Analise_em_frequencia_Contínuo

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Análise	
  em	
  Frequência	
  
	
  
IFCe	
  –	
  Ins)tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá)ca	
  
	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
  
	
  
1	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Série	
  de	
  Fourier	
  
2	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  O	
   que	
   é	
   frequência:	
   a	
   frequência	
   de	
   um	
   sinal	
   pode	
   ser	
   vista	
   como	
   a	
  
“velocidade”	
  com	
  a	
  qual	
  a	
  amplitude	
  deste	
  sinal	
  varia. 
v  A	
  frequência	
  de	
  sinais	
  conHnuos	
  é	
  medida	
  em	
  [Hz	
  =	
  1/s]	
  ou	
  [rad/s].	
  	
  
v  A	
  frequência	
  de	
  sinas	
  discretos	
  é	
  medida	
  em	
  [rad].	
  
-­‐	
  Análise	
  em	
  frequência	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Período	
  e	
  frequência	
  fundamentais:	
  em	
  sinais	
  periódicos	
  podemos	
  definir	
  
o	
  seu	
  período	
  fundamental	
  e	
  a	
  par5r	
  desse,	
  sua	
  frequência	
  fundamental.	
  
f0 = 1/T0 
v  Este	
  seno	
  é	
  a	
  componente	
  fundamental	
  desta	
  onda	
  quadrada.	
  
v  Podemos	
  concluir	
  que	
  senos	
  e	
  cossenos	
  possuem	
  uma	
  única	
  (componente	
  
de)	
  frequência,	
  outros	
  sinais	
  são	
  compostos	
  também	
  de	
  harmônicos.	
  
-­‐	
  Análise	
  em	
  frequência	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Onda	
   quadrada	
  
de	
  período	
  T0=2.	
  
Seno	
   de	
  mesmo	
  
período.	
  
v  A	
   combinação	
   de	
   senos	
   e	
   cossenos	
   pode	
   ser	
   u5lizada	
   para	
   representar	
  
sinais	
  periódicos.	
  Este	
  resultado	
  é	
  conhecido	
  como	
  série	
  de	
  Fourier.	
  
Em	
  que	
  
 
 
 
 
 
a0	
  =(1/2)an=0;	
  é	
  chamada	
  componente	
  dc	
  ou	
  média	
  de	
  x(t).	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  A	
  par5r	
  dos	
  termos	
  an	
  e	
  bn,	
  são	
  ob5dos	
  os	
  espectros	
  de	
  amplitude	
  e	
  fase.	
  
Também	
  chamados	
  de	
  espectros	
  de	
  Fourier	
  
Ex:	
  calcular	
  a	
  série	
  de	
  Fourier	
  para	
  a	
  onda	
  quadrada	
  de	
  período	
  2	
  e	
  amplitude	
  
[-­‐1,1].	
  
 
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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   6	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Espectro	
  de	
  amplitude	
  
Espectro	
  de	
  fase	
  
v  Sabemos	
   que	
   x(t)	
   pode	
   ser	
   representado	
   por	
   componentes	
   pares	
   e	
  
ímpares,	
  e	
  que	
  cossenos	
  são	
  funções	
  pares	
  e	
  senos	
  são	
  funções	
  ímpares.	
  
Assim,	
   a	
   série	
   também	
   provê	
   uma	
   decomposição	
   em	
   sinais	
   pares	
   e	
  
ímpares:	
  
v  Esse	
  resultado	
  é	
  ú5l,	
  pois	
  se	
  x(t)	
  é	
  par,	
  bn=0.	
  Se	
  x(t)	
  é	
  ímpar	
  an=0.	
  Lembre	
  
que	
  x(t)	
  pode	
  não	
  ser	
  par	
  nem	
  ímpar,	
  neste	
  caso	
  an≠0	
  e	
  bn≠0.	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Série	
  exponencial	
  complexa:
 
 
 
 
 
 
 
Por	
   ser	
   um	
   número	
   complexo	
   Dn	
   carrega	
   em	
   um	
   único	
   coeficiente	
   a	
  
informação	
   dos	
   espectros	
   de	
   amplitude	
   e	
   fase.	
   Assim	
   sendo,	
   esta	
   série	
  
minimiza	
  os	
  cálculos	
  matemá5cos.	
  
	
  
Ex:	
  Repita	
  o	
  cálculo	
  da	
  série	
  de	
  Fourier	
  para	
  a	
  onda	
  quadrada	
  de	
  período	
  2	
  e	
  
amplitude	
  [-­‐1,1].	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Espectro	
  de	
  amplitude	
  | ​ 𝐷↓𝑛  |=√⁠​ℜ( ​𝐷↓𝑛 )↑2 + ​ ℑ (​𝐷↓𝑛 )↑2  	
  Espectro	
  de	
  fase	
  ∡ ​ 𝐷↓𝑛  = ​𝑡 𝑔 ↑−1  (​−ℑ( ​𝐷↓𝑛 )/ℜ( ​𝐷↓𝑛 ) )	
  
v  Relações	
  
a0= C0=D0 
 
an-jbn = Cn ejθn = 2Dn 
 
an+jbn = Cne-jθn = 2D-n 
 
Cn = 2|Dn| 
 
θn = ∠Dn	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Exemplo:	
  onda	
  quadrada	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
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  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Exemplo:	
  onda	
  quadrada	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Exemplos:	
  solucionar	
  u5lizando	
  a	
  série	
  exponencial	
  os	
  exemplos	
  6.1	
  da	
  pg.	
  
533,	
   6.2	
  da	
  página	
  536,	
   E6.1	
  da	
  página	
  542.	
   (sinais	
   e	
   sistemas	
   lineares	
   -­‐
Lathi)	
  
v  Com	
   o	
   uso	
   do	
   Octave,	
   plotar	
   os	
   30	
   primeiros	
   termos	
   de	
   cada	
   série	
   e	
  
visualizar	
  os	
  sinais	
  reconstruídos.	
  
-­‐	
  Série	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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   12	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Transformada	
  de	
  Fourier	
  
13	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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   14	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  A	
  transformada	
  de	
  Fourier	
  é	
  definida	
  a	
  par5r	
  da	
  série	
  exponencial,	
  desde	
  
que	
   T0→∞.	
   Como	
   a	
   série	
   a	
   transformada	
   é	
   definida	
   por	
   um	
   par	
   de	
  
equações.	
  
v  A	
  transformada	
  direta,	
  ou	
  decomposição,	
  é	
  dada	
  por	
  
v  A	
  transformada	
  inversa,	
  ou	
  síntese,	
  é	
  dada	
  por	
  
-­‐Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  A	
   transformada	
   de	
   Fourier	
   fornece	
   uma	
   ferramenta	
   importante	
   para	
   a	
  
análise	
   de	
   sinais	
   no	
   domínio	
   da	
   frequência.	
   Ao	
   contrário	
   da	
   série,	
   a	
  
transformada	
   fornece	
   um	
   espectro	
   conHnuo,	
   uma	
   vez	
   que	
   sinais	
   não	
  
periódicos	
   não	
   possuem	
   apenas	
   componentes	
   harmônicas	
   (com	
  
frequência	
   múl5pla	
   da	
   fundamental	
   nω0).	
   A	
   própria	
   frequência	
  
fundamental	
   (ω0	
  =2π/T0)	
  não	
  é	
  mais	
  definida,	
  uma	
  vez	
  que	
  não	
  se	
  pode	
  
definir	
  um	
  período	
  fundamental	
  (T0).	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Impulso	
   O	
   impulso	
   possui	
  
componentes	
   em	
  
todo	
  o	
  espectro.	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   17	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Função	
  portão	
  (pulso	
  retangular)	
  
O	
   pulso	
   retangular	
   tem	
  
l a r g u r a	
   d e	
   b a n d a	
   d e	
  
aproximadamente	
  2π/τ.	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
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   18	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Exponencial	
  
Uma	
   exponencial	
   complexa	
  
tem	
   uma	
   única	
   componente	
  
em	
  ω0.	
  
v  Cosseno	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   19	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Funções	
   senoidais	
   possuem	
  
apenas	
   uma	
   componente	
   de	
  
frequência,	
  sua	
  fundamental.	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   20	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Trem	
  de	
  impulsos	
   Como	
   é	
   um	
   sinal	
   periódico,	
  
devemos	
   u5lizar	
   a	
   série	
  
(exponencial)	
  de	
  Fourier.	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   21	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   22	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
-­‐	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   23	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Reproduzir	
  os	
  resultados	
  discu5dos	
  u5lizando	
  o	
  Octave.	
  	
  
	
  Exemplo:	
  
	
  
-­‐	
  Exercícios	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   24	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  U5lizar	
   o	
   código	
   anterior	
   para	
   analisar	
   a	
   soma	
   de	
   senoides	
   e	
   outras	
  
funções,	
  como	
  portão	
  e	
  trem	
  de	
  pulsos.	
  
	
  
-­‐	
  Exercícios	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   25	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   26	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Linearidade	
  
v  Conjugado	
  
v  Simétrico	
  conjugado	
  (se	
  x(t)	
  é	
  real)	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   27	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Dualidade	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   28	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Escalonamento	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   29	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Deslocamento	
  no	
  tempo	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   30	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Deslocamento	
  na	
  frequência	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   31	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Convolução	
  
Se	
  
	
  
	
  
então	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   32	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Convolução	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   33	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Diferenciação	
  e	
  integração	
  
-­‐	
  Propriedades	
  da	
  Transformada	
  de	
  Fourier	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   34	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Exercício:	
   com	
   base	
   nas	
   propriedade	
   da	
   dualidade	
   e	
  
escalonamento	
  no	
  tempo,	
  explique	
  o	
  comportamento	
  de	
  um	
  
filtro	
  passa-­‐baixas,	
  nos	
   casos	
  em	
  que	
   sua	
   resposta	
   impulsiva	
  
seja	
   representada	
   por:	
   (a)	
   uma	
   função	
   ret;	
   (b)	
   uma	
   função	
  
sinc.	
  	
  
Ver	
  o	
  Exemplo	
  7.11,	
  página	
  618	
  (livro	
  Sinaise	
  Sistemas	
  Lineares	
  
–	
  Lathi).	
  
Resposta	
  em	
  Frequência	
  de	
  Sistemas	
  LTI	
  
35	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
-­‐	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   36	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Considere	
  um	
  sistema	
  com	
  resposta	
  impulsiva	
  h(t).	
  À	
  entrada	
  
deste	
  sistema	
  é	
  subme5do	
  um	
  sinal	
  x(t)=ej ωot.	
  Assim:	
  
y ( t ) 	
   s e r á 	
   u m a	
  
exponencial	
   complexa	
  
de	
   amplitude	
   	
   H(ω0)	
   e	
  
fase	
  linear.	
  
Transformada	
  de	
  Fourier	
  
-­‐	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   37	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Resultado	
   similar	
   pode	
   ser	
   ob5do	
   para	
   uma	
   entrada	
  
cossenoidal	
   e	
   assim,	
   por	
   inspeção,	
   podemos	
   conseguir	
   uma	
  
aproximação	
   da	
   resposta	
   em	
   frequência,	
   para	
   diferentes	
  
valores	
  de	
  ω0.	
  
v  Exercício	
  computacional:	
  considere	
  um	
  sistema	
  cuja	
  resposta	
  
impulsiva	
   é	
   dada	
   por	
   uma	
   função	
   ret(t/τ).	
   Obtenha	
   sua	
  
resposta	
   em	
   frequência	
   por	
   meio	
   do	
   experimento	
   descrito	
  
acima.	
  
h(t)	
  cos	
  (ω0t)	
  	
   |H(ω0)|cos	
  (	
  ω0t	
  +	
  ∠H(ω0)	
  )	
  	
  
v  Segundo	
   a	
   propriedade	
   da	
   convolução	
   a	
   relação	
   entrada-­‐
saída	
  de	
  um	
  sistema	
  com	
  resposta	
  impulsiva	
  h(t)	
  é:	
  
v  Exercício	
  :	
  determine	
  a	
  resposta	
  y(t)	
  a	
  uma	
  entrada	
  e-tu(t),	
  de	
  
um	
  sistema	
  cuja	
  resposta	
  em	
  frequência	
  é	
  H(ω)=1/jω+2.	
  
	
  
Qual	
   seria	
   a	
   resposta	
   deste	
   sistema	
   se	
   considerarmos	
   que	
   ele	
  
apresenta	
   um	
   atraso	
   de	
   resposta	
   de	
   0.05	
   s?	
   Qual	
   a	
   saída	
  
neste	
  caso?	
  
-­‐	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   38	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
Resposta	
  em	
  Frequência	
  de	
  Sistemas	
  LTI	
  
Caso	
  de	
  Estudo:	
  Transmissão	
  Através	
  de	
  Sistemas	
  LTI	
  
39	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  Sabemos	
  que:	
  	
  
v  Se	
   h(t)	
   é	
   a	
   resposta	
   de	
   um	
   canal	
   não	
   ruidoso,	
   sem	
  
interferências,	
   reflexões	
   ou	
   outros	
   fenômenos.	
   Este	
   canal	
   é	
  
dito	
  sem	
  distorções,	
  sendo	
  aceitável	
  que	
  apresente	
  um	
  atraso	
  
td	
  e	
  um	
  ganho	
  (ou	
  atenuação)	
  G0.	
  Tal	
  que,	
  
Com	
  base	
   na	
   propriedade	
   do	
   deslocamento	
   no	
   tempo,	
  mostre	
  
os	
  efeitos	
  deste	
  sistema	
  na	
  frequência.	
  
-­‐	
  Transmissão	
  sem	
  distorção	
  -­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   40	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
v  O	
   sistema	
   sem	
   distorção	
   do	
   exemplo	
   anterior	
   tem	
   resposta	
  
em	
   frequência	
   H(ω)	
   e	
   espectros	
   de	
   amplitude	
   e	
   fase	
  
mostrados	
  na	
  figura	
  abaixo:	
  	
  	
  
v  Se	
  o	
   espectro	
   de	
   fase	
   é	
   uma	
   reta,	
   sua	
   angulação	
   (atraso	
   de	
  
grupo)	
  
é	
  constante.	
  
-­‐	
  Fase	
  linear	
  e	
  atraso	
  de	
  grupo-­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   41	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca	
  
|H(ω)|=G0 
∠H(ω) = -ωtd 
v  Assim	
   um	
   sistema	
   sem	
   distorção	
   tem	
   atraso	
   de	
   grupo	
  
constante.	
  Se	
  o	
  espectro	
  de	
  fase	
  não	
  é	
  linear	
  a	
  derivada	
  
	
  
é	
  uma	
  função	
  de	
  ω	
  e	
  portanto	
  não	
  será	
  constante.	
  Implicação:	
  
	
  
O	
  atraso	
  das	
  componentes	
  não	
  será	
  constante,	
  causando	
  
distorções	
  no	
  sinal.	
  
-­‐	
  Fase	
  linear	
  e	
  atraso	
  de	
  grupo-­‐	
  
Prof.	
  Dr.	
  Regis	
  C.	
  P.	
  Marques	
  
regismarques@ifce.edu.br	
   42	
  
IFCe	
  –	
  Ins5tuto	
  Federal	
  do	
  Ceará	
  
Departamento	
  de	
  Telemá5ca