APLICAÇÃO DE EDOdocx

Prévia do material em texto

Nome: 
 Matricula: 
Decaimento Radioativo
O modelo de decaimento radioativo também é dado por (2.2):
N(0) = N0
tem solução N(t) = N0 . A constante k de decaimento de um isótopo radioativo é frequentemente especificada em termos de uma outra constante empírica, a meia-vida do isótopo. A meia-vida τ de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que metade dele decaia. Para encontrar a relação entre k e T, fazemos t = τ e sabemos que N(τ ) = N0. Quando resolvemos em relação a τ , encontramos.
 N0 = N(T) = N0 ln = - kT 
 A datação por carbono radioativo é uma ferramenta importante para pesquisa arqueológica. Ela se baseia no fato de que há uma quantidade constante do isótopo radiativo C do Carbono em toda criatura viva. Tal quantidade começa a decair com sua morte. Como a meia-vida do carbono é longa (aproximadamente 5700 anos), podem ser medidas quantidades remanescentes de carbono-14 mesmo depois de muito tempo.
Exemplo: Uma amostra de carvão vegetal encontrada em um sítio arqueológico contém 63% de C em relação a uma amostra atual de carvão de igual massa. Qual a idade da amostra encontrada?
Denotemos por N0 a quantidade de carbono que existia no carvão antes do decaimento. Como a constante k se relaciona com a meia-vida τ pela equação
k = 
e sabemos que a solução da equação de decaimento quando N(0) = N0 é
N(t) = N0
Logo, temos
0, 63N0 = N0 = N0 t = ln 0,63
t = - ≈ 3800 anos
A solução N(t) = N0 prevê que a população cresce exponencialmente. Observa-se que tal previsão é adequada para certas populações pelo menos por períodos limitados. No entanto, é claro que esta situação não pode perdurar. Em algum momento, as limitações sobre o espaço, o suprimento de comida ou outros recursos reduzirão a taxa de crescimento inibindo o crescimento exponencial. Para levar em conta este fato, vamos substituir a constante k por uma função que dependa da população. Teremos o chamado crescimento logístico.
Crescimento Logístico
O modelo é dado por (2.3):
 = k R = 
É uma equação do tipo Bernoulli com n = 2 uma vez que podemos reescrevê-la na seguinte forma
 
Para resolvê-la consideramos a mudança de variável v = p¹ˉ² = pˉ¹ e obtemos uma edo linear:
 
Resolvendo a edo, obtemos:
v == 
Desfazendo a mudança de variável v = pˉ¹:
P(t) = 
Vamos determinar a constante c supondo que no instante t = 0 a população seja igual a p0. Temos:
p0 = p(0) = 
logo, p0 + cRp0 = R e c = Fazendo esta escolha para o valor de c na
solução geral, após simplificações, temos:
	p(t) = 
Vamos analisar o comportamento desta solução. Vemos que quando t tende a
∞, p(t) tende à população limite R. Este valor é chamado de nível de saturação
ou capacidade ambiental sustentável. Não temos mais o crescimento exponencial. Se a população inicial é inferior a R, ela cresce sem nunca superar o valor R. Se a população inicial é superior a R, ela decresce e tende a R.