AP1 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS I - 2020-1 CEDERJ

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Gabarito da APX1 – Segunda parte (questões discursivas) – 2020.1
Métodos Determińısticos I
Orientações para envio da APX1:
I
1. A solução deve estar manuscrita; não serão aceitas questões digitadas.
2. Você deve utilizar apenas caneta preta ou azul, de escrita bastante viśıvel.
3. As páginas de solução deverão ser escaneadas ou fotografadas, e convertidas em formato
PDF; não serão aceitos arquivos enviados em outros formatos. Também não serão aceitas
questões com qualquer ind́ıcio de edição ou retoque eletrônico.
4. Todas as folhas deverão conter seu nome, matŕıcula e polo.
5. Você deve enviar cada questão em uma única página, em tamanho máximo A4, enviadas
em um total de no máximo 4 arquivos. As páginas deverão ser ordenadas e numeradas e
em cada página deve também constar o número total de páginas utilizadas.
6. Atenção: apresente as questões e itens, e suas respectivas páginas, na ordem em que
aparecem na prova.
7. Todas as respostas deverão conter todos os cálculos e justificativas. Apresente suas
soluções de forma organizada e com redação clara.
8. Antes de enviar a atividade, certifique-se de que todas as folhas de solução tenham sido
anexadas e que as respostas estejam facilmente leǵıveis.
9. Após o envio, você deve certificar-se de que que sua atividade esteja com status ”enviada”.
10. Após enviar sua resolução, a atividade não será mais aberta para edição.
11. Não deixe para resolver e enviar a prova nos últimos instantes. A Plataforma pode
apresentar instabilidades, já que serão muitas provas encerrando-se neste mesmo horário.
A prova (parte objetiva + parte discursiva) foi dimensionada para ser resolvida em 2
horas; o prazo de 24 horas para resolução e envio leva em conta esta a possibilidade
de eventuais problemas de acesso e congestionamento da Plataforma e/ou acesso à internet.
12. Não serão aceitos envios que não cumpram alguma das regras acima.
Lembre-se de que esta atividade corresponde apenas a uma parte da prova. Você
também deve responder à atividade ”Primeira Parte da APX1 - Parte Objetiva”.
APX1 – Segunda parte (questões discursivas) — Métodos Determińısticos I – 2020.1
Código da disciplina EAD 06075
Questão 1 (1.5 pt) Represente, em um único diagrama de Venn, 4 conjuntos não vazios A, B, C e
D, satisfazendo às condições abaixo e de forma que cada região (conjuntos, suas partes e interseções)
representada neste diagrama seja, necessariamente, não nula.
i. ∀x ∈ A, x /∈ C
ii. ∀x ∈ D, x ∈ C
iii. ∃x ∈ A, x ∈ B
iv. ∃x ∈ A, x /∈ B
v. ∃x ∈ C, x /∈ B ∧ x /∈ D
vi. D 6⊂ B
vii. ∃x ∈ B, x ∈ C ∧ x /∈ D
viii. B 6⊂ A ∪ C
ix. D 6⊂ C −B
Solução: Antes de começarmos a esboçar, vamos tentar entender um pouco melhor o que é dito
em algumas condições:
i. ∀x ∈ A, x /∈ C: Aqui é dito que todo elemento de A não é elemento de C. Isto implica que
A e C tenham interseção vazia, pois, caso houvesse algum elemento na interseção, ele seria um
elemento de A que estaria em C, contradizendo a condição dada.
ii. ∀x ∈ D, x ∈ C: Todo elemento de D é elemento de C, logo D ⊂ C (D está contido em C).
iii. ∃x ∈ A, x ∈ B: Existe algum elemento de A que está em B, ou seja A ∩B 6= ∅.
iv. ∃x ∈ A, x /∈ B: Existe algum elemento de A que não está em B, ou seja A 6⊂ B.
v. ∃x ∈ C, x /∈ B ∧ x /∈ D: Existe algum elemento de C que não está nem em B e nem em D.
vi. D 6⊂ B: D deve ter algum elemento fora de B.
vii. ∃x ∈ B, x ∈ C ∧ x /∈ D: Existe algum elemento de B que está em C, mas não em D.
viii. B 6⊂ A ∪ C: B possui pelo menos um elemento que não está em A e nem em C.
ix. D 6⊂ C−B: D não está contido no conjunto C−B, ou seja, possui pelo menos algum elemento
que não está em C −B.
Pelas condições i e ii, devemos desenhar conjuntos A e C disjuntos (sem interseção), e D contido
em C. Note ainda que, pela condição v, não podemos ter D = C (existe pelo menos um elemento
de C que não está em D). Até agora, temos:
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Pelas condições iii e iv, o conjunto B intersecta A, mas não o contém. Pela afirmação vii, B
intersecta C, mas, pela afirmação v, B não contém C. Além disso, pela afirmaçãoviii, B possui
elementos fora de A e de C. Até agora, temos as possibilidades abaixo:
Na primeira possibilidade (mais à esquerda), B não chega a intersectar D. Na terceira (mais à
direita), B contém D.
Pela condição vi, a terceira possibilidade está descartada.
Na primeira condição, D estaria contido no conjunto C − B, sombreado abaixo, que é o conjunto
dos elementos de C que não estão em B. Porém, pela condição ix, isto não pode acontecer.
Assim, a única possibilidade que resta é a que está abaixo:
Questão 2 (1.5 pt) Um comerciante deseja vender um produto por um preço V . Porém, como
sabe que seus clientes gostam de receber um desconto, anunciará o produto por um preço A, superior
a V , para que, após conceder um desconto de 20% sobre o preço anunciado A, ele seja vendido ao
preço V . Escreva, em função de V , qual deve ser o preço A, pelo qual o produto deve ser anunciado.
Solução: Como visto no EP5, uma redução de 20% no preço A do produto implica em um preço
final de 80% de A, isto é, 80%A = 80 A100 =
8A
10 .
Como queremos que este preço seja igual a V temos
8 A
10 = V,
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logo
A = 10 V8 .
Outra solução: Um desconto de 20% sobre o preço A resultará em um preço dado por
A− 20% A = A− 20 A100 = A−
2A
10 =
8 A
10 .
Como queremos que este preço seja igual a V temos
8 A
10 = V,
logo
A = 10 V8 .
Questão 3 (1.0 pt) Escreva o número
1 +
√
2
1−
√
2
em uma forma equivalente que tenha como denominador apenas um número natural positivo.
Solução: Podemos fazer
1 +
√
2
1−
√
2
= 1 +
√
2
1−
√
2
· 1 +
√
2
1 +
√
2
=
(
1 +
√
2
)2
12 −
(√
2
)2 = 1 + 2
√
2 + 2
−1 = −
3 + 2
√
2
1
Questão 4 (2.0 pt) Assuma como premissa que: Se a fantasia de Pierrô está cara, então a
fantasia de Colombina não está barata. Ou a fantasia de Colombina está barata ou Manoel não usa
fantasia de Pierrô. Ora, Manoel usa fantasia de Pierrô.
(a) Escreva as proposições simples envolvidas nas premissas do enunciado acima e designe para cada
uma delas uma letra diferente. A seguir, usando os śımbolos lógicos e as letras escolhidas no
item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado.
(b) Considerando as premissas dadas no enunciado, classifique em verdadeiro ou falso cada uma das
proposições abaixo:
i. A fantasia de Pierrô está cara e a fantasia de Colombina está barata.
ii. A fantasia de Pierrô está cara ou a fantasia de Colombina não está barata.
iii. A fantasia de Pierrô não esta cara e a fantasia de Colombina está barata.
iv. A fantasia de Pierrô não está cara e a fantasia de Colombina não está barata.
v. A fantasia de Pierrô não está cara ou a fantasia de Colombina não está barata.
Solução:
(a) Vamos denotar as proposições simples por
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p: A fantasia de Pierrô está cara
c: A fantasia de Colombina está barata
m: Manoel usa fantasia de Pierrô
As premissas podem ser escritas como (vamos atribuir um número a cada uma, para podermos
nos referir depois):
(1) Se a fantasia de Pierrô está cara, então a fantasia de Colombina não está barata: p⇒ (∼ c)
(2) Ou a fantasia de Colombina está barata ou Manoel não usa fantasia de Pierrô: c ∨ (∼ m)
(3) Manoel usa fantasia de Pierrô: m
(b) Primeiro vamos ver o que podemos concluir a partir das premissas. A premissa (3) nos diz que
m é verdadeiro. Com isso, ∼ m é falso. A premissa (2) diz que c ∨ (∼ m) é verdadeiro, logo,
como ∼ m é falso, necessariamente teremos que c é verdadeiro. A premissa (1) diz que p⇒ ( c),
logo, como c é falso, temos que p deve ser falso (não se pode ter verdadeiro implicandofalso).
Assim, temos:
p: falso
c: verdadeiro
m: verdadeiro
i. A fantasia de Pierrô está cara e a fantasia de Colombina está barata (p ∧ c):
Falso, pois é um “e”, com p falso e c verdadeiro (falso e verdadeiro resulta em falso).
ii. A fantasia de Pierrô está cara ou a fantasia de Colombina não está barata (p ∨ (∼ c)):
Falso, pois é um “ou”, com p falso e ∼ c falso (falso ou falso resulta em falso).
iii. A fantasia de Pierrô não esta cara e a fantasia de Colombina está barata ((∼ p) ∧ c):
Verdadeiro, pois é um “e”, com ∼ p verdadeiro e c verdadeiro (verdadeiro e verdadeiro
resulta em verdadeiro).
iv. A fantasia de Pierrô não está cara e a fantasia de Colombina não está barata ((∼ p)∧(∼ c)):
Falso, pois é um “e”, com ∼ p verdadeiro e ∼ c falso (verdadeiro e falso resulta em falso).
v. A fantasia de Pierrô não está cara ou a fantasia de Colombina não está barata ((∼ p)∨(∼ c)):
Verdadeiro, pois é um “ou”, com p verdadeiro e ∼ c falso (verdadeiro ou falso resulta em
verdadeiro).
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