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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 04 Francisco Genival Beserra da Silva AULA 04 Tópico 01 Nos exercícios 1 a 10, cada limite indicado existe, sendo assim, encontre o valor limite L e (para qualquer 0 ) da definição de limite: Q01a⤇3. lim ( ); ( , ) ( , )x y x y 1 2 2 22 1 ( , ) (1, 2) lim ( ² 2 ² 1) 1² 2( 2)² 1 1 8 1 6 x y x y L 0 0 0 0 0 ( )² ( )² | ( , ) ( , ) ² 2 ² 1,( , ) (1, 2), 6 x x y y f x y L f x y x y x y L 0 ( 1)² [ ( 2)]² | ² 2 ² 1 ( 6) | | ² 2 ² 1 ( 6) | | ² 2 ² 1 ( 6) | | ² 2 ² 7 | | ² 2 ² 7 1 1| | ² 1 2 ² 8 | | (x 1)(x 1) 2(y 2)(y 2) | | x 1|| x 1| 2 | y 2 || y 2 | | x 1| ( 1)² ( 2)² | y 2 | ( x y x y Desenvolvendo x y x y x y x y x y x y x 1)² ( 2)²y Assim falta majorar as expressões |x-1| e |y+2|. Então considerando 1 temos: 2 | 1| 1 1 1 1 3 1 1 | 1| 3x x x x 4 | 2 | 1 1 2 1 3 2 5 | 2 | 5y y y y Como temos 2|y-2| implica dizer que | 2 | 10y . Portanto, 0 ( 1)² ( 2)² 1 | ² 2 ² 1 ( 6) | 3 10 13x y x y Assim para qualquer 0 , tomando . 1, 13 mín . Temos que: 0 ( 1)² ( 2)² | ² 2 ² 1 ( 6) |x y x y .Concluindo temos o limite igual a -6 e . 1, 13 mín . Q01b⤇9. lim ( ) sen ; ( , ) ( , )x y x y x y 0 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( )sen ( )sen (0 0) 0 ( ) 0, lim [ 1,1] lim ( )sen 0 0 ² ² ( )sen 0 ( )sen sen sen sen sen sen ² ² sen ² ² x y x y x x y y x x x x y sen x y tendente sen itada y y y x x y y x x y x y y x x x x x x y x y x y y y y y y x x x y y x y x y y ( )sen 0 2 x x y y Logo se 2 , 2 . Concluindo temos o limite igual a zero e 2 . CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 04 Francisco Genival Beserra da Silva Nos exercícios 13 a 20, verifique que cada limite indicado não existe: Q02a⤇15. lim ; ( , ) ( , )x y x y x y 0 0 2 3 Para x=y 2 2 3 3 2( , ) (0,0) 0 0 2 20 0 0 ( 1) lim lim lim (y 1) ( 1) (0 1) 1 lim lim lim 1 (y 1) (0 1) 1 x y y y x y x y y y y x y x y x y x y y y y y x y y y y y Para y=0 2 2 3 3( , ) (0,0) 0 0 0 0 0 0 1 lim lim lim 0 1 lim 1 lim x y x x y x x x y x x y x x x x Portanto o limite não existe. Q02b⤇19. lim sen sen sen sen ; ( , ) ( , )x y x y x y 0 0 Considerando y=-x no limite dado: ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 0 sen sen ( ) ( ) 0 lim lim lim lim 0 sen sen * ( ) ² ²x y x y x x y x x y senx sen x senx sen x x y senx sen x sen x sen x Considerando y=x no limite dado: ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 0 0 0 sen sen lim sen sen ( ) lim * ( ) 2 2 lim lim ² 2 lim 2 lim x y y x x y y x x x x x x y x y senx sen x senx sen x senx sen x senx senx senx Portanto o limite não existe. Nos exercícios 21 a 24, verifique que a função dada é descontínua no ponto indicado: Q03a⤇21. );0,0(P, )0,0()y,x(se0 )0,0()y,x(se yx xy )y,x(f o2 2 ( , ) (0,0) 0 0 0 0 0 ² lim , cos , ² ( cos )( )² (cos * ² ) (cos * ² ) ' lim lim lim cos ( )² (cos ² ) (cos ² ) ' cos * ² cos lim lim cos ² 1 x y r r r r r xy x r y rsen x y r rsen r rsen rsen r rsen r rsen rsen sen sen Limite não existe CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 04 Francisco Genival Beserra da Silva Q03b ⤇23 h x y x y x y se x y se x y Po( , ) sen( ) cos cos ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ); 0 0 1 0 0 0 0 Para y=0 0 0 0 0 0 0 cos lim lim cos 1 cos lim lim cos 1 lim lim cos 1 cos 1 x x x x x x senx x x senx senx x x senx senx senx x x Se 0 lim cos 1x senx x não existe consequentemente ( , ) (0,0) ( ) lim cos cosx y sen x y x y também não existe. Tópico 02 Q04a⤇23. Mostre que yx y x f x, y cos sen é solução da equação diferencial parcial x f x y y f x yx y( , ) ( , ) 0 Usando yx y x f x, y cos sen para mostrar que é solução para a equação parcial x f x y y f x yx y( , ) ( , ) 0. cos * cos * 1 * * cos *cos ² * cos *cos ² x xx x x x y x y f sen sen y x y x x y x y y f sen sen y y x y x x x y x y sen sen y y x y x f y x * ' * ' *0 *1 : ² ² ²x y x y y x x y y obs x x x x cos * cos * 1 * * cos *cos ² * cos *cos ² y xx y y x y x y f sen sen y x y x x x y x y f sen sen y y x y x x x y x y xsen sen y x y x f y x * cos *cos ( , ) ( )* ² * cos *cos ( , ) x x x y x y sen sen y y x y x xf x y x y x x y x y xsen sen y y x y x xf x y y x CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 04 Francisco Genival Beserra da Silva * cos *cos ( , ) ( )* ² * cos *cos ( , ) x x x y x y xsen sen y x y x yf x y y y x x y x y xsen sen y y x y x yf x y y x Somando ( , ) ( , )x yxf x y yf x y , teremos: * cos *cos * cos *cos 0 x y x y x y x y xsen sen y xsen sen y y x y x y x y x y x y x Concluímos que yx y x f x, y cos sen é solução da equação diferencial parcial yx y x f x, y cos sen . Se uma função RR2 A:f definida por z f x y ( , ) possui derivadas parciais de segunda ordem repetidas, a equação 2 2 2 2 z z x y 0 é chamada de equação de Laplace da função. Uma função que é solução da equação de Laplace num conjunto ,AB é dita uma função harmônica em B. Nos exercícios 25 a 28, verifique que as funções indicadas são harmônicas nos seus domínios: Q04b⤇ 26. g x y e y yx, cos sen ; Devemos calcular a derivada segunda em relação a x e a derivada segunda em relação a y da função. Derivada 1ª e 2ª. Dx. (cos ).1 (cos ) (cos ).1 (cos ) x x x x x xx x xx g e y seny g e y seny g e y seny g e y seny Derivada 1ª e 2ª. Dy. ( cos ) ( cos ) (cos ) (cos ) x y x y x yy x yy g e seny y g e seny y g e y seny g e y seny 2 2 2 2 (cos ) (cos ) (cos ) (cos ) 0x x x xz z x y e y seny e y seny e y seny e y seny Logo, a função, ( , ) (cos )xg x y e y seny é uma função harmônica. Nos exercícios 31 e 32, na origem, as funções têm derivadas parciais de segunda ordem mistas distintas, verifique que isso não invalida o teorema deste tópico. Q05⤇32. g x y xy x y x y se x y se x y , , , , , . 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 5 3 2 3 2 4 3 2 4 2 2 2 5 3 2 4 2 2 2 ( ) ( , ) ( )( 3 ) ( )(2 ) ( ) 3 3 2 2 ( ) 4 ( ) y y y xy x y x y xy g x y x y x y x y x xy x y xy y g x y x x y x y xy x y xy g x y x x y xy g x y CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 04 Francisco Genival Beserra da Silva 5 3 2 4 2 2 2 5 3 2 4 2 2 2 4 2 2 4 5 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 4 2 2 4 5 3 2 4 3 2 2 2 4 8 6 2 4 4 6 2 4 ( ) 4 ( ) (5 12 ) ( 4 )(4 4 ) ( ) ( ) ( 2 ) (5 12 ) ( 4 )(4 4 ) ( ) 5 12 10 2 y yx yx yx x x y xy g x y x x y xy x y x x y y x x y xy x xy g x x y x y x x y y x x y y x x y xy x xy g x y x x y x y x y g 4 4 2 6 4 4 2 6 8 8 6 2 6 2 4 4 4 4 2 6 2 2 4 8 6 2 2 6 8 2 2 4 4 2 5 12 4 4 16 16 4 4 ( ) 10 10 ( ) yx x y x y x y x y y x x y x y x y x y x y x y x x y x y y g x y 2 2 2 3 3 33 3 2 2 2 2 2 4 2 3 2 3 5 4 2 3 2 2 2 4 2 3 5 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 3 54 2 3 5 2 2 2 2 2 4 (3 ) ( )(2 ) ( ) 3 3 2 2 ( ) 4 ( ) ( 12 5 ) (4 4 )( 4 )4 ( ) ( ) x x x xy x x y x y y x y xy xx y xy g x x y x y x y x y x y y x y x y g x y x y x y y g x y x y x x y y x y y x y x y yx y x y y g x x y x y g 4 2 2 4 4 2 2 4 2 3 4 2 3 5 2 2 4 8 6 2 4 4 6 2 4 4 2 6 4 4 2 6 8 6 2 4 4 2 6 4 4 2 6 8 2 2 4 8 6 2 2 6 8 2 2 4 ( 2 )( 12 5 ) (4 4 )( 4 ) ( ) 12 5 2 24 10 12 5 4 16 4 4 16 4 ( ) 10 10 ( ) y xy xy x x y y x x y y x y y x y x y y x y x x y x y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y g x y x x y x y y g x y Como xy yxg g ⤇ (0,0) (0,0)xy yxg g
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