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Aula
FUNC¸O˜ES POLINOMIAIS: DETERMINAC¸A˜O DE GRA´FICOS
POR SEUS PONTOS E GRA´FICOS DE REGIO˜ES DO PLANO
15
O b j e t i v o s
Ao final desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
1 entender o conceito de func¸a˜o polinomial;
2 saber construir regio˜es do plano definidas
por equac¸o˜es e inequac¸o˜es;
3 poder construir a reta que se ajusta a um
conjunto de pontos.
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Me´todos Determinı´sticos I | Func¸o˜es Polinomiais: Determinac¸a˜o de Gra´ficos por seus Pontos e Gra´ficos de Regio˜es do Plano
Nas aulas anteriores, introduzimos o conceito de func¸a˜o e
tratamos os primeiros exemplos que foram as func¸o˜es constante,
lineares afins e as func¸o˜es quadra´ticas. Na verdade, essas func¸o˜es
sa˜o casos particulares de uma classe mais ampla: as func¸o˜es po-
linomiais. Veja a definic¸a˜o seguinte.
Definic¸a˜o 15.1
Dado um nu´mero natural n ≥ 1, uma func¸a˜o polinomial de
grau n e´ uma func¸a˜o expressa por uma equac¸a˜o do tipo
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a2x2 +a1x1 +a0 (15.1)
onde x e´ uma varia´vel real, an,an−1, · · · ,a2,a1 e a0 sa˜o
nu´meros reais e an 6= 0.
� i. Os nu´meros reais an,an−1, · · · ,a2,a1 e a0 sa˜o os coe-
ficientes da func¸a˜o polinomial. Observe a obriga-
toriedade an 6= 0. A na˜o-nulidade desse coeficiente
determina o grau da func¸a˜o polinomial.
ii. Associada a` func¸a˜o polinomial (15.1), e´ definida a
equac¸a˜o polinomial de grau n
anx
n +an−1xn−1 + · · ·+a2x2 +a1x1 +a0 = 0 , x∈R .
iii. O nu´mero real c e´ uma raiz da equac¸a˜o polinomial se
o valor x = c anula o primeiro membro da equac¸a˜o,
isto e´,
anc
n +an−1cn−1 + · · ·+a2c2 +a1c1 +a0 = 0 .
iv. As func¸o˜es constantes, linear afim e quadra´tica sa˜o
func¸o˜es polinomiais de grau zero, um e dois, respec-
tivamente. Por exemplo, a func¸a˜o quadra´tica y =
−3x2 + 2x− 1 e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 2,
que se identifica com a forma geral y = a2x2 +a1x+
a0, onde a2 =−3, a1 = 2 e a0 =−1.
v. ´E possı´vel definir func¸o˜es polinomiais a partir de
monoˆmios. Assim, por exemplo o produto
y = (x−1) · (x+1) · (x−2)⇒ y = x3−2x2− x+2 .
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Dada uma func¸a˜o polinomial, esta´ colocado o problema de
construir no plano, mesmo aproximadamente, o gra´fico da fun-
c¸a˜o. A te´cnica que permite a construc¸a˜o desses gra´ficos e´ a
mesma usada nos casos anteriores de func¸o˜es lineares afins e
quadra´ticas. ´E preciso determinar um nu´mero suficiente de pon-
tos do gra´fico que permitam a forma geral do gra´fico. Esse e´ um
modo de construc¸a˜o artesanal. Hoje, com os computadores de
que disponho, existem ferramentas que permitem a construc¸a˜o
de qualquer gra´fico de func¸a˜o polinomial num piscar de olhos e
mesmos func¸o˜es mais complexas. A te´cnica do computador na˜o
foge muito do princı´pio artesanal que temos usado. A diferenc¸a
e´ que o computador pode realizar milho˜es de operac¸o˜es por se-
gundo e localizar uma quantidade muito grande de pontos. De-
pois, e´ so´ unir esses pontos que esta˜o suficientemente pro´ximos.
Na verdade, quando olhamos para a tela do computador para
apreciar o gra´fico de uma func¸a˜o, temos a impressa˜o de con-
tinuidade (na˜o existe espac¸o entre um ponto e outro do gra´fico).
Mas isso e´ resultado da nossa limitada acuidade visual, uma vez
que o computador sempre trabalha com um nu´mero finito de
pontos.
Vamos tratar, apenas a tı´tulo de ilustrac¸a˜o e com o intuito de
esquentar os tamborins, um caso simples de func¸a˜o polinomial
de grau 3.
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�
�
�Exemplo 15.1
A func¸a˜o y = x3− 2x2− x + 2 e´ uma func¸a˜o polinomial de
grau 3. Veja que, para essa func¸a˜o, a3 = 1, a2 =−2, a1 =−1 e
a0 = 2. Veja que os valores x = 1, x =−1 e x = 2 anulam o valor
da func¸a˜o. Isso pode ser visto simplesmente fazendo as contas e
verificando que
y = x3−2x2− x+2 = (x−1) · (x+1) · (x−2) ,
conforme ja´ trabalhado anteriormente. Esse resultado mostra
que os pontos
A = (1,0),B = (−1,0) e C = (2,0)
pertencem ao gra´fico da func¸a˜o. Ale´m disso, podemos definir
mais alguns pontos, o que faremos na tabela que aparece na
Figura 15.1, a seguir.
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Me´todos Determinı´sticos I | Func¸o˜es Polinomiais: Determinac¸a˜o de Gra´ficos por seus Pontos e Gra´ficos de Regio˜es do Plano
x y
D 0 2
E -2 4
F 3 8
G -3 4
x
y
−1 1
2
Figura 15.1: Func¸a˜o polinomial y = x3−2x− x + 2.
CURVAS QUE SE AJUSTAM A UM CON-
JUNTO DE PONTOS
As func¸o˜es com as quais estamos trabalhando, func¸o˜es linea-
res afins, quadra´ticas e mais geralmente polinomiais, sa˜o mode-
los matema´ticos que se ajustam a problemas pra´ticos nas a´reas
de Economia e Administrac¸a˜o. Mas, como sa˜o modelos, preci-
sam ser ajustados, em maior ou menor precisa˜o, para responder
a situac¸o˜es concretas.
Ate´ agora tratamos o problema de construir gra´ficos de al-
guns tipos de func¸o˜es. O objetivo agora e´ oferecer uma ide´ia
num caso bem simples de como atacar o problema inverso: dado
um certo nu´mero de pontos no plano, determinar a curva polino-
mial que mais se ajusta a esses pontos. Um comenta´rio faz sen-
tido sobre a natureza do problema: dependendo da posic¸a˜o dos
pontos, a curva polinomial que mais se aproxima pode ser uma
reta, ou uma para´bola ou o gra´fico de um polinoˆmio de grau su-
perior a dois. No entanto, por questa˜o de simplicidade, e para
na˜o fugir ao objetivo da disciplina, trataremos de resolver ape-
nas o caso de definir a reta que mais se aproxima de um conjunto
de pontos prefixados.
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ME´TODO DOS M I´NIMOS QUADRADOS
Considere treˆs pontos A = (0,−1), B = (12 ,0) e C = (2,1) e
o problema de determinar a reta que mais se ajusta a esses pon-
tos. Ou, dito de outra maneira, queremos determinar a reta que
passa o mais perto possı´vel dos pontos, do ponto de vista global.
Na Figura 15.2, a seguir, sa˜o apresentadas quatro retas. Note
que as retas r, q e t como candidatas a soluc¸a˜o do problema pos-
suem a vantagem comum de passar por dois dentre os pontos e
a desvantagem comum de deixar um terceiro ponto muito longe
da reta.
Por outro lado, a reta s na˜o conte´m nenhum dos pontos, mas
resolve o problema, tratando os treˆs pontos de modo uniforme e
portanto possui a melhor proximidade possı´vel em relac¸a˜o aos
pontos.
x
y
r
s q
t
A
B
C
Figura 15.2: Curva ajustando pontos.
O me´todo que permite encontrar a reta s que resolve o pro-
blema e´ denominado me´todo dos mı´nimos quadrados, cujo enun-
ciado agora apresentamos.
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Me´todos Determinı´sticos I | Func¸o˜es Polinomiais: Determinac¸a˜o de Gra´ficos por seus Pontos e Gra´ficos de Regio˜es do Plano
Dado um conjunto de n pontos no plano A1(x1,y1),A2(x2,y2),
· · · ,An(xn,yn), a reta que melhor se aproxima desses pontos e´
definida por y = ax+b, onde
a =
∑xy−nxy
∑x2−n(x)2 e b = y−ax .
Nesta fo´rmula, os sı´mbolos significam:
∑xy = e´ a soma dos n produtos xiyi
∑x2 = e´ a soma dos n quadrados x2i
x =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
, y =
y1 + y2 + · · ·+ yn
n
sa˜o me´dias
aritme´ticas.
Acompanhe pelo exemplo a seguir a aplicac¸a˜o do me´todo
para encontrar a reta que melhor aproxima 4 pontos.
�
�
�
�Exemplo 15.2
Vamos encontrar pelo me´todo dos mı´nimos quadrados a reta
que melhor aproxima os pontos A1 =(10,27),A2 =(20,20),A3 =
(30,14) e A4 = (40,7).
Soluc¸a˜o: Para melhor organizar os ca´lculos, tendo em vista calcular
os somato´rios, lanc¸amos ma˜o de uma tabela. Veja a tabela a seguir.
Pontos xi yi xi yi x2i
A1 10 27 270 100
A2 20 20 400 400
A3 30 14 420 900
A4 40 7 280 1600
∑ 100 68 1370 3000
Tambe´m
x =
10+ 20+ 30+ 40
4
= 25
y =
27+ 20+ 14+ 7
4
= 17 .
Enta˜o: ∑xy−nxy = 1370−4×25×17=−330
∑x2−n(x)2 = 3000−4×625 = 500 .
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Logo,
a =
−330
500 =−0,66 e b = y−ax = 17+
33
50 ×25 =
67
2
e enta˜o a reta procurada e´ y =−0,66x+ 33,5 .
Veja a representac¸a˜o da soluc¸a˜o do problema na figura a seguir.
10 20 30 40
7
14
21
28 A1
A2
A3
A4
Figura 15.3: Reta que aproxima 4 pontos.
GRA´FICOS DE SEGMENTOS DE RETAS E REGIO˜ES
DO PLANO
Muitas vezes, os dados de um problema exigem a considerac¸a˜o
de func¸o˜es lineares afins ou func¸o˜es quadra´ticas definidas em
domı´nios D que sa˜o apenas parte dos nu´meros reais. Os gra´ficos
das func¸o˜es, nesses casos, podem ser segmentos de reta, partes
de para´bolas. Vejam um exemplo.
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�
�Exemplo 15.3
Representar graficamente y =−x−1, x ∈ (−2,1].
Soluc¸a˜o: O gra´fico sera´ parte de uma reta, uma vez que y = −x− 1
e´ uma func¸a˜o linear afim. Veja que x = 0 e x = 1 esta˜o no domı´nio da
func¸a˜o. Enta˜o:
x = 0 e y =−x−1 ⇒ y =−1
x = 1 e y =−x−1 ⇒ y =−2
Logo, A = (0,−1) e B = (1,−2) sa˜o pontos que definem o gra´fico.
Veja a Figura 15.4.
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Me´todos Determinı´sticos I | Func¸o˜es Polinomiais: Determinac¸a˜o de Gra´ficos por seus Pontos e Gra´ficos de Regio˜es do Plano
x
y
B
−1
−2
−2
1
1
Figura 15.4: Segmento de reta.
Note que o ponto (−2,1) na˜o pertence ao gra´fico, uma vez que
o domı´nio D = (−2,1] e´ aberto a` esquerda. Por isso, esse ponto e´
representado vazado no gra´fico. No entanto, o ponto B = (1,−2) e´
representado cheio, uma vez que esse ponto pertence ao domı´nio.
�
�
�
�Exemplo 15.4
Representar graficamente o conjunto do plano definido por
y≤ 2x−1 e 0≤ x≤ 2.
Soluc¸a˜o: Note que a equac¸a˜o linear afim y = 2x− 1 e´ representada
por uma reta. A condic¸a˜o y≤ 2x−1 indica os pontos que ficam abaixo
da reta.
Por outro lado, todos os pontos (x,y) do plano que verificam 0 ≤
x≤ 2 sa˜o uma faixa vertical. Juntando essas duas condic¸o˜es, chegamos
a` regia˜o hachurada da Figura 15.5, que representa o gra´fico procurado.
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−1
x
y
2
3
Figura 15.5: Gra´fico da regia˜o procurada.
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1Exercı´cio 15.1
Representar graficamente os conjuntos do plano definido por:
a) y≤−x+3 e −1 < x < 1;
b) −2≤ y≤−x+3.
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