DISCRETIZAÇÃO DE UM SISTEMA DINÂMICO NO ESPAÇO ESTADO: CIRCUITO RLC

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DISCRETIZAÇÃO DE UM SISTEMA DINÂMICO NO ESPAÇO ESTADO: CIRCUITO RLC.
Ana Karina Bentes; Alexandre Siqueira; Eduardo Lima; Eduardo Menezes; Vitor Lavratti.
INTRODUÇÃO
Um circuito RLC consiste de um circuito analógico com três componentes principais: o resistor (R), o capacitor (C) e o indutor (L). Estes circuitos exibem um grande número de tipos de comportamentos que são essenciais para a eletrônica digital.
Este trabalho tem como finalidade a implementação do programa MATLAB a função impulse a uma função de transferência e a sua representação em Espaço de Estado.
TEORIA
O resistor (chamado de resistência em alguns casos) é um dispositivo elétrico bastante utilizado na eletrônica, cuja finalidade é transformar energia elétrica em energia térmica (efeito Joule), a partir do material empregado. A unidade no S.I é (Ω).
Fig. 01: Circuito RLC.
O capacitor é um componente usado em quase todo tipo de dispositivo eletrônico. Ele permite armazenar cargas elétricas na forma de campo eletrostático e mantê-la durante certo período, mesmo que alimentação elétrica seja cortada. A função mais comum é retificar e estabilizar a corrente elétrica, evitando que as variações possam danificar qualquer dispositivo. A	 unidade da capacitância é o Farad (F).
O indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica. Um indutor pode ser empregado em circuitos como filtros passa baixa. A unidade da indutância é o Henry (H).
Sendo o circuito RLC representado como na figura 01, pode-se obter sua função de transferência a partir de uma análise utilizando a Lei de Kirchhoff das Malhas.
A tensão ei de entrada e a tensão de saída eo podem ser definidas por:
Aplicando-se a transformada de Laplace nas duas equações, e dividindo-as, obteremos a equação de transferência:
Considerando valores para R, L e C respectivamente 2 Ω, 0,4 H e 0,1 F, logo em seguida multiplicando o denominador e o numerador pelo fator 1/LC, reescreveremos a equação 03 da seguinte forma:
No MATLAB, define-se então o numerador de M como [0 0 25] e o denominador como [1 5 25], sendo cada número relacionado a uma ordem da variável complexa s.
Para gerar a função de transferência no MATLAB, emprega-se a função tf(num,den). Esta função pode ser simulada em equação de estados através da função de conversão [A,B,C,D] = tf2ss(num,den). Onde A, B, C e D serão matrizes da consecutiva equação:
A função impulse representa um sinal de entrada como degrau unitário.
RESULTADOS
A partir da função de transferência, pode-se montar um diagrama de blocos simplificado em malha aberta, onde U(s) é o sinal de entrada e Y(s) é a saída:
Fig. 02: Diagrama de bloco do circuito RLC.
Para a equação em espaço de estados, obtêm-se o gráfico em resposta da função de transferência ao impulso. O algoritmo desenvolvido é: 
clc; clear all; close all;
%Função de entrada: ei(t)= L di/dt + Ri + (1/c)* integral (i dt);
%Função de saída: eo(t)= (1/c)* integral (i dt)
% R = 2; %Valor da Resistência
% c = 0.1; %Valor da capacitância
% L = 0.4; %Valor da indutância
% A partir da valore indicados acima a função de transferência FUNT
% foi achada analiticamente atraves da transformada de Laplace: FUNT = Eo(s)/Ei(s)=(1/LCs²+RCs+1)
% FUNT= (1)/(Lcs+Rcs+1); aplicando os valores de R, L e c
% Temos FUNT = (25)/s²+5s+25
num = [ 0 0 25]; % Numerador de FUNT
den = [ 1 5 25]; % Denominador de FUNT
printsys (num, den); 
figure (1) 
impulse (num,den);
title ('Resposta da Função de Transferência ao impulso ')
%=======================================================================
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[A,B,C,D] = tf2ss(num, den); % Transforma FUNT para espaço de Estados
printsys (A,B,C,D); 
%=======================================================================
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Obteve-se o seguinte gráfico:
 Gráfico 01: Resposta da Função de Transferência ao impulso.
A janela de comando do MATLAB também mostra a função de transferência encontrada e as matrizes de estado A, B, C e D.
Fig. 03: Função de transferência e matrizes de estado geradas pela janela de comando do MATLAB.
REFERÊNCIAS
OGATA, K.: Engenharia do Controle Moderno – 3ª edição. Editora LTC, 1998.
HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física. Vol. 3 – 8ª edição. Editora LTC, 2009.