Resumoo: equilibrio e elasticidade

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Equilíbrio e Elasticidade
Revisão de Força e Torque
Força
A força é uma grandeza vetorial definida matematicamente pelo produto entre a massa
de um corpo e a aceleração, como enunciado na Segunda Lei de Newton para 
Translações,ou seja, F⃗RES=m⋅⃗a . Em termos de momento linear, a força é a sua derivada 
temporal, de modo que F⃗RES=m⋅
d v⃗
dt
=d P⃗
dt
, com P⃗=m⋅⃗v .
Rotação e Torque
Temos que o torque é igual ao produto vetorial entre
o vetor posição de uma partícula em relação ao eixo de
rotação e a força aplicada na mesma, ou seja, τ⃗= r⃗×F⃗ .
Decorre da definição de produto vetorial que
τ⃗=‖r⃗‖⋅‖F⃗‖⋅senϕ , em que senϕ é o seno do ângulo
formado entre os dois vetores. 
Se considerarmos ‖r⃗‖=r e ‖F⃗‖=F , podemos
reescrever a equação para o torque de duas outras formas: 
τ=r p⋅F ou τ=r⋅Fp , 
em que rp é o braço de alavanca de F (distância
perpendicular do eixo de rotação até a linha de ação da força), sendo r p=r⋅senϕ , e Fp é a
componente perpendicular (à r⃗ ) da força, sendo Fp=F⋅senϕ .
Também podemos expressar o torque pela Segunda Lei de Newton para Rotações, de 
onde τ⃗RES=I⋅
dω⃗
dt
=d L⃗
dt
, com I=∑mi r i2 para um sistema finito de partículas e no caso 
mais geral, para corpos rígidos, I=∫ r2⋅dm .
Condições do Equilíbrio
Quando um corpo possui momento linear e angular constantes ( P⃗=cte e L⃗=cte ),
então dizemos que tais objetos encontram-se em equilíbrio. Se essa constante for zero, o
equilíbrio é dito estático.
Com efeito, sob essa hipótese, é válido, se o corpor está em equilíbrio de translação que
F⃗res=
d P⃗
dt
=0
e, analogamente, se ele está em equilíbrio de rotação, que
 Equilíbrio e Elasticidade 1
ϑ(t)
ω(t)
o
τ⃗res=
d L⃗
dt
=0
Dessa forma, há duas exigencias para que um corpo possa estar em equilíbrio:
• A soma vetorial de todas as forçãs externas que atuam no sistema deve ser nula;
• A soma vetorial de todos os torques externos, em relação a qualquer ponto possível, 
deve também ser nula.
Como as equações acima são vetoriais, podem ser reescritas como três equações lineares
cada (uma para cada eixo cartesiano). Por simplicidade, considerando apenas situações em
que o movimento é bidimensional no plano xy , havendo torque apenas em torno de eixos
paralelos ao eixo dos z , temos as seguintes relações (válidas para equilíbrios estáticos em
geral):
• Fres , x=0 (equilíbrio de forças);
• Fres , y=0 (equilíbrio de forças);
• τres, z=0 (equilíbrio de torques);
Centro de Gravidade
A força gravitacional que age sobre um corpo atua efetivamente em um único ponto,
denomidado centro de gravidade (cg) do copo. Na prática, o que ocorre é que a soma
vetorial da força proveniente da atração gravitacional e que atua sobre as n partículas de
massa m de um sistema seriam equivalentes à força gravitacional atuante em uma única
partícula de massa n vezes m. 
Se a aceleração da gravidade é a mesma para todos os elementos do corpo, o centro de
gravidade coincide com o centro de massa do mesmo.
Lembremos que a posição do centro de massa é dada por
r⃗ cm=
1
M∑ r⃗ i⋅mi → r⃗ cm=
1
M∫ r⃗ dm
em que r⃗ é o vetor de coordenadas (x cm ,ycm , zcm) .
Táticas para Solução de Problemas de Equilíbrio
• Faça um esboço do problema;
• Selecione o sistema ao qual serão aplicadas as leis do equilíbrio, desenhando uma 
curva fechada em torno dele para fixá-lo de modo claro em sua mente.
• Desenhe um diagrama de corpo livre do sistema;
• Desenhe os eixos x e y de um sistema de coordenadas com pelo menos um eixo 
paralelo a uma ou mais forças desconhecidas. Decomponha as forças que não estão 
alinhadas com um dos eixos;
• Escreva as duas equações de equilíbrio das forças;
 Equilíbrio e Elasticidade 2
• Escolha um ou mais eixos de rotação perpendiculares ao plano da figura e escreva a 
equação de equilíbrio de torques para cada eixo. Se você escolher um eixo que 
coincide com a linha de ação de alguma força desconhecida, a equação ficará mais 
simples;
• Resolva as equações algebricamente;
• Substitua os parâmetros de solução por valores numéricos;
• Examine a resposta: ela é razoável? O valor parece excessivamente grande/pequeno?
O sinal está correto? As unidade são adequadas?
Estruturas Indeterminadas
Até aqui, as ferramentas que possuímos nos permitem calcular problemas que possuam
até três incógnitas. Caso não seja suficiente utilizar-se das equações de equílíbrio para
torque e força, situação em que possuímos uma estrutura indeterminada, devemos obter
mais equações a partir das propriedades elásticas dos materiais que compõem o sistema.
Elasticidade
Todos os corpos ditos “rígidos” são na verdade ligeiramente eslásticos, ou seja, é
possível deformá-los ao exercer alguma força sobre os mesmos para esticar, torcer,
comprimir ou empurrar. Obviamente, alguns objetos feitos de metal ou madeira, por
exemplo, não apresentam esse aspecto de forma explícita – o que é o oposto de outros,
como mangueiras de borracha, que são conhecidos por serem bastante deformáveis.
Há essencialmente três possíveis formas pelas quais um sólido pode mudar sua forma,
representadas abaixo. Nos três casos, há uma tensão (força deformadora por unidade de
área) que causa uma deformação no objeto.
Nos três casos, as tensões e deformações assumem valores diferentes, mas para uma longa
faixa são proporcionais, sendo a constante de proporcionalidade chamada de módulo de
elasticidade. Com efeito, temos que 
Tensão=Módulo deElasticidade×Deformação
 Equilíbrio e Elasticidade 3
Figura 2: Tensão 
hidrostática
Figura 3: Tensão de Cisalhamento
Figura 1: Tensão 
Trativa
Para uma longa faixa de tensões, a deformação
cresce linearmente. Se ultrapassar um valor
máximo, dito limite elástico Sy , o objeto não
possui mais a capacidade de voltar ao estado
original. Se a tensão aumentar ainda mais após
esse ponto, alguma hora o objeto irá se romper.
Isso ocorre num valor extremo dito limite de
ruptura Su . 
Cálculo da Deformação
Na tabela abaixo há o tipo de tensão, o módulo de elasticidade usado e a deformação para 
cada situação:
Situação Tensão Módulo deElasticidade Usado Deformação
Tração/Compressão
Força aplicada na
direção perpendicular
(figura 1) sobre área A
Módulo de Young (E) ΔLL
Cisalhamento
Força de cisalha-
mento aplicada no
plano da área
Módulo de Cisalha-
mento (G)
Δ x
L
Tensão Hidrostática Pressão exercida pelofluido sobre o objeto
Módulo de elastici-
dade volumétrico (B)
ΔV
V
Podemos concluir que, para Tração/Compressão, Cisalhamento e Tensão Hidrostática 
temos, respectivamente, F
A
=E ΔL
L
; F
A
=G Δ x
L
; p=B ΔV
V
.
Conteúdo feito sem fins lucrativos. Livros usados para pesquisa: Fundamentos de Física, 
vol2 – Halliday & Resnick.
 Equilíbrio e Elasticidade 4
	Revisão de Força e Torque
	Força
	Rotação e Torque
	Condições do Equilíbrio
	Centro de Gravidade
	Táticas para Solução de Problemas de Equilíbrio
	Estruturas Indeterminadas
	Elasticidade
	Cálculo da Deformação