro da cerca externa custa R$ 9,00 e cada metro da cerca usada nas 
 divisões internas custa R$ 6,00. Ache as dimensões da região retangular que 
 minimizarão o custo total. 
 
12. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser inscrito 
na elipse de equação 1
49
22
=+ yx . Qual é a área desse retângulo? 
 
Respostas: 
 7) a) máximo: y = 19 em x = 3; mínimo: y = -1 em x = 1. 
 b) máximo: y = 27 em x = 2; mínimo: y = -1 em x = 0. 
 c) máximo: g = 2 em 2=t ; mínimo: 3− em t = -1. 
 d) máximo: y = 3
3 π− em x = 3
π− ; mínimo: y = 33 −
π
 em x = 3
π
. 
 e) não tem máximo nem mínimo em ∞<<∞− x . 
 f) não tem máximo nem mínimo em ∞<<∞− x . 
8) 210 e 210 . 9) 2
45 e 
2
45 . 10) ( )1,1;7,1 −− e a distância é igual a 1,8 . 
11) 36 m e 30 m. 12) 23 e 22 , com área igual a 12. 
 
 
 
 3
13. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que tem um lado sobre 
o eixo das abscissas e os outros dois vértices na parábola de equação y = 8 − x2, 
com y > 0. 
14. Uma loja retangular tem 315m2 de área. A frente dessa loja é de vidro e as demais 
paredes são de tijolo, tendo as quatro paredes a mesma altura. O metro quadrado da 
parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. 
Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas 
quatro paredes? 
15. Um arame de comprimento 20cm deve ser cortado em dois pedaços, um para formar 
um quadrado e outro para formar um triângulo eqüilátero. Como se deve cortar o 
arame para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja: 
a) máxima? b) mínima? 
16. Um pessoa em um ponto A da praia de um lago circular (ver figura abaixo) com 
raio igual a 2km, quer chegar ao ponto C, diametralmente oposto, remando de A até 
B e andando de B até C. Suponha que a velocidade dessa pessoa andando seja de 
4km/h e remando seja de 2km/h. Determine o valor do ângulo α de modo que o 
tempo gasto nesse percurso seja o menor possível. 
 
 
 
17. Determine o raio e a altura do cilindro de maior volume possível que pode ser 
inscrito em uma esfera de raio r. 
18. Uma escada, apoiada no chão, deve passar sobre uma cerca de 36dm de altura até 
uma parede situada 6dm depois dessa cerca. Qual é o comprimento da menor escada 
que pode ser usada? 
 
Respostas: 13) 
3
62 e 
3
16 . 14) 210 m e 
210
315 m. 15) a ) usar todo o arame 
 para o quadrado. b ) usar 
349
380
+ cm para o quadrado e 349
180
+ cm para o 
 triângulo. 16) 
2
π=α , ou seja deve caminhar em volta do lago de A até C. 
17) raio: 
2
r , altura: 2r . 18) 
2
3
3
2
3
2
366 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + dm. 
 4
19. Um cartaz deve ter uma área de 600cm2 para a mensagem a ser impressa; as 
margens superior e inferior devem ter cada uma 7,5cm e as margens laterais devem 
ter 5cm cada. Determine as dimensões do cartaz para que sua área seja mínima. 
 
20. Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro fixo, mostre que o de maior área é 
o eqüilátero. 
 
 
21. Uma pessoa está no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B, na 
margem oposta, fazendo o percurso indicado na figura abaixo. Sabendo que ela 
pode se deslocar na margem a uma velocidade de 10m/s e na água a uma velocidade 
de 5m/s, determine o ângulo α de modo a que ela vá de A até B no menor tempo 
possível. Sabe-se que a distância entre A e B’ é 500m e a largura do rio é de 300m. 
 
 
22. Determine o comprimento da maior barra de ferro que pode ser transportada 
horizontalmente através dos corredores representados na figura abaixo, cujas 
larguras têm medida a e b. 
 
 
 
Respostas: 19) largura: 30 cm e altura: 45 cm. 21) .
3
π=α 
22) 
2
3
3
2
3
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + ba .