Bordalo - Mecânica - Cap02

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Introdução às funções e à trigonometria 
 
Antes de dar prosseguimento ao estudo do movimento, a cinemática, precisamos rever alguns 
conceitos muito importantes da matemática. Mais especificamente, vamos relembrar o que é uma função, 
como representá-la no plano cartesiano, como trabalhar com ângulos, suas relações trigonométricas, os 
ângulos notáveis e o círculo trigonométrico. 
 
1. Funções e sua representação no gráfico cartesiano 
O que é função? 
Uma função matemática (ou computacional) é um processo que gera um resultado a partir de uma ou 
mais entradas (argumentos da função). Pode-se encará-la como uma transformação: é um processo que 
“pega” o argumento inserido, segue uma regra de transformação, e fornece um resultado. 
 
 
Chama-se f(x) a resposta à entrada x, isto é, a entrada x transformada pela função f. 
 
Exemplo 2.1.1: Considere a função ( ) 3 2f x x= + . Essa função “pega” uma entrada genérica x, 
multiplica-a por 3 e, por fim, soma 2 ao resultado. Podemos então calcular alguns pares entrada-saída 
dessa função: 
( )
( )
( )
( 2) 3 2 4
( 1) 3 2 1
( 0,5) 3 0,5 2 0,5
(0) 3 0 2 2
(0,5) 3 0,5 2 3,5
(1) 3 1 2 5
(2) 3 2 2 8
f
f
f
f
f
f
f
− = × −2 + = −
− = × −1 + = −
− = × − + =
= × + =
= × + =
= × + =
= × + =
 
 
Podemos ainda descobrir, por exemplo, qual entrada gerou um determinado resultado. Por exemplo, 
quanto vale a se f(a) é igual a 32? 
( ) 32
3 2 32
3 30
10
f a
a
a
a
=
+ =
=
=
 
 
Observação importante: Em uma função, cada entrada gera uma e somente uma resposta da função. 
Por exemplo, não é possível existir uma determinada função na qual temos ( ) 3f a = e ( ) 5f a = . Já o 
contrário é possível, isto é, podemos ter um caso em duas entradas diferentes geram uma mesma saída. 
Podemos citar como exemplo 2( )f x x= . Se tivermos ( ) 25f a = , ou seja, 2 25a = , conclui-se que 5a = 
ou 5a = − . E, para completar, há ainda funções nas quais é impossível gerar-se uma determinada saída, 
função f
x
( )f x
ou seja, nenhuma entrada gera aquela saída. Ainda no mesmo exemplo, em que 2( )f x x= , se tentarmos 
calcular a tal que ( ) 25f a = − , concluiremos que a não existe no conjunto dos números reais. 
As funções para as quais, dada qualquer saída, não existe mais de uma entrada capaz de gerá-la são 
chamadas injetoras. Ou seja, para cada saída, há no máximo uma entrada que a gera, sendo possível 
também não haver nenhuma entrada que a gera. 
As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe no mínimo uma entrada que a gera são 
chamadas sobrejetoras. Ou seja, é impossível haver uma saída tal que nenhuma entrada a gere. 
As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe uma e somente uma entrada que a gera 
são chamadas bijetoras. Tais funções são necessariamente sobrejetoras e injetoras ao mesmo tempo. 
Em linguagem matemática, podemos dizer que as funções injetoras são aquelas em que 
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x= ⇒ = 
Analogamente, as funções sobrejetoras (definidas no conjunto dos números reais) são aquelas em que 
 tal que ( )m x f x m∈ ⇒ ∃ =� 
Traduzindo, se m pertence ao conjunto dos números reias, então existe x tal que x gera a saída m. 
 
Representação cartesiana de uma função real 
Como já vimos, um gráfico cartesiano corresponde a um conjunto de eixos orientados. Podemos 
utilizá-lo para representar funções reais. 
Nos casos mais simples, aos quais vamos nos ater, em que trataremos de funções de uma variável e 
respostas únicas, usamos apenas dois eixos cartesianos e, portanto, a representação dessas funções ocorre 
em um plano. 
 
 
Antes de mais nada, vamos definir o que é um par ordenado, e como representá-lo no plano. Um par 
ordenado são dois números reais, dispostos em uma determinada ordem. Dizemos que (a, b) é um par 
ordenado, em que ,a b∈� . 
Um par ordenado, em um gráfico cartesiano, corresponde a um ponto no plano. Por padrão, esse 
ponto é fixado de forma que sua projeção no eixo x (eixo das entradas) seja em a, e no eixo y (eixo das 
saídas), em b. Veja abaixo: 
 
Repare que a e b são pontos dos eixos x e y, respectivamente, contados a partir da origem. 
Convencionalmente, o eixo x é orientado para a direita, isto é, os valores tomados à direita da origem são 
positivos; e à esquerda, negativos. Também por convenção, o eixo y é orientado para cima, ou seja, os 
pontos localizados acima da origem são positivos; e abaixo, negativos. 
Dizemos que a e b são as coordenadas do ponto (a, b). 
 
x
y
0
x
y
0 a
b
( , )a b
Quando representamos uma função no plano cartesiano, marcamos os pontos da forma (x, f(x)), ou 
seja, os pontos tais cuja coordenada em y é a resposta da função f à coordenada em x como entrada. 
Isto significa que se, por exemplo, o ponto (a, b), representado acima, pertence à função f, podemos 
dizer que f(a) = b. 
Exemplo 2.1.2: Vamos ver um exemplo de uma função f representada abaixo. 
 
 
A curva desenhada é a união de todos os pontos no gráfico que fazem parte da representação da 
função f. Pelo que definimos, podemos ver no gráfico o ponto (4, 1,5), isto é, um ponto cuja projeção no 
eixo x é 4, e no eixo y, 1,5. Isso quer dizer que a resposta da função f à entrada 4 é igual a 1,5. Em termos 
matemáticos, (4) 1,5f = . 
Podemos, a respeito da função f representada, propor algumas perguntas. 
P: Qual é a resposta da função f à entrada 2− ? 
R: Pelo gráfico, vemos o ponto ( 2− , 1), isto é, a resposta à entrada 2− é 1. ( 2) 1f − = 
 
P: Qual(ais) é (são) a(s) entrada(s) que geram a resposta 1? 
R: Identicamente, 2− , 3,5− e algum número entre 4 e 5 geram resposta 1. ( 2) 1f − = , ( 3,5) 1f − = e 
( ) 1, em que, 4<x<5f x = 
 
P: Quanto vale (0)f ? 
R: O único ponto do gráfico cuja projeção em x ocorre em 0 é (0, 3), portanto podemos concluir que 
(0) 3f = . 
 
P: Determine x tal que ( ) 0f x = 
R: Os pontos cuja projeção em y ocorrem em 0 são ( 6− , 0) e (5, 0). Logo, 5x = ou 6x = − 
 
 
Exemplo 2.1.3: Vamos agora construir passo a passo o gráfico cartesiano de uma função. Seja 
( ) 2 1f x x= − . Para termos uma noção de como será esse gráfico, vamos escolher alguns pontos próximos 
da origem, calcular suas coordenadas e representá-los no gráfico. De forma mais sistemática, 
construiremos a seguinte tabela: 
x f(x) 
–2 ( )( 2) 2 2 1 5f − = × − − = − 
–1 ( )( 1) 2 1 1 3f − = × − − = − 
0 ( )(0) 2 0 1 1f = × − = − 
1 ( )(1) 2 1 1 1f = × − = 
2 ( )(2) 2 2 1 3f = × − = 
3 ( )(3) 2 3 1 5f = × − = 
x
y
0
6−
3,5− 2−
1
3
1,5
4
5
 
Parece que nessa função os pontos alinharam-se de forma colinear. Não devemos nos esquecer que 
pegamos apenas uma amostra de alguns pontos. Mesmo entre um ponto e outro, existem infinitos pontos. 
Por exemplo, entre (1, 1) e (2, 3), existe (1,5, 2), (1,2, 1,4) etc. De forma a unir esses infinitos pontos, 
dizemos que a representação gráfica dessa função é uma reta. 
 
 
Observação importante: Verifica-se que toda função da forma ( )f x ax b= + , isto é, que “pega” a 
entrada, multiplica-a por um número qualquer e, ao resultado, soma um outro número, é representada 
graficamente por uma reta. São as chamadas funções afins, ou de primeiro grau. A denominação 
“primeiro grau” refere-se ao que chamamos de ordem da função. Isso quer dizer que o maior expoente 
de x que “aparece” na função é 1. Em uma função do segundo grau, ou de ordem 2, temos algo da forma 
2( )f x ax bx c= + + , pois o maior expoente de x é 2. Essa função é também chamada de função 
quadrática, e é representada por uma curva chamada parábola. Analogamente, em uma equação de 
terceiro grau, ou ordem 3, temos 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Essa função é representadapor uma 
hipérbole. E assim ocorre sucessivamente. 
 
x
y
2− 1−
1 2 3
5−
3−
1−
1
3
5
0
x
y
2− 1−
1 2 3
5−
3−
1−
1
3
5
0
2. Trigonometria 
Dado um triângulo qualquer, sabe-se que a soma de seus ângulos internos é 180º. 
 
 
 
 
 
 
Denomina-se triângulo retângulo aquele que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma de α e β é 90º e, por isso, são chamados complementares. Cada triângulo retângulo é 
formado por um ângulo de 90º e um par de ângulos complementares. 
Denominamos cateto adjacente a um ângulo como o lado do triângulo localizado entre o vértice 
correspondente e o ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. O terceiro lado é o 
chamado cateto oposto. 
O cateto a é adjacente a α e oposto a β. 
O cateto b é adjacente a β e oposto a α. 
 
Relação de Pitágoras 
Apesar de ser comprovado que os egípcios já trabalhavam com as relações entre os lados do triângulo 
retângulo muitos séculos antes dos gregos, a fórmula mais notável é conhecida como a relação de 
Pitágoras. Aliás, sabemos que sem vários conceitos de cálculo avançado, os quais a ciência ocidental só 
desenvolveu nos últimos séculos, os egípcios não teriam capacidade de construir as pirâmides. 
Sendo h a hipotenusa do triângulo retângulo, a e b os seus catetos, temos que: 
2 2 2h a b= + 
Costuma-se dizer também que “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
 
Triângulos semelhantes 
Dois triângulos são semelhantes se e somente se têm os mesmos ângulos. Isso equivale também dizer 
que eles têm lados proporcionais. Por exemplo, vamos considerar dois triângulos semelhantes, com fator 
de semelhança igual a k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que: 
' ' 'a b c
k
a b c
= = = 
 
Pode-se provar que a razão entre as áreas dos triângulos é k
2
. 
 
α 
β 
γ 
α + β + γ = 180º 
ângulo de 90º 
α 
β 
α + β + 90º = 180º 
 
α + β = 90º h (Hipotenusa) 
Cateto a 
Cateto b 
α 
β 
γ 
a 
b 
c 
α 
β 
γ 
a’ 
b’ 
c’ 
 
Relações trigonométricas 
Em um triângulo retângulo, podemos definir as seguintes relações trigonométricas para um ângulo 
qualquer θ: 
cateto oposto a 
sen
hipotenusa
cateto adjacente a 
cos
hipotenusa
cateto oposto a 
tg
cateto adjacente a 
θ
θ =
θ
θ =
θ
θ =
θ
 
Essas funções são chamadas seno, co-seno e tangente, respectivamente. A tangente de θ pode ser 
reescrita como a razão entre seno e co-seno: 
cateto oposto a (cateto oposto a hipotenusa) sen
tg
cateto adjacente a (cateto adjacente a hipotenusa) cos
θ θ) ÷ ( θ
θ = = =
θ θ) ÷ ( θ
 
 
No exemplo inicial de triângulo retângulo, tínhamos: 
cos sen
sen cos
1
tg
tg
1
tg
tg
a
h
b
h
b
a
a
b
= α = β
= α = β
= α =
β
= β =
α
 
 
Dica: Para lembrar: 
• O seno de um ângulo é a razão entre o cateto separado e a hipotenusa. 
• O co-seno de um ângulo é a razão entre o cateto colado e a hipotenusa. 
• A tangente é a razão entre os dois anteriores. 
 
Repare que o seno de um ângulo é igual ao co-seno do ângulo complementar a ele. Além disso, a 
tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do ângulo complementar a ele. Exprimimos essas 
relações da seguinte forma: 
( )
( )
( )
( )( ) 1
sen cos 90º
cos sen 90
1
tg tg 90º
tg 90º
−
θ = −θ
θ = −θ
θ = = −θ
−θ
 
 
As funções seno, co-seno e tangente são associadas 
unicamente ao ângulo, independentemente do triângulo 
em que eles se encontram. 
 
Vamos tomar como exemplo dois triângulos 
retângulos semelhantes. Vamos colocá-los sobrepostos, 
como mostra a figura ao lado: 
 
Chamando de k o fator de semelhança, temos: 
'
'
'
a ka
b kb
c kc
=
=
=
 
 
Para o triângulo menor temos: 
α 
β 
a 
b 
c 
α 
β 
a’ b' 
c' 
sen
c
a
α = 
Para o triângulo maior temos: 
' .
sen
' .
c k c c
a k a a
α = = = 
 
Isso mostra que o seno é função exclusiva do ângulo. De forma análoga, pode-se mostrar o mesmo 
para as funções co-seno e tangente. 
 
Outra relação importante pode ser mostrada a partir da equação de Pitágoras. Vamos considerar o 
triângulo menor do exemplo acima: 
2 2 2b c a+ = 
Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por 21a
: 
( )2 2 22 2
1 1
b c a
a a
+ × = × 
No segundo termo, ocorre o cancelamento. No primeiro, faremos a distribuição: 
2 2
2 2
2 2
1
1
b c
a a
b c
a a
+ =
   + =   
   
 
E, portanto: 
2 2sen cos 1β+ β = 
Isso vale para qualquer ângulo. 
 
 
O triângulo 90º - 45º - 45º 
Consideremos um quadrado de lado L, e sua diagonal d. A diagonal “corta” o ângulo de 90º em dois 
pedaços iguais de 45º cada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos “recortar” a metade do quadrado. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por Pitágoras, podemos calcular d em função de L: 
2 2 2 22.
2
d L L L
d L
= + =
=
 
Agora podemos calcular para o ângulo de 45º: 
45º 
45º 
45º 
45º 
L 
L 
L 
L d 
45º 
45º 
L 
L d 
1 2
sen 45º cos 45º
22 2
sen 45º
tg 45º 1
cos45º
L
L
= = = =
= =
 
 
 
 
O triângulo 90º - 30º - 60º 
 
 
Consideremos um triângulo eqüilátero (lados iguais e ângulos de 
60º) de lado L, e a altura h, que “corta” o ângulo superior de 60º em 
dois pedaços iguais de 30º cada, e que divide o lado oposto (a base do 
triângulo) em dois segmentos iguais a 2L cada. 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos recortar a metade do triângulo. Teremos: 
Por Pitágoras, podemos calcular a altura h: 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 4
3
4 4
3
2
L L
L h L h
L L
h L
h L
 = + ∴ = + 
 
= − =
=
 
As relações trigonométricas para esse triângulo são as seguintes: 
sen 60º cos30º
h
L
= = =
3
32sen 60º cos30º
2
2 1
cos60º sen30º
2
sen 60º
tg 60º 3
cos60º 2
sen30º 1 1 3
tg30º
cos30º tg 60º 33
L
h
L L
L
L
h
L
= = = =
= = =
= = =
= = = =
 
 
O triângulo limite 90º - 90º - 0º 
Vamos considerar um triângulo retângulo, como a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procuraremos diminuir a abertura de α e, ao mesmo tempo, estaremos aumentando β. Isso se dará 
“fechando” o lado a, conforme indica a seta. Faremos isso, até que α fique bem próximo de 0º e, 
obviamente, β fique bem próximo de 90º. 
60º 60º 
30º 30º 
L L 
2L 2L 
h 
60º 
30º 
L 
2L 
h 
a b 
c 
α 
β 
Repare que no caso limite, isto é, quando α estiver infinitamente próximo de 0º e, 
portanto, β estiver infinitamente próximo de 90º, se mantivermos o lado b constante, o 
lado c tenderá a valer zero, ao passo que o lado a tenderá a valer o mesmo que b. 
Assim, temos: 
0
sen cos 0 sen 0º cos90º 0
cos sen 1 sen90º cos0º 1
c
a a
b b
a b
α = β = ≈ = ∴ = =
α = β = ≈ = ∴ = =
 
 
 
 
Relações trigonométricas dos ângulos notáveis 
Vamos ver agora uma forma simples de lembrar das funções trigonométricas dos ângulos notáveis 
entre 0º e 90º (ângulos agudos, ou ângulos do 1º quadrante), como um resumo do que vimos até agora. 
Construa a seguinte tabela: 
 
 0º 30º 45º 60º 90º 
sen 
cos 
tg 
Comece preenchendo-a, em todas as células das duas primeiras linhas, com o seguinte: 
2
. Deixe 
um espaço dentro da raiz, ele será completado depois. Deve ficar assim:0º 30º 45º 60º 90º 
sen 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
 
cos 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
 
tg 
 
Agora, na linha dos senos, preencha as lacunas, da esquerda para a direita, com 0, 1, 2, 3 e 4. Na 
linha dos co-senos, faça o mesmo, porém da direita para a esquerda. 
Teremos o seguinte: 
 
 0º 30º 45º 60º 90º 
sen 0
2
 1
2
 2
2
 3
2
 4
2
 
cos 4
2
 3
2
 2
2
 1
2
 0
2
 
tg 
 
Agora, simplifique as expressões e calcule a tangente de cada ângulo como a razão entre o seu seno e 
o seu co-seno. 
 0º 30º 45º 60º 90º 
sen 0 1
2
 2
2
 3
2
 
1 
cos 1 3
2
 2
2
 
1
2
 0 
tg 0 31
33
= 
1 3 ∃ tg90º 
 
Repare que para calcular a tangente de 90º, precisamos realizar uma divisão por zero. 
indeterminado, se x = 0
indefinido (não existe), se x 00
x 
= 
≠
 
 
a 
b 
c 
α 
β 
Portanto, a tangente de 90º não existe. Você pode perceber, no entanto, através do triângulo limite de 
90º - 90º - 0º, que conforme aumentamos o ângulo β e mais próximo ele fica de 90º, mais sua tangente 
cresce, tendendo ao infinito. 
 
 
O círculo trigonométrico 
Com os métodos dos quais dispomos 
até agora, não nos seria possível calcular o 
valor de qualquer uma das três relações 
trigonométricas principais para ângulos 
maiores que 90º. Para isso, precisamos criar 
um método mais genérico, capaz de 
englobar mais casos. 
Dessa forma, vamos construir um 
círculo de raio 1, com centro na origem de 
um par de eixos cartesianos, conforme a 
figura ao lado. Ao longo do círculo, 
distribuiremos os ângulos de 0º a 360º. 
Teremos, portanto, a seguinte localização 
dos ângulos: 
• Para 0º, x = 1 e y = 0 
• Para 90º, x = 0 e y = 1 
• Para 180º, x = –1 e y = 0 
• Para 270º, x = 0 e y = –1 
• Para 360º, x = 1 e y = 0 (o que 
coincide com 0º) 
 
Vamos começar usando o círculo trigonométrico para calcular o seno e o co-seno de ângulos do 
primeiro quadrante. Inicialmente, vamos construir uma abertura de ângulo α a partir do ponto definido 
como 0º. Construímos também um triângulo retângulo com essa abertura, onde o raio é a hipotenusa (= 
1). Repare que o ponto do círculo que representa α tem coordenadas x0 e y0 tais que: 
• x0 é equivalente à medida do cateto adjacente a α 
• y0 é equivalente à medida do cateto oposto a α. 
 
 
Isolando o triângulo retângulo da 
figura, podemos obter as seguintes 
relações: 
0
0
0
0
0
0
sen
1
cos
1
tg
y
y
x
x
y
x
α = =
α = =
α =
 
 
Ou seja, ao inserirmos um ângulo 
qualquer no círculo trigonométrico, 
“abrindo” a hipotenusa do triângulo 
retângulo a partir do ponto 0º, teremos 
o seno (projeção em y) e o co-seno 
(projeção em x) do mesmo. Por isso, 
chamamos o eixo y de eixo dos senos e o eixo x de eixo dos co-senos. Simplificando, para calcular o seno 
e o co-seno de um ângulo α, basta fazer as projeções, como a seguir: 
α 
1 
x0 
y0 
x 
y 
0 0º 360º≡ 
90º 
180º 
270º 
R = 1 
1º quadrante 
2º quadrante 
3º quadrante 4º quadrante 
x 
y 
0 0º 360º≡ 
90º 
180º 
270º 
α 
α 
1 
x0 
y0 
Repare que quando 
“fechamos” α até fazer com que 
valha 0º, seu co-seno aumenta até 
1 e seu seno diminui até zero. 
O processo inverso, 
“abrindo” α até que valha 90º, faz 
com que seu seno aumente até 
que valha 1 e seu co-seno 
diminua até que valha 0. 
Vamos agora continuar 
aumentando α de forma que ele 
seja maior que 90º. O seno volta a 
ser menor que 1 e, agora, a 
projeção sobre o eixo dos co-
senos fica à esquerda da origem. 
Como tomamos como 
pressuposto que a reta está 
orientada para a direita, os valores 
à direita de 0 são positivos e à sua 
esquerda são negativos. Por isso, 
quando α começa a ser maior que 
90º, o co-seno começa a ficar 
negativo. Quando mais α se afasta 
de 90º e, portanto, se aproxima de 
180º, mais o seno diminui, 
aproximando-se de 0, e mais 
negativo fica o co-seno, 
aproximando-se de -1. Veja como 
isso fica representado na figura ao 
lado. Podemos, portanto, dizer 
que sen180º 0= e cos180º 1= − . 
Analogamente, podemos 
fazer α > 180º. Para ângulos do 
terceiro quadrante, tanto os senos 
(abaixo da origem) quanto os co-
senos (à esquerda da origem) são 
negativos. Assim, sen 270º 1= − e 
cos270º 0= . 
No quarto quadrante, os 
senos continuam negativos e os 
co-senos voltam a ser positivos. 
 
Exercício 2.2.1: Determine o seno 
e o co-seno de 150º. 
Solução: Repare que “abrir” 150º a 
partir de 0º no sentido anti-horário 
(convencional) é o mesmo que “abrir” 
30º a partir de 180º no sentido horário. 
Veja: 
Esse exemplo mostra claramente a 
utilidade do uso do círculo 
trigonométrico. Como não é possível 
construir um triângulo retângulo com 
um ângulo de 150º, plotamos esse 
ângulo no gráfico e vemos qual é sua 
projeção sobre o 1º quadrante. Nesse 
caso, o eixo dos senos serve como um 
espelho. Os senos de 150º e 30º são 
iguais e seus co-senos são simétricos. 
Assim, temos: 
cos 
sen 
0 0º 360º≡ 
90º 
180º 
270º 
α 
α 
1 
cos α 
sen α 
cos 
sen 
0 0º 360º≡ 
90º 
180º 
270º 
α 
1 
cos α < 0 
sen α 
cos 
sen 
0 0º 360º≡ 
90º 
180º 
270º 
30º 30º 
30º 150º 
1sen150º sen30º
2
3cos150º cos30º
2
= =
= − = −
 
Podemos tomar a seguinte regra geral: 
( )
( )
sen 180º sen
cos 180º cos
−θ = θ
−θ = − θ
 
 
 
Exercício 2.2.2: Determine o seno e o co-seno de 300º. 
Solução: Repare que “abrir” 300º a partir de 0º no sentido anti-horário (convencional) é o mesmo 
que “abrir” 60º a partir de 360º no sentido horário. Veja: 
 
 
Agora, temos um ângulo do 4º 
quadrante, que novamente projetamos 
para 1º. O eixo dos co-senos serviu 
como espelho e, portanto, os ângulos 
60º e 300º têm o mesmo co-seno, e 
senos simétricos. 
Por isso, podemos escrever: 
1cos300º cos60º
2
3sen300º sen 60º
2
= =
= − = −
 
Podemos tomar a seguinte regra 
geral: 
cos(360º ) cos
sen(360º ) sen
−θ = θ
−θ = − θ
 
 
 
 
 
Exercício 2.2.3: Determine o seno e o co-seno de 225º. 
Este exercício será deixado para a prática do leitor. 
 
 
3. Conclusão 
Nesse capítulo, não prosseguimos com o estudo da física propriamente dito. Fomos obrigados a 
concretizar alguns conceitos matemáticos essenciais para a continuidade da teoria do movimento. No 
próximo capítulo, colocaremos em prática algumas das idéias expostas anteriormente, ao abordar a 
cinemática escalar através dos gráficos cartesianos. 
cos 
sen 
0 0º 360º≡ 
90º 
180º 
270º 
60º 
60º 
60º 
300º