Inferência Estatística

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Sumário
1 Revisando Alguns Modelos Probabilísticos Discretos e Continuos 1
1.1 Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Distribuição Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Distribuição Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Distribuição de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 A Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.7 Distribuição normal padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.8 Padronização de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.9 Distribuições obtidas da Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Introdução à Inferência Estatística 32
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 População e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Amostra aleatória simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Estatísticas e Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Distribuições Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Distribuições Amostrais 41
3.1 Distribuição Amostral da Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Média e variância da distribuição amostral da média . . . . . . . . . . . . 42
i
3.1.2 Distribuição amostral da média para populações Normais com Variância
conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.3 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.4 Deterrminação do tamanho de uma amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Distribuição Amostral da Proporção - Amostras grandes . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Aproximação normal da distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 A distribuição amostral da proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Determinação do Tamanho de uma Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Outras Distribuições Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Distribuição amostral da Média para populações Normais com Variância
desconhecida - amostras pequenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Distribuição amostral da Média para populações Quaisquer com Variância
desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Distribuição Amostral da soma ou diferença de duas Médias com variância
conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4 Distribuição Amostral da Soma ou Diferença de duas Proporções . . . . . 56
3.3.5 Distribuição Amostral da soma ou diferença de duas Médias com variância
desconhecida - amostras pequenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.6 Distribuição Amostral da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.7 Distribuição da Razão entre duas Variâncias Amostrais . . . . . . . . . . . 61
4 Estimação de Parâmetros 63
4.1 Propriedade dos Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Erro Quadrático Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Métodos de Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 O Método de Máxima Verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2 O Método dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.3 Estimadores por Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Intervalos de Confiança 86
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Intervalo de confiança para a Média de Populações Normais com Variância
Conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1 Margem de Erro e Determinação do tamanho amostral . . . . . . . . . . . 89
5.3 Intervalo de confiança para a Média de Populações Normais com Variância
desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
ii
5.3.1 Margem de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.2 Amostras Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Intervalo de Confiança para uma Proporção - Amostras Grandes . . . . . . . . . 92
5.4.1 Margem de Erro e Determinação do tamanho amostral . . . . . . . . . . . 94
5.5 Intervalo de Confiança para a Diferença entre médias de duas Populações Normais 95
5.5.1 Variância Conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.2 Variância Desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.6 Intervalo de Confiança para a Diferença entre Duas Proporções . . . . . . . . . . 100
5.7 Intervalo de Confiança para a Variância de uma População com Distribuição
Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.8 Intervalo de Confiança para a Razão das Variâncias de duas Populações Normais 103
6 Testes de Hipóteses 106
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.1 Nocões Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.2 Componentes de um Teste de Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.3 Passos para a Construção de um Teste de Hipóteses . . . . . . . . . . . . 118
6.1.4 Exemplo 6: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
iii
Lista de Tabelas
iv
Lista de Figuras
1.1 Densidade uniforme no intervalo [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Exemplo gráfico da Densidade Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Exemplo gráfico da Densidade Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Exemplo gráfico da Densidade Qui-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Exemplo gráfico da Densidade t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Exemplo gráfico da Densidade F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Gráfico da Distribuição F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1 Resultados de 15 tiros dados por 4 rifles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Representação gráfica para o EQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1 Representação gráfica para o EQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Quadro 1 - Erros associados a um Teste de Hipótese . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Regra de decisão para o exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
v
Capítulo 1
Revisando Alguns Modelos
Probabilísticos Discretos e Continuos
1.1 Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas
1.1.1 Distribuição de Bernoulli
Muitos experimentossão tais que os resultados apresentam ou não uma determinada
característica. Por exemplo:
1. uma moeda é lançada: o resultado ou é cara, ou não (ocorrendo, então, coroa);
2. um dado é lançado: ou ocorre face 5 ou não (ocorrendo, então, umas das faces 1,2,3,4 ou
6);
3. uma peça é escolhida ao acaso de um lote contendo 500 peças: essa peça é defeituosa ou
não;
4. uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela é
favorável ou não a um projeto social.
Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados
possíveis; por convenção, um deles é chamado sucesso e o outro fracasso.
Consideremos uma unica tentativa de um experimento aleatório, cujo resultado pode ser
sucesso ou fracasso nessa tentativa.
1
Seja X: número de sucessos em uma única tentativa do experimento.
X =
{
0, fracasso, com P (X = 0) = q = 1− p
1, sucesso, com P (X = 1) = p.
(1.1)
Definição A v.a X que assume apenas os valores 0 e 1 com função de probabilidade pX(x),
tal que: p(0) = P (X = 0) = 1 − p = q e p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1, é chamada variável
aleatória de Bernoulli, e sua função de distribuição é dada por:
P (X = x) = pxq1−x, x = 0, 1.
Notação: X ∼ Bernoulli(p)
Exemplo: Se X ∼ Bernoulli(1/2)⇒ p(x) = (12)x (12)1−x
O valor de p é o único valor que precisamos conhecer para determinar completamente a
distribuição; ele é, então, chamado parâmetro da distribuição de Bernoulli. Vamos denotar a
distribuição de Bernoulli com parâmetro p por X ∼ Bern(p).
Características
• E(X) = p;
• V (X) = p(1− p);
•
FX(x) =

0, se x < 0
1− p, se 0 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1
(1.2)
Exemplo: Um auditor da Receita Federal examina declaracoes de Imposto deRenda de
pessoas físicas, cuja variação patrimonial ficou acima do limite considerado aceitável. De dados
históricos, sabe-se que 10% dessas declarações sao fraudulentas. Vamos considerar o experimento
correspondente ao sorteio aleatório de uma dessas declarações. Esse é um experimento de
Bernoulli, onde sucesso equivale à ocorrência de declaração fraudulenta e o parâmetro da
distribuição de Bernoulli é p = 0, 1.
Esse exemplo ilustra o fato de que �sucesso", nesse contexto, nem sempre significa uma
situação feliz na vida real. Aqui, sucesso é definido de acordo com o interesse estatístico no
problema. Em uma situação mais dramática, �sucesso"pode indicar a morte de um paciente,
por exemplo.
2
Exemplo: Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna.
Seja a v.a X: número de bolas verdes. Determinar a função de probabilidade de X, p(x), E(X)
e V ar(X).
Solução:
X =
{
0 → q = P ( bola branca ) = 3050 = 35
1 → q = P ( bola verde ) = 2050 = 25
(1.3)
Portanto: p(x) = P (X = x) =
(
2
5
)x (3
5
)1−x
, x = 0, 1 e E(X) = p = 25 , V ar(X) = pq =
2
5
3
5 =
6
25
1.1.2 Distribuição Binomial
Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipótes:
1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas, ou seja, n ensaios de Bernoulli;
2. cada prova admite apenas dois resultados: sucesso ou fracasso.
3. a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso é 1− p.
Considere agora as seguintes situações, obtidas de (1) a (4) da seção anterior:
1. uma moeda é lançda três vezes: qual a probabilidade de se obter duas caras?
2. um dado é lançado cinco vezes: qual é a probabilidade de se obter face 5 no máximo três
vezes?
3. dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote contendo 500 peças; qual é a
probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das peças do lote são
defeituosas?
4. sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a um projeto municipal.
Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre os moradores, qual é a probabilidade de que
pelo menos 80 sejam favoráveis ao projeto?
Seja X: número de sucessos em n tentativas de um experimento. Logo X pode assumir os
valores: 0, 1, . . . , n. A função de distribuição de probabilidade da v.a X é definida por:
P (X = x) =
(
n
x
)
pxqn−x, x = 0, 1, . . . , n e
(
n
x
)
=
n!
(n− x)!x! (1.4)
Notação: X ∼ Binomial(n, p)
3
Exemplo: Se X ∼ Binomial(4, 1/2)⇒ p(x) =
(
4
x
)(
1
2
)x (1
2
)4−x
, x = 0, 1, 2, 4
Características
• E(X) = np;
• V ar(X) = npq.
Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de sairem 8
caras? Solução:
X : número de sucessos (caras)
X = 0, 1, 2, . . . , 20⇒ p = P ( cara ) = 1
2
⇒ X ∼ Binomial(20, 1/2)
p(x) =
(
20
x
)(
1
2
)x(1
2
)20−x
Assim: P (X = 8) =
(
20
8
)(
1
2
)8 (1
2
)20−8
= 0, 12013
Exemplo: Um atirador acerta, na mosca do alvo, 20% dos tiros. Se ele dá 10 tiros, qual
a probabilidade de ele acertar na mosca no máximo 1 vez?
Solução: Podemos pensar os tiros como experimentos de Bernoulli independentes, onde
sucesso é acertar no alvo e a probabilidade de sucesso é 0, 20. Então, o problema pede P (X ≤ 1),
onde X = núumero de acertos em 10 tiros. Logo, X ∼ Bin(10; 0, 20) e
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
=
(
10
0
)
(0, 20)0 (0, 80)10 +
(
10
1
)
(0, 20)1 (0, 80)9
= 0, 37581
Exemplo: As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão
ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em
sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 chamadas aconteçam.
4
a) Qual é a probabilidade de que, para exatamente três chamadas, as linhas estejam
ocupadas?
b) Qual é a probabilidade de que, para no mínimo uma chamada, as linhas estejam ocupadas?
c) Qual é o número esperado de chamadas em que todas as linhas estejam ocupadas?
Solução: Seja X : Número de linhas ocupadas em 10 chamadas telefônicas.
p = P ( sucesso ) = P ( linha ocupada ) = 0, 4
X ∼ Binomial(10; 0, 4)→ p(x) = P (X = x) =
(
10
x
)
(0, 4)x(0, 6)10−x, x = 0, 1, . . . , 10
a) P (X = 3) =
(
10
3
)
(0, 4)3(0, 6)10−3 = 120× 0, 064× 0, 02799 = 0, 2149 = 21, 49%
b) P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
(
10
0
)
(0, 4)0(0, 6)10 = 0, 9939 =
99, 39%
c) E(X) = np = 10× 0, 4 = 4 chamadas.
1.1.3 Distribuição Geométrica
Considere as seguintes situações:
1. uma moeda com probabilidade p de cara é lançada até que apareça cara pela primeira vez;
2. Considere uma população muito grande onde p% das pessoas sofrem de uma doença
desconhecida. Precisa-se encontrar uma pessoa portadora da doença para que os médicos
possam estudá-la. Quantas pessoas teremos que examinar até encontrar uma portadora?
Em ambas as situações, cada repetição do experimento (lançamento da moeda ou exame
de uma pessoa) tem dois resultados possíveis (cara ou coroa e Portadora ou não portadora da
doença), ou seja, temos experimentos de Bernoulli.
Consideremos repetições independentes de um experimento de Bernoulli com parâmetro
p. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q, p+q = 1.
Seja X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso.
5
Logo, X assume os valores:
X = 1, que corresponde ao sucesso (S) e P (X = 1) = p;
X = 2, que corresponde ao fracasso (F) na primeira tentativa e ao sucesso na segunda, (FS)
e P (X = 2) = P (F ∩ S) = q × p;
X = 3, que corresponde a (FFS) e P (X = 3) = P (F ∩ F ∩ S) = q × q × p = q2p;
e assim sucessivamente.
X = x, que correspinde a FF . . . FS com
P (X = x) = qx−1p, x = 1, 2, 3, .....
• E(X) = 1/p;
• V ar(X) = q/p2.
As características definidoras desse modelo são: (i) repetições de um mesmo experimento de
Bernoulli, o que significa que em todas elas a probabilidade de sucesso (e, portanto, de fracasso)
é a mesma e (ii) as repetições são independentes. No caso do lançamento de uma moeda essas
hipótesessão bastante plausíveis mas no caso da doença a hipótese de independência pode não
ser satisfeita; por exemplo, pode haver um componente de hereditariedade.
Exemplo: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0,20.
Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
Solução:
X = número de vezes necessárias para encontrar o sinal aberto.
p = 0, 20 e q = 0, 80
P (X = 5) = (0, 80)4(0, 20) = 0, 08192 ∼= 8, 2%
6
1.1.4 Distribuição Poisson
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucesso em um determinado intervalo.
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrência
de um evento em um intervalo especificado (tempo, distância, área, volume ou outra unidade
análoga). A probabilidade do evento ocorrer x vezes em um intervalo é dada a seguir:
Seja X : o número de sucessos no intervalo, então:
A variável aleatória discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, se sua função
de distribuição de probabilidade é dada por
P (X = x) =
λx
x!
e−λ, x = 0, 1, 2, . . .
• E(X) = V (X) = λ;
• MX(t) = eλ(et − 1)
Como aplicações da distribuição de Poisson podemos citar:
• número de usuários de computador ligados à Internet;
• número de clientes que chegam numa loja durante uma hora de promoção relâmpago;
• carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia;
• erros tipográficos por página, em um material impresso;
• defeitos por unidade (m2,m3,m etc ) por peça fabricada;
• colônias de bactérias numa da cultura por 0, 01mm2, numa plaqueta de microscópio;
• mortes por ataque de coração por ano, numa cidade. É aplicada também em problemas
de filas de espera em geral, e outros.
Exemplos:
1. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) num minuto não haja nenhum chamado?
7
b) em 2 minutos haja 2 chamadas?
c) em t minutos não haja chamadas?
Solução: X : número de chamadas telefônicas por hora.
λ = 300/60 = 5
a) P (X = 0) = e
−5×50
0! = 0, 006737
b) λ = 2× 5 = 10 e P (X = 2) = e−10×1022! = 50× e−10 = 0, 002269
c) λ = t× 5 = 5t e P (X = 0) = e−5t×(5t)00! = e−5t
2. Num livro de 800 páginas há 800 eros de impressão. Qual a probabilidade de que uma
página contenha pelo menos 3 erros?
Resolução: X : número de erros por página.
λ = 1
P (X ≥ 3) = 1− P (X < 3) = 1− {P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
= 1−
{
e−1 × 10
0!
+
e−1 × 11
1!
+
e−1 × 12
2!
}
= 1− {0, 367879 + 0, 367879 + 0, 183940}
= 1− 0, 919698 = 0, 080302 (1.5)
3. Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento. Qual a
probabilidade de que:
a) em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens?
Solução: X : número de mensagens em β minutos.
720 mensagens → 480min
λ→ 6min
Ou seja, λ = 9
Assim:
P (X ≥ 4) = 1− P (X < 4) = 1− {P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
= 1−
{
e−9 × 90
0!
+
e−9 × 91
1!
+
e−9 × 92
2!
+
e−9 × 93
3!
}
8
= 1− {0, 000123 + 0, 001111 + 0, 004998 + 0, 014994}
= 1− 0, 021226 = 0, 978774 (1.6)
1.1.5 Distribuição Multinomial
Considere um experimento aleatório e k eventos A1, A2, . . . , Ak que formam uma partição do
espaço amostral do experimento.
Sejam P (Ai) = pi, i = 1, . . . , k (probabilidades de sucessos).
Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, sendo que os pi,i = 1, . . . , k
permanecem constantes durante as repetições, com
∑k
i=1 pi = 1.
Sejam X1, X2, . . . , Xk os números de ocorrências de A1, A2, . . . , Ak, respectivamente, com∑k
i=1Xi = n
Nestas condições:
P (X1 = n1, X2 = n2, . . . , Xk = nk) =
n!
n1! . . . nk!
pn11 ∗ pn22 ∗, . . . , pnkk (1.7)
com
∑n
i=1 ni = n.
Esta função de probabilidade caracteriza a distribuição polinomial ou multinomial de
Xi, i = 1, . . . , k.
Quando k = 2, temos a distribuição binomial, pois
P (X1 = n1, X2 = n2) =
n!
n1!n2!
pn11 ∗ pn22
, com {
n2 = n− n1
p2 = 1− p1 (1.8)
• E(Xi) = nipi;
• V (Xi) = nipiqi, i = 1, 2, . . . , k;
Exemplo: Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Retiram-se 8 bolas com
reposição. Qual a probabilidade de sair 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis?
9
Solução:
p1 = P ({branca}) = 615 = 25 e X1 : saída de 4 bolas brancas
p2 = P ({preta}) = 415 e X2 : saída de 2 bolas pretas
p3 = P ({azuis}) = 515 = 13 e X3 : saída de 2 bolas azuis
Portanto:
P (X1 = 4, X2 = 2, X3 = 2) =
8!
4!2!2!
(
2
5
)4( 4
15
)2(1
3
)2
1.2 Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas
1.2.1 Distribuição Uniforme
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] (finito) se sua
função de densidade é constante nesse intervalo, ou seja, temos que ter
f(x) = k, ∀x ∈ [a, b]
Então, o gráfico da f.d.p. de X é como o ilustrado na Figura abaixo:
Figura 1.1: Densidade uniforme no intervalo [a, b]
Logo, a função de densidade de uma v.a. uniforme no intervalo [a, b] é dada por:
fX(x) =
{
1
b−a se a ≤ x ≤ b
0 caso contrário
(1.9)
Os valores a e b são chamados parâmetros da distribuição uniforme; note que ambos têm que
ser finitos para que a integral seja igual a 1. Quando a = 0 e b = 1 temos a uniforme padrão,
denotada por U ∼ (0, 1).
10
Função de distribuição acumulada
Por definição, temos que FX(x) = P (X ≤ x) e essa probabilidade é dada pela área sob a curva
de densidade à esquerda de x. Logo:
FX(x) =

0 se x < a
x−a
b−a se a ≤ x ≤ b
1 se x ≤ b
(1.10)
O gráfico dessa f.d.a. é dado na Figura abaixo:
Esperança e Variância
• E(X) = a+b2 ;
• V (X) = (b−a)212 .
Exemplo
Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [1, 4]. Calcular:
a) probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 2 e 3;
b) entre 0,5 e 2,5;
c) seja exatamente o 2;
d) a média dessa distribuição;
e) a variância dessa distribuição.
1.2.2 Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial é um modelo para um tempo de vida com taxa de falha constante.
11
Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro λ se sua densidade
de probabilidade é da forma:
fX(x) =
{
λe−λx se x ≥ 0
0 caso contrário
(1.11)
onde o parâmetro λ é uma constante real positiva. A figura mostra um gráfico da densidade
exponencial.
Como a f.d.p. exponencial depende apenas do valor de λ, esse é o parâmetro da densidade
exponencial. Então, usaremos a notação X ∼ exp(λ) para indicar o fato de que a v.a. X tem
distribuição exponencial com parâmetro λ.
Função de distribuição acumulada
Por definição, temos que:
FX(x) == P (X ≤ x)
{
1− e−λx se x > 0
0 se x ≤ 0 (1.12)
O gráfico dessa f.d.a. é dado na Figura abaixo:
12
Média, Variância e Função geradora de momento da Distribuição Exponencial
E(X) =
1
λ
V (X) =
1
λ2
e
MX(t) =
(
1− t
λ
)−1
Parametrização alternativa
É possível parametrizar a densidade exponencial em termos de um parâmetro β = 1λ . Neste
caso,
fX(x) =
1
β
e
− x
β , x > 0, β > 0
E(X) = β
E(X2) = 2β2
V (X) = β2
1.2.3 Exemplos
1. Uma v.a contínua X tem fdp dada por:
fX(x) =
{
k/2e−x se x ≤ 0
0 se x < 0
(1.13)
a) Calcular o valor de k;
b) Determinar F (x);
c) Determinar a mediana da distribuição.
2. Seja X ∼ exp(4). Calcule:
a) Calcula P (X > 1);
b) Calculer P (1 ≤ X ≤ 2);
13
1.2.4 Distribuição Gama
A distribuição gama é uma das mais gerais distribuições, pois diversas distribuições são caso
particular dela como por exemplo a exponencial, a qui-quadrado, entre outras. Essa distribuição
tem como suas principais aplicações à análise de tempo de vida de produtos. Tem sido utilizada
para modelar as precipitações de chuvas.
A função gama
A funçãogama é definida pela seguinte integral:
Γ(α) =
∫ ∞
0
e−xxα−1dx
O argumento da função é α que aparece no expoente da variável de integração x
A função gama tem a seguinte propriedade recursiva: Γ(α+ 1) = αΓ(α)
agora, com α = n inteiro.
Γ(1) = 1
Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1!
Γ(3) = 2Γ(2) = 2 ∗ 1 = 2!
Γ(4) = 3Γ(3) = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 3!
Em geral, se n é inteiro:
Γ(n) = (n− 1)!
A Distribuição Gama
Definição Diz-se que uma variável aleatória tem distribuição gama com parâmetros (α e β)
se sua função de densidade de probabilidade é dada por
fX(x) =
{
β
Γ(α)(βx)
α−1e−βx se x > 0, β > 0
0 se x ≤ 0 (1.14)
14
Note que, quando α = 1 resulta a densidade exponencial com parâmetro β, ou seja, a
distribuição exponencial é um caso particular da densidade gama.
Notação X ∼ gamma(α, β) para indicar que a variável aleatória X tem distribuição gama
com parâmetros α, β. Abaixo, figura 2, temos um exemplo gráfico para essa distribuição.
Figura 1.2: Exemplo gráfico da Densidade Gama
Média, Variância e Função geratriz de momento da Distribuição Gama
E(X) =
β
α
V (X) =
β
α2
e
MX(t) =
[(
1− t
λ
)−1]r
1.2.5 Distribuição de Weibull
A distribuição Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos
relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para
15
descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicações práticas
deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade
básica: a sua função de taxa de falha é monótona. Isto é, ou ela é crescente ou decrescente
ou constante. Ela descreve adequadamente a vida de mananciais, componentes eletrônicos,
cerâmicas, capacitores e dielétricos.
Definição Uma variável aleatória X tem distribuição de Weibull com parâmetros α > 0 e
β > 0 se sua função de densidade de probabilidade é dada por:
fX(x) =
α
βα
xα−1e
(
− x
β
)α
, x > 0
A função de distribuição acumulada é dada por:
F (x) = 1− exp
[(
x
β
)α]
, x > 0
Figura 1.3: Exemplo gráfico da Densidade Weibull
1.2.6 A Distribuição Normal
A distribuição Normal é a distribuição de probabilidade mais usada na Estatística, pois serve
de modelo para um grande número de variáveis contínuas e também como modelo aproximado
16
para outras distribuições de probabilidade (Binomial, Poisson, etc).
Uma variável aleatória contínua X, definida para todos os valores da reta real, tem densidade
normal com parâmetros µ e σ2, onde −∞ < µ <∞ e 0 < σ2 <∞, se sua função de densidade
de probabilidade é dada por:
fX(x) =
1√
2piσ2
exp
[
−1
2
(
x− µ
σ
)2]
−∞ < x <∞ (1.15)
onde: σ > 0, e = 2, 718282, pi = 3, 14159...
Será usada a seguinte notação para indicar que uma v.a. X tem distribuição normal com
parâmetros µ e σ2: X ∼ N(µ, σ2).
Propriedades da Distribuição Normal
A distribuição normal tem várias propriedades importantes.
1. fX(x) ≥ 0, para todo x;
2.
∫∞
−∞ fX(x) = 1;
3. E(X) = µ;
4. V (X) = σ2;
5. limx→+∞ = limx→−∞ = 0;
6. f(µ+ x) = f(µ− x). A densidade é simétrica em torno de µ;
7. O valor máximo de f ocorre em x = µ;
8. Os pontos de inflexão de f estão em x = µ± σ.
17
Efeito da média µ e do desvio-padrão σ na curva normal
A média µ determina o valor do centro da curva normal, enquanto que o desvio-padrão σ
determina a largura da curva normal. Quanto menor o valor do desvio-padrão σ , menor será a
variabilidade dos dados, conseqüentemente menor será a largura da curva.
Algumas Características da Distribuição Normal
1. A média, mediana e moda são iguais. Ou seja, µ = Md = mo;
2. A curva normal, além de ter uma área total igual a 1, é simétrica em torno da média ,
sendo assim, P (X < µ− b) = P (X > µ+ b);
18
3. P (X ∈ [a; b]) = P (a ≤ X ≤ b) = área da curva no intervalo [a; b]:
4. A inclusão ou exclusão dos extremos não altera o valor da probabilidade. Portanto, P (a ≤
X ≤ b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b);
5. Quaisquer que sejam os valores da média µ e do desvio-padrão σ de uma distribuição
normal, os seguintes resultados são válidos:
• P (µ − 1σ ≤ X ≤ µ + 1σ) = 0, 6827 - Cerca de 68, 3% dos valores estão a um
desvio-padrão distante da média;
• P (µ− 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0, 9545 - Cerca de 95, 5% dos valores estão a 2 desvios-
padrões distante da média;
• P (µ− 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0, 9973 - Cerca de 99, 7% dos valores estão a 3 desvios-
padrões distante da média;
Se as notas em matemática dos candidatos em um vestibular forem normalmente Distribuídas
com média de µ = 65 pontos e desvio-padrão de σ = 12 pontos, então aproximadamente 95%
desses candidatos irão obter notas de 41 a 89 pontos, pois
41 = 65− 2× 12(= µ− 2σ)
89 = 65 + 2× 12(= µ+ 2σ)
19
1.2.7 Distribuição normal padrão
A distribuição normal padrão é um acaso especial da distribuição normal onde a média é zero
(µ = 0) e desvio-padrão é um (σ = 1). As áreas dessa distribuição são obtidas com o auxilio de
tabelas (em anexo) e serve de referência para calcular probabilidades das outras distribuições
normais.
Por que usamos tabela na distribuição normal?
Como foi dito anteriormente, as probabilidades são obtidas resolvendo a integral da função
densidade no intervalo de interesse. O grande problema é que integrar algebricamente uma
curva normal não é possível e a solução encontrada foi usar métodos numéricos para calcular de
forma aproximada as áreas de interesse. Essas áreas são calculadas apenas para a distribuição
normal padrão.
A tabela dá as probabilidades sob uma cursa normal padrão, que mada mais são do que as
correspondentes áreas sob a curva. A Figura abaixo ilustra a probabilidade fornecida.
P (0 ≤ Z ≤ Zc), onde Z ∼ N(0, 1)
Exemplos:
a) P (0 < Z < 1, 22) = 0, 3838
20
b) P (1 < Z < 2)
21
Logo:
P (1 < Z < 2) = P (0 < Z < 2)− P (0 < Z < 1) = 0, 4772− 03413 = 0, 1359 (1.16)
c) P (Z ≥ 1)
Logo: P (Z ≥ 1) = P (Z ≥ 0)− P (0 ≤ Z ≤ 1) = 0, 5− 0, 3413 = 0, 1587
d) Determine o valor de k tal que P (Z ≤ k) = 0, 90.
22
Solução: Queremos encontrar a abcissa k da normal padrão com 0, 90 de área
(probabilidade) à esquerda dela. Como 0, 9 é a área à esquerda de k, resulta que k tem
que ser maior que zero, isto é, temos que ter k > 0. Veja a Figura abaixo á esquerda de
k temos área 0, 90 e à esquerda de 0 temos área 0,5. Logo, entre 0 e 0, 90 temos que ter
área 0,40.
Escrevendo essas observações em termos de probabilidade, temos:
P (Z ≤ k) = 0, 90⇔
P (Z ≤ 0) + P (0 < Z ≤ k) = 0, 90⇔
0, 5 + P (0 < Z ≤ k) = 0, 90⇔
P (0 < Z ≤ k) = 0, 40⇔
tab(k) = 0, 40
Esta última igualdade nos diz que k é a abcissa correspondente ao valor 0, 40 na Tabela.
Para identificar k; temos que buscar no corpo dessa tabela, o valor mais próximo de 0, 40.
Na linha correspondente ao valor 1,2 encontramos as entradas 0, 39973 e 0, 40147. Como
a primeira está mais próxima de 0,40, olhamos qual é a abcissa correspondente: a linha é
1, 2 e a coluna é 8, o que nos dá a abcissa de 1,28, ou seja, k = 1, 28 e P (Z ≤ 1, 28) = 0, 90,
completando a solução.
e) P (−2, 1 ≤ Z ≤ 1, 4)
Solução: Note que este exemplo trata da área (probabilidade) entre duas abcissas, uma
negativa e outra positiva. A Figura 1 abaixo ilustra-se a área (probabilidade) desejada.
23
Essa área é a soma das áreas representadas nas Figuras 2 e 3. Por simetria, essa última
área é igual à área sombreada na Figura 4, o que nos leva à cocnlusão de que
P (−2, 1 ≤ Z ≤ 1, 4) = P (0 ≤ Z ≤ 1, 4) + P (−2, 1 ≤ Z ≤ 0)
= P (0 ≤ Z ≤ 1, 4) + P (0 ≤ Z ≤ 2, 1)
= tab(1, 4) + tab(2, 1)
= 0, 4821 + 0, 4192 = 0, 9013
1.2.8 Padronização de uma variável
Até agora só trabalhamos com a distribuição normal padrão. E como devemos trabalhar com
as outras distribuições de probabilidades?Qualquer variável X tendo distribuição normal com
média µ e desvio-padrão σ pode ser �transformada"em uma distribuição normal padrão, basta,
para isto, padronizar a variável X.
Se X ∼ N(µ,2 ), entao, a variavel aleatoria definida por
Z =
X − µ
σ
terá uma distribuição N(0, 1). Essa transformação é ilustrada pela figura abaixo:
24
Exemplos
1. Se X ∼ N(2, 5). Calcular a P (1 ≤ X ≤ 7).
Solução:
P (1 ≤ X ≤ 7) = P
(
1− 2√
5
≤ X − 2√
5
≤ 7− 2√
5
)
= P (−0, 45 ≤ Z ≤ 2, 24)
= P (−0, 45 ≤ Z < 0) + P (0 ≤ Z ≤ 2, 24)
= P (0 ≤ Z ≤ 0, 45) + P (0 ≤ Z ≤ 2, 24)
= tab(0, 45) + tab(2, 24)
= 0, 4875 + 0, 1700 = 0, 6575
2. Se X ∼ N(5, 1). Calcular a P (X ≤ 7).
Solução:
P (X ≥ 2) = P
(
X − 5√
1
≥ 7− 5√
1
)
= P (Z ≥ 2, 0) = P (Z ≥ 0)− P (0 ≤ Z ≤ 2)
= 0, 5− tab(2, 0)
= 0, 5− 0, 47725 = 0, 02275
3. Se X ∼ N(µ, σ2). Calcular a P (µ− kσ ≤ X ≤ µ+ kσ) , para k = 1, 2, 3.
Solução Note que essa probabilidade corresponde à probabilidade de X estar a uma
distância de k desvios-padrão da média.
25
P (µ− kσ ≤ X ≤ µ+ kσ) = P
(
µ− kσ − µ ≤ X − µ
σ
≤ µ+ kσ − µ
σ
)
= P (−k ≤ Z ≤ k)
Chegamos a uma probabilidade que nao depende de µ ou σ, ou seja, esse resultado vale
qualquer que seja a distribuicao normal.
• k = 1
P (µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ) = P (−1 ≤ Z ≤ 1) = 2× tab(1, 0) = 2× 0, 3414 = 0, 6828
• k = 2
P (µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) = P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 2× tab(2, 0) = 2× 0, 4772 = 0, 9544
• k = 3
P (µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ) = P (−3 ≤ Z ≤ 3) = 2× tab(3, 0) = 2× 0, 4987 = 0, 9974
Essas probabilidades nos dizem que, para qualquer distribuição normal, 68, 28% dos valores
estão a um desvio-padrão da média, 95, 44% estão a dois desvios-padrão e 99, 73% dos
valores estão a três desvios-padrão da média. Veja a Figura abaixo para uma ilustração
desses resultados.
4. Se ∼ N(3; 4). Determine o valor de k tal que P (X ≤ k) = 0, 90.
Solução: Com a probabilidade à esquerda de k é maior que 0, 5, resulta que k tem de
ser maior que a média. O primeiro passo na solução é escrever a probabilidade dada em
termos da normal padrão.
26
P (X ≤ k) = 0, 90⇔
P
(
X − 3
2
≤ k − 3
2
)
= 0, 90⇔
(
Z ≤ k − 3
2
)
= 0, 90⇔
P (Z ≤ 0) + P
(
0 ≤ Z ≤ k − 3
2
)
= 0, 90⇔
0, 5 + P
(
0 ≤ Z ≤ k − 3
2
)
= 0, 90⇔
P
(
0 ≤ Z ≤ k − 3
2
)
= 0, 40⇔
tab
(
k − 3
2
)
= 0, 40⇔
k − 3
2
= 1, 28⇔ k = 5, 56
5. O consumo mensal em minutos por conta de celular em uma região é uma variável aleatória
normal com média 36 e desvio padrão 12.
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa desta região usar o telefone celular por menos
de 48 minutos?
b) Qual é a probabilidade de uma pessoa desta região usar o telefone celular por mais
de 30 minutos?
c) Qual o tempo mínimo que alguém deve gastar ao telefone no mês para estar entre os
5% que MAIS usam o celular?
Solução: X = consumo em minutos; X ∼ N(36; 122)
(a)
P (X < 48) = P
(
X − 36√
12
<
48− 36√
12
)
= P (Z < 1, 0) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 1)
= 0, 5 + tab(1, 0)
= 0, 5 + 0, 34134 = 0, 84134
(b)
P (X > 30) = P
(
X − 36√
12
>
30− 36√
12
)
= P (Z > −0, 5) = P (Z > 0) + P (−0, 5 < Z < 0)
= P (Z > 0) + P (0 < Z < 0, 5)
27
= 0, 5 + tab(0, 5)
= 0, 5 + 0, 19146 = 0, 69146
(c) Seja m o tempo mínimo.
P(X ≥ m) = 0, 05⇔ P (X−3612 ≥ m−3612 ) = 0, 05⇔ P (Z ≥ m−3612 ) = 0, 05⇔
tab
(
m−36
12
)
= 0, 05⇔ m−3612 = 1, 64⇔ m = 55, 68
A pessoa tem que falar pelo menos 55,68 minutos para estar entre os 5% que mais usam
o celular.
1.2.9 Distribuições obtidas da Normal
Nesta seção estudaremos as 3 principais famílias de distribuições definidas a partir de
variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição N(0; 1).
Distribuição Qui-Quadrado
Sejam Z1, Z2, . . . , Zk variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas
distribuição da variável aleatória
k∑
i=1
Z2i
é denominada Distribuição Qui-quadrado com k graus de liberdade e anotada χ2k. A função
densidade de probabilidade da Distribuição Qui-quadrado com k graus de liberdade é:
fX(x) =
1
2k/2Γ(k/2)
x
k
2
−1e−
x
2 , x ≥ 0
onde k representa o número de graus de liberdade, Γ(k/2) representa a função Gamma,
que possui uma forma fechada para a metade de valores inteiros.
IDEIA Graus de liberdade: Considere um conjunto de dados qualquer. Graus de
liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem
sido impostas certas restrições a todos os valores.
Exemplo Consideremos que 10 estudantes obtiveram em um teste média 8.0. Assim,
a soma das 10 notas deve ser 80 (restrição). Portanto, neste caso, temos um grau de
liberdade de 10−1 = 9, pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente,
contudo a 10a nota deve ser igual a [80-(soma das 9 primeiras)].
28
A esperança de uma distribuição Qui-quadrdo é dado pelo valor k, enquanto a variância
é dada por 2k.
Figura 1.4: Exemplo gráfico da Densidade Qui-quadrado
Distribuição t de Student
Sejam Z ∼ N(0, 1) e Y ∼ χ2v variáveis aleatórias indepndentes. A distribuição da variável
aleatória
Z√
Y
v
, v = 1, 2, . . .
é denominada Distribuição de t de Studente com V graus de liberdade e a indicaremos
por t(v).
A função densidade de probabilidade da distribução de Student com v graus de liberdade
é:
f(t) =
Γ(v+12 )√
vpiΓ(v/2)
(
1 +
t2
v
)−(v+1)
2
,−∞ < t <∞ (1.16)
Mais uma vez, o parâmetro v, chamado de graus de liberdade, está associado ao número
de parcelas independentes em uma soma.
Alguns resultados e propriedades importantes a respeito da distribuição t de student são:
29
Figura 1.5: Exemplo gráfico da Densidade t-Student
• A densidade da distribuição t é simétrica em relação a t = 0. Se v > 2, então E(X) = 0
e V (X) = vv−2 ;
• Se X ∼ t(v) e v →∞, então tem-se que limv→∞X ∼ N(0, 1);
• A distribuição t resolve o problema de estimação da média para populações
normalmente distribuídas quando o tamanho da amostra é pequeno. Por causa disso,
ela é base para os populares testes de significância t, testes para comparações de
médias de duas amostras ou para a construção de intervalos de confiança para média
ou para a diferença entre as médias de duas populações.
Distribuição F de Snedecor
Sejam U e V duas variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição qui-
quadrado com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a v.a.
W =
U/v1
V/v2
é denominada Distribuição de Snededor com v1 e v2 graus de liberdade e anotada
W ∼ F (v1, v2).
A função densidade de probabilidade da distribuição de Snedecor é:
f(w) =
Γ(v1+v22 )
Γ(v1/2)Γ(v2/2)
(
v1
v2
)
w(v1−2)/2
(1 + v1w/v2)(v1+v2)/2
, w > 0
30
• A densidade da distribuição F é assimétrica e W assume valores positivos em todos
os reais.
• E(W ) = v2v2−2 e V (W ) =
2v22(v1+v2−2)
v1(v2−2)2(v2−4) .
• A distribuição F surge, normalmente, como a distribuição sob a hipótese nula de
testes estatísticos, principalmente testes de comparação de variâncias. Seu uso é muito
comum na análise de experimentos, onde utiliza-se o teste F na análise de variância
de planejamentos fatoriais.
Figura 1.6: Exemplo gráfico da Densidade F-Snedecor
31
Capítulo 2
Introdução à Inferência Estatística
2.1 Introdução
Em linhas gerais a Inferência estatística tem por objetivo produzir afirmações a respeito
de uma população, baseado em uma amostra. É a amostra que contém os elementos
observáveis e é onde as quantidades de interesse podem ser medidas.
Definição 1: Seja X uma variável aleatória com função de densidade (ou de
probabilidade) que abreviamos por (f.d.p) ou (f.p) e que denotamos por f(x|θ), em que θ é
um parâmetro desconhecido. Chamamos de inferência estatística o problema que consiste
em especificarum ou mais valores para θ, baseado em um conjunto de valores observados
de X.
2.1.1 População e Amostra
Definição 2: O conjunto de valores de uma característica (observável) associada a uma
coleção de indivíduos ou objetos de interesse é dito ser uma população.
É um conjunto de indívíduos ou objetos que possuem uma certa característica em comum.
Amostra é um subconjunto da população.
Definição 3: A população de uma pesquisa estatística pode ser representada por uma
variável aleatória X que descreve a característica de interesse.
Definição 4: Uma sequência X1, . . . , Xn de n variáveis aleatória independentes e
identicamente distribuídas(i.i.d) com função de densidade (f.d.p) ou, no caso discreto,
32
função de probabilidade (f.p) f(x|θ), é dita ser uma amostra aleatória de tamanho n da
distribuição de X. Nesse caso, temos,
f(x1, . . . , xn|θ) =
n∏
i=1
f(xi|θ) = f(x1|θ) . . . f(xn|θ). (2.1)
Concluímos, a partir da Definição 4, que usamos a amostra X1, . . . , Xn para obter
informação sobre o parâmetro θ. A função de densidade (ou de probabilidade) conjunta
dada em (1) é denominada função de verossimilhança de θ, correspondente à amostra
observada x = (x1, . . . , xn)∆e será denotada por
L(θ,x) =
n∏
i=1
f(xi|θ).
Exemplos de População X Amostra:
(a) Um estudo antropométrico em nível nacional, uma amostra de 500 adultos é
selecionada dentre os adultos brasileiros e uma das variáveis de estudo é a altura.
• Neste exemplo, a população é o conjunto de todos os brasileiros adultos. No
entanto, o interesse (um deles, pelo menos) está na altura dos brasileiros. Assim,
nesse estudo, a cada sujeito da população associamos um número correspondente
a sua altura.
• Se determinado sujeito é sorteado para entrar na amostra, o que nos interessa é
esse numero, ou seja, sua altura.
• Como vimos, essa é a definição de variavel aleatoria: uma função que associa a
cada ponto do espaco amostral um número real. Dessa forma, a nossa população
pode ser representada pela variável aleatoria X = �altura do adulto brasileiro".
• Como essa é uma v.a. continua, a ela esta associada uma função de densidade
de probabilidade f(x) e da literatura, sabemos que é razoavel supor que essa
densidade seja a densidade normal. Assim, nossa população, nesse caso, e
representada por uma v.a. X ∼ N(µ;σ2). Conhecendo os valores de µ e σ2
teremos informações completas sobre a nossa população.
• Uma forma de obtermos os valores de µ e σ2 é medindo as alturas de todos
os brasileiros adultos. Mas esse seria um procedimento caro e demorado. Uma
solução, então, é retirar uma amostra (subonjunto) da população e estudar essa
amostra.
33
• Supondo que essa amostra seja retirada com reposição e que os sorteios sejam
feitos de forma independente, isto é, o resultado de cada extração nao altera o
resultado das demais extrações. Ao sortearmos o primeiro elemento, estamos
realizando um experimento que da origem a v.a. X1 = �altura do primeiro
elemento"; o segundo elemento da origem a v.a. X2 = �altura do segundo
elemento"; e assim por diante.
• Como as extrações são feitas com reposição, todas as v.a. X1, X2, . . . tem a
mesma distribuição, que reflete a distribuição da altura de todos os brasileiros
adultos. Para uma amostra específica, temos os valores observados x1, x2, . . .
dessas variaveis aleatorias.
(b) Consideremos, agora, um exemplo baseado em pesquisas eleitorais, em que estamos
interessados no resultado do segundo turno de uma eleição presidencial brasileira.
Mais uma vez, nossos sujeitos de pesquisa são pessoas com 16 anos ou mais, aptas
a votar. O interesse final é saber a proporção de votos de um e outro candidato.
Vamos considerar uma situação simplificada em que não estamos considerando votos
nulos, indecisos, etc.
• Cada sujeito de pesquisa dá origem a uma variável aleatoria binaria, isto é, uma
v.a. que assume apenas dois valores.
• Podemos representar esses valores por 1 (candidato A) e 0 (candidato B), o
que define uma variável aleatoria de Bernoulli, ou seja, essa população pode ser
representada pela v.a. X ∼ Bern(p).
• O parâmetro p representa a probabilidade de um sujeito dessa população votar
no candidato A. Uma outra interpretação é que p representa a proporção
populacional de votantes no candidato A.
• Para obtermos informação sobre p, retira-se uma amostra da população e, como
antes, vamos supor que essa amostra seja retirada com reposição. Ao sortearmos
o primeiro elemento, estamos realizando um experimento que da origem a
v.a. X1 =�voto do primeiro elemento"; o segundo elemento da origem a v.a.
X2 =�voto do segundo elemento"; e assim por diante. Como as extrações são
feitas com reposição, todas as variáveis X1, X2, . . . tem a mesma distribuicão de
Bernoulli populacional, isto é, Xi ∼ Bern(p), i = 1, 2, . . . .
(c) Consideremos uma pesquisa para estudar salários dos 500 funcionários da companhia
MB. Seleciona-se 36 indivíduos e anotam-se os seus salários.
(d) Estudar a proporção de indivíduos de uma cidade que são favoráveis a certo projeto
34
governamental. Uma amostra de 200 pessoas é sorteada e a opnião de cada uma é
registrada como sendo a favor ou contra o projeto.
2.1.2 Amostra aleatória simples
Nas pesquisas por amostragem, uma amostra é selecionada da população de interesse e
todas as conclusões serão baseadas apenas nessa amostra. Para que seja possível inferir
resultados para a população a partir da amostra, é necessário que esta seja representativa
da população.
Embora existam vários métodos de seleção de amostras, vamos nos concentrar aqui no
caso mais simples, que é a amostragem aleatória simples. Segundo tal método, toda
amostra de mesmo tamanho n tem igual chance (probabilidade) de ser sorteada. É
possível extrair amostras aleatórias simples com e sem reposição. Quando estudamos as
distribuições binomial e hipergeométrica, vimos que a distribuição binomial correspondia
a extrações com reposição e a distribuição hipergeométrica correspondia a extrações
sem reposição. No entanto, para populações grandes - ou infinitas - extrações com
e sem reposição não levam a resultados muito diferentes. Assim, no estudo da
Inferência Estatística, estaremos lidando sempre com amostragem aleatória simples com
reposição. Este método de seleção atribui a cada elemento da população a mesma
probabilidade de ser selecionado e esta probabilidade se mantém constante ao longo do
processo de seleção da amostra (se as extrações fossem sem reposição isso não aconteceria).
Seja uma população representada por uma variável aleatória X. De tal população será
sorteada uma amostra aleatória simples com reposição de tamanho n. Como visto nos
exemplos anteriores, cada sorteio dá origem a uma variável aleatória Xi e, como os
sorteios são com reposição, todas essas variáveis têm a mesma distribuição de X. Isso nos
leva à seguinte definição.
Definição: Uma amostra aleatória simples (aas) de tamanho n de uma v.a. X
(população) é um conjunto de n v.a. X1, X2, . . . , Xn independentes e identicamente
distribuídas (i.i.d.).
35
2.1.3 Estatísticas e Parâmetros
Obtida uma aas, é possível calcular diversas características desta amostra, como, por
exemplo, a média, a mediana, a variância, etc. Qualquer uma destas características é
uma função de X1, X2, . . . , Xn e, portanto, o seu valor depende da amostra sorteada.
Sendo assim, cada uma dessas características ou funções é também uma v.a. . Por
exemplo, a média amostral é a v.a. definida por:
X =
1
n
(X1 +X2 + . . .+Xn)
Estimador ou Estatística:
Uma estatística amostral ou estimador T é qualquer função da amostra X1, X2, . . . , Xn,
isto é, T = f(X1, X2, . . . , Xn), onde f é uma função qualquer.
Sejam X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X, com (f.d.p) ou (f.p)f(x|θ). Exemplos de estatísticas são:
• Média Amostral: X = 1n
∑n
i=1Xi
• Variância da Amostra: S2 = 1n−1
∑n
i=1
(
Xi −X
)2
• A frequência relativa: f = p̂ = xn = NCF na amostra
NTC na amostra
• A soma, ou diferença, entre duas médias amostrais (X1 ±X2)
• O quociente entre duas variâncias amostrais (S21 ÷ S22)
• O menor valor da amostra: X1 = min (X1, X2, . . . , Xn)
• O maior valor da amostra: Xn = max (X1, X2, . . . , Xn)
• amplitude amostral: Xn −X1
• Xi = a i-ésima maior observação da amostra
Parâmetro:
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população.
36
Assim, se a população é representada pela v.a. X, alguns parâmetros são a esperança
E(X) e a variância V ar(X) de X.
Os símbolos mais comuns são:
Denominação População (Parâmetro) Amostra (Estimador)
Média µ = E(X) X
Variância σ2 = V ar(X) S2
Proporção P p
Soma ou diferença entre duas médias µ1 ± µ2 X1 ±X2
Quociente entre duas Variâncias σ21 ÷ σ22 S21 ÷ §22
Número de elementos N n
Quartis Q1, Q2, Q3 q1, q2, q3
Intervalo inter-quartil dQ = Q3 −Q1 dq = q3 − q1
Função densidade fX(x) histograma
Função de distribuição FX(x) Fe(x)
Estimativa
O valor numérico de um estimador é chamado de estimativa de seu respectivo parâmetro.
Exemplo:
(a) Uma amostra aleatória de retornos de 100 ações apontou média de 2, 5% e desvio-
padrão de 1, 7%. Logo, podemos afirmar que a estimativa do retorno médio dessas
ações é de 2, 5% e que a estimativa do desvio-padrão é de 1, 7%
Definição: O conjunto Θ em que θ toma valores é denominado espaço paramétrico.
Exemplo: Sejam X1, . . . , Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X ∼ N(µ, σ2).
• Se σ2 = 1, então θ = µ é o parâmetro desconhecido e Θ = {µ,−∞ < µ <∞};
• Se µ = 0, então θ = σ2 é o parâmetro desconhecido e Θ = {σ2, σ2 > 0};
• Se µ e σ2 são desconhecidos então θ = (µ, σ2) são desconhecidos e Θ = {(µ,2 ),−∞ <
µ <∞ e σ2 > 0};
Definição: Qualquer estatística que assuma valores em Θ é um estimador para θ.
37
2.2 Distribuições Amostrais
O problema da inferência estatística é fazer uma afirmação sobre os parâmetros da
população através da amostra. Digamos que nossa afirmação deva ser feita sobre
um parâmetro θ da população. Usando uma AAS de n elementos sorteado dessa
população. Nossa decisão será baseada na estatística T , que será uma função da amostra
(X1, X2, . . . , Xn) , ou seja T = f(X1, X2, . . . , Xn) . Colhida essa amostra, teremos
observado um particular valor de T , digamos t0, e baseado nesse valor é que faremos a
afirmação sobre θ , o parâmetro populacional.
A validade da resposta será melhor compreendida se soubermos o que acontece com a
estatística T , quando retiramos todas as amostras de uma população conhecida segundo
o plano amostral adotado. Isto é, qual a distribuição de T quando X1, X2, . . . , Xn
assume todos os valores possíveis. Essa distribuição é chamada distribuição amostral da
estatística e desempenha papel fundamental na teoria da inferência estatística.
38
Procedimento:
a) Uma população X, com determinado parâmetro de interesse θ;
b) Todas as amostras retiradas da população, de acordo com certo procedimento;
c) para cada amostra, calculamos o valor t da estatística T ; e
d) os valores t formam uma nova população, cuja distribuição recebe o nome de
distribuição amostral de T .
O exemplo abaixo ilustra como a distribuição da média amostral pode ser determinada
por uma situação simples, quando o tamanho da amostra é 2, n = 2 e a distribuição da
população é discreta.
Exemplo 1: Considere a população (1, 3, 5, 5, 7). Uma amostra aleatória simples com
reposição (X1, X2) de tamanho (n = 2) é tomada nesta população. Qual a distribuição
do número médio amostral, ou seja:
X =
X1 +X2
2
Solução:
Amostra (1, 1) (1, 3) (1, 5) (1, 5) (1, 7) (3, 1) (3, 3) (3, 5) (3, 5) (3, 7)
X 1 2 3 3 4 2 3 4 4 5
Amostra (5, 1) (5, 3) (5, 5) (5, 5) (5, 7) (5, 1) (5, 3) (5, 5) (5, 5) (5, 7)
X 3 4 5 5 6 3 4 5 5 6
Amostra (7, 1) (7, 3) (7, 5) (7, 5) (7, 7)
X 4 5 6 6 7
Portanto:
X 1 2 3 4 5 6 7 Total
P (X = x) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1
Observação:
i) µ = E(X) = 4, 2 e σ2 = V ar(X) = 4, 16
ii) E(X) = 4, 2 e V ar(X) = 2, 08
39
Podemos notar que E(X) = 4, 2; dizemos que X é estimador não-viesado do parâmetro µ.
Exemplo 2: Usando os dados anterior, construa a distribuição amostral das estatísticas?
a) S2 = 1n−1
∑n
i=1
(
Xi −X
)2
b) σ̂2 = 1n
∑n
i=1
(
Xi −X
)2
40
Capítulo 3
Distribuições Amostrais
3.1 Distribuição Amostral da Média
Vamos estudar agora a distribuição amostral da estatística X, a média da amostra.
Considere uma população identificada pela variável aleatória X, cujos parâmetros média
populacional µ = E(X) e variância populacional σ2 = V ar(X) são supostos conhecidos. Vamos
Retirar todas as possíveis aas de tamanho n dessa população, e para cada uma calcular a média
X. Em seguida, consideremos a distribuição amostral e estudemos suas propriedades.
A título de ilustração voltemos ao exemplo 1:
Exemplo: A população X = {1, 3, 5, 5, 7} tem média µ = 4, 2 e variância σ2 = 4, 16. Vimos
que a distribuição amostral de X é da seguinte forma:
X 1 2 3 4 5 6 7 Total
P (X = x) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1
Onde:
E(X) = 4, 2 e V ar(X) = 2, 08
Podemos verificar dois fatos:
1. a média das médias amostrais coincide com a média populacional;
2. a variância de X é igual à variância de X, dividida por n = 2.
Com isso, temos o seguinte resultado.
41
3.1.1 Média e variância da distribuição amostral da média
Teorema 1: Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma
população representada pela variável aleatória X com média µ e variância σ2. Então:
E(X) = µ
Se a população é infinita (ou muito grande) OU se a amostragem é com reposição, a variãncia
da distribuição amostral das médias, denotada por σ2(X), é dada por:
V ar(X) = σ2(X) =
σ2
n
Como decorrência, o desvio-padrão das médias é dado por: σ(X) = σ√
n
, também chamado
erro padrão de X.
Se a população é finita (N < 20n ou n > 5% de N) OU se a amostragem é sem reposição,
então a variância da distribuição amostral das médias é dada por:
σ2(X) =
σ2
n
(
N − n
N − 1
)
É importante notar que esse resultado se refere a qualquer populaçãoX. O que ele estabelece
é que as médias amostrais das diferentes aas, de tamanho n tendem a "acertar o alvo"da média
populacional µ.
Agora, como obter informação sobre a forma da distribuição dessa estatística.
3.1.2 Distribuição amostral da média para populações Normais com
Variância conhecida
Teorema 2: Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma
população normal, isto é, uma população representada por uma variável aleatória normal X
com media µ e variância σ2. Entao:
X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
⇒ Z = X − µσ√
n
∼ N(0, 1)
ou
42
X ∼ N
(
µ;
σ2
n
(
N − n
N − 1
))
⇒ Z = X − µ√
σ2
n
N−n
N−1
∼ N(0, 1)
Na Figura abaixo ilustra-se o comportamento da distribuição amostral da média amostral com
base em amostras de tamanho n = 4 para uma populacao normal com media 2 e variancia 9.
A titulo de comparação, apresenta-se ai a distribuição populacional. Pode-se observar que ela
e mais dispersa que a distribuição amostral de X, mas ambas estão centradas no verdadeiro
valor populacional µ = 2.
Exemplos:
1. Uma v.a. X tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10.
a) Calcule P (90 < X < 110)
b) Se X é a média de uma amostra aleatória simples de 16 elementos retirados dessa
população, calcule P (90 < X < 110).
c) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < X < 110) = 0, 95?
2. A capacidade máxima de um elevador é de 500kg. Se a distribuição dos pesosdos usuários
é N(70; 100), qual é a probabilidade de que 7 pessoas ultrapassem este limite? E de 6
pessoas?
43
3.1.3 Teorema Central do Limite
Os resultados vistos anteriormente sao válidos para populações normais, isto é, se uma
população é normal com média µ e variância σ2, então a distribuição amostral de X é também
normal com média µ e variância σ2/n, onde n é o tamanho da amostra. O teorema limite
central que veremos a seguir nos fornece um resultado análogo para qualquer distribuição
populacional, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande.
Exemplo: Para a população X = {1, 3, 5, 5, 7}, considere os histogramas das distribuições
de X para n = 1, 2, 3.
1. Para n = 1, temos que a distribuição de X coincide com a distribuição de X, com E(X) =
E(X) = 4, 2 e V ar(X) = V ar(X) = 4, 16 (Figura a);
2. Para n = 2, temos que a distribuição de X dada na Figura (b), com E(X) = 4, 2 e
V ar(X) = 2, 08;
3. Para n = 3, temos que a distribuição de X dada na Figura (c), com E(X) = 4, 2 e
V ar(X) = 1, 39;
44
Conforme n vai aumentando, o histograma tende a se concentrar cada vez mais em torno de
E(X) = E(X) = µ, já que a variância vai diminuindo. Quando n for suficientemente grande, o
histograma alisado aproxima-se de uma distribuição normal.
Teorema 3: Teorema Central do Limite
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra aleatória simples de uma população X tal que E(X) = µ
e V ar(X) = σ2. Então, a distribuição de X converge para a distribuição normal com média µ
e variância σ2/n quando n→∞. Equtivalentemente,
X − µ
σ√
n
→ N(0, 1)
Corolário 1: Se (X1, X2, . . . , Xn) for uma amostra aleatória simples da população X, com
média µ e variância σ2 finita, e X = (X1 +X2 + . . .+Xn)/n, então
Z =
X − µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
Chamemos de e a v.a que mede a diferença entre a estatística X e o parâmetro µ, isto é,
e = X − µ é chamamdo o erro amostral da média. Então, temo o
Corolário 2: A distribuição de e aproxima-se de uma distribuição normal com média 0 e
variância σ2/n, isto é:
√
ne
σ
∼ N(0, 1)
45
A interpretação prática do teorema limite central é a seguinte: para amostras grandes de
qualquer população, podemos aproximar a distribuição amostral de X por uma distribuição
normal com a mesma média populacional e variância igual à variância populacional dividida
pelo tamanho da amostra.
Na Figura abaixo ilustra-se esse teorema para a distribuição exponencial, ou seja, para
uma população distribuída segundo uma exponencial com parâmetro λ = 1. O grafico superior
representa a distribuição populacional e os histogramas representam a distribuição amostral
de X ao longo de 5000 amostras de tamanhos 10, 50, 100 e 250. Assim, podemos ver que,
embora a população seja completamente diferente da normal, a distribuição amostral de X vai
se tornando cada vez mais proxima da normal a medida que n aumenta.
46
Exemplo: Uma moeda é lançada 50 vezes, com o objetivo de se verificar sua honestidade.
Se ocorrem 36 caras nos 50 lançamentos, o que podemos concluir?
Neste caso, a população pode ser representada por uma variável de Bernoulli X com
parâmetro p, isto é, X assume o valor 1 com probabilidade p na ocorrência de cara e assume o
valor 0 com probabilidade 1− p na ocorrência de coroa. Para uma variável de Bernoulli, temos
que E(X) = p e V ar(X) = p(1− p) . Como sao feitos 50 lançamentos, o tamanho da amostra
é 50 (n grande!) e, pelo Teorema Centraldo Limite,X é aproximadamente normal com média
E(X) = p e variância V ar(X) =
Suponhamos que a moeda seja honesta, isto é, que p = 1/2. Nessas condições, qual é a
probabilidade de obtermos 36 caras em 50 lançamentos? Com a hipótese de honestidade da
moeda, o teorema central do limite nos diz que
X ∼ N
(
1
2
,
1
2 × 12
50
)
A probabilidade de se obter 36 ou mais caras em 50 lan�camentos é equivalente à
probabilidade de X ser maior ou igual a 3650 = 0, 72 e essa probabilidade
P
(
X ≥ 0, 72) = P (X − 0, 5√
1/200
0, 72− 0, 5√
1/200
)
= P (Z3, 11)
= 0, 5− 0, 49906 = 0, 00094
Note que essa probabilidade é bastante pequena, ou seja, há uma pequena probabilidade de
obtermos 36 ou mais caras em um lançamento de uma moeda honesta. Isso pode nos levar a
suspeitar sobre a honestidade da moeda!
Exercício: O fabricante de uma lâmpada especial afirma que o seu produto tem vida média
de 1.600 horas, com desvio padrao de 250 horas. O dono de uma empresa compra 100 lâmpadas
desse fabricante. Qual é a probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1.650
horas?
3.1.4 Deterrminação do tamanho de uma amostra
Em nossas considerações anteriores fizemos a suposição que o tamanho da amostra, n, era
conhecido e fixo. Podemos, em certas ocasiões, querer determinar o tamanho da amostra a ser
escolhida de uma população, de modo a obter um erro de estimação previamente estipulado,
47
com determinado grau de confiança.
Por exemplo, suponha que estejamos estimando a média µ populacional e para tanto
usaremos a média amostral, X, baseada numa amostra de tamanho n. Suponha que se queira
determinar o valor de n de modo que:
P
(∣∣X − µ∣∣ ≤ �) ≥ α
A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da MÉDIA
POPULACIONAL µ é dada por:
n =
σ2z2α
�2
Onde:
• n = Número de indivíduos na amostra;
• zα = Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado.
• σ = Desvio padrão populacional da variável estudada.
• � erro amostral máximo que podemos suportar. Margem de erro ou ERRO MÁXIMO
DE ESTIMATIVA. Identifica a diferença máxima entre a MÉDIA AMOSTRAL (X) e a
verdadeira MÉDIA POPULACIONAL.
Note que na expressão anterior conhecemos zα e �, mas σ
2 = é a variância desconhecida da
população. Para podermos ter uma idéia sobre n devemos ter alguma informação prévia sobre
σ2 ou, então, usar uma pequena amostra piloto para estimar σ2.
Exemplo: Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de
um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja
ter 95% de confiança em que a média amostral esteja a menos de R$500, 00 da verdadeira média
populacional?
3.2 Distribuição Amostral da Proporção - Amostras grandes
3.2.1 Aproximação normal da distribuição binomial
Vimos anteriormente o Teorema Limite Central, que trata da distribuição da media amostral
X quando n → ∞. Esse teorema nos diz que, se X e uma população com média µ e variância
48
σ2, então a distribuição amostral da media de uma amostra aleatória simples de tamanho n se
aproxima de uma distribuição normal com média µ e variância σ2/n quando n→∞.
Usando as propriedades da média e da variância, podemos estabelecer esse teorema
em termos de Sn =
∑n
i=1Xi, em vez de X. Como Sn = nX, entao E(Sn) = nE(X) e
V ar(Sn) = n
2V ar(X) e isso nos dá o seguinte resultado.
Teorema: Teorema Central do Limite
Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatória simples de uma população X tal que E(X) = µ e
V ar(X) = σ2. Então, a distribuição de Sn =
∑n
i=1Xi converge para a distribuição normal com
média nµ e variância nσ2 quando n→∞.
A variável aleatória binomial foi definida como �número de sucessos em n repetições
independentes de um experimento de Bernoulli com parâmetro p". Então, uma variável
binomial é a soma de n variáveis independentes Bern(p). Pelo teorema acima e usando o fato
de que se X ∼ Bern(p) então E(X) = p e V ar(X) = p(1−p), podemos dizer que a distribuição
binomial com parâmetros n e p se aproxima de uma normal com média np e variância np(1− p)
quando n→∞.
Quando usamos a aproximação Normal para a Binomial, estamos aproximando uma variável
discreta (que só assumem valores inteiros) por uma variável contínua (que pode assumir
quaisquer valores dentro de um intervalo de número reais).È de se esperar que algum ajuste
deva ser feito. Este ajuste é denominado de correção de continuidade.
A correção de continuidade ajuda a melhorar as probabilidades obtidas por meio da
aproximação normal para a Binomial. A correção é simplesmente somar ou subtrair 0,5 ao
valor (antes de obter as probabilidades).
• P (X ≤ a) = P (X ≤ a+ 0, 5);
• P (X ≥ a) = P (X ≥ a− 0, 5):
• P (X = a) = P (a− 0, 5 ≤ X ≤ a+ 0, 5).
• P (a < X ≤ b) = P (a− 0, 5 ≤ X ≤ b+ 0, 5).
A aproximação dada pelo teorema limite central é melhor para valores grandes de n. Existe
a seguinte regra empirica para nos ajudar a decidir o que é �grande".
49
A distribuição binomial com parâmetros n e p pode ser aproximada por uma distribuição
normal com media np e variância np(1− p) se são satisfeitas as seguintes condições:
1. np ≥ 5
2. n(1− p) ≥ 5
Exemplo: Lança-se uma moeda 20 vezes. Qual a probabilidade de se obter de uma a cinco
caras, usando:
a) distribuição binomial
b) aproximação da binomial pela normal
3.2.2 A distribuição amostral da proporção
Considere uma população em que cada elemento é classificado de acordo com a presença ou
ausência de determinada característica.
Em termos de variável aleatória, essa população é representada por uma v.a. de Bernoulli,
isto é:
X =
{
1 se o indivíduo for portador da característica
0 se o indivíduo não for portador da característica
(3.1)
Denotando por p a proporção de elementos da população que possuem a característica de
interesse. Então, P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 − p, E(X) = p e V ar(X) = p(1 − p). Em
geral, esse parâmetro é desconhecido e precisamos estimá-lo a partir de uma amostra.
Suponha, então, que dessa população seja extraída uma amostra aleatória simples
X1, X2, . . . , Xn com reposição. Essas n extrações correspondem a n variáveis aleatórias
de Bernoulli independentes e, como visto, Sn =
∑n
i=1Xi tem distribuição binomial com
parâmetros n e p.
Com relação à proporção p̂ de elementos na amostra que possuem a característica de interesse,
temos que:
p̂ =
Sn
n
=
X1 +X2 + . . .+Xn
n
(3.2)
e
50
E(p̂) = p e V ar(p̂) =
p(1− p)
n
(3.3)
Vemos, então, que a proporção amostral é um estimador não-viesado da proporção
populacional P .
Pelo Teorema Limite Central temos que:
p̂ ∼ N
(
p;
p(1− p)
n
)
→ p̂− p√
p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (3.4)
Como essa aproximação é uma conseqüência direta da aproximação normal da binomial, as
mesmas regras continuam valendo: a aproximação deve ser feita se np ≥ 5 e n(1− p) ≥ 5.
Exemplo: Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos
uma AAS de n = 10 estudantes e calculamos p̂ = proporção de mulheres na amostra. Qual a
probabilidade de que p̂ difira de p em menos de0, 01?
3.2.3 Determinação do Tamanho de uma Amostra
Fizemos suposições que o tamanho da amostra n, era conhecido e fixo. Podemos em certas
condições, querer determinar o tamanho da amostra a ser escolhida de uma população, de
modo a obter um erro de estimação previamente estipulado, com determinado grau de confiança.
Por exemplo, suponha que estejamos estimando a média µ populacional e para tanto
usaremos a média amostral, X, baseada numa amostra de tamanho n. Suponha que se queira
determinar o valor de n de modo que:
P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ �) ≥ 1− α, (3.5)
com 0 < 1−α < 1 e � é o erro amostral máximo que podemos suportar, ambos valores fixados.
Sabemos que X ∼ N(µ;σ2/n), logo X − µ ∼ N(0;σ2/n) e portanto a equação anterior,
pode ser escrita:
p(−� ≤ X − µ ≤ �) = P
(−√n�
σ
≤ X − µ
σ/
√
n
≤
√
n�
σ
)
= 1− α (3.6)
51
com Z = (X − µ)√n/σ. Dado 1 − α, podemos obter Zα/2 da N(0, 1), tal que P (−Zα/2 <
Z < Zα/2) = 1− α, de modo que
√
n�
σ
= Zα/2 (3.7)
do que obtemos:
n =
σ2Z2α/2
�2
. (3.8)
No caso de proporções, usando a aproximação normal para p̂, é fácil ver que (9) resulta
n =
Z2α/2p(1− p)
�2
. (3.9)
Como não conhecemos p, a verdadeira proporção populacional, podemos usar o fato de que
p(1− p) ≤ 1/4, para todo p e (10) fica
n ≈
Z2α/2
4�2
. (3.10)
Exemplo: De uma população normal com variância 25 extrai-se uma amostra aleatória
simples de tamanho n com o objetivo de se estimar a média populacional µ com um nível de
confiança de 90% e margem de erro de 2. Qual deve ser o tamanho da amostra?
3.3 Outras Distribuições Amostrais
3.3.1 Distribuição amostral da Média para populações Normais com
Variância desconhecida - amostras pequenas
Em muitas situações da vida real, o desvio padrão da população é desconhecido. Além disso,
por causa das diversas limitações como tempo e custo, frequentemente não é prático coletar
amostras de tamanho 30 ou mais.
Como não se conhece o valor da variância populacional σ2, e portanto não se conhece
também o valor do desvio padrão populacional σ, uma possibilidade é substituir o desvio
padrão populacional pelo seu estimador, o desvio padrão amostral. Neste caso, passamos a
ter a estatística T :
52
T =
Xi − µ
s/
√
n
que possui Distribuição t-Studente com (n− 1) graus de liberdade, e portanto:
Xi − µ
s/
√
n
∼ tn−1
Propriedades da Distribuição t-Student
i) A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica sobre a média;
ii) A distribuição t é uma família de curvas, cada uma determinada por um parâmetro
chamado grau de liberdade. Os graus de liberdade são o número de escolhas livres deixadas
depois que uma amostra estatística tal como X é calculada.
iii) Quando usamos a distribuição t para estimar a média da população os graus de liberdade
são iguais ao tamanho da amostra menos um g.l = n− 1.
iv) Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t aproxima a distribuição
normal. Depois de 30 g.l, a distribuição t está muito próxima à distribuição normal
padrão.
v) Quando a população é normal com parâmetros desconhecidos, teoricamente a solução
N(0, 1) só é aconselhável quando n > 120. Ná prática, para n > 30 usa-se a N(0, 1).
Portanto:
� Se n > 30, usa-se a distribuição normal com s2;
� Se n ≤ 30, usa-se a distribuição t de Studente, com v = n− 1 graus de liberdade.
53
vi) A distribuição t está tabelada. A tabela dá as abscissas da distribuição para diversas áreas
(probabilidades) nas caudas.
Exemplos do uso da Tabela
1. Para uma distribuição t de Student com 12 graus de liberdade, encontre a probabilidade
(área) de cada uma das seguintes regiões (esboce um gráfico para auxiliar na solução):
a) à esquerda de 1,782;
b) à direita de -1,356;
c) à direita de 2,681;
d) entre -1,356 e 2,179.
2. Encontre o valor crítico tc para um nível de confiança de 95%, para uma distribuição t de
Student com 14 graus de liberdade.
3. Encontre o valor crítico tc para um nível de confiança de 90%, para uma distribuição t de
Student com 21 graus de liberdade.
3.3.2 Distribuição amostral da Média para populações Quaisquer com
Variância desconhecida
Pelo Teorema Central do Limite, temos que:
À medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média
se aproxima da forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da
população. Ná prática, a distribuição de amostragem da média pode ser considerada como
aproximadamente normal sempre que o tamanho da amostra for n ≥ 30.
Assim se o desvio padrão da população for desconhecido, o erro padrão da média pode
ser estimado usando-se o desvio padrão da amostra como um estimador do desvio pdrão da
população. Dessa forma o erro padrão estimado da média é:
S(x) =
S√
n
Exemplo: Um auditor toma uma amostra de n = 36 de uma população de 1.000
contas a receber. O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da
amostra é S = R$43, 000. Se o verdadeiro valor da média da população de contas a receber
54
é µ = R$260,000, qual a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a
R$250, 000
3.3.3 Distribuição Amostral da soma ou diferença de duas Médias com
variância conhecida
Desejamos identificar a distribuição amostral do estimador X1 ±X2 .
Considere duas populações 1 e 2 e sejam X1, X2, . . . , Xn e X1, X2, . . . , Xm amostras
independentes com n e m elementos, obtidas respectivamente das duas populações normalmente
distribuídas, com médias µ1 e µ2 e variâncias σ
2
1 e σ
2
2.
Sabe-se que:
X1 ∼ N
(
µ1;
σ21
n
)
e X2 ∼ N
(
µ2;
σ22
m
)
Temos:
X1 ±X2 ∼ N
(
µ1 ± µ2; σ
2
1
n
+
σ22
m
)
e
Z =
(
X1 ±X2
)− (µ1 ± µ2)√
σ21
n +
σ22
m
∼ N(0, 1)
Exemplo: A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma turbina de avião
a jato é uma variável aleatória, com média de 5.000 horas e desvio-padrão de 40 horas. A
distribuição da vida efetiva é razoavelmente próxima da distribuição normal. O fabricante do
motor introduz uma melhoria no processo de fabricação para esse componente, que aumenta
a vida média para 5.050 horas e diminui o desvio-padrão para 30 horas. Suponha que uma
amostra aleatória de n1 = 16 componentes seja selecionada do processo "antigo"e uma amostra
de n2 = 25 componentes seja selecionada do processo "melhorado". Qual é a probabilidade de
que a diferença nas duas médias amostrais X2 −X1 seja no minimo 25 horas?
55
3.3.4 Distribuição Amostral da Soma ou Diferença de duas Proporções
Desejamos identificar a distribuição amostral do estimador p̂1 ± p̂2.
Considere duas populações 1 e 2 e sejam X1, X2, . . . , Xn e X1, X2, . . . , Xm amostras
independentes com n e m elementos, obtidas respectivamente de duas populações com
parâmetros p1 e p2.
Vimos que:
p̂1 ∼ N
(
p1;
p1(1− p1)
n
)
(3.11)
e
p̂2 ∼ N
(
p2;
p2(1− p2)
m
)
(3.12)
Assim:
p̂1 ± p̂2 ∼ N
(
p1 ± p2; p1(1− p1)
n
+
p2(1− p2)
m
)
(3.13)
e
(p̂1 ± p̂2)− (p1 ± p2)√
p1(1−p1)
n +
p2(1−p2)
m
∼ N (0; 1) (3.14)
3.3.5 Distribuição Amostral da soma ou diferença de duas Médias com
variância desconhecida - amostras pequenas
Desejamos identificar a distribuição amostral do estimador X1 ±X2 .
Considere duas populações 1 e 2 e sejam X1, X2, . . . , Xn e X1, X2, . . . , Xm amostras
independentes com n e m elementos, obtidas respectivamente das duas populações normalmente
distribuídas, com médias µ1 e µ2 e variâncias σ
2
1 e σ
2
2 desconhecidas.
a) σ21 = σ
2
2 = σ
2
56
Denotemos as médias amostrais por X1 e X2, e as variâncias amostrais por S
2
1 e S
2
2 . Como
S21 e S
2
2 são ambos, estimativas da variância comum σ
2
, podemos obter um estimador
combinado de σ2.
S2p =
(n− 1)S21 + (m− 1)S22
n+m− 2
Assim:
T =
(
X1 ±X2
)− (µ1 ± µ2)
Sp
√
1
n +
1
m
∼ tn+m−2
Exemplo: Em um processo químico de matérias-primas, usado para gravar placas de
circuito impresso, estão sendo comparados dois catalisadores diferentes para se determinar
se eles exigem tempo diferentes de imersão para a remoção de quantidades idênticas de
material fotorresistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1, resultando em uma
média amostral do tempo de imersão de X1 = 24, 6 minutos e um desvio padrão amostral
de s1 = 0, 85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao catalisador 2, resultado em um
tempo médio de imersão de X2 = 22, 1 minutos e em um desvio-padrão de s2 = 0, 98
minuto. Achar um intervalo de confiança de 95% de confiança para a diferença entre as
médias µ1 − µ2, supondo que os desvios-padrão das duas populações sejam iguais.
Solução:
Temos que:
i) S2p =
(n−1)S21+(m−1)S22
n+m−2 =
11(0,85)2+14(0.98)2
12+15−2 = 0, 8557
ii) O desvio-padrão combinado é Sp =
√
0, 8557 = 0, 925
iii)
P (−tα/2,n+m−2 ≤ t ≤ tα/2,n+m−2) = 1− α
ou
P (−tα/2,n+m−2 ≤
(
X1 −X2
)− (µ1 − µ2)
Sp
√
1
n +
1
m
≤ tα/2,n+m−2) = 1− α
P
((
X1 −X2
)− tα/2,n+m−2Sp√ 1
n
+
1
m
≤ (µ1 − µ2) ≤
(
X1 −X2
)
+ tα/2,n+m−2Sp
√
1
n
+
1
m
)
= 1− α
(3.15)
57
iv) tα/2,n+m−2 = t0,025;25 = 2, 060. Portanto:
P (24, 6− 22, 1− 2, 060(0, 925)
√
1
12
+
1
15
≤ (µ1 − µ2) ≤ 24, 6− 22, 1 + 2, 060(0, 925)
√
1
12
+
1
15
) = 1− 0, 5
(3.16)
P (1, 76 ≤ (µ1 − µ2) ≤ 3, 24) = 0, 95 (3.17)
Portanto, estamos 95% confiantes de que o catalisador 1 requer um tempo de imersão
maior do que o tempo de imersão exigido pelo catalisador 2 por uma quantidade que
está entre 1,76 minuto e 3,24 minutos.
b) σ21 6= σ22
Em muitas situações não é razoável supor que σ21 = σ
2
2. Portanto, quando a hipótese de
igualdade de variâncias for rejeitada, devemos usar a estatística:
T =
(
X1 ±X2
)− (µ1 ± µ2)√
S21
n +
S22
m
∼ tv
com v graus de liberdade dado por:
v =
(
S21
n +
S22
m
)2
(S21/n)
2
n+1 +
(S22/m)
2
m+1
3.3.6 Distribuição Amostral da Variância
Há casos em que se está mais interessado na variância do que na média da amostra. Por
exemplo, em filas de espera. Mesmo conhecendo-se o tempo médio de espera, a informação do
grau de variabilidade deste tempo é importante.
Quando há incerteza em relação ao valor de σ2 estima-se o seu valor por:
σ̂2 = S2 =
n∑
i=1
(Xi −X)2/(n− 1)
Teorema: Se S2 é a variância de uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma
população normal com parâmetros µ e σ2, então a estatística
58
∑n
i=1(Xi −X)2
σ2
=
(n− 1)S2
σ2
tem distribuição χ2 com (n− 1) graus de liberdade.
e
E(S2) = σ2 e V (S2) =
2σ4
n− 1
Teorema: Sejam Z1, Z2, . . . , Zk variáveis aleatórias independentes identicamente
distribuídas, a distribuição da variável aleatória
k∑
i=1
Z2i
é denominada Distribuição Qui-quadrado com k graus de liberdade e anotada χ2k.
A esperança de uma distribuição Qui-quadrdo é dado pelo valor k, enquanto a variância é
dada por 2k.
Propriedades da distribuição qui-quadrado
• Todos os valores qui-quadrado χ2 são maiores ou iguais a zero;
• A distribuição qui-quadrado é uma família de curvas, cada uma determinada pelos graus
de liberdade;
• A área abaixo da curva da distribuição qui-quadrado é igual a um;
• As distribuições qui-quadrados são assimétricas positivas.
Graus de liberdade:
• Os graus de liberdade podem ser vistos como uma medida da informação amostral.
• Sabendo que
∑n
i=1(xi−µ)2
σ2
∼ χ2n →
∑n
i=1(xi−x)2
σ2
∼ χ2n−1 quando µ não é conhecido há 1 grau
de liberdade a menos ou considera-se que um grau de liberdade é perdido na estimação de
µ.
59
• Generalização: Há n graus de liberdade, ou partes de informação independentes, em
uma amostra aleatória de uma população normal e cada vez que se utiliza uma estatística
em substituição a um parâmetro perde-se um grau de liberdade.
• O número de graus de liberdade para uma coleção de dados amostrais é o número de
valores amostrais que podem variar depois que certas restrições tiverem sido impostas
aos dados amostrais.
Exemplo: Se 10 estudantes têm escores de testes com uma média de 80, podemos
livremente atribuir valores aos nove primeiros escores, mas o 10
o
escore está, então,
determinado. A soma dos 10 escores deve ser 800, de modo que o 10
o
escore deve ser
800 menos a soma dos 9 primeiros escores. Como esses 9 primeiros escores podemos ter
valores escolhidos livremente, dizemos que há 9 graus de liberdade disponíveis. Portanto,
o número de grau de liberdade é simplesmente o tamanho amostral menos 1.
60
3.3.7 Distribuição da Razão entre duas Variâncias Amostrais
Suponha que X1, X2, . . . , Xn formem uma amostra aleatória de n observações de
uma distribuição normal com média µ1 e variância σ
2
1 desconhecidos, e suponha que
X1, X2, . . . , Xm formem uma amostra aleatória de m observações de uma distribuiçãonormal com média µ2 e variância σ
2
desconhecidos. Sabemos que
∑n
i=1(Xi −X)2
σ21
=
(n− 1)S21
σ21
∼ χ2n−1
e
∑m
i=1(Xi −X)2
σ22
=
(m− 1)S22
σ22
∼ χ2m−1
Logo:
S21/σ
2
1
S22/σ
2
2
∼ Fn−1,m−1
Se σ21 = σ
2
2, então
S21
S22
∼ Fn−1,m−1
Distribuição F
Sejam U e V duas variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição qui-
quadrado com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a v.a.
W =
U/v1
V/v2
é denominada Distribuição de Snededor com v1 e v2 graus de liberdade e anotada
W ∼ F (v1, v2).
A função densidade de probabilidade da distribuição de Snedecor é:
f(w) =
Γ(v1+v22 )
Γ(v1/2)Γ(v2/2)
(
v1
v2
)
w(v1−2)/2
(1 + v1w/v2)(v1+v2)/2
, w > 0
� A densidade da distribuição F é assimétrica e W assume valores positivos em todos
os reais.
61
� E(W ) = v2v2−2 e V (W ) =
2v22(v1+v2−2)
v1(v2−2)2(v2−4) .
� A distribuição F surge, normalmente, como a distribuição sob a hipótese nula de
testes estatísticos, principalmente testes de comparação de variâncias. Seu uso é
muito comum na análise de experimentos, onde utiliza-se o teste F na análise de
variância de planejamentos fatoriais.
Uso da Tabela da Distribuição F
Na tabela são dados os pontos f0 tais que:
Figura 3.1: Gráfico da Distribuição F-Snedecor
P{F (v1, v2) > f0} = α
para α = 0, 05, α = 0, 025 e alguns valores de v1 e v2. Para encontrar os valores inferiores,
usamos a identidade:
F (v1, v2) = 1/F (v2, v1)
Por exemplo: Considere, W ∼ F (5, 7).
� Determinar P (F > 3, 97);
� Encontrar o valor f0 tal que P (F < f0) = 0, 05.
Exemplo: Suponha que uma amostra de tamanho 6 seja retirada de uma população
normalmente distribuída com média µ1 e variância 30, e que uma amostra de tamanho 30
seja retirada de uma outra população normalmente distrbuída com média µ2 e variância 76.
Qual é a probabilidade de S21 > S
2
2?
62
Capítulo 4
Estimação de Parâmetros
A Inferência Estatística é o processo pelo qual a informação obtida a partir de dados amostrais é
usada para se tirarem conclusões sobre a população da qual a amostra foi selecionada. Existem
dois problemas básicos nesse processo.
� Estimação de Parâmetros: na qual usamos o resultado amostral para estimar o valor
desconhecido do parâmetro; e
� Teste de Hipótese sobre parâmetros: usamos o resultado amostral para avaliar se
uma afirmação sore o parâmetro (uma hipótese) é sustentável ou não.
Suponha que alguma característica dos elementos de uma população seja representada pela v.
a X, cuja f.d.p é f(x; θ), onde a forma dessa densidade seja conhecida, exceto pelo parâmetro θ
desconhecido, que se deseja estimar.
Suponha que os valores x1, x2, . . . , xk de uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xk possam ser
observados. Com base nesses valores observados deseja-se estimar o valor desconhecido de θ. A
estimação pode ser obtida de 2 maneiras: estimação pontual e estimação por intervalo.
1. Estimação Pontual: Uma estimativa pontual de um parâmetro populacional é um
único valor numérico de uma estatística que corresponde àquele parâmetro.
2. Estimação por intervalo: determina-se um intervalo para o qual a probabilidade de
que ele contenha o valor θ possa ser determinado.
Para ilustrar as idéias básicas dos estimadores, considere o seguinte exemplo:
63
Exemplo 1: Numa população queremos saber a proporção de pessoas favoráveis ao projeto
A. Foi colhida uma amostra com n = 500, e dessas 300 responderam sim. Então a estimativa
natural para essa proporção seria 300/500 = 60%. Esta resposta é baseada na suposição de que
a amostra é representativa.
Conhecer as propriedades desses estimadores é um dos propósitos mais importantes da inferência.
Sejam as variáveis aleatórias X1, . . . , Xn tais que:
Xi =
{
1 se a resposta for sim
0 se caso contrário
(4.1)
Portanto Yn =
∑n
i=1Xi, então sabemos que Yn tem distribuição binomial com parâmetros n
e p, e o problema consiste em estimar p. Yn representa o número de pessoas na amostra que
responderam SIM; portanto um possível estimador de p é:
p̂ =
Yn
n
=
∑n
i=1Xi
n
Pelo Teorema Central do Limite vimos que:
p̂ ∼ N
(
p;
p(1− p)
n
)
→ p̂− p√
p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (4.2)
Esses resultados ajudam a avaliar a qualidade do estimador, por exemplo, p̂ é não-viciado, pois
em média ele acerta o valor de p.
O resultado indica que, para amostras grandes a diferença entre p e p̂ tende a ser pequena, pois
para n→∞ a V ar(p̂)→ 0. Neste caso, dizemos que p̂ é um estimador consistente de p.
Em alguns casos, há mais de um estimador para um mesmo parâmetro. O julgamento do
melhor estimador pode ser feito analisando suas propriedades.
Exemplo: Desejamos testar os rifles A,B,C e D. Foi feito um teste com cada rifle. Fixando-se
cada rifle em um cavalete, mirando o centro do alvo, cada rifle dispara 15 tiros. O desenho
ilustra os resultados.
a) Se o critério for acertar "`em média acertar o alvo"', escolheríamos as armas A e C.
64
Figura 4.1: Resultados de 15 tiros dados por 4 rifles
b) Se o critério for de "`não ser muito dispersivo"' (variância pequena), a escolha recairia
nas armas C e D. Sendo que, a arma C é aquela que reúne as duas propriedades e,
segundo esses critérios, seria a melhor arma.
Introduzindo os conceitos de acurácia (mede a proximidade de cada observação do valor alvo) e
precisão (mede a proximidade de cada observação da média de todas as observações) podemos
descrever cada arma da seguinte maneira:
a) Arma A: não-viesada, pouco acurada e baixa precisão.
b) Arma B: viesada, pouco acurada e baixa precisão.
c) Arma C: não-viesada, muito acurada e boa precisão.
d) Arma D: viesada, pouco acurada e alta precisão.
4.1 Propriedade dos Estimadores
Na inferência estatística clássica não existe um critério único para escolha de estimadores em
um dado problema, mas sim um conjunto de critérios ou propriedades são descritos a seguir.
65
Definição: Um estimador θ̂ do parâmetro θ é qualquer função das observações da amostra, ou
seja, θ̂ = g(X1, . . . , Xn).
O problema da estimação é, então, determinar uma função θ̂ = g(X1, . . . , Xn) que seja
"proxima"de θ, segundo algum critério.
Definição: Um estimador θ̂ é não-viesado para θ
E(θ̂) = θ,
para todo θ.
No entanto pode ocorrer que a esperança do estimador se aproxima do verdadeiro valor de θ à
medida que aumenta o tamanho da amostra, isto é,
Limn→∞E(θ̂) = θ,
Neste caso, θ̂ é dito ser um estimador assintoticamente não-viesado para θ.
Exemplo: Sejam as variãveis aleatórias X1, . . . , Xn independentes e identicamente distribuídas
com E(Xi) = µ e V ar(Xi) = σ
2
. Então,
i) E(X) = µ
ii) V ar(X) = σ
2
n
Portanto a média amostral X é um ENV (estimador não-viesado) da média populacional µ e
sua variância dada por
σ2
n diminui com o tamanho da amostra.
Exemplo: Considere uma população com N elementos e a variância populacional
σ2 =
1
N
N∑
i=1
(Xi − µ)2,
onde µ = 1N
∑N
i=1Xi é a média populacional. Um possível estimador para σ
2
, baseado numa
AAS de tamanho n extraída dessa população, é
66
σ̂2 =
1
n
n∑
i=1
(Xi −X)2.
Mostre que esse estimador é viesado.
Dem: A soma dos quadrados em torno da média amostral pode ser reescrita como
n∑
i=1
(Xi −X)2 =
n∑
i=1
(Xi − µ+ µ−X)2
=
n∑
i=1
[
(Xi − µ)− (X − µ)
]2
=
n∑
i=1
(Xi − µ)2 − 2(X − µ)
n∑
i=1
(Xi − µ) + n(X − µ)2
Como X − µ é uma constante e ∑ni=1(Xi − µ) = n(X − µ), vem que
n∑
i=1
(Xi −X)2 =
n∑
i=1
(Xi − µ)2 − n(X − µ)2.
Assim, a esperança do estimador é dada por:
E(σ̂2) =
1
n
{
n∑
i=1
E(Xi − µ)2 − nE(X − µ)2
}
=
1
n
{
n∑
i=1
V ar(Xi)− nV ar(X)
}
=
1
n
{
nσ2 − nσ
2
n
}
=
n− 1
n
σ2,
Já que E(Xi−µ)2= V ar(Xi) = σ2 e E(X −µ)2 = V ar(X) = σ2n , e conclui-se que σ̂2 não é um
ENV para σ2. Porém,
Limn→∞
(
n− 1
n
)
σ2 = σ2
e portanto σ̂2 é assintoticamnte não viesado para σ2.
No exemplo acima nenhuma distribuição de probabilidade foi atribuída aos Xs. Assim as
propriedades obtidas são válidas qualquer que seja a distribuição dos dados. Além disso, fica
fácil obter um ENV para σ2 notando-se que
67
E
[(
n
n− 1
)
σ̂2
]
=
(
n
n− 1
)
E(σ̂2) = σ2
Portanto, o estimador
S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(Xi −X)2,
é um ENV para a variância populacional σ2. Essa é a razão para se usar n − 1, em vez de n,
como denominador da variância da amostra.
Consistência
Vimos que o estimador p̂ é não viesado e tem variância que tende a zero, quando n → ∞.
Dizemos que p̂ é consistente.
Considere a média X calculada para diversos tamanhos de amostras, obtemos, na realidade,
uma sequência de estimadores (Xn, n = 1, . . . , ). Á medida que n cresce, a distribuição de Xn
torna-se mais concentrada ao redor da verdadeira média µ.
68
Dizemos que {Xn} é uma sequência consistente de estimadores de µ.
Definição: Uma sequência θ̂n de estimadores de um parâmetro θ é consistente se, para todo
� > 0:
Limn→∞P
{∣∣∣θ̂n − θ∣∣∣ > �}→ 0
Proposição: Uma sequência θ̂n de estimadores de θ é consistente se:
Limn→∞E(θ̂n) = θ
Limn→∞V ar(θ̂n) = 0.
Se θ̂n for não-viesado, a primeira condição estará satisfeita. Usando esse resultado, vemos que
p̂ e Xn são estimadores consistentes de p e µ, respectivamente.
Exemplo1: Seja X1, . . . , Xn uma sequência de observações de uma distribuição N(µ, σ
2).
Demonstrar que S2 é um estimador consistente para a variância populacional σ2, onde:
S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(Xi −X)2.
Vimos anteriormente que, S2 é um estimador não-viesado para σ2, ou seja, E(S2) = σ2.
É�possível demostrar que:
V ar(S2) =
2σ4
n− 1 .
Como E(S2) = σ2, e Limn→∞V ar(S2) = 0, segue que S2 é um estimador consistente para σ2.
Exemplo: Seja X1, X2, · · · , Xn uma amostra i.i.d de uma população com média µ e variância
σ2 e considere os seguintes estimadores para a média populacional µ:
X¯ =
1
n
n∑
i=1
Xi e X
′ =
1
n+ 1
(2X1 +X2 + · · ·+Xn)
Podemos observar que E
(
X¯
)
= E (X ′) = µ, de onde concluímos que ambos os estimadores de
µ são não viciados. Calculando as variâncias, temos que
Var
(
X¯
)
= Var
(
1
n
n∑
i=1
Xi
)
=
1
n2
n∑
i=1
Var (Xi) =
σ2
n
.
69
Var
(
X ′
)
= Var
(
2X1 +X2 + · · ·+Xn
n+ 1
)
=
(n+ 3)σ2
(n+ 1)2
.
Neste caso, temos que limn→∞Var(X¯) = limn→∞ σ
2
n = 0 e limn→∞Var(X
′) =
limn→∞
(n+3)σ2
(n+1)2
= 0. Logo, tanto X quanto X' são estimadores consistentes para o parâmetro µ.
Exemplo 2: Seja X1, . . . , Xn uma sequência de observações de uma distribuição N(µ, σ
2).
Demonstrar que σ̂2 é um estimador consistente para a variância populacional σ2, onde:
σ̂2 =
1
n
n∑
i=1
(Xi −X)2
.
Vimos que E(σ̂2) = n−1n σ
2
, de modo que Limn→∞E(σ̂2) = σ2. Também temos,
V ar(σ̂2) = n−1
n2
(2σ4), o que mostra que V ar(σ̂2) → 0, quando n → ∞, logo σ̂2 = σ̂2n
também é consistente para σ2.
Pelos exemplos anteriores obtemos, também, que:
V ar(σ̂2) <
2σ4
n− 1 = V ar(S
2).
Portanto, usando-se somente o critério de "`ter menor variância"', σ̂2 seria um "`melhor"'
estimador de σ2.
Definição: Se θ̂ e θ̂
′
são dois estimadores não-viesados de um mesmo parâmetro θ, e ainda
V ar(θ̂) < V ar(θ̂
′
)
então θ̂ diz-se mais eficiente do que θ̂
′
.
4.2 Erro Quadrático Médio
Nem sempre é possível obter um estimador que seja, ao mesmo tempo, não tendencioso e
eficiente. Neste caso, é preferível escolher um estimador que minimize o erro quadrático médio.
70
Chamemos de
e = θ̂ − θ,
o erro amostral que cometemos ao estimar o parâmetro θ da distribuição da v.a X pelo
estimador θ̂ = g(X1, . . . , Xn), baseado na amostra (X1, . . . , Xn).
Definição: Chama-se erro quadrático médio (EQM) do estimador θ̂ ao valor
EQM(θ̂; θ) = E(e2) = E(θ̂ − θ)2.
Escrevendo θ̂ − θ = θ̂ − E(θ̂) + E(θ̂)− θ, temos que
EQM(θ̂, θ) = E
(
(θ̂ − E(θ̂))2
)
+ 2E
(
(θ̂ − E(θ̂))(E(θ̂)− θ)
)
+ E
(
(E(θ̂)− θ)2
)
,
de onde concluímos que
EQM(θ̂, θ) = E
(
(θ̂ − E(θ̂))2
)
+ E
(
(E(θ̂)− θ)2
)
,
pois E(θ̂)− θ é uma constante e E(θ̂ − E(θ̂)) = 0.
EQM(θ̂; θ) = V ar(θ̂) +B2(θ̂), (4.3)
em que
B(θ̂) = E(θ̂)− θ
é denominado o vicio do estimador θ̂. Dizemos que um estimador θ̂ é não viciado para θ se
71
E(θ̂) = θ,
para todo θ ∈ Θ, ou seja B(θ̂) = 0, ∀θ ∈ Θ.
Figura 4.2: Representação gráfica para o EQM
Se limn→∞B(θ̂) = 0, ∀θ ∈ Θ, dizemos que o estimador θ̂ é assintoticamente não viciado
para θ.
No caso que em θ̂ é um estimador não viciado para θ, temos que, EQM(θ̂) = V ar(θ̂), ou seja,
o EQM de θ̂ se reduz a sua variância.
O erro quadrático médio é comumente empregado na comparação de estimadores. Dizemos,
então, que θ̂1 é melhor do que θ̂2 se
EQM(θ̂1) ≤ EQM(θ̂2),
para todo θ, com ≤ substituído por < para ao menos um valor de θ. Neste caso o estimador θ̂2
é dito ser inadmissível.
Um estimador é dito ser ótimo (ou admissível) para θ se não existir nenhum outro estimador
melhor do que ele. Assim, θ̂∗ é um estimador ótimo para θ se
EQM(θ̂∗) ≤ EQM(θ̂),
com ≤ substituído por < para ao menos um valor de θ.
72
No caso de estimadores não viesados a comparação é feita em termos de variâncias. Em
particular, se θ̂∗ for um ENV para θ e
V ar(θ̂∗) ≤ V ar(θ̂)∀θ
com ≤ substituído por < para ao menos um valor de θ então θ̂∗ é dito ser não viesado de
variância uniformemente mínima (UMVU).
Em geral o processo de estimação consiste em escolher o estimador que apresenta o menor erro
quadrático médio. No caso de estimadores não viesados isto equivale a escolher aquele com a
menor variância.
Exemplo: Sejam X1, X2, X3 uma amostra aleatória da variável aleatória X com E(X) = θ e
V ar(X) = 1. Consideremos os estimadores
θ̂1 = X =
X1 +X2 +X3
3
e θ̂2 =
1
2
X1 +
1
4
X2 +
1
4
X3.
temos:
E(θ̂1) = θ e V ar(θ̂1) =
1
3
e
E(θ̂2) = θ e V ar(θ̂2) =
6
16
.
Como θ̂1 e θ̂2 são ambos não viciados, segue que X é mehor que θ̂2, pois V ar(X) < V ar(θ̂2),
para todo θ.
Exemplo: Sejam X1, . . . , Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X, com distribuição
de Bernoulli com parâmetro θ, ou seja Binomial(1, θ). Conforme visto no modelo binomial,
Y = X1 + . . .+Xn tem distribuição Binomial(n, θ). Consideremos os estimadores
θ̂1 = X =
Y
n
e θ̂2 =
Y +
√
n/2
n+
√
n
.
Como E(X) = θ, temos que EQM(θ̂1) = V ar(X) =
θ(1−θ)
n .
73
Por outro lado,
E(θ̂2) =
n
n+
√
n
θ +
√
n/2
n+
√
n
, de modo que θ̂2 é um estimador viciado para θ, sendo que, o vício é
uma função linear de θ. Portanto
EQM(θ̂2) = E
[(
Y +
√
n/2
n+
√
n
− θ
)2]
=
1
(n+
√
n)2
E
{[
(Y − nθ) +√n
(
1
2
− θ
)]2}
=
1
(n+
√
n)2
{
V ar(Y ) + n
(
1
2
− θ
)2}
=
n
4(n+
√
n)2
Podemos observar que o EQM do estimador θ̂2 é independente de θ.
Temos, então, que nenhum dos estimadores é melhor uniformemente, isto é, para todo θ. Para
c1 < θ < c2, EQM(θ̂2) < EQM(θ̂1), ou seja, θ̂2 é melhor que θ̂1. Por outro lado, para θ < c1
ou θ > c2, temos EQM(θ̂1) < EQM(θ̂2), ou seja, θ̂1 é melhor que θ̂2.
Exemplo: Sejam X1, . . . , Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X ∼ U(0, θ). Vamos
considerar θ̂1 = X e θ̂2 = Xn como estimadores de θ. Como E(X) = θ/2 e V ar(X) = θ
2/12,
temos que
E(θ̂1) = E(X) =
θ
2
, (4.4)
e
V ar(θ̂1) =
θ2
12n
. (4.5)
Portanto o estimador θ̂1 é viciado para θ. Combinando (2) e (3) em (1), temos que
EQM(θ̂1) =
θ2
12n
+
(
θ
2
− θ
)2
=
(1 + 3n)
12nθ2.
Por outro lado, a função de densidade de Xn é dada por:
fXn(x|θ) =
nxn−1
θn
, 0 < x < θ (4.6)
74
logo
E(Xn) =
n
n+ 1
θ e V ar(Xn) =
nθ2
(n+ 1)2(n+ 2)
. (4.7)
Portanto
EQM(θ̂2) =
nθ2
(n+ 1)2(n+ 2)
+
θ2
(n+ 1)2
=
2θ2
(n+ 1)(n+ 2)
.
A Tabela abaixo, mostra o valor do EQM dos dois estimadores para vários valores de n. Notemos
também que EQM(θ̂1)→ θ2/4 e que EQM(θ̂2)→ 0 quando n→∞.
n EQM(θ̂1) EQM(θ̂2) EQM(θ̂2)/EQM(θ̂1)
3 5θ2/18 θ2/10 0,27
5 4θ2/15 θ2/21 0,12
10 31θ2/120 θ2/662 0,04
20 61θ2/240 θ2/2312 0,01
Portanto Xn é melhor que X para todo θ e n > 1.
4.3 Métodos de Estimação
4.3.1 O Método de Máxima Verossimilhança
O princípio de máxima verossimilhança é um dos procedimentos usados para se obter
estimadores. Consideremos uma população e uma variável aleatória X, relacionada a essa
população, com função de probabilidade (se X é uma variável aleatória discreta) ou função
densidade de probabilidade (seX é uma variável aleatória contínua) f(x, θ), sendo θ o parâmetro
desconhecido. Retiremos uma amostra aleatória simples de X, de tamanho n, X1, . . . , Xn, e
sejam x1, . . . , xn os valores efetivamente observados.
A função de verossimilhança L é definida por
L(θ;x1, . . . , xn) = f(x1; θ)× . . .× f(xn; θ) =
n∏
i=1
f(xi; θ).
Se X é uma variável aleatória discreta com função de distribuição p(x,?), a função de
verossimilhança é dada por
L(θ;x1, . . . , xn) = p(x1; θ)× . . .× p(xn; θ) =
n∏
i=1
p(xi; θ).
75
que deve ser interpretada como uma função de θ. O estimador de máxima verossimilhança de θ
é o valor que maximiza L(θ;x1, . . . , x− n).
Em muitos casos, o estimador de máxima verossimilhança pode ser encontrado seguindo os
passos abaixo:
� Encontrar a função de verossimilhança;
� Aplicar a função ln;
� Derivar em relação ao parâmetro θ;
� Igualar o resultado a zero.
� Verificar que este estimador é ponto de máximo.
O princípio da verossmilhança afirma que devemos escolher aquele valor do parâmetro
desconhecido que maximiza a probabilidade de obter a amostra particular observada, ou seja, o
valor que torna aquela amostra a �mais provável".
Exemplo 1: Suponha que temos n provas de Bernoulli com P (sucesso) = p, 0 < p < 1 e X =
número de sucessos. Devemos tomar como estimador aquele valor de p que torna a amostra
observada a mais provável de ocorrer.
Supondo, por exemplo, que n = 3, e obtemos 2 sucessos e 1 fracasso. A função de verossimilhança
é:
L(p) = p2(1− p)
Maximizando essa função em relação a p, obtemos
∂L(p)
∂p
= 2p− 3p2 = 0⇒ p(2− 3p) = 0⇒ p = 0 ou p = 2/3. (4.8)
Podemos observar que o ponto máximo é p̂ = 2/3 que é o estimador de máxima verossimilhana
(EMV) de p
Exemplo 2: Sejam X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatória da distribuição de Bernoulli com
parâmetro θ. Para quaisquer valores observados x1 é igual a 0 ou 1 e a função de verossimilhança
é dada por:
76
L(θ;x) =
n∏
i=1
θxi(1− θ)1−xi = θ
∑n
i=1 xi(1− θ)n−
∑n
i=1 xi
Se θ̂ maximiza L(θ), então θ̂ também maximiza lnL(θ), uma vez que o logaritmo é uma função
monótona crescente. Portanto,
l(θ;x) = logL(θ;x) =
n∑
i=1
xiln(θ) +
(
n−
n∑
i=1
xi
)
ln(1− θ).
Agora
l
′
(θ;x) =
∂l(θ;x)
∂θ
=
∑n
i=1 xi
θ
− (n−
∑n
i=1 xi)
1− θ
.
Igualando isso a zero e resolvendo em relação a θ, resulta no EMV θ̂ dado por:
θ̂ =
1
n
n∑
i=1
xi = X.
A segunda derivada é dada por:
−
∑n
i=1 xi
θ2
− (n−
∑n
i=1 xi)
(1− θ)2 < 0
de modo que o EMV de θ é θ̂ = X, i.e. a proporção amostral de sucessos.
Exemplo 3: Sejam X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatória da distribuição N(θ, 1).
A função de verossimilhança é dada por:
L(θ;x) =
n∏
i=1
(2pi)−1/2exp
(
−(xi − θ)
2
2
)
(4.9)
= (2pi)−n/2exp
{
−
∑n
i=1(xi − θ)2
2
}
(4.10)
e o logaritmo da verossimilhança é dado por
l(θ;x) = logL(θ;x) = −n
2
log(2pi)−
n∑
i=1
(xi − θ)2/2.
Tomando a primeira derivada e igualando a zero obtém-se a equação de verossimilhança
77
n∑
i=1
(xi − θ) = 0
cuja solução é θ =
∑n
i=1 xi/n. A segunda derivada é −n < 0 de modo que o EMV de θ é θ̂ = X.
Além disso o estimador é não viesado para θ.
Seja X uma variável aleatória com distribuição Bernoulli(p). Tomemos uma amostra aleatória
X1, . . . , Xn de X. Qual é o estimador de máxima verossimilhança para p?
Como X ∼ Bernoulli(p), a função de probabilidade de X é
fp(x) = p
x(1− p)1−x.
Desta forma, a função de verossimilhança é dada por
L(p;x1, . . . , xn) =
n∏
i=1
pxi(1− p)1−xi = p
∑n
i=1 xi(1− p)
∑n
i=1(1−xi).
Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança para p, devemos encontrar o valor de
p para o qual a função de verossimilhança L(p;x1, . . . , xn) é máxima. Aplicando a função
logaritmo natural (ln) na função de verossimilhança L(p;x1, . . . , xn), temos que
lnL(p, x1, . . . , xn) =
n∑
i=1
xi ln(p) +
n∑
i=1
(1− xi) ln(1− p)
e, derivando em relação a p, segue que
d lnL(p;x1, . . . , xn)
dp
=
(1− p)
n∑
i=1
xi − p
n∑
i=1
(1− xi)
p(1− p) .
Igualando o resultado a zero, obtemos que
(1− pˆ)
n∑
i=1
xi − pˆ(
n∑
i=1
(1− xi))
pˆ(1− pˆ) = 0⇔ pˆ =
1
n
n∑
i=1
xi = x.
É fácil verificar, utilizando o teste da segunda derivada que pˆ = 1nX é realmente um estimador
de máxima verossimilhança para p.
Exemplo 4: Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson e parâmetro λ.
Tomemos uma amostra aleatória X1, . . . , Xn independente e igualmente distribuída de X. Qual
é o estimador de máxima verossimilhança para λ?
78
Como X ∼ Poisson(λ), a função de probabilidade de X é
fλ(x) =
λxe−λ
x!
, k ∈ N.
Desta forma, a função de verossimilhança é dada por
L(λ;x1, . . . , xn) =
n∏
i=1
λxie−λ
xi!
Ou seja,
L(λ;x1, , xn) =
1∏n
i=1 xi!
λ
∑n
i=1 xie−nλ.
Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança para λ, devemos encontrar o valor de
λ para o qual a função de verossimilhança L(λ;x1, . . . , xn) é máxima.
Aplicamos a função logaritmo natural (ln) na função de verossimilhança L(λ;x1, . . . , xn). Desta
forma, temos que
lnL(λ;x1, . . . , xn) = ln
(
1∏n
i=1 x1!
)
+
n∑
i=1
xi lnλ− nλ
e, derivando em relação a λ, segue que
d lnL(λ;x1, . . . , xn)
dλ
=
1
λ
n∑
i=1
xi − n.
Igualando o resultado a zero, segue que
1
λˆ
n∑
i=1
xi − n = 0⇔ λˆ =
∑n
i=1 xi
n
= x.
Neste caso, o possível estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro λ é λˆ = X. Basta
verificar se este ponto é realmente um ponto de máximo. Para isto, vamos calcular a segunda
derivada de lnL(λ;x1, . . . , xn).
d2 lnL(λ;x1, . . . , xn)
dλ2
= − 1
λ2
n∑
i=1
xi < 0.
Portanto, concluímos que λˆ = X é um estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro λ.
79
O método de máxima verossimilhança pode ser usado em situações em que há vários
parâmetros desconhecidos a serem estimados, digamos θ1, θ2, . . . , θk. Em tais casos, a função
de verossimilhança dos k parâmetros desconhecidos, θ1, θ2, . . . , θk, e os estimadores de máxima
verossimilhança {θi}, seriam encontrados igualando-se a zero as k derivadas parciais de primeira
ordem L(θ1, θ2, . . . , θk)/θi, i = 1, 2, . . . , k e resolvendo-se o sistema de equações resultante.
Exemplo 5: Sejam X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X ∼ N(µ, σ2),
onde tanto µ quanto σ2 são desconhecidas. Ache os estimadores de máxima verossimilhança
de µ e de σ2. Temos, então que θ = (µ, σ2). A função de Verossimilhança para uma amostra
aleatória de tamanho n é
L(µ, σ2;x) =
n∏
i=1
1
σ
√
2pi
e
−(xi−µ)2
2σ2
= (2piσ2)−n/2e−(1/2σ
2)
∑n
i=1(xi−µ)2
e
l(µ, σ2;x) = logL(µ, σ2;x) = −n
2
log(2piσ2)− 1
2σ2
n∑
i=1
(xi − µ)2.Agora,
∂l(µ, σ2)
∂µ
=
1
σ2
n∑
i=1
(xi − µ) = 0,
∂l(µ, σ2)
∂(σ2)
=
−n
2σ2
+
1
2σ4
n∑
i=1
(xi − µ)2 = 0.
As soluções dessas equações resultam nos estimadores de máxima verossimilhança
µ̂ =
1
n
n∑
i=1
Xi = X
e
σ̂2 =
1
n
n∑
i=1
(Xi −X)2,
80
que está intimamente relacionado à variância amostral não-viesada S2. Explicitamente, σ̂2 =
(n−1n )S
2.
Propriedades do Estimador de Máxima Verossimilhança
Sob as condições muito gerais e não restritivas, quando uma amostra de tamanho n for grande
e se θ̂ for um estimador de máxima verossmilhança do parâmetro θ, então
1. θ̂ é um estimador aproximadamente não tendencioso para θ, ou seja, E(θ̂) ∼= θ,
2. a variância de θ̂ é aproximadamente tão pequena quanto a variância que poderia ser
obtida com qualquer outro estimador, e
3. θ̂ tem uma distribuição normal aproximada.
As propriedades 1 e 2 estabelecem, essencialmente, que o estimador de máxima verossmilhança
é aproximadamente um ENTVM.
Esse é um resultado muito desejável que, acoplado com o fato de ele ser razoavelmente fácil de
ser obtido em muitas situações e ter uma distribuição normal assintótica (�assintótica"significa
�quando n é grande"), explica por que a técnica de estimação de máxima verossimilhança é
largamente utilizada.
4.3.2 O Método dos Momentos
Uma outra forma de encontrar estimadores de parâmetros populacionais, como a média e a
variância por exemplo, é através do método dos momentos. Este método é baseado nos momentos
teóricos e amostrais das variáveis aleatórias envolvidas. Recordamos aqui a definição de momento
teórico.
Definição: Seja X uma variável aleatória. Para cada inteiro positivo n, o n-ésimo momento de
X, denotado por µn, é dado por
µn = E(Xn)
desde que E(Xn) exista. Além disso, definimos o n-ésimo momento central como sendo E[(X −
E(X))n], caso exista.
Em particular, se X é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade p(x), temos
que
81
µn =
∑
xnp(x)
e, se X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x), temos
que
µn =
∫ ∞
∞
xnf(x)dx.
Exemplo 1: Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2. Neste caso, as seguintes
relaçõe são válidas para os dois primeiros momentos populacionais:
E(X) = µ, E(X2) = σ2 + µ2
A primeira igualdade é imediata e a segunda, segue do fato de que Var(X) = E(X2) − E(X)2,
de onde segue que E(X2) = Var(X) + E(X)2 = σ2 + µ2.
Definição: Seja X1, X2, . . . , Xk uma amostra de tamanho k da população X. Definimos, o
n-ésimo momento amostral, denotado por mn, por
mn =
1
k
k∑
i=1
Xni , n = 1, 2, . . .
Em particular, temos que m1 = X¯ e m2 =
∑k
i=1X
2
i /k.
Definição: Dizemos que θˆ1, . . . , θˆr são estimadores obtidos pelo método dos momentos se eles
forem soluções das equações
mn = µn, n = 1, 2, . . . , r.
O procedimento mais adequado para encontrar os estimadores de momentos consiste em
substituir os momentos teóricos pelos respectivos momentos amostrais.
Exemplo 2: Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2. Já vimos no Exemplo
3.2.1 que µ = E(X) e σ2 = E(X2)− E(X)2. Além disso, os dois primeiros momentos amostrais
são dados, respectivamente, por
m1 =
1
k
k∑
i=1
Xi = X, m2 =
1
k
k∑
i=1
X2i .
82
Neste caso, os estimadores para a média populacional µ e a variância populacional σ2 obtidos
pelo método dos momentos serão
µˆM = m1 = X,
σˆ2M = m2 −m21 =
1
k
k∑
i=1
X2i −X2 = σˆ2.
Exemplo 3: Dependendo da situação, podemos ter mais de um estimador de momentos.
Suponha, por exemplo que X seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson com
parâmetro λ > 0. Vimos que E(X) = Var(X) = λ e então, utilizando o Exemplo anterior,
temos que o parâmetro λ pode ser estimado tanto por X como por
∑k
i=i
(Xi−X)2
k , ou seja,
λˆM = X ou λˆM = σˆ
2
, que podem resultar em valores muito diferentes.
Exemplo 4: Seja X1, X2, . . . , Xm uma amostra aleatória independente igualmente distribuída
com distribuição binomial de parâmetros n e p, ou seja,
P(Xi = x|n, p) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x, x = 0, 1, . . . , n.
Assumindo que os parâmetros n e p sejam desconhecidos, vamos encontrar estimadores para
ambos os parâmetros a partir do método dos momentos. A partir do Exemplo 1 e usando o
fato de que Xi tem média np e variância np(1 − p), temos que os dois primeiros momentos
populacionais são dados, respectivamente, por
µ1 = E(X) = np e µ2 = E(X2) = np(1− p) + n2p2
Igualando os dois primeiros momentos amostrais m1 e m2 aos dois primeiros momentos
populacionais, temos o seguinte sistema de equações{
X = np
1
m
∑m
i=1X
2
i = np(1− p) + n2p2
.
Resolvendo em n e p, obtemos os seguintes estimadores pelo método dos momentos
nˆ =
X
2
X − (1/m)∑mi=1(Xi −X)2 e pˆ = Xnˆ .
Este é um típico exemplo em que os estimadores não são os melhores para os parâmetros
populacionais de interesse. Na verdade, utilizando estes estimadores, podemos ter estimativas
negativas para n e p, o que não pode acontecer, já que estes devem ser números positivos.
83
4.3.3 Estimadores por Mínimos Quadrados
Ométodo de estimação por mínimos quadrados consiste em minimizar o quadrado das diferenças
entre os valores observados de uma amostra e seus respectivos valores esperados. Consideraremos
o procedimento a partir de um exemplo simples. Exemplo 3.3.1:
Suponha que estamos interessados em estudar a resistência Y de uma cabo de aço em função
de seu diâmetro X. A partir de uma amostra coletada, percebemos que as variáveis são,
aproximadamente, proporcionais, isto é, Y ≈ θX em que θ é o coeficiente de proporcionalidade.
O nosso objetivo é estimar o parâmetro θ, baseado nas medidas disponíveis em uma amostra de
10 unidades mostradas na tabela a seguir
X 0,50 0,60 0,75 0,80 0,90 1,05 1,20 1,30 1,50 1,65
Y 2,07 2,24 3,28 3,35 3,81 4,14 4,64 5,13 6,05 6,57
A partir dessas informações, podemos concluir que, aparentemente, θˆ = 4 parece ser uma
estimativa razoável para o parâmetros θ. Como podemos verificar a qualidade desta estimativa?
Uma forma de fazer isso é verificar as diferenças entre os valores observados Y e os valores
esperados utilizando a estimativa, ou seja, 4X. Na tabela a seguir, temos os valores da amostra,
os valores esperados, a diferença Y − 4X e as diferenças ao quadrado (Y − 4X)2.
X Y 4X Y − 4X (Y − 4X)2
0,50 2,07 2,0 0,07 0,0049
0,60 2,24 2,4 -0,16 0,0256
0,75 3,28 3,0 0,28 0,0784
0,80 3,35 3,2 0,15 0,0225
0,90 3,81 3,6 0,21 0,0441
1,05 4,14 4,2 -0,06 0,0036
1,20 4,64 4,8 -0,16 0,0256
1,30 5,13 5,2 -0,07 0,0049
1,50 6,05 6,0 0,05 0,0025
1,65 6,57 6,6 -0,03 0,0009
Total 0,28 0,213
A ideia principal do método baseia-se em minimizar o erro quadrático total da amostra. Para a
estimativa θˆ = 4, este erro é dado por 0,213, porém, pode ser que exista alguma outra estimativa
com erro quadrático total menor do que 0,213. Desta forma, o objetivo é minimizar a função
S(θ) =
10∑
i=1
(Yi − θXi)2.
O mínimo da função é obtido derivando a função em relação a θ e igualando o resultado a zero,
84
ou seja, encontrar θˆ para o qual
dS(θ)
dθ
=
10∑
i=1
(Yi − θˆXi)(−2Xi) = 0.
E, resolvendo esta equação, obtemos o estimador
θˆMQ =
∑10
i=1XiYi∑10
i=1X
2
i
.
Utilizando os dados de X e Y , encontramos θˆMQ = 4, 011625, ou seja, a estimativa que minimiza
o erro quadrático total da amostra é dada por θˆ = 4, 011625. De fato, utilizando este valor,
temos que o erro quadrático total é 0,2114015.
Neste caso, estamos assumindo que, para um dado valor da variável X, os valores da variável Y
seguem uma distribuição de probabilidade fY (y) centrada em θX, o que é equivalente a dizer
que, para cada X, o desvio � = Y −θX segue uma distribuiçãocentrada em zero e, desta forma,
é comum escrever
Y = θx+ �
com � seguindo a distribuição f�(·) com média zero. Desta forma, é razoável escolher θ que
minimiza a soma dos quadrados dos erros
10∑
i=1
�2 =
10∑
i=1
(Yi − θXi)2.
Observamos que o modelo pode ser generalizado. Isto é, podemos considerar funções mais gerais
do parâmetros θ, ou seja,
Y = g(X, θ) + �
e, da mesma forma do exposto acima, devemos encontrar o valor de θ que minimize a função
S(θ) =
n∑
i=1
�2i =
n∑
i=1
(Yi − g(Xi, θ))2,
para uma amostra (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) das variáveis X e Y . A solução θˆMQ é chamada de
estimador de mínimos quadrados (EMQ) de θ.
85
Capítulo 5
Intervalos de Confiança
5.1 Introdução
Até agora, todos os estimadores apresentados foram pontuais, isto é, especificam um único
valor para o estimador. Esse procedimento não permite julgar qual a possível magnitude do
erro que estamos cometendo. Dai, surge idéia de construir os intervalos de confiança, que são
baseados na distribuição amostral do estimador pontual.
Exemplos: Suponha que queiramos estimar a média µ de uma população qualquer, e para
tanto usamos a média X de uma amostra de tamanho n. Do TLC,
e = (X − µ) ∼ N(0, σ2
X
),
com V ar(X) = σ2
X
= σ2/n. Daqui podemos determinar qual a probabilidade de cometermos
erros de determinadas magnitudes. Por exemplo:
P (|e| < 1, 96σX) = 0, 95
ou
P (
∣∣X − µ∣∣ < 1, 96σX) = 0, 95,
que é equivalente a
P (−1, 96σX < X − µ < 1, 96σX) = 0, 95,
e finalmente,
P (X − 1, 96σX < µ < X + 1, 96σX) = 0, 95,
Se pudessemos construir uma quantidade grande de intervalos (aleatórios!) da forma
]X − 1, 96σX , X + 1, 96σX [, todos baseados em amostras de tamanho n, 95% deles conteriam o
86
parâmetro µ.
Dizemos que 1 − α = 0, 95 é o nível de confiança e α é o nível de significância. Nessa figura
estão esquematizados o funcionamento e o significado de um intervalo de confiança (IC) para
µ, com 1− α = 0, 95 e σ2 conhecido.
Escolhida uma amostra e encontrada sua média x0, e admitindo-se σx conhecido, podemos
construir o intervalo
]x0 − 1, 96σX , x0 + 1, 96σX [.
Este intervalo pode ou não conter o parâmetro µ.
Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho n e que construímos um intervalo de confiança
com nível de confiança 95% e obtemos o seguinte intervalo: 0, 476 < µ < 0, 544.
1. ERRADA: �Há uma chance de 95% de que o verdadeiro valor de µ está entre 0,476
e 0,544."
2. CERTA: �Estamos 95% confiantes de que o intervalo de 0,476 e 0,544 realmente
contém o verdadeiro valor de µ". Isto significa que, se selecionarmos muitas
diferentes amostras de mesmo tamanho n e construíssemos os intervalos de confiança
correspondentes, 95% deles realmente conteriam o valor da média populacional µ.
87
O nível de 95% se refere à taxa de sucesso do processo em uso para estimar a média
populacional, e não se refere à própria média populacional.)
Consideremos o seguinte experimento de simulação.
Geramos 20 amostras de tamanho n = 25 de uma distribuição normal de média µ = 5 e desvio
padrão σ = 3. Para cada amostra construímos o intervalo de confiança para µ, com nível de
significância α = 0, 5 , que é da forma X ± 1, 176. Na figura abaixo temos esses intervalos
representados e notamos que três deles (amostras de números 5, 14 e 15) não contém a média
µ = 5.
5.2 Intervalo de confiança para a Média de Populações Normais
com Variância Conhecida
Considere que desejamos estimar a media µ de uma população X com variância σ2 conhecida.
Para determinar o intervalo de confiança (IC) para µ , utilizamos o estimador X . Conforme já
estabelecido, o estimador da média populacional (µ) é a média amostral (X), e a distribuição
de probabilidade das médias é NORMAL com parâmetros:
X ∼ N
(
µ,
σ2
n
)
Logo, a variável padronizada de X será
Z =
X − µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
88
Fixando-se um nível de confiança 1− α , temos a seguinte representação da situação:
ou seja,
P
(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1− α
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z = X−µσ , e resolvendo-se para as duas ineqüações,
temos:
P
(
X − zα/2
σ√
n
≤ µ ≤ X + zα/2
σ√
n
)
= 1− α
Este intervalo de confiança, também pode ser expresso da seguinte forma:
IC(µ; 1− α) = X ± zα/2
σ√
n
É possível, também, obter intervalos de confiança unilaterais para µ, fazendo ou I =limite
inferior tender a −∞ ou S =limite superior tender a ∞ e substituindo-se zα/2 por zα. Assim, o
intervalo de confiança superior de 100(1− α)% de confiança para µ é:
µ ≤ X + zα σ√
n
e o intervalo de confiança inferior de 100(1− α)% de confiança para µ é:
X − zα σ√
n
≤ µ
5.2.1 Margem de Erro e Determinação do tamanho amostral
O Erro num intervalo de estimação diz respeito ao desvio (diferença) entre a média amostral e a
verdadeira média da população. Como o intervalo de confiança tem centro na média amostral,
o erro máximo provável é igual à metade da amplitude do intervalo. Logo, o intervalo
89
X ± zα/2
σ√
n
ou X ± �
onde o erro � sendo dado por
� = zα/2
σ√
n
e
Tamanho Amostral:
n =
[zα/2σ
�
]2
Exemplo: Em determinada população, o peso dos homens adultos é distribuído normalmente
com um desvio padrão de 16kg. Uma amostra aleatória simples de 36 homens adultos é sorteada
desta população, obtendo-se um peso médio de 78, 2kg. Construa um intervalo de confiança de
nível de confiança 0,95 para o peso médio de todos os homens adultos dessa população.
Exemplo: De uma população normal com variância 25 extrai-se uma amostra aleatória simples
de tamanho n com o objetivo de se estimar a média populacional µ com um nível de confiança
de 90% e margem de erro de 2. Qual deve ser o tamanho da amostra?
5.3 Intervalo de confiança para a Média de Populações Normais
com Variância desconhecida
O processo de obtenção do intervalo de confiança neste caso, é bastante semelhante ao caso
anterior. A grande diferença é que, ao substituirmos a variância populacional pelo seu estimador,
a variância amostral, a variável normalizada resultante passa a ser constituída pelo quociente
entre duas variáveis aleatórias: X e S, o que implica que a distribuição da variável t = X−µ
S/
√
n
passe a ter DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT com n-1 graus de liberdade. Dessa forma, temos
que:
P
(−tn−1,α/2 ≤ t ≤ tn−1,α/2) = 1− α
Substituindo-se o valor de t e resolvendo as ineqüações, temos:
P
(
X − tn−1,α/2
S√
n
≤ µ ≤ X + tn−1,α/2
S√
n
)
= 1− α
Este intervalo de confiança, também pode ser expresso da seguinte forma:
90
IC(µ; 1− α) = X ± tn−1,α/2
S√
n
Um intervalo de confiança inferior para µ, de 100(1− α)% de confiança, é dado por
X − tn−1,α/2
S√
n
≤ µ
e um intervalo de confiança superior para µ, de 100(1− α)% de confiança, é dado por
µ ≤ X + tn−1,α/2
S√
n
5.3.1 Margem de Erro
Note, mais uma vez, a forma do intervalo de confiança: X ± � onde a margem de erro �, agora,
é definida em termos do valor crítico da distribuição t e do erro padrão estimado de X :
� = tn−1,α/2
S√
n
= tn−1,α/2EP (X) onde EP (X) =
S√
n
Exemplo: De uma população normal com média e variância desconhecidas, extrai-se uma
amostra de tamanho 15 obtendo-se X = 12 e S2 = 49. Obtenha um intervalo de confiança para
a verdadeira média populacional, utilizando o nível de confiança de 95%.
Exemplo: A seguinte amostra foi extraída de uma população normal: 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12.
Construa o intervalo de confiança para a média populacional, com nível de significância de 10%.
91
5.3.2 Amostras Grandes
Vimos que, para populações normais, a distribuição exata da estatística t = X−µ
S/
√
n
é t(n − 1).
Mas, quando o número de graus de liberdade é grande, as diferenças entre as distribuições t e
N(0; 1) tornam-se desprezíveis. Por outro lado, se a população não é normal, mas tem média
µe variância σ2, o teorema limite central nos diz que a distribuição de X−µσ√
n
se aproxima de
uma N(0; 1) à medida que n → ∞. Pode-se mostrar que esse resultado continua valendo se
substituímos σ por seu estimador S.
A conclusão dessas duas observações é a seguinte:
Dada uma amostra aleatória simples de uma população X com média µ e variância σ2, então
X − µ
S√
n
∼ N(0, 1)
para n suficientemente grande. Nesse caso, o intervalo de confiança aproximado de nível de
confiança (1− α) para µ é:
IC(µ; 1− α) = X ± zα/2
S√
n
Exemplo: A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n = 100, os seguintes valores
foram obtidos: X = 12, 36 e S2 = 132, 56. Obtenha um intervalo de confiança de nível de
confiança 90% para a média populacional µ.
5.4 Intervalo de Confiança para uma Proporção - Amostras
Grandes
O procedimento de construção do intervalo de confiança para a proporção populacional é
totalmente análogo ao do intervalo de confiança para a média de uma população normal com
variância conhecida.
Já foi estabelecido que o estimador para proporção p é a proporção amostral p̂, e a distribuição
de probabilidade da proporção amostral é Normal com parâmetros:
p̂ ∼ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(5.1)
92
Assim, para o caso de populações infinitas, a variável padronizada de p̂ é dada por:
Z =
p̂− p√
p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (5.2)
Fixando-se um nível de confiança 1− α, temos a seguinte representação da situação:
Ou seja:
P
(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1− α
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z = p̂−p√
p(1−p)
n
, e resolvendo-se para as duas ineqüações,
temos:
P
(
p̂− zα/2
√
p(1− p)
n
≤ p ≤ p̂+ zα/2
√
p(1− p)
n
)
= 1− α
Reconhecemos a quantidade
√
p(1−p)
n como erro-padrão do estimador pontual p̂. Infelizmente,
os limites superior e inferior do intervalo de confiança dependem do parâmetro desconhecido
p. No entanto, uma solução satisfatória é substituir p por p̂ no erro-padrão, resultando em um
erro-padrão estimado. Assim,
P
(
p̂− zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
≤ p ≤ p̂+ zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
)
= 1− α
Este intervalo de confiança bilateral, também pode ser expresso da seguinte forma:
IC(p̂; 1− α) = p̂± zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
Um intervalo de confiança inferior para µ, de 100(1− α)% de confiança, é dado por
93
p̂− zα
√
p̂(1− p̂)
n
≤ p
e um intervalo de confiança superior para µ, de 100(1− α)% de confiança, é dado por
p ≤ p̂+ zα
√
p̂(1− p̂)
n
5.4.1 Margem de Erro e Determinação do tamanho amostral
Margem de Erro: � = zα/2
√
p̂(1−p̂)
n
Tamanho Amostral:
� Quando uma estimativa p̂ é conhecida:
n =
[zα/2]
2p̂q̂
�2
� Quando não se conhece qualquer estimativa p̂:
n =
[zα/2]
20.25
�2
Exemplo: Um gerente de produção deseja estimar a proporção de peças defeituosas em uma
de suas linhas de produção. Para isso, ele seleciona uma amostra aleatória simples de 100 peças
dessa linha de produção, obtendo 30 defeituosas. Determine o intervalo de confiança para a
verdadeira proporção de peças defeituosas nessa linha de produção, a um nível de significância
de 5%.
Exemplo: Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de
automóveis, 10 têm um acabamento de superfície que é mais rugoso do que as especificações
permitidas. Consequentemente, uma estimativa pontual da proporção de mancais na população
que excede a especificação de rugosidade é p̂ = x/n = 10/85 = 0, 12. Contrua um intervalo
bilateral de confiança de 95% para p.
Exemplo: Considere a situação do exemplo anterior. Quão grande derevá ser a amostra, se
quisermos estar 95% confiantes de que o erro em usar p̂ para estimar p é menor do que 0,05? Se
quisermos estar no mínimo 95% confiantes de que nossa estimativa p̂ da proporção verdadeira
p estivesse dentro de 0,05, independente do valor de p. Qual será o valor de n?
94
5.5 Intervalo de Confiança para a Diferença entre médias de
duas Populações Normais
5.5.1 Variância Conhecida
Considere duas variáveis aleatórias independentes Xi, i = 1, 2 com média µ1 e µ2 desconhecidas
e variâncias σ21 e σ
2
2 conhecidas. Desejamos encontrar um intervalo de confiança de 100(1−α)%
de confiança para a diferença entre as médias µ1 − µ2. Seja X11, X12, . . . , X1n1 uma amostra
aleatória de n1 observações de X1 e X21, X22, . . . , X2n2 uma amostra aleatória de n2 observações
de X2. Se X1 e X2 são as médias amostrais, a estatística
X1 −X2 ∼ N
(
µ1 − µ2; σ
2
1
n1
+
σ22
n2
)
e
Z =
(
X1 −X2
)− (µ1 − µ2)√
σ21
n1
+
σ22
n2
∼ N(0, 1)
é normal padronizada, se X1 e X2 são normais, ou aproximadamente normal padronizada, se as
condições do Teorema Central do Limite se verificam, respectivamente.Pela figura abaixo, isso
implica que
ou seja,
P
(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1− α
ou
P
−zα/2 ≤ (X1 −X2)− (µ1 − µ2)√
σ21
n1
+
σ22
n2
≤ zα/2
 = 1− α
Essa expressão pode ser rearranjada como
95
P
(X1 −X2)− zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
≤ (µ1 − µ2) ≤
(
X1 −X2
)
+ zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
 = 1− α
(5.3)
Este intervalo de confiança, também pode ser expresso da seguinte forma:
IC(µ1 − µ2, 1− α) =
(
X1 −X2
)± zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
Um intervalo de confiança superior de 100(1− α)% de confiança para µ1 − µ2 é
(µ1 − µ2) ≤
(
X1 −X2
)
+ zα
√
σ21
n1
+
σ22
n2
e um intervalo de confiança inferior de 100(1− α)% é:
X1 −X2 − zα
√
σ21
n1
+
σ22
n2
≤ (µ1 − µ2)
Exemplo: Testes de resistência à tensão foram feitos em duas estruturas contendo dois
teores diferentes de alumínio. Essas estruturas foram usadas na fabricação das asas de um
avião comercial. De experiências passadas com o processo de fabricação dessas estruturas e
com o procedimento de testes, os desvios-padrão das resistências à tensão são considerados
conhecidos. Os dados obtidos são os seguintes: n1 = 10, x1 = 87, 6, σ1 = 1, n2 = 12, x2 = 74, 5 e
σ2 = 1, 5. Se µ1 e µ2 denotarem as resistências médias verdadeiras à tensão para dos dois tipos
de estruturas. Achar um intervalo de confiança de 90% para a diferença na resistência média
µ1 − µ2.
Solução: IC(µ1 − µ2; 90%) é dado por
LI = X1 −X2 − zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
= 87, 6− 74, 5− 1, 64
√
12
10
+
(1, 5)2
12
= 13, 1− 0, 88 = 12, 22kg/mm2
e
96
LS = X1 −X2 + zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
= 87, 6− 74, 5 + 1, 64
√
12
10
+
(1, 5)2
12
= 13, 1 + 0, 88 = 13, 98kg/mm2
Desse modo, o intervalo de confiança de 90% para a diferença na resistência média à tensão é
12, 22kg/mm2 ≤ µ1 − µ2 ≤ 13, 98kg/mm2
Note que o intervalo de confiança não inclui o zero, implicando que a resistência média da
estrutura 1 (µ1) excede a resistência média da estrutura (µ2). De fato, podemos estabelecer que
estamos 90% confiantes em que a resistência média à tensão da estrutura 1 excede a resistência
média da estrutura 2 por um valor entre 12,22 e 13, 98km/mm2.
5.5.2 Variância Desconhecida
Considere duas populações com médias e variâncias desconhecidas, e desejamos encontrar
intervalos de confiança para a diferença entre as médias µ1 − µ2. Se os tamanhos amostrais
n1 e n2 excedem 30, então os intervalos da dsitribuição normal com variância conhecidas podem
ser usados, bastando para isso, substituir a variância populacional pela variância amostral, ou
seja:
IC(µ1 − µ2, 1− α) =
(
X1 −X2
)± zα/2
√
S21
n1
+
S22
n2
No entanto, quando se extraem pequenas amostras, devemos supor que as populações
subjacentes sejam normalmente distribuídas com variâncias desconhecidas e basear os intervalos
de confiança na distribuição t.
Considere duas variáveis aleatórias normais independentes, X1 com média µ1 e variância σ
2
1, e
X2 com média µ2 e variância σ
2
2. Ambas as médias, µ1 e µ2 e ambas as variâncias σ
2
1 e σ
2
2 são
desconhecidas.Desejamos encontrar um intervalo de confiança de 100(1 − α)% de confiança
para a diferença entre as médias µ1 − µ2.
Considere duas populações X1 e X2 e extraem-se amostras aleatórias de tamanhos n e m,
respectivamente.
a) σ21 = σ
2
2 = σ
2
97
Denotemos as médias amostrais por X1 e X2, e as variâncias amostrais por S
2
1 e S
2
2 .
Como S21 e S
2
2 são ambos, estimativas da variância comum σ
2
, podemos obter um
estimador combinado de σ2.
S2p =
(n− 1)S21 + (m− 1)S22
n+m− 2
Para desenvolver o intervalo de confiança para µ1 − µ2 note que a distribuição da
estatística
t =
(
X1 ±X2
)− (µ1 ± µ2)
Sp
√
1
n +
1
m
é a distribuição t com n+m− 2 graus de liberdade. Portanto,
P
(−tn+m−2,α/2 ≤ t ≤ tn+m−2,α/2) = 1− α
ou
P (−tα/2,n+m−2 ≤
(
X1 −X2
)− (µ1 − µ2)
Sp
√
1
n +
1
m
≤ tα/2,n+m−2) = 1− α
Isto pode ser rearranjado como
P
((
X1 −X2
)− tα/2,n+m−2Sp√ 1
n
+
1
m
≤ (µ1 − µ2) ≤
(
X1 −X2
)
+ tα/2,n+m−2Sp
√
1
n
+
1
m
)
= 1− α
(5.4)
Portanto, um intervalo de confiança de 100(1 − α)% de confiança para a diferença
entre as médias, µ1 − µ2, é
IC(µ1 − µ2, 100(1− α)%) =
(
X1 −X2
)± tα/2,n+m−2Sp√ 1n + 1m
Exemplo: Em um processo químico de matérias-primas, usado para gravar placas
de circuito impresso, estão sendo comparados dois catalisadores diferentes para se
determinar se eles exigem tempo diferentes de imersão para a remoção de quantidades
idênticas de material fotorresistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1,
resultando em uma média amostral do tempo de imersão de X1 = 24, 6 minutos e
um desvio padrão amostral de s1 = 0, 85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao
98
catalisador 2, resultado em um tempo médio de imersão de X2 = 22, 1 minutos e em
um desvio-padrão de s2 = 0, 98 minuto. Achar um intervalo de confiança de 95% de
confiança para a diferença entre as médias µ1 − µ2, supondo que os desvios-padrão
das duas populações sejam iguais.
Solução:
Temos que:
i) S2p =
(n−1)S21+(m−1)S22
n+m−2 =
11(0,85)2+14(0.98)2
12+15−2 = 0, 8557
ii) O desvio-padrão combinado é Sp =
√
0, 8557 = 0, 925
iii) tα/2,n+m−2 = t0,025;25 = 2, 060. Portanto, podemos calcular os limites inferior
e superior de confiança como
I =
(
X1 −X2
) − tα/2,n+m−2Sp√ 1n + 1m = 24, 6 − 22, 1 − 2, 060(0, 925)√ 112 + 115 =
1, 76 minuto.
e
S =
(
X1 −X2
)
+ tα/2,n+m−2Sp
√
1
n +
1
m = 24, 6− 22, 1 + 2, 060(0, 925)
√
1
12 +
1
15 =
3, 24 minutos.
Isto é, o intervalo de confiança de 95% de confiança para a diferença entre os tempos
médios de imersão é
1, 76 minutos ≤ µ1 − µ2 ≤ 3, 24 minutos
Portanto, estamos 95% confiantes de que o catalisador 1 requer um tempo de imersão
maior do que o tempo de imersão exigido pelo catalisador 2 por uma quantidade que
está entre 1,76 minuto e 3,24 minutos.
b) σ21 6= σ22
Em muitas situações não é razoável supor que σ21 = σ
2
2. Portanto, quando a hipótese
de igualdade de variâncias for rejeitada, devemos usar a estatística:
99
t∗ =
(
X1 ±X2
)− (µ1 ± µ2)√
S21
n +
S22
m
∼ tv
com v graus de liberdade dado por:
v =
(
S21
n +
S22
m
)2
(S21/n)
2
n+1 +
(S22/m)
2
m+1
Consequentemente, um intervalo de confiança aproximado de 100(1 − α)% de
confiança para µ1 − µ2, quando σ21 6= σ22, é
IC(µ1 − µ2, 100(1− α)%) =
(
X1 −X2
)± tα/2,vSp√S21n + S22m
5.6 Intervalo de Confiança para a Diferença entre Duas
Proporções
Se há duas proporções de interesse, digamos p1 e p2, é possível obter um intervalo de confiança
de 100(1 − α)% de confiança para sua diferença p1 − p2. Se duas amostras independentes, de
tamanhos n1 e n2, são extraídas de populações infinitas, de modo que X1 e X2 sejam variáveis
aleatórias binomiais independentes, com parâmetros (n1, p1) e (n2, p2) respectivamente, onde
X1 é o número de observações amostrais da primeira população que pertencem a uma classe
de interesse, e X2 representa o número de observações amostrais da segunda população que
pertencem a uma classe de interesse, então p̂1 =
X1
n1
e p̂2 =
X2
n2
, são estimadores independentes
de p1 e p2, respectivamente. Além disso, sob a hipótese de que se aplica a aproximação normal
a binomial,
p̂1 ∼ N
(
p1;
p1(1− p1)
n1
)
(5.5)
e
p̂2 ∼ N
(
p2;
p2(1− p2)
n2
)
(5.6)
Assim:
p̂1 − p̂2 ∼ N
(
p1 − p2; p1(1− p1)
n1
+
p2(1− p2)
n2
)
(5.7)
100
Assim, a estatística
Z =
(p̂1 − p̂2)− (p1 − p2)√
p1(1−p1)
n1
+ p2(1−p2)n2
∼ N (0; 1) (5.8)
Fixando-se um nível de confiança 1− α, temos a seguinte representação da situação:
Ou seja:
P
(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1− α
Substituindo-se o valor de Z, e resolvendo-se para as duas ineqüações, temos:
P
p̂1 − p̂2 − zα/2
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
≤ p1 − p2 ≤
p̂1 − p̂2 + zα/2
√
p̂1(1−p̂1)
n1
+ p̂2(1−p̂2)n2 = 1− α
Um intervalo de confinça inferior aproximado de 100(1− α)% de confiança para p1 − p2 é
p̂1 − p̂2 − zα
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
≤ p1 − p2
e um intervalo de confinça superior aproximado de 100(1− α)% de confiança para p1 − p2
p1 − p2 ≤ p̂1 − p̂2 + zα
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
Exemplo: Em uma amostra aleatória de 75 eixos, 12 têm um acabamento de superfície que
é mais áspero do que permitem as especificações. Portanto, uma estimativa da proporção
p de eixos na população que excedem as especificações de aspereza é p̂ = x/n = 12/75 =
0, 16. Suponha que seja feita uma modificação no processo de acabamento da superfície e que,
101
subsequentemente, seja obtida uma segunda amostra aleatória de 85 eixos. O número de eixos
defeituosos nessa segunda amostra é 10. Obter um intervalo de confiança aproximado de 95%
de confiança para a diferença das proporções de defeituosos produzidos pelos dois processos.
Solução:
0, 16− 0, 12− 1, 96
√
0, 16(0, 84)
75
+
0, 12(0, 88)
85
≤ p1 − p2 ≤ 0, 16− 0, 12 + 1, 96
√
0, 16(0, 84)
75
+
0, 12(0, 88)
85
(5.9)
−0, 07 ≤ p1 − p2 ≤ 0, 15.
Esse intervalo inclui o zero, de modo que, com base nos dados amostrais parece improvável que
as mudanças feitas no processo de acabamento da superfície tenham reduzido a proporção de
eixos defeituosos produzidos.
5.7 Intervalo de Confiança para a Variância de uma População
com Distribuição Normal
Suponha que X seja normalmente distribuída, com média µ e variância σ2 desconhecidas. Seja
X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatória de tamanho n, e seja S
2
a variância amostral. Vimos
que a distribuição amostral de
(n− 1)S2
σ2
∼ χ2n−1
é qui-quadrado, com n− 1 graus de liberdade.
Para desenvolver o intervalo de confiança, notamos, pela figura acima, que
P
(
χ21−α/2,n−1 ≤ χ2 ≤ χ2α/2,n−1
)
= 1− α
ou
102
P
(
χ21−α/2,n−1 ≤
(n− 1)S2
σ2
≤ χ2α/2,n−1
)
= 1− α
Essa última equação pode ser rearranjada, resultando em
P
(
(n− 1)S2
χ2α/2,n−1
≤ σ2 ≤ (n− 1)S
2
χ21−α/2,n−1
)
= 1− α
Portanto:
IC(σ2; 1− α) =
[
(n− 1)S2
χ2α/2,n−1
,
(n− 1)S2
χ21−α/2,n−1
]
É também possível encontrar um limite inferior ou superior de confiança de (1− α)% para σ2.
Os limites inferior e superior de confiança de (1− α)% para σ2 são:
(n− 1)S2
χ2α,n−1
≤ σ2 e σ2 ≤ (n− 1)S
2
χ21−α,n−1
Exemplo: De uma população normal com média e variância desconhecidas, extrai-se uma
amostra de tamanho 15 obtendo-se X = 12 e S2 = 49. Obtenha um intervalo de confiança para
a variância populacional, utilizando o nível de confiança de 95%.
5.8 Intervalo de Confiança para a Razão das Variâncias de duas
Populações Normais
Suponha que X1 e X2 sejam variáveis aleatórias normais independentes com médias µ1 e µ2
desconhecidas e variâncias σ21e σ
2
2 desconhecidas, respectivamente. Desejamos encontrar um
intervalo de confiança de 100(1−α)%de confiança para a razão σ21/σ22. Considere duas amostras
aleatórias de tamanhos n1 e n2, extraídas de X1 e X2, e sejam S
2
1 e S
2
2 as variâncias amostrais.
Para encontrarmos o intervalo de confiança, notamos que a distribuição amostral de
F =
S22/σ
2
2
S21/σ
2
1
é F com n2 − 1 e n1 − 1 graus de liberdade. Essa distribuição é mostrada na figura abaixo,
vemos que
103
P
(
F1−α/2,n2−1,n1−1 ≤ F ≤ Fα/2,n2−1,n1−1
)
= 1− α
ou
P
(
F1−α/2,n2−1,n1−1 ≤
S22/σ
2
2
S21/σ
2
1
≤ Fα/2,n2−1,n1−1
)
= 1− α
Daí,
P
(
S21
S22
F1−α/2,n2−1,n1−1 ≤
σ21
σ22
≤ S
2
1
S22
Fα/2,n2−1,n1−1
)
= 1− α
Portanto, um intervalo de confiança bilateral de 100(1− α)% de confiança para σ21/σ22 é
S21
S22
F1−α/2,n2−1,n1−1 ≤
σ21
σ22
≤ S
2
1
S22
Fα/2,n2−1,n1−1
onde o ponto 1− α/2 da cauda inferior da distribuição Fn2−1,n1−1 é dado por
F1−α/2,n2−1,n1−1 =
1
Fα/2,n1−1,n2−1
.
Podemos, também, construir intervalos de confiança unilaterais. Um limite inferior de confiança,
de 100(1− α)% de confiança para σ21/σ22, é
S21
S22
F1−α,n2−1,n1−1 ≤
σ21
σ22
,
enquanto um limite superior de confiança de 100(1− α)% de confiança para σ21/σ22, é
σ21
σ22
≤ S
2
1
S22
Fα,n2−1,n1−1.
104
Exemplo: Considere o processo químico de gravação, descrito no exemplo anterior. Lembre
que dois catalisadores estão sendo comparados para se medir a eficácia na redução dos tempos
de imersão para placas de circuito impresso. n1 = 12 lotes foram testados com o catalisador 1 e
n2 = 15 lotes foram testados com o catalisador 2, resultando em s1 = 0, 85 minuto e s2 = 0, 98
minuto. Encontrar um intervalo de confiança de 90% de confiança para a razão das variâncias
σ21/σ
2
2.
105
Capítulo 6
Testes de Hipóteses
6.1 Introdução
Um dos problemas a serem resolvidos pela Inferência Estatística é testar uma hipótese. Feita
uma determinada afirmação sobre um parâmetro da população, desejamos saber se o resultado
da amostra contraria ou não tal informação.
O objetivo do teste estatístico de hipótese é fornecer uma metodologia que nos permita verificar
se os dados amostrais trazem evidências que apoiem ou não uma hipótese (estatística) formulada.
A idéia central do teste de hipótese é a de supor verdadeira a hipótese em questão e verificar se
a amostra observada é �verossímel"nessas condições.
6.1.1 Nocões Básicas
Exemplo 1:
Um detetive de polícia é encarregado da investigação de um crime. Baseado nas evidências
encontradas, o detetive suspeita inicialmente do mordomo e precisa decidir, então, se prende
ou libera o mordomo. Por outro lado, o mordomo pode ser culpado ou inocente. Assim, há 4
possibilidades, resumidas no Quadro 1, que podem ocorrer quando o detetive tomar sua decisão:
� prender o mordomo, quando, na verdade, o mordomo é o assassino→ decisão correta
� prender o mordomo, quando, na verdade, o mordomo é inocente → decisão errada
� liberar o mordomo, quando, na verdade, o mordomo é o assassino → decisão errada
106
� liberar o mordomo, quando, na verdade, o mordomo é inocente → decisão correta
Figura 6.1: Representação gráfica para o EQM
Se o problema do detetive fosse de origem estatística, a primeira providência que ele teria que
tomar seria formular uma hipótese nula, que é uma afirmação sobre um parâmetro da população.
A hipótese nula, normalmente designada por H0, é uma afirmação que é estabelecida com o
objetivo de ser testada; ela pode ser rejeitada ou não. Normalmente, a hipótese nula é formulada
de tal forma que o objetivo é rejeitá-la. No exemplo, como o detetive suspeita do mordomo, a
formulação mais adequada é
H0 : mordomo é inocente
Se as evidências são suficientes para se rejeitar a hipótese nula, então aceita-se a hipótese
alternativa, normalmente designada por H1, que será aceita se a hipótese nula for rejeitada. No
exemplo, como só existem 2 possibilidades, temos que
H1 : mordomo é culpado
Observe que o método é aplicado para se testar a hipótese nula. A hipótese alternativa será
aceita se e somente se a hipótese nula for rejeitada, ou seja, a estratégia é tomar uma decisão
com relação à hipótese nula.
Depois de examinar todas as evidências, o detetive deve rejeitar H0 (e concluir que o mordomo
é culpado) ou não rejeitar H0 (e concluir que o mordomo é inocente). Note que as conclusões
são sempre estabelecidas em termos da hipótese nula. Como já visto, o detetive pode cometer
dois tipos de erro:
107
Figura 6.2: Quadro 1 - Erros associados a um Teste de Hipótese
� Erro tipo I: rejeitar H0 quando é verdadeira;
� Erro tipo II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa.
Exemplo 2:
Uma indústria usa, como um dos componentes das máquinas que produz, um parafuso
importado, que deve satisfazer a algumas exigências. Uma dessas é a resistência à tração. Esses
parafusos são fabricados por alguns países, e as especificações técnicas variam de pais para país.
Por exemplo, o catálogo do pais A afirma que a resistência média à tração de seus árafusos é
de 145kg, com desvio padrão de 12kg. Já para o país B, a média é de 155kg e desvio padrão 20kg.
Um Lote desses parafusos, de origem desconhecida, será leiloado a um preço muito convidativo.
Para que a indústria saiba se faz ou não uma oferta, ela necessitasaber qual país produziu tais
parafusos. O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilão , será divulgada a resistência
média x de uma amostra de 25 parafusos do lote. Qual regra de decisão deve ser usada pela
industria para dizer se os parafusos são do país A ou B?
Uma possível resposta seria, considerar como país produtor aquele para o qual a média da
amostra mais se aproximar da média da população, ou seja:
Figura 6.3: Regra de decisão para o exemplo 2.
108
Suponha que, no dia do leilão, fossemos informados de que x = 148; de acordo com nossa
regra de decisão, diríamos que os parafusos são de origem A. Podemos está enganados nessa
conclusão? Sim, é possível. Então, para melhor entendermos a regra de decisão adotada,
estudaremos os tipos de erros que podemos cometer e as respectivas probabilidades.
Erro Tipo I: dizer que os parafusos são de A quando na realidade são de B. Isso ocorre quando
uma amostra de 25 parafusos de B apresenta média x inferior ou igual a 150kg.
Erro Tipo II: dizer que os parafusos são de B, quando na realidade eles são de A. Isso ocorre
quando uma amostra de 25 parafusos de A apresenta média x superior a 150kg.
Para facilitar ainda mais, vamos definir duas hipóteses também numeradas:
Como suspeitamos que os parafusos são de origem do páis A, vamos estabelecer a hipótese nula
de forma que o resultado desejado seja rejeitá-la.
� H0: Os parafusos são de orígem do país B.
� H1: Os parafusos são de origem do país A.
Se denotamos por X a variável aleatória que representa a resistência à tração do parafuso, essas
hipóteses se traduzem como:
H0 : X ∼ N(155; 400),
e
H1 : X ∼ N(145; 144),
A regra de decisão do gerente é baseada na média amostral observada para os 25 parafusos do
lote. Nossa decisão deve ser expressa em termos de H0. Logo, a regra de decisão é
RC = {y ∈ <|y ≤ 150} → rejeita H0
e
RA = {y ∈ <|y > 150} → aceita H0
Os erros associados a essa regra de decisão será:
109
� Erro I: rejeitar H0 quando H0 é verdadeira.
� Erro II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa.
Onde a probabilidade de se cometer cada ums dos erros pode ser escrita:
P ( erro I ) = P (X ∈ RC|H0 é verdadeira ) = α
P ( erro II ) = P (X /∈ RC|H1 é verdadeira ) = β
Quando H0 for verdadeira, ito é, os parafusos forem de B, sabemos do TCL que X terá
distribuição aproximadamente normal, com média 155 e desvio padrão igual a 20/
√
25 = 4,
isto é
X ∼ N(155, 16)
Se H0 é falsa, a amostra vem de uma população normal com média 145 e variância 5,76,isto é,
X ∼ N(145, 5, 76)
Então, as probabilidades associadas aos erros podem ser expressos em termos de probabilidade
condicional:
P ( erro I ) = P (X ∈ RC|H0 é verdadeira )
= P (X ≤ 150|X ∼ N(155, 16)) = 10, 56% = α
P ( erro II ) = P (X /∈ RC|H1 é verdadeira )
= P (X > 150|X ∼ N(145, 5, 76)) = 1, 88% = β
Observando esses dois resultados, notamos que, com a regra de decisão adotada, estaremos
cometendo o erro tipo I com maior probabilidade do que o erro tipo II. De certo modo, essa
regra de decisão privilegia a afirmação de que os parafusos são de A. No quadro abaixo podemos
verificar as consequências que podem vir da regra de decisão adotada.
110
Podemos notar que:
� Se os parafusos forem realmente de B e a amostra tiver média superior a 150, diremos
que são de B, e não cometeremos erro algum;
� Por outro lado, se a média x for inferior a 150, devemos dizer que são de A, e
estaremos cometendo um erro cuja probabilidade nesse caso é de 10, 56%;
� Se os parafusos forem realmente de A e a amostra tiver média inferior a 150, diremos
que são de A, e não cometeremos erro algum;
� Por outro lado, se a média x for superior a 150, devemos dizer que são de B, e
estaremos cometendo um erro cuja probabilidade nesse caso é de 1, 88%;
Exemplo 3:
Suponha agora que queiramos igualar as probabilidades de erro. Deve existir um ponto em que
α seja igual a β, ou seja, uma regra de decisão em que a probabilidade de errar contra A seja a
mesma de errar contra B. Mostre que esse ponto é xc = 148, 75, e nesse caso α = β = 5, 94%.
Do exposto acima constatamos que, escolhido um valor de xc, podemos achar as probabilidades
α e β de cometer cada tipo de erro. Más também podemos proceder de modo inverso: fixar
um dos erros, digamos α, e encontrar a regra de decisão que irá corresponder a probabilidade
de erro de tipo I igual a α.
Por exemplo, fixemos α em 5%. A regra de decisão correspondente, será xc = 148, 82. Então a
regra decisão será:
� Se xc for inferior a 148,42, dizemos que o lote é de A, caso contrário, dizemos que é
de B.
111
Com essa regra, a probabilidade do erro de Tipo II será β = 7, 93%.
Exemplo 4:
Suponha agora que interessa à indústria fazer uma proposta apenas no caso de o parafuso ser
de origem B. Qual a regra de decisão que deve adotar?
A hipótese nula que nos interessa agora é:
H0 : os parafusos são de origem B (µ = 155 e σ = 20).
Caso essa não seja a hipótese verdadeira, a alternativa é muito mais ampla e pode ser expressa
como:
H1 : os parafusosn não são de origem B (µ e σ desconhecidos).
Aqui não podemos especificar os parâmetros sob a hipótese alternativa H1, pois se não forem
de origem B, os parafusos podem ser de vários outros países, cada um com suas próprias
especificações.
A especificação da hipótese alternativa depende muito do grau de informação que se tem do
problema.
Por exemplo, vamos admitir que a indústria do país B para esse caso seja a mais desenvolvida, e
nenhum outro país possa produzir uma resitência média superior à dela. Então, nossa hipótese
alternativa seria:
H1 : os parafusos não são de origem B (µ < 155 e σ qualquer).
112
Isso significa que só iremos desconfiar de H0 se x for muito do que 155. Ou seja a nossa
regra de decisão deverá ser semelhante à vista anteriormente. Como os parâmetros sob a
hipótese alternativa são muitos, a melhor solução para construir a regra de decisão é fixar α, a
probabilidade do erro de tipo I. Se fixarmos novamente α = 0, 5, e nesse caso a regra de decisão
depende apenas das informações de H0, a regra de decisão será a mesma anterior:
Se x for superior a 148,42, diremos que o lote é de origem B; caso contrário, diremos que não
é de origem B.
Com essa regra de decisão e com a hipótese alternativa mais ampla, não podemos encontrar β,
pois não temos um único parâmetro µ como alternativa e nada sabemos sobre σ. Então, não
podemos controlar o erro tipo II.
Podemos reescrever as hípóteses nessa situação da seguinte forma:
H0 : µ = 155
H1 : µ < 155
113
O cálculo de β depende do valor de µ, que não é especificado. Mas podemos considerar a seguinte
função:
Definição: A função característica de operação (função CO) do teste acima é definicda como:
β(µ) = P ( aceitar H0|µ = P (X > 148, 42|µ).
Ou seja, β(µ) é a probabilidade de aceitar H0, considerada como uma função de µ.
Usualmente, considera-se a função pi(µ) = 1 − β(µ), que é a probabilidade de se rejeitar H0
como função de µ e é denominada função poder do teste.
Exemplo 5:
Suponha agora, que não exista razão alguma para acreditarmos que a resistência média dos
parafusos de B seja maior ou menor do que a de outros países. Isso irá nos levar a duvidar que
os parafusos não são de B, se a média observada for muito maior ou muito menor do que 155.
Esta situação corresponde às seguintes hipóteses:
H0 : µ = 155
H1 : µ 6= 155
Aqui, a regra de decisão deverá indicar dois pontos xc1 e xc2, tais que:
Se x estiver entre xc1 e xc2, diremos que os parafusos são de origem B; se x estiver fora do
intervalo, diremos que não são de origem B.
Fixado α, a probabilidade do erro I, existirão muitos valores que satisfazem a essa condição.
Sendo que, daremos preferência àquelas soluções xc1 e xc2, simétricas em relação à média.
114
Fixando α = 5%, temos:
e daqui encontramos:
Portanto, nesse caso, a região de rejeição da hipótese H0 é:
Dos exemplos anteriores, vemos que, dependendo do grau de informação que se tem do problema,
podemos ter regras de decisão unilaterais e bilaterais.
6.1.2 Componentes de um Teste de Hipóteses
1. Hipótese Nula: é a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional θ: média
(µ), variância (s2) ou proporção (p). Usualmente, H0 expressa a condição de
igualdade.
115
H0 : θ = θ0, H0 : θ ≥ θ0, H0 : θ ≤ θ0
2. Hipótese Alternativa: é a afirmação verdadeira para o caso de a hipótese nula ser
falsa. Assume uma de três formas:
H1 : θ 6= θ0( Teste Bilateral )
H1 : θ > θ0, ( Teste Unilateral à direita )
H1 : θ < θ0( Teste Unilateral à esquerda )
3. Nível de significância do teste: Probabilidade máxima tolerada para o Erro Tipo I
(rejeitar H0 se ela é verdadeira).
4. Estatística de teste: é o valor baseado nos dados amostrais. Através desse valor a
decisão sobre a rejeição da hipótese nula é tomada.
De acordo com o tipo de teste de hipóteses feito, uma distribuição de probabilidade
é associada a esta estatística.
� Teste sobre a média µ : H0 : µ = µ0
Zobs =
x− µ0
σ/
√
n
∼ N(0, 1) : variância conhecida
Tobs =
x− µ0
s/
√
n
∼ tn−1 : variância desconhecida e n < 30
� Teste sobre uma proporção p : H0 : p = p0
Zobs =
p̂− p0√
p0(1−p0
n
∼ N(0, 1)
� Teste sobre uma variância σ2 : H0 : σ
2 = σ20
Xobs =
(n− 1)s2
σ20
∼ χ2n−1
Se H0 é verdadeira, a estatística de teste segue a distribuição de referência, ou seja,
se H0 é verdadeira, então o valor da estatística de teste deve ser um valor típico da
distribuição de referência.
5. Região Crítica: conjunto de valores da estatística de teste que levam à rejeição de
H0.
116
6. Valor Crítico: é o valor ou os valores que separam a região crítica dos demais valores
possíveis da estatistica de teste.
A construção de um teste de hipóteses pode ser colocado do seguinte modo.
� Existe uma variável X associada a uma população e tem-se uma hípótese sobre
determinado parâmetro theta dessa população, por exemplo, afirmamos que o
verdadeiro valor de θ é θ0;
� Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa população e com ela dseja-se
comprovar ou não tal hipótese;
� A hipótese que estamos colocando a prova é chamada de hipótese nula e escrevemos
H0 : θ = θ0
Eis algumas hipóteses nulas típicas:
H : µ = µ0 (Teste de Médias) H : µ = µ0
� A hipótese alternativa é ahipótese que será considerada aceitável caso H1 seja
rejeitada.
Podemos escrever H1 (hipótese alternativa) de 3 maneiras:
H1 : θ 6= θ0;H1 : θ > θ0;H1 : θ < θ0,
dependendo do problema em questão.
� Independentemente da decisão tomada dois tipos de erros podem ser cometidos.
Erro I: rejeitar H0 quando H0 é verdadeira. A probabilidade α = P ( erro I ) =
P ( rejeitar H0|H0 é verdadeira ) é controlado pelo estatístico e é denominada nível
de significância do teste.
Erro II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa e, β = P ( erro II ) =
P ( não rejeitar H0|H0 é falso )
O objetivo do teste de hipóteses é dizer usando uma estatística θ̂, se a hipótese H0 é ou não-
aceitável. Essa decisão é tomada através de uma região crítica RC. Caso o valor observadp
pertença a essa região, rejeita-se H0, caso contrário, não rejeita. Essa região crítica é construída
de modo que:
117
1. P (θ̂ ∈ RC|H0 verdadeiro )=α, α fixo.
6.1.3 Passos para a Construção de um Teste de Hipóteses
1. Definir a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa H1:
2. Escolher a estatística de teste adequada.
3. Escolher o nível de significância α e estabelecer a região crítica.
Nível de signficância = valor máximo para P (ErroT ipoI), onde:
P ( erro I ) = P (X ∈ RC|H0 é verdadeira )
Temos 0 < α < 1, usualmente valores pequenos como 1% ou 5%.
4. Definir a região de rejeição de H0.
5. Calcular o valor da estatística de teste com base em uma amostra de tamanho n
extraída da população.
6. Rejeitar H0 se o valor calculado da estatística está na região crítica. Não rejeitar
H0 em caso contrário.
6.1.4 Exemplo 6:
Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição
normal, com média µ e variância sempre igual a 400g2. A máquina foi regulada para µ = 500g.
Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob
controle, isto é, se µ = 500g ou não. Se uma dessas amostras apresentasse uma média x = 492g,
você pararia ou não a produção para regular a máquina?
Solução:
� Parâmetro: µ = peso médio dos pacotes de cafpe.
� Valor de comparação: µ0 = 500g
� Hipóteses: H0 : µ = 500g e H1 : µ 6= 500g
� Nível de significância: α = 0, 01
� Dados amostrais: n = 16, x = 492g, σ = 20
118
� Estatística de teste: Zobs =
x−µ0
s/
√
n
= 492−500)
(20/
√
16)
= −85 = −1, 6
Como −2, 58 < Zobs < 2, 58 não rejeitar a hipótese nula de que µ = 500g (em favor
da hipótese alternativa µ 6= 500).
Da tabela da curva normal padronizada obtemos que:
Segue-se que a região crítica é:
RC = {x ∈ <|x ≤ 487, 1 ou x ≥ 512, 9}
� Conclusão: A informação pertinente da amostra é sua média, que nesse caso
particular é x0 = 492. Como x0 não pertence à região crítica, nossa conclusão
será não rejeitar H0. Ou seja, o desvio da média da amostra para a média proposta
por H0 pode ser considerada como devido apenas ao sorteio aleatório dos pacotes.
119
	Revisando Alguns Modelos Probabilísticos Discretos e Continuos
	Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas
	Distribuição de Bernoulli
	Distribuição Binomial
	Distribuição Geométrica
	Distribuição Poisson
	Distribuição Multinomial
	Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas
	Distribuição Uniforme
	Distribuição Exponencial
	Exemplos
	Distribuição Gama
	Distribuição de Weibull
	A Distribuição Normal
	Distribuição normal padrão
	Padronização de uma variável
	Distribuições obtidas da Normal
	 Introdução à Inferência Estatística
	Introdução
	 População e Amostra
	Amostra aleatória simples
	Estatísticas e Parâmetros
	Distribuições Amostrais
	 Distribuições Amostrais
	Distribuição Amostral da Média
	Média e variância da distribuição amostral da média
	Distribuição amostral da média para populações Normais com Variância conhecida
	Teorema Central do Limite
	Deterrminação do tamanho de uma amostra
	 Distribuição Amostral da Proporção - Amostras grandes
	Aproximação normal da distribuição binomial
	A distribuição amostral da proporção
	Determinação do Tamanho de uma Amostra
	Outras Distribuições Amostrais
	Distribuição amostral da Média para populações Normais com Variância desconhecida - amostras pequenas
	 Distribuição amostral da Média para populações Quaisquer com Variância desconhecida
	 Distribuição Amostral da soma ou diferença de duas Médias com variância conhecida
	Distribuição Amostral da Soma ou Diferença de duas Proporções
	Distribuição Amostral da soma ou diferença de duas Médias com variância desconhecida - amostras pequenas
	Distribuição Amostral da Variância
	Distribuição da Razão entre duas Variâncias Amostrais
	 Estimação de Parâmetros
	Propriedade dos Estimadores
	 Erro Quadrático Médio
	 Métodos de Estimação
	 O Método de Máxima Verossimilhança
	O Método dos Momentos
	Estimadores por Mínimos Quadrados
	Intervalos de Confiança
	Introdução
	Intervalo de confiança para a Média de Populações Normais com Variância Conhecida
	Margem de Erro e Determinação do tamanho amostral
	Intervalo de confiança para a Média de Populações Normais com Variância desconhecida
	Margem de Erro
	Amostras Grandes
	Intervalo de Confiança para uma Proporção - Amostras Grandes
	Margem de Erro e Determinação do tamanho amostral
	 Intervalo de Confiança para a Diferença entre médias de duas Populações Normais
	Variância Conhecida
	Variância Desconhecida
	Intervalo de Confiança para a Diferença entre Duas Proporções
	 Intervalo de Confiança para a Variância de uma População com Distribuição Normal
	Intervalo de Confiança para a Razão das Variâncias de duas Populações Normais
	Testes de Hipóteses
	Introdução
	Nocões Básicas
	Componentes de um Teste de Hipóteses
	Passos para a Construção de um Teste de Hipóteses
	Exemplo 6: