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Mat1162   2016.2 - Provas - Maple

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vazio.
Se um conjunto D ⊆ R2 contiver todos os seus pontos de fronteira ele e´ chamado
de fechado.
Um fechado D e´ tambe´m chamado de regia˜o.
Vejamos dois exemplos (ilustrados na Figura 8):
• D3 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}
• D4 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = x}
8
1−1 2−2 x
y
(a) D3
1
1
x
y
(b) D4
Figura 8: Exemplos de regio˜es fechadas.
Note que a regia˜o D3 possui pontos interiores e de fronteira, enquanto que D4
possui somente pontos de fronteira.
O interior e a fronteira das regio˜es acima podem ser caracterizados pelas equac¸o˜es
e/ou inequac¸o˜es que os definem. Por exemplo, o interior de D1 e´ definido pelas
inequac¸o˜es |x| < 2, |y| < 2 e x2 + y2 > 1.
Ja´ a fronteira de D1, que na˜o faz parte deste conjunto, e´ caracterizada pela unia˜o
das curvas
• L1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x = 2 e − 2 ≤ y ≤ 2},
• L2 =
{
(−2, y) ∈ R2
∣∣∣ − 2 ≤ y ≤ 2},
• L3 =
{
(x, 2) ∈ R2
∣∣∣ − 2 ≤ x ≤ 2},
• L4 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = −2 e − 2 ≤ x ≤ 2},
• L5 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = √1− x2 e − 1 ≤ x ≤ 1},
• L6 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = −√1− x2 e − 1 ≤ x ≤ 1},
onde cada uma dessas curvas e´ definida em termos de gra´ficos de func¸o˜es (na varia´vel
x ou na varia´vel y), i.e., a fronteira de D1 e´ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4 ∪ L5 ∪ L6.
No caso do conjunto D3, a fronteira e´ definida por C1 ∪ C2 onde
• C1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 = 1},
9
• C2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 = 4}.
Ja´ o interior de D3 e´ definido pelas inequac¸o˜es 1 < x2 + y2 e x2 + y2 < 4. Em
geral, um conjunto definido por uma inequac¸a˜o da forma g(x, y) ≤ 0 tem interior
caracterizado por g(x, y) < 0 e fronteira por g(x, y) = 0.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y) ≥ 0, ..., fk(x, y) ≥ 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais cont´ı-
nuas definidas num aberto D ⊆ R2, obtemos um fechado A ⊆ R2 (que pode ser um
conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k fechados. Idem se uma das desigualdades ≥ 0
e´ trocada por ≤ 0.
Atenc¸a˜o: existem regio˜es que na˜o sa˜o abertas nem fechadas (pense em alguns exem-
plos).
Se um conjunto D ⊆ R2 esta´ contido num disco de raio r, suficientemente grande,
enta˜o ele e´ dito limitado. Nos exemplos acima sa˜o limitadas as regio˜es D1 e D3. Ja´
as regio˜es D2 e D4 sa˜o ilimitadas, pois nenhum disco as conte´m.
Chama-se de compacta uma regia˜o que e´ fechada e limitada. A u´nica regia˜o
compacta entre os exemplos acima e´ D3.
Vejamos agora um u´ltimo exemplo. Considere a regia˜o do plano definida por
D5 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x ≥ 0 e x ≤ y ≤ ecosx} ,
ilustrada na Figura 9.
x
y
x0
y0
Figura 9: Regia˜o D5.
Essa regia˜o pode ser escrita como um conjunto onde x varia num intervalo nu-
me´rico e y varia entre duas func¸o˜es de x, i.e.,
D5 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 0 ≤ x ≤ x0 e x ≤ y ≤ ecosx} ,
10
onde x0 e´ a soluc¸a˜o de x = e
cosx. Tambe´m e´ poss´ıvel descrever D5 como a unia˜o de
dois conjuntos onde y varia num intervalo nume´rico e x varia entre duas func¸o˜es de
y, i.e., D5 = R1 ∪R2 onde
R1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ 0 ≤ y ≤ y0 e 0 ≤ x ≤ y} ,
e
R2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y0 ≤ y ≤ e e 0 ≤ x ≤ cos−1 (ln y)} .
sendo y0 = x0 e e = exp (1) = 2, 718281828459045 · · · .
Exerc´ıcio 3.1 Considere os conjuntos exibidos na Figura 10.
(a) Explicite os conjuntos que as definem.
(b) Classifique-as quanto a`s noc¸o˜es de: aberto, fechado, limitado.
Lembre-se: fechado e limitado e´ dito compacto.
x
y
2 x
y
4−4
2
−2
x
y
x
y
Figura 10: Regio˜es do exerc´ıcio 4.1.
Exerc´ıcio 3.2 Descreva as regio˜es abaixo na forma
D =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x)} ,
explicitando a, b, f e g. Fac¸a um esboc¸o dessas regio˜es e encontre a projec¸a˜o orto-
gonal no eixo x.
11
• D =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| ≤ y ≤ 1− x2}
• D =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ |x| ≤ y ≤ √1− x2}
Exerc´ıcio 3.3 Escreva a fronteira de cada uma das regio˜es acima como a unia˜o
de duas curvas C1 e C2, C1 ∪ C2, onde cada curva dessas curvas e´ dada por{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ y = f(x) e a ≤ x ≤ b} .
Em cada caso explicite a, b e f .
4 Topologia no espac¸o
As noc¸o˜es definidas acima (aberto, fechado e limitado) podem ser generalizadas
para regio˜es no espac¸o considerando que a distaˆncia entre os pontos A = (xa, ya, za)
e B = (xb, yb, zb) e´ dada por
d(A,B) =
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2. (11)
Consequentemente, a noc¸a˜o de disco e´ naturalmente estendida para a noc¸a˜o de
bola. Assim, definimos a bola fechada de centro C = (xc, yc, zc) e raio r > 0 como o
conjunto dos pontos P = (x, y, z) em R3 tais que
d(C,P ) ≤ r, (12)
ou seja
(x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 ≤ r2. (13)
Uma ilustrac¸a˜o dessa bola pode ser vista na Figura 11.
Assim como no plano, no espac¸o a intersec¸a˜o de conjuntos abertos e´ um aberto
ou um conjunto vazio e a intersec¸a˜o de conjuntos fechados e´ um conjunto fechado
ou vazio. Portanto, valem as definic¸o˜es abaixo.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y, z) > 0, ..., fk(x, y, z) > 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais
cont´ınuas definidas num aberto D ⊆ R3, obtemos um aberto A ⊆ R2 (que pode ser
um conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k abertos. Idem se uma das desigualdades
> 0 e´ trocada por < 0.
Dadas k condic¸o˜es f1(x, y, z) ≥ 0, ..., fk(x, y, z) ≥ 0, onde fi sa˜o func¸o˜es reais
cont´ınuas definidas num aberto D ⊆ R3, obtemos um fechado A ⊆ R2 (que pode ser
um conjunto vazio), como intersec¸a˜o de k fechados. Idem se uma das desigualdades
≥ 0 e´ trocada por ≤ 0.
Vejamos como exemplos as condic¸o˜es:
12
x
y
z
C
xc
yc
zc
Figura 11: Bola fechada de centro C e raio r > 0.
• f1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 < 0, f2(x, y, z) = y + z − 1 > 0 e f3(x, y, z) =
y − 1
2
< 0.
• g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 < 0, g2(x, y, z) = y + z − 1 > 0 e g3(x, y, z) =
z − 2 > 0.
Os conjuntos U1 e U2 sa˜o abertos do espac¸o obtidos pela intersec¸a˜o de abertos,
ou seja,
U1 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 + z2 < 1, y + z > 1, y < 1
2
}
e
U2 =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x2 + y2 + z2 < 1, y + z > 1, z > 2}.
O aberto U1 e´ ilustrado na Figura 12.
Ja´ as condic¸o˜es g1(x, y, z) < 0, g2(x, y, z) > 0 e g3(x, y, z) > 0 na˜o possuem
intersec¸a˜o, logo U2 e´ um conjunto vazio.
Exerc´ıcio: Refac¸a os exemplos acima utilizando as desigualdades ≥ 0 e ≤ 0.
13
Figura 12: Exemplo de intersec¸a˜o de abertos no espac¸o.
14
Mat1162 - 2016.2/P1/01a_Monitoria.pdf
MAT1162 – Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I - 2014.1 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios 1a – Monitoria
1. Calcule:
(a)
(3, 1)2 + 0, 39
42 − 2× 5, 5 =
(b) (−8)(−1
4
)− (−1, 1)2 =
(c) −3, 8 + (−6)5 ÷ 100÷ 4, 8 + 20, 1 =
(d) [100, 1÷ (−0, 7)]3 ÷ 100 + 29200 =
(e) (−2
3
)3 − (−1
2
) + 3
5
÷ 3
10
=
(f)
1
5
− [(1
5
)2 ÷ 1
5
]
1− 3
2
=
(g)
(7× 5)20
719(59)2
=
(h) 0, 310 × 0, 3−5 × 0, 37 ÷ 0, 310 =
(i)
√
3−2 =
(j)
4
√
10−4 =
(k) −
√
16
25
+
2
5
+
(
1
2
)−3
− 8 =
2. Simplifique:
(a) 5x− x + 2
3
(b)
√
3
2
+
2
√
27
3
−
(√
3
4
+
√
12
)
3. Em cada item abaixo, encontre todas as soluc¸o˜es da(s) equac¸a˜o(o˜es) do item:
(a) 5x =
x
2
(b) 1− x + 2
3
=
x
2
(c)
{
2x + 5 = y + 10
y − 3 = x− 4 (d)

3y
2
+ 5x = 4x + y − 6
1− y + x
2
=
x
4
(e)
y2 − 4y + 4
6y2 − 12y = 0 (f) x
3 − 25x = 0
(g) 3x2 − 18x = 0 (h) 9x2 − 6x + 1 = 0
(i) 9x2 − 6x