AD1-Q4-2021-1-Gabarito

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Gabarito da Questão 4 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-1
Questão 4 (2,5 pontos) Um aumento de a% em um valor representa uma multiplicação deste por
1 + a
100
, i .e. o valor final é o valor inicial multiplicado por 1 + a
100
. Por exemplo, um aumento de
40% sobre R$ 120,00 transforma este valor em
120, 00 ·
(
1 +
40
100
)
= 120, 00 ·
(
100 + 40
100
)
= 120 · 140
100
=
16800
100
= 168, 00.
A partir disto, responda:
(a) Um aumento de 12% sobre R$ 131,00 resulta em que valor?
(b) Dois aumentos consecutivos de 12% sobre R$ 131,00 resulta em que valor?
(c) Dois aumentos consecutivos de a% sobre o preço P resulta em que valor?
(d) O preço de um produto sofreu dois reajustes sucessivos de mesmo percentual 11%, e tornou-se
R$ 133,10. Qual era o preço inicial?
(e) Após dois aumentos consecutivos de a%, um produto que custava R$ 210,00 passou a custar
R$ 302,40. Qual o valor de a?
(f) Um valor V sofreu um aumento de 15% e depois 3 aumentos sucessivos de 12%. Dê a expressão
do valor final em função do valor V inicial.
Solução:
(a) De acordo com a observação, um aumento de 12% em um valor representa uma multiplicação
deste por 1 + 12
100
. Portanto, um aumento de 12% sobre 131, 00 transforma este valor em
131, 00 ·
(
1 +
12
100
)
= 131, 00 · 112
100
=
14672
100
= 146, 72.
(b) Conforme visto no item (a), após o primeiro aumento de 12% sobre R$ 131,00, o novo valor,
que chamaremos de V1, passa a ser
V1 = 131, 00 ·
(
1 +
12
100
)
= 131, 00 · 112
100
=
14672
100
= 146, 72.
Um segundo aumento de 12%, também representa uma multiplicação por 1 + 12
100
sobre o valor
anterior, que é igual a V1. Sendo assim ,temos que
V2 = V1 ·
(
1 +
12
100
)
= 131, 00 ·
(
1 +
12
100
)
·
(
1 +
12
100
)
= 131, 00 ·
(
1 +
12
100
)2
= 131, 00 ·
(
112
100
)2
= 131, 00 · 12.544
10000
≈ 164, 33
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2021-1 2
(c) Após o primeiro aumento de a% sobre um valor P , o novo valor, que chamaremos de P1, passa
a ser
P1 = P ·
(
1 +
a
100
)
.
Um segundo aumento de a%, também representa uma multiplicação por 1 + a
100
sobre o valor
anterior, que é igual a P1, resultando em
P2 = P1 ·
(
1 +
a
100
)
= P ·
(
1 +
a
100
)
·
(
1 +
a
100
)
= P ·
(
1 +
a
100
)2
.
(d) Após o primeiro aumento de 11% sobre um valor P , o novo valor, que chamaremos de P1, passa
a ser
P1 = P ·
(
1 +
11
100
)
= P · 111
100
.
Um segundo aumento de 11%, também representa uma multiplicação por 1 + 11
100
sobre o valor
anterior, que é igual a P1, resultando em
P2 = P1 ·
(
1 +
11
100
)
= P ·
(
1 +
11
100
)
·
(
1 +
11
100
)
= P ·
(
1 +
11
100
)2
= P ·
(
111
100
)2
= P · 12.321
10000
.
Se P2 = 133, 10, para descobrirmos P , precisamos resolver a equação
133, 10 = P · 12.321
10000
.
Desta forma, temos que
P = 133, 10 · 10000
12.321
=
1.331.000
12.321
≈ 108, 03.
(e) Pelo item (c), após dois aumentos de a%, o preço de um produto com preço inicial P será dado
por
P2 = P ·
(
1 +
a
100
)2
.
Sendo P = 210, 00 e P2 = 302, 40, para descobrirmos a, precisamos resolver a equação
302, 40 = 210, 00 ·
(
1 +
a
100
)2
.
Desta forma, temos que (
1 +
a
100
)2
=
302, 40
210, 00
= 1, 44.
⇒
(
1 +
a
100
)
=
√
1, 44 = 1, 2
⇒ a
100
= 1, 2− 1 = 0, 2
⇒ a = 0, 2 · 100 = 20
Cada aumento foi, portanto, de 20%.
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(f) Vamos esquematizar os aumentos a seguir.
• Valor inicial: valor V .
• Primeiro aumento: 15%.
O primeiro aumento, que é de 15% sobre o valor V , representa uma multiplicação por
1 + 15
100
, sobre o valor inicial V . O novo valor, após este aumento, que chamaremos de V1,
passa a ser então
V1 = V ·
(
1 +
15
100
)
= V · 115
100
.
• Segundo aumento: 12%.
Um segundo aumento, de 12%, representa agora uma multiplicação por 1 + 12
100
, sobre o
valor anterior, que é igual a V1, resultando em
V2 = V1 ·
(
1 +
12
100
)
= V ·
(
1 +
15
100
)
·
(
1 +
12
100
)
= V · 115
100
· 112
100
= V · 115
100
· 112
100
.
• Terceiro aumento: 12%.
Um terceiro aumento de 12%, também representa uma multiplicação por 1 + 12
100
sobre o
valor anterior, que é igual a V2, resultando em
V3 = V2 ·
(
1 +
12
100
)
= V ·
(
1 +
15
100
)
·
(
1 +
12
100
)
·
(
1 +
12
100
)
= V ·
(
1 +
15
100
)
·
(
1 +
12
100
)2
= V ·
(
115
100
)
·
(
112
100
)2
.
• Quarto aumento: 12%.
Um quarto aumento de 12%, também representa uma multiplicação por 1 + 12
100
, sobre o
valor anterior, que é igual a V3, resultando em
V4 = V3 ·
(
1 +
12
100
)
= V ·
(
1 +
15
100
)
·
(
1 +
12
100
)2
·
(
1 +
12
100
)
= V ·
(
1 +
15
100
)
·
(
1 +
12
100
)3
= V ·
(
115
100
)
·
(
112
100
)3
.
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