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1 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos 5. DISTRIBUIÇOES CONTÍNUAS • Distribuição Uniforme Contínua É a distribuição contínua mais simples que existe. Pressupõe que as probabilidades estejam distribuídas de maneira uniforme pelo intervalo de variação de X (de α a β). Fórmula da Uniforme: f(x) = 1/(β-α), α<x<β. Parâmetros: α e β. Notação: X ~ Unif(α,β). Cálculo de Probabilidades Utilizando a Uniforme: P(a≤X≤b) = (b-a)/(ββββ-αααα) Valor Esperado e Variância da Uniforme: E(X) = (αααα+ββββ)/2 V(X) = (ββββ-αααα)2/12 Exemplo 5.1 - As notas de uma turma apresentam média 5 e variância 3. A nota mínima para aprovação é 7. Supondo distribuição uniforme, calcule a probabilidade de um aluno ser aprovado. R: 1/6. 2 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos • Distribuição Exponencial Distribuição definida para valores de X estritamente positivos, usual para representar tempo (duração, espera, etc.). Fórmula da Exponencial: .0 ;0x ,e)x(f x >λ>λ= λ− Parâmetro: λ. Notação: X ~ Expo(λ). Valor Esperado e Variância: E(X) = 1/λλλλ V(X) = 1/λλλλ2 Demonstração do Valor Esperado: Esta integral deve ser resolvida por partes, fazendo u = x e dv = e-λxdx. Temos então que: du = dx e v = -e-λx/λ. Assim: .dxxedxex)X(E 0 x 0 x ∫∫ ∞ λ− ∞ λ− λ=λ= ( ) ( ) .1exe dxexe dxeex)X(E 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x λ = λ −+−= +−= λ −− λ −λ= ∞λ− ∞λ− ∞ λ−∞λ− ∞ λ−∞λ− ∫ ∫ Demonstração da Variância: V(X) = E(X2) – E2(X). E(X2) é calculado da seguinte forma: Esta integral também deve ser resolvida por partes, mas agora fazendo u = x2 e dv = e-λxdx. .dxexdxex)X(E 0 x2 0 x22 ∫∫ ∞ λ− ∞ λ− λ=λ= Função Distribuição Acumulada da Exponencial: F(x) = P(X≤≤≤≤x) = 0, x≤≤≤≤0 = 1-e-λλλλx, x>0. 3 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Demonstração da F.D.A.: Para x≤≤≤≤0, F(x) = P(X≤x) = 0. Para x>0: .e1e1dxe dxe )xP(X)x(F x xx 0 x x 0 x λ− λ− λ− λ− −= λ −λ=λ =λ=≤= ∫ ∫ Exemplo 5.2 - O tempo de espera em uma fila segue distribuição exponencial. Se um cliente espera, em média, 10 minutos para ser atendido, qual a probabilidade: a) De que demore menos do que 12 minutos para ele ser atendido? R: 1-e-1,2. b) De que demore menos do que 7 minutos para ele ser atendido? R: 1-e-0,7. c) E entre 7 e 12 minutos? R: e-0,7-e-1,2. d) De que ele espere mais do que 10 minutos (isto é, mais do que a média E(X))? R: e-1. • Falta de Memória É uma importantíssima propriedade da distribuição exponencial. Ela diz que: P(X>x+s|X>x) = P(X>s). Interpretação: se uma lâmpada já durou x horas, a probabilidade dela durar mais s horas a partir dali é a mesma que ela teria de durar s horas a partir da sua fabricação. Em outras palavras, não há desgaste. Isto é considerado uma crítica ao uso da exponencial para este tipo de aplicação. Demonstração: P(X>x+s|X>x) = P[(X>x+s)∩(X>x)]/P(X>x) = P(X>x+s)/P(X>x) = e-λ(x+s)/e-λx = e-λs = P(X>s), C.Q.D. • Distribuição de Weibull Utilizada como alternativa à exponencial, a função de densidade correspondente é: Notação: X ~ Weibull(α,β). Caso particular: β = 1 ⇒ X ~ Expo(α). .0, ;0x ;ex)x(f x1 >βα>αβ= βα−−β 4 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos • Relação entre a Exponencial e a Poisson Se o número X de ocorrências de um evento por unidade de tempo segue distribuição de Poisson com parâmetro λ: X ~ Poisson (λ), então o intervalo de tempo T (medido na mesma unidade de tempo) entre duas ocorrências sucessivas segue distribuição exponencial com parâmetro λ, ou seja: T ~ Expo(λ). Exemplo 5.3 - O número de navios que chega a um porto cujo estaleiro comporta 4 navios segue distribuição de Poisson. A cada 24 horas, aportam, em média, 12 navios. Com base nestes dados, calcule: a) A probabilidade de que, no intervalo de uma hora, nenhum navio venha a aportar. b) A probabilidade de que o tempo decorrido entre dois navios seja superior a uma hora. R: a) e-0,5 b) e-0,5. Parâmetros: µ (=E(X)) e σ2 (=V(X)). Notação: X ~ N(µ,σ2). .0,;x;e 2 1)x(f 22 )x( 2 2 >σℜ∈µℜ∈ piσ = σ µ− − • Distribuição Normal Distribuição Normal para diferentes valores de µ: Distribuição Normal para diferentes valores de σ: • Cálculo de Probabilidades Normais Exemplo 5.4 - Considere que as alturas dos alunos desta turma sigam distribuição Normal, com média igual a 170 cm e desvio padrão igual a 5 cm. Seja o experimento que consiste na seleção de um aluno qualquer e na medição de sua altura. A v.a. que representa o resultado deste experimento é X ~ N(170,25). Qual a probabilidade de que a altura do aluno esteja entre 170 e 172,3 cm? 5 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Em princípio, você calcularia: Problema: A integral de não possui solução analítica! ∫ − − pi =≤≤ 3,172 170 50 )170x( dxe 25 1)3,172X170(P 2 2 2 2 )x( e 2 1)x(f σ µ− − piσ = altura de um aluno selecionado ao acaso Para calcular a probabilidade solicitada, usaremos a tabela Normal. A tabela Normal fornece probabilidades associadas a uma v.a. padronizada, ou seja: que possui média 0 e variância 1 (isto foi demonstrado no capítulo 3). , XZ σ µ− = P(0 < Z < 0,46) é encontrada na tabela. ).46,0Z0(P 5 1703,172Z 5 170170P 3,172X170P )3,172X170(P <<= = − << − = σ µ− < σ µ− < σ µ− =<< Usando a Tabela Normal: Resposta final do item a): A probabilidade de que a altura de um aluno selecionado ao acaso esteja entre 170 e 172,3 cm é 0,1772. b) Qual a probabilidade de que a altura do aluno esteja entre 170 e 175 cm? Neste caso: ).1Z0(P 5 170175Z 5 170170P 175X170P )175X170(P <<= = − << − = σ µ− < σ µ− < σ µ− =<< 6 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos k Ilustrando na Tabela Normal: Resposta final do item b): 0,3413. c) Qual a probabilidade de que a altura do aluno esteja entre 165 e 170 cm? Solução: Pela simetria da Normal, temos: P(-1 < Z < 0) = P(0 < Z < 1) = 0,3413. Ilustração da Simetria da Normal: P(-1 < Z < 0) P(0 < Z < 1) P(-1 < Z < 1) d) Qual a probabilidade de que a altura do aluno esteja entre 165 e 175 cm? Esta é a probabilidade de X estar a no máximo 1 desvio padrão de distância da sua média. Solução: do slide anterior, P(-1 < Z < 1) = 0,6826. 99,72% Algumas Probabilidades Normais Importantes: e) Qual a probabilidade de que a altura do aluno esteja entre 170 e 180 cm? Solução: P(170 < X < 180) = P(0 < Z < 2) = 0,4772. f) E entre 160 e 180 cm? Solução: P(160 < X < 180) = P(-2 < Z < 2) = 2*0,4772 = 0,9544. 7 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos g) Qual a probabilidade de que a altura do aluno sejamaior do que 170 cm? Solução: P(X > 170) = P(Z > 0). A área total sob a curva é igual a 1. Logo, a resposta é 0,5. h) E maior do que 175 cm? Solução: P(X > 175) = P(Z > 1) = 0,5 - P(0 < Z < 1) = 0,5 - 0,3413 = 0,1587. P(Z > 0) i) E menor do que 175 cm? Solução: P(X < 175) = P(Z < 1) = 0,5 + P(0 < Z < 1) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413. j) E menor do que 165 cm? Solução: P(X < 165) = P(Z < -1) = P(Z > 1) = 0,1587. P(Z < 0) Exemplo 5.5 - O VPL de um projeto, em R$ 1.000,00, segue distribuição N(80,16). Calcule a probabilidade do VPL ser: a) maior que 80 e menor que 83 mil. b) maior que 79 e menor que 82 mil. Solução: a) ).75,0Z0(P 4 8083Z 4 8080P 83X80P )83X80(P <<= = − << − = σ µ− < σ µ− < σ µ− =<< VPL do projeto Ilustrando na Tabela Normal: Resposta do item a) → 0,2734. b) ( ) ).5,0Z0(P)25,0Z0(P )5,0Z0(P)0Z25,0(P 5,0Z25,0P 4 8082X 4 8079P )82X79(P <<+<< =<<+<<− =<<− = − < σ µ− < − =<< Por causa da simetria! 8 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Ilustrando na Tabela Normal: Resposta do item b): 0,0987+0,1915 = 0,2902. Exemplo 5.6 - A rentabilidade de uma estratégia financeira no mercado futuro, referente a certo período, possui distribuição Normal, com média 5% e desvio padrão 3%. a) Qual a probabilidade da rentabilidade ser negativa, no período considerado? Solução: Seja X1 = rentabilidade da estratégia. ( ) .0475,0 67,1ZP 3 50ZP 0XP )0X(P 1 1 =−< = − < = σ µ− < σ µ− =< b) Compare a estratégia do item a) com outra cuja média é 6% e cujo desvio padrão é 4%. Considere como critério de comparação a probabilidade de perda (rentabilidade negativa). Considerando este critério, por qual das estratégias você optaria? Solução: Seja X2 = rentabilidade da nova estratégia. ( ) .0668,0 5,1ZP 4 60ZP 0XP )0X(P 2 2 =−< = − < = σ µ− < σ µ− =< Considerando a probabilidade de perda, a primeira estratégia é mais vantajosa. Exemplo 5.7 - As notas dos alunos de um vestibular distribuem-se normalmente, com média 8 e desvio padrão 1. Se a relação candidato/vaga é de 40 para 1, calcule a nota mínima para que o aluno seja aprovado. Obs - será necessário achar * tal que: P(X > *) = 0,025. Buscaremos na tabela o valor k tal que: P(Z > k) = 0,025, denotado por z0,025. 9 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos k Temos que achar na tabela o valor de k correspondente à probabilidade 0,475: Assim: z0,025 = 1,96. Resposta do Exemplo 5.7: 9,96. k Outro valor importante na tabela Normal: z0,05 = valor de k tal que P(Z>k) = 0,05. ? Interpolando: z0,05 = 1,645. k Outro valor importante na tabela Normal: z0,005 = valor de k tal que P(Z>k) = 0,005. ? Interpolando: z0,005 = 2,575. • Função Linear de uma Normal Se X segue distribuição Normal, então Y = aX+b também é Normal, com as seguintes médias e variâncias (capítulo 3): E(Y) = aE(X) + b e V(Y) = a2V(X). • Distribuição Lognormal Seja uma v.a. Normal X ~ N(µ,σ2) e seja Y = eX. A distribuição de Y é chamada lognormal, com parâmetros µ e σ2. Fórmula: A distribuição lognormal apresenta assimetria positiva. Valor Esperado: .0 , 0,y ;e 2y 1)y(f 2 2 )y(ln2 1 >σℜ∈µ> piσ = µ− σ − 2 2 e)Y(E σ +µ = 10 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Aplicação da lognormal em economia e finanças: Pressuposto usual para a distribuição dos preços de ativos no mercado financeiro. Cálculo de probabilidades lognormais: É conduzido usando que, se Y segue distribuição lognormal com parâmetros µ e σ2, então X = lnY segue distribuição Normal com os mesmos parâmetros. Exemplo 5.8 - As alturas em uma população (em cm) seguem distribuição lognormal com parâmetros µ = 5,11 e σ2 = 1. Qual a porcentagem de indivíduos desta população com altura inferior a 164 cm? ( ) .496,001,0ZP 1 11,5164ln 1 11,5XP =−<= − < − Solução: P(Y<164) = P(lnY<ln164) = = X ~ N(5,11;1). ≅ 5,1. Falaremos a seguir de algumas distribuições que, assim como a Normal, serão muito importantes na segunda parte do curso. • Distribuição Qui-Quadrado Fórmula: Parâmetro: υ (graus de liberdade) Notação: 0. ;0x ;ex 2 1)x(f 2 x1 2 2 >υ> pi = −− υ υ .~X 2 υ χ A distribuição qui-quadrado apresenta assimetria positiva e é tabelada. Valor Esperado e Variância: E(X) = υυυυ V(X) = 2υυυυ Relação entre a Qui-Quadrado e a Normal: Observação importante: a variável Z precisa estar padronizada, caso contrário o resultado acima não é mais válido. 2 1 2 ~ZY :N(0,1)~ ZSe χ= 11 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos • Distribuição t de Student Uma v.a. com distribuição t com υ graus de liberdade é obtida da seguinte forma: υ = Q ZT Z~N(0,1). (qui-quadrado com υ g.l.), independente de Z. 2 ~Q υχ Notação: T ~ tυ. Esta distribuição é tabelada. Distribuição t de Student x Normal: A distribuição t aproxima-se da Normal à medida que os graus de liberdade aumentam. • Distribuição F Uma v.a. com distribuição F com υ1 graus de liberdade no numerador e υ2 no denominador é obtida da seguinte forma: .tesindependen Q e Q sendo ,~ Q e ~ Q com ,Q Q F 21 2 2 2 1 2 2 1 1 21 υυ χχ υ υ = Notação: F ~ Fυ1, υ2. Esta distribuição é tabelada. • Distribuição Gama Fórmula (não cairá na prova): Notação: X ~ Gama(α,β). .Z se ,)!1(dxex)( :dosen ,0, ;0x ;ex)()x(f 0 x1 x1 ∈α−α==αΓ >βα> αΓ β = ∫ ∞ −−α β−−α α A distribuição gama possui dois casos particulares importantes: - A distribuição exponencial (α = 1 e β = λ); - A distribuição qui-quadrado com υ graus de liberdade (α = υ/2 e β = 1/2). Aplicação da Gama em economia e finanças: modelos de severidade em risco operacional. • Distribuição Beta Fórmula (não cairá na prova): Notação: X ~ Beta(α,β). .0, ;1x0 ;)x1(x)()( )()x(f 11 >βα<< −βΓαΓ β+αΓ = −β−α
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