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CÁLCULO NUMÉRICO Aula 5 – Sistema de Equações lineares SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Métodos diretos e iterativos para a resolução de sistemas lineares: Método de Gauss Jordan; Método da Gauss Jacobi. SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO MÉTODO DE GAUSS - JORDAN Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan; Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero); Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas; Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos. SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO ESCALONAMENTO A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”; Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2): Nova segunda linha SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO ESCALONAMENTO Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3): Nova terceira linha SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO ESCALONAMENTO Sistema com as modificações: Com operações semelhantes eliminamos: “y” e “z” da primeira linha; “z” da segunda linha; “y” da terceira linha. REPOSTA: x =1 , y = 2 e z = 4 SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO MÉTODO DE GAUSS - JACOBI Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada; Fórmula de recorrência: SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO MÉTODO DE GAUSS - JACOBI Critério de parada: O número de iterações; Erro relativo Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge. SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1 Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência. SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA) max 0 Para i = 1 até n faça Soma 0 Para j = 1 até n faça Se i j Soma Soma + aij Fim se Fim para Soma Soma /aii Se max < soma max Soma Fim para SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO (ALGORITMO GAUSS JACOBI) Início convergência cont 0 Repetir cont cont + 1; num 0; den 0 Para i = 1 até n faça yi 0 Para j = 1 até n faça Se i j então yi yi + aij * yj Fim para yi (bi - yj )/aij Se num < yi - xi então num yi - xi Se den < yi então den yi Fim Para x y Até (num/den < e ) Fim-Se SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01. Convergência: Convergência após mudança de linhas: Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência. SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Fórmulas de recorrência: Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0; Iterações: Primeira: SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Segunda: Terceira: SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Quarta: Quinta: SSSSS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CÁLCULO NUMÉRICO RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: A resolução de sistemas lineares: Método direto; Método Iterativo. Algoritmo do método de Gauss-Jacobi. SSSSS * *
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