Portfólio04 CD2 soluções

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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 04 
Francisco Genival Beserra da Silva 
AULA 04 
Tópico 01 
Nos exercícios 1 a 10, cada limite indicado existe, sendo assim, encontre o valor limite L e 

 (para 
qualquer 
  0
) da definição de limite: 
Q01a⤇3.
lim ( );
( , ) ( , )x y
x y
 
 
1 2
2 22 1
 
( , ) (1, 2)
lim ( ² 2 ² 1) 1² 2( 2)² 1 1 8 1 6
x y
x y L
 
           
 
0 0
0 0
0 ( )² ( )² | ( , )
( , ) ² 2 ² 1,( , ) (1, 2), 6
x x y y f x y L
f x y x y x y L
        
       
0 ( 1)² [ ( 2)]² | ² 2 ² 1 ( 6) |
| ² 2 ² 1 ( 6) |
| ² 2 ² 1 ( 6) | | ² 2 ² 7 | | ² 2 ² 7 1 1| | ² 1 2 ² 8 |
| (x 1)(x 1) 2(y 2)(y 2) | | x 1|| x 1| 2 | y 2 || y 2 |
| x 1| ( 1)² ( 2)²
| y 2 | (
x y x y
Desenvolvendo x y
x y x y x y x y
x y
x
 


           
    
                
           
     
  1)² ( 2)²y     
Assim falta majorar as expressões |x-1| e |y+2|. Então considerando 
1 
 temos: 
2
| 1| 1 1 1 1 3 1 1 | 1| 3x x x x                 
4
| 2 | 1 1 2 1 3 2 5 | 2 | 5y y y y                
Como temos 2|y-2| implica dizer que 
| 2 | 10y  
. Portanto, 
0 ( 1)² ( 2)² 1 | ² 2 ² 1 ( 6) | 3 10 13x y x y                 
Assim para qualquer 
0 
, tomando 
. 1,
13
mín

    
 
. Temos que: 
0 ( 1)² ( 2)² | ² 2 ² 1 ( 6) |x y x y           .Concluindo temos o limite igual a -6 e 
. 1,
13
mín

    
 
. 
Q01b⤇9. 
lim ( ) sen ;
( , ) ( , )x y
x y
x
y

0 0 
( , ) (0,0)
( , ) (0,0)
lim ( )sen
( )sen (0 0) 0 ( ) 0, lim [ 1,1]
lim ( )sen 0
0 ² ² ( )sen 0
( )sen sen sen sen sen
sen ² ²
sen ² ²
x y
x y
x
x y
y
x x x
x y sen x y tendente sen itada
y y y
x
x y
y
x
x y x y
y
x x x x x
x y x y x y
y y y y y
x
x x y
y
x
y x y
y
 





        
 
      
    
  
  
( )sen 0 2
x
x y
y
      
 
Logo se 
2 ,
2

   
. Concluindo temos o limite igual a zero e 
2

 
. 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 04 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Nos exercícios 13 a 20, verifique que cada limite indicado não existe: 
Q02a⤇15. 
lim ;
( , ) ( , )x y
x y
x y

0 0
2
3
 
Para x=y 
2 2
3 3 2( , ) (0,0) 0 0
2 20 0 0
( 1)
lim lim lim
(y 1)
( 1) (0 1) 1
lim lim lim 1
(y 1) (0 1) 1
x y y y
x y x y
y y y
x y x y x y
x y y y y y
x y y y y
y
  
 
  
  
  
  
  
 
  
 
 
Para y=0 
2 2
3 3( , ) (0,0) 0 0
0
0
0
0 1
lim lim lim
0
1
lim
1
lim
x y x x
y
x
x
x y x
x y x x
x
x


  



 
  
 
 
 
 
Portanto o limite não existe. 
Q02b⤇19. 
lim
sen sen
sen sen
;
( , ) ( , )x y
x y
x y

0 0 
Considerando y=-x no limite dado: 
( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 0
sen sen ( ) ( ) 0
lim lim lim lim 0
sen sen * ( ) ² ²x y x y x x
y x
x y senx sen x senx sen x
x y senx sen x sen x sen x   

   
   
   
Considerando y=x no limite dado: 
( , ) (0,0)
( , ) (0,0)
0 0
0
0
sen sen
lim
sen sen
( )
lim
* ( )
2 2
lim lim
²
2
lim
2
lim
x y
y x
x y
y x
x x
x
x
x y
x y
senx sen x
senx sen x
senx
sen x senx
senx
senx






 






 
 
 
Portanto o limite não existe. 
Nos exercícios 21 a 24, verifique que a função dada é descontínua no ponto indicado: 
Q03a⤇21. 
);0,0(P,
)0,0()y,x(se0
)0,0()y,x(se
yx
xy
)y,x(f o2
2








 
( , ) (0,0)
0 0 0
0 0
²
lim , cos ,
²
( cos )( )² (cos * ² ) (cos * ² ) '
lim lim lim
cos ( )² (cos ² ) (cos ² ) '
cos * ² cos
lim lim cos
² 1
x y
r r r
r r
xy
x r y rsen
x y
r rsen r rsen rsen
r rsen r rsen rsen
sen
sen
 
     
     
   


  
 
 

 
  
 
 
Limite não existe 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 04 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Q03b ⤇23
h x y
x y
x y
se x y
se x y
Po( , )
sen( )
cos cos
( , ) ( , )
( , ) ( , )
, ( , );








0 0
1 0 0
0 0
 
 
Para y=0 
0 0
0 0
0 0
cos
lim lim
cos 1
cos
lim lim
cos 1
lim lim
cos 1 cos 1
x x
x x
x x
senx x
x senx
senx x
x senx
senx senx
x x
 
 
 
 
 
 
  

  


 
 
Se 
0
lim
cos 1x
senx
x 
 não existe consequentemente 
( , ) (0,0)
( )
lim
cos cosx y
sen x y
x y


 também não existe. 
Tópico 02 
Q04a⤇23. Mostre que 
  yx
y x
f x, y cos sen
 é solução da equação diferencial parcial 
x f x y y f x yx y( , ) ( , )  0
 
Usando 
  yx
y x
f x, y cos sen
 para mostrar que é solução para a equação parcial 
x f x y y f x yx y( , ) ( , )  0. 
cos * cos *
1
* * cos *cos
²
* cos *cos
²
x
xx
x
x
x y x y
f sen sen
y x y x
x y x y y
f sen sen
y y x y x x
x y x y
sen sen y
y x y x
f
y x
   
    
  
   
     
  
  
 
* ' * ' *0 *1
:
² ² ²x
y x y y x x y y
obs
x x x x
   
   
 
 
cos * cos *
1
* * cos *cos
²
* cos *cos
²
y
xx
y
y
x y x y
f sen sen
y x y x
x x y x y
f sen sen
y y x y x x
x y x y
xsen sen
y x y x
f
y x
   
    
  
   
     
  
 
 
* cos *cos
( , ) ( )*
²
* cos *cos
( , )
x
x
x y x y
sen sen y
y x y x
xf x y x
y x
x y x y
xsen sen y
y x y x
xf x y
y x
 
 
   
 
 
 
  
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 04 
Francisco Genival Beserra da Silva 
* cos *cos
( , ) ( )*
²
* cos *cos
( , )
x
x
x y x y
xsen sen
y x y x
yf x y y
y x
x y x y
xsen sen y
y x y x
yf x y
y x
 
 
  
 
 
 
 
 
Somando ( , ) ( , )x yxf x y yf x y , teremos: 
* cos *cos * cos *cos
0
x y x y x y x y
xsen sen y xsen sen y
y x y x y x y x
y x y x
     
Concluímos que 
  yx
y x
f x, y cos sen 
é solução da equação diferencial parcial 
  yx
y x
f x, y cos sen .
 
Se uma função 
RR2 A:f
 definida por 
z f x y ( , )
 possui derivadas parciais de segunda ordem 
repetidas, a equação 
2 2
2 2
z z
x y
0 
 
 
 é chamada de equação de Laplace da função. Uma função que é 
solução da equação de Laplace num conjunto 
,AB
 é dita uma função harmônica em B. 
Nos exercícios 25 a 28, verifique que as funções indicadas são harmônicas nos seus domínios: 
Q04b⤇
   26. g x y e y yx, cos sen ;  
Devemos calcular a derivada segunda em relação a x e a derivada segunda em relação a y da função. 
Derivada 1ª e 2ª. Dx. 
(cos ).1
(cos )
(cos ).1
(cos )
x
x
x
x
x
xx
x
xx
g e y seny
g e y seny
g e y seny
g e y seny
 
 
 
 
 
Derivada 1ª e 2ª. Dy. 
( cos )
( cos )
(cos )
(cos )
x
y
x
y
x
yy
x
yy
g e seny y
g e seny y
g e y seny
g e y seny
  
  
  
  
 
2 2
2 2 (cos ) (cos ) (cos ) (cos ) 0x x x xz z
x y
e y seny e y seny e y seny e y seny               
 
Logo, a função, 
( , ) (cos )xg x y e y seny 
 é uma função harmônica. 
Nos exercícios 31 e 32, na origem, as funções têm derivadas parciais de segunda ordem mistas distintas, 
verifique que isso não invalida o teorema deste tópico. 
Q05⤇32. 
 
 
   
   
g x y
xy x y
x y
se x y
se x y
, , ,
, ,
.









2 2
2 2
0 0
0 0 0
 
2 2 3 3
2 2 2 2
2 2 3 2 3 3
2 2 2
5 3 2 3 2 4 3 2 4
2 2 2
5 3 2 4
2 2 2
( )
( , )
( )( 3 ) ( )(2 )
( )
3 3 2 2
( )
4
( )
y
y
y
xy x y x y xy
g x y
x y x y
x y x xy x y xy y
g
x y
x x y x y xy x y xy
g
x y
x x y xy
g
x y
 
 
 
   


    


 


 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 04 
Francisco Genival Beserra da Silva 
5 3 2 4
2 2 2
5 3 2 4 2 2 2 4 2 2 4 5 3 2 4 3 2
2 2 2 2 2 4
4 2 2 4 2 4 2 2 4 5 3 2 4 3 2
2 2 4
8 6 2 4 4 6 2
4
( )
4 ( ) (5 12 ) ( 4 )(4 4 )
( ) ( )
( 2 ) (5 12 ) ( 4 )(4 4 )
( )
5 12 10 2
y
yx
yx
yx
x x y xy
g
x y
x x y xy x y x x y y x x y xy x xy
g x
x y x y
x x y y x x y y x x y xy x xy
g
x y
x x y x y x y
g
 


        
  
 
       


   

4 4 2 6 4 4 2 6 8 8 6 2 6 2 4 4 4 4 2 6
2 2 4
8 6 2 2 6 8
2 2 4
4 2 5 12 4 4 16 16 4 4
( )
10 10
( )
yx
x y x y x y x y y x x y x y x y x y x y
x y
x x y x y y
g
x y
         

  


 
 
 
2 2 2 3 3 33 3
2 2 2 2 2
4 2 3 2 3 5 4 2 3
2 2 2
4 2 3 5
2 2 2
2
2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 3 54 2 3 5
2 2 2 2 2 4
(3 ) ( )(2 )
( )
3 3 2 2
( )
4
( )
( 12 5 ) (4 4 )( 4 )4
( ) ( )
x
x
x
xy
x
x y x y y x y xy xx y xy
g x
x y x y
x y x y x y y x y x y
g
x y
x y x y y
g
x y
x y x x y y x y y x y x y yx y x y y
g x
x y x y
g
   
  
 
    


 


       
  
 
4 2 2 4 4 2 2 4 2 3 4 2 3 5
2 2 4
8 6 2 4 4 6 2 4 4 2 6 4 4 2 6 8 6 2 4 4 2 6 4 4 2 6 8
2 2 4
8 6 2 2 6 8
2 2 4
( 2 )( 12 5 ) (4 4 )( 4 )
( )
12 5 2 24 10 12 5 4 16 4 4 16 4
( )
10 10
( )
y
xy
xy
x x y y x x y y x y y x y x y y
x y
x x y x y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y
g
x y
x x y x y y
g
x y
       


             


  


 
Como 
xy yxg g
 ⤇ 
(0,0) (0,0)xy yxg g