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Soluc¸o˜es dos exercı´cios de Ana´lise do livro de Elon Lages Lima:Curso de ana´lise vol.1. Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 16 de setembro de 2016 1 Suma´rio 1 Soluc¸o˜es-Curso de ana´lise vol.1 6 1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Capı´tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Capı´tulo 2-Conjuntos finitos, Enumera´veis e na˜o-enumera´veis . . . . . 14 1.4 Capı´tulo 3 -Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.6 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.7 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.8 Questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.13 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.14 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.15 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.16 Questa˜o 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.17 Questa˜o 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.18 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.19 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 SUMA´RIO 3 1.4.20 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.21 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.22 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.23 Questa˜o 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.24 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.25 Questa˜o 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.26 Questa˜o 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.27 Questa˜o 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.28 Questa˜o 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.4.29 Questa˜o 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.4.30 Questa˜o 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.4.31 Questa˜o 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.4.32 Questa˜o 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.4.33 Questa˜o 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.4.34 Questa˜o 35 e 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.4.35 Questa˜o 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.4.36 Questa˜o 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.4.37 Questa˜o 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4.38 Questa˜o 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.39 Questa˜o 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.40 Questa˜o 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.4.41 Questa˜o 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.4.42 Questa˜o 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.4.43 Questa˜o 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.4.44 Questa˜o 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.4.45 Questa˜o 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.4.46 Questa˜o 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.4.47 Questa˜o 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.4.48 Questa˜o 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.5 Capı´tulo 4-Sequeˆncias e se´ries de nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . 71 1.5.1 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.5.2 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.5.3 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 SUMA´RIO 4 1.5.4 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.5.5 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.5.6 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.5.7 Questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.5.8 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.5.9 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.5.10 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.5.11 Questa˜o 11a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.13 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.5.14 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.5.15 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.5.16 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5.17 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.5.18 Questa˜o 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.19 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.20 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.5.21 Questa˜o 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.22 Questa˜o 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.23 Questa˜o 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.24 Questa˜o 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.5.25 Questa˜o 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.5.26 Questa˜o 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.5.27 Questa˜o 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1.6 Capı´tulo 5-Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 1.6.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 1.6.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 1.6.3 questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 1.6.4 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 1.6.5 intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 1.6.6 int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.6.7 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.6.8 Questo˜es 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98 SUMA´RIO 5 1.6.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.6.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.6.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.6.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.6.13 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.6.14 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.6.15 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.6.16 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.6.17 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.7 Capı´tulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.7.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.7.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.7.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.7.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.7.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.8 Capı´tulo 8-Sequeˆncias e se´ries de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Capı´tulo 1 Soluc¸o˜es-Curso de ana´lise vol.1 Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons- tituı´do apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es da parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com. Se houver alguma soluc¸a˜o errada, se quiser contribuir com uma soluc¸a˜o diferente ou ajudar com uma soluc¸a˜o que na˜o consta no texto, tambe´m pec¸o que ajude enviando a soluc¸a˜o ou sugesta˜o para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha ajudado com alguma soluc¸a˜o. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que estudam ana´lise pelo livro do Elon. 1.1 Notac¸o˜es Denotamos (xn) uma sequeˆncia (x1, x2, · · · ). Uma n upla (x1, x2, · · · , xn) podemos denotar como (xk)n1 . O conjunto de valores de adereˆncia de uma sequeˆncia (xn) iremos denotar como A[xn]. Usaremos a abreviac¸a˜o PBO para princı´pio da boa ordenac¸a˜o. Denotamos f(x+ 1) − f(x) = ∆f(x). Usando a notac¸a˜o Qxn = xn+1 xn . Ac para o complementar do conjunto A. 6 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 7 1.2 Capı´tulo 1 Questa˜o 1 b Propriedade 1. Dados A e B, seja X com as propriedades • A ⊂ X, B ⊂ X. • Se A ⊂ Y e B ⊂ Y enta˜o X ⊂ Y. Nessas condic¸o˜es X = A ∪ B, a unia˜o A ∪ B e´ o menor conjunto com subcon- juntos A e B. ê Demonstrac¸a˜o. A primeira condic¸a˜o implica que A ∪ B ⊂ X. A segunda condic¸a˜o com Y = A ∪ B implica X ⊂ A ∪ B. Das duas segue que A ∪ B = X. Questo˜es 2,3 e 4 b Propriedade 2. A ∩ B e´ o menor subconjunto de A e B. Seja X com • X ⊂ A e X ⊂ B • Se Y ⊂ A e Y ⊂ B enta˜o Y ⊂ X. Nessas condic¸o˜es X = A ∩ B. ê Demonstrac¸a˜o. Da primeira condic¸a˜o temos que X ⊂ A ∩ B. Da segunda tomando Y = A ∩ B, que satisfaz Y ⊂ A e Y ⊂ B, enta˜o A ∩ B ⊂ X logo pelas duas incluso˜es A ∩ B = X. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 8 b Propriedade 3. Sejam A,B ⊂ E. enta˜o A ∩ B = ∅⇔ A ⊂ Bc. ê Demonstrac¸a˜o. Temos que E = B ∪ Bc onde B ∩ Bc = ∅.⇒). Suponha por absurdo que A∩B = ∅ e na˜o vale A ⊂ Bc, enta˜o existe a ∈ A tal que a /∈ Bc e por isso a ∈ B, mas daı´ A ∩ B 6= ∅ absurdo.⇐). Suponha a ∈ A ∩ B enta˜o a ∈ A ⊂ Bc e a ∈ B o que e´ absurdo pois B e Bc sa˜o disjuntos. $ Corola´rio 1. Vale que A ∪ B = E⇔ Ac ⊂ B. Pois A ∪ B = E⇔ Ac ∩ Bc = ∅⇔ pelo resultado anterior Bc ⊂ (Ac)c︸ ︷︷ ︸ A ⇔ Ac ⊂ B. $ Corola´rio 2. Sejam A,B ⊂ E. A ⊂ B⇔ A ∩ Bc = ∅. Sabemos que A ∩W = ∅⇔ A ⊂Wc por resultado que ja´ mostramos, tomando W = Bc temos o resultado que desejamos. Questa˜o 5 Z Exemplo 1. Deˆ exemplo de conjuntos A,B,C tais que (A ∪ B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C). Sejam A = B 6= ∅ e C tal que C ∩A = ∅. Enta˜o (A ∪ B) ∩ C = A ∩ C = ∅ 6= A ∪ (B ∩ C) = A ∪ ∅ = A. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 9 Questa˜o 6 b Propriedade 4. Se A,X ⊂ E tais que A ∩ X = ∅ e A ∪ X = E enta˜o X = Ac. ê Demonstrac¸a˜o. Pelo que ja´ mostramos A∩X = ∅ enta˜o X ⊂ Ac. De A∪X = E temos Ac ⊂ X, como temos Ac ⊂ X e X ⊂ Ac enta˜o tem-se a igualdade X = Ac. Questa˜o 7 b Propriedade 5. Se A ⊂ B enta˜o B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A ∀ C. Se existe C tal que B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A enta˜o A ⊂ B. ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar a primeira afirmac¸a˜o. Seja x ∈ B ∩ (A ∪ C), enta˜o x ∈ B e x ∈ A ∪ C. Se x ∈ A enta˜o x ∈ (B ∩ C) ∪ A e terminamos, se x /∈ A enta˜o x ∈ B e x ∈ C e terminamos novamente pois e´ elemento de B ∩ C. Agora a outra inclusa˜o. Se x ∈ (B ∩ C) ∪ A enta˜o x ∈ A ou x ∈ B ∩ C. Se x ∈ A terminamos. Se x /∈ A enta˜o x ∈ B ∩ C e daı´ pertence a` B ∩ (A ∪ C) como querı´amos demonstrar. Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A 6⊂ B enta˜o existe x ∈ A tal que x /∈ B, tal x pertence a` (B∩C)∪A pore´m na˜o pertence a` B∩ (A∪C) portanto na˜o temos a igualdade, absurdo!. Questa˜o 8 b Propriedade 6. Vale que A = B⇔ (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅. ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Se (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅ enta˜o A ∩ Bc = ∅ e Ac ∩ B = ∅, logo por resultados que ja´ provamos A ⊂ B da primeira relac¸a˜o e B ⊂ A da segunda, portanto A = B.⇒). Se A = B enta˜o A ∩ Bc = Ac ∩ B = ∅. Questa˜o 9 b Propriedade 7. Vale que (A \ B) ∪ (B \A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B). ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar as duas incluso˜es. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 10 Seja x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A). Tal unia˜o e´ disjunta, pois se houvesse um em ambos conjuntos, enta˜o pelo primeiro x ∈ A, x /∈ B pelo segundo x ∈ B, x /∈ A absurdo. Se x ∈ A\B logo x ∈ A, x /∈ B portanto x ∈ A∪B e x /∈ A∩B logo x ∈ (A∪B)\(A∩B), o caso de x ∈ (B\A) tambe´m implica inclusa˜o por simetria (trocar A por B na˜o altera). Se x ∈ A ∪ B \ A ∩ B enta˜o x ∈ A ou x ∈ B e x /∈ A ∩ B logo x /∈ A e B simultaneamente, isso significa que x ∈ A ou x ∈ B exclusivamente logo x ∈ (A\B)∪ (B \A). Questa˜o 10 b Propriedade 8. Se (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∪ C) \ (A ∩ C) enta˜o B = C, isto e´, vale a lei do corte para A∆B = A∆C. ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que B 6= C, suponha sem perda de generalidade que x ∈ B, x /∈ C. Vamos analisar casos. Se x /∈ A enta˜o x /∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C) pore´m x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B). Se x ∈ A enta˜o x /∈ A ∪ B \ (A ∩ B) e x ∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C), portanto na˜o vale a igualdade dos conjuntos. Logo devemos ter B = C. Questa˜o 11 b Propriedade 9. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano . 1. (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C). 2. (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B× C). 3. (A \ B)× C = (A× C) \ (B× C). 4. Se A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ enta˜o A× B ⊂ A ′ × B ′. ê Demonstrac¸a˜o. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 11 1. Seja (x, y) ∈ (A ∪ B) × C, temos que y ∈ C se x ∈ A enta˜o (x, y) ∈ (A × C), se x ∈ B enta˜o (x, y) ∈ (B×C) enta˜o vale (A ∪ B)×C ⊂ (A×C) ∪ (B×C). Agora a outra inclusa˜o. Temos que (A × C) ⊂ (A ∪ B) × C pois um elemento do primeiro e´ da forma (x, y) com x ∈ A e y ∈ C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para (B× C). 2. Tomamos (x, y) ∈ (A ∩ B)× C, enta˜o x ∈ A e x ∈ B, y ∈ C, logo (x, y) ∈ A× C e (B× C) provando a primeira inclusa˜o, agora a segunda. (x, y) ∈ (A× C) ∩ (B× C) enta˜o x ∈ A e B, y ∈ C logo (x, y) ∈ (A ∩ B)× C. 3. Sendo (x, y) ∈ (A \ B) × C enta˜o x ∈ A, x /∈ B e y ∈ C logo (x, y) ∈ (A × C) e na˜o pertence a` B×C pois para isso seria necessa´rio x ∈ B o que na˜o acontece. Agora a outra inclusa˜o, se (x, y) ∈ (A×C) \ (B×C) enta˜o x ∈ A e y /∈ C pore´m x na˜o pode pertencer a` B pois esta˜osendo retirados elementos de B× C enta˜o vale a outra inclusa˜o. 4. Seja (x, y) ∈ A×B enta˜o pelas incluso˜es A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ temos x ∈ A ′ e y ∈ B ′ portanto (x, y) ∈ A ′ × B ′. Questa˜o 12 b Propriedade 10. Seja f : A→ B , enta˜o valem 1. f(X) \ f(Y) ⊂ f(X \ Y) X, Y subconjuntos de A. 2. Se f for injetiva enta˜o f(X \ Y) = f(X) \ f(Y). ê Demonstrac¸a˜o. 1. Seja z ∈ f(X) \ f(Y) enta˜o z = f(x) e na˜o existe y ∈ Y tal que z = f(y) enta˜o z ∈ f(X \ Y) pois e´ imagem de um elemento x ∈ X \ Y. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 12 2. Ja´ sabemos que vale a inclusa˜o f(X) \ f(Y) ⊂ f(X \ Y). Vamos provar agora a outra inclusa˜o f(X \ Y) ⊂ f(X) \ f(Y). Seja z ∈ f(X \ Y) enta˜o existe x ∈ X \ Y portanto x ∈ X e x /∈ Y tal que f(x) = z. Se z ∈ f(Y) enta˜o existiria y ∈ Y tal que f(y) = z mas como f e´ injetora x = y o que contraria x ∈ X \ Y, logo vale a outra inclusa˜o e o resultado fica provado . Questa˜o 13 b Propriedade 11. f : A→ B e´ injetora ⇔ f(A \ X) = f(A) \ f(X) ∀ X ⊂ A. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Ja´ fizemos na propriedade anterior.⇐). Suponha por absurdo que f na˜o e´ injetiva enta˜o existem a 6= x tais que f(x) = f(a), seja X = {x}, vale que f(a) ∈ f(A \ X) pois a ∈ A,a /∈ X = {x} pore´m f(a) /∈ f(A) \ f(X) enta˜o na˜o vale a igualdade, o que e´ absurdo. Questa˜o 14 b Propriedade 12. Dada f : A→ B enta˜o 1. ∀ X ⊂ A temos X ⊂ f−1(f(X)). 2. f e´ injetora ⇔ f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A. ê Demonstrac¸a˜o. 1. f−1(f(X)) e´ o conjunto dos elementos x ∈ A tal que f(x) ∈ f(X) enta˜o vale claramente que X ⊂ f−1(f(X)), pois dado a ∈ X tem-se que f(a) ∈ f(X). 2. ⇒). Suponha f injetora, ja´ sabemos que X ⊂ f−1(f(X)) pelo item anterior, vamos provar agora que f−1(f(X)) ⊂ X suponha por absurdo que exista y /∈ X tal que f(y) ∈ f(X), f(y) = f(x) para y /∈ X e x ∈ X, enta˜o f na˜o e´ injetora o que contraria a hipo´tese enta˜o deve valer a inclusa˜o que querı´amos mostrar e portanto a igualdade dos conjuntos. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 13 ⇐). Suponha que f−1f(X) = X, ∀ X ⊂ A, vamos mostrar que f e´ injetora. Suponha que f na˜o e´ injetora enta˜o existem x 6= y tais que f(x) = f(y), sendo X = {x}, Y = {y} daı´ f−1f(X) 6⊂ X pois Y ⊂ f−1f(X), Y 6⊂ X. O que e´ absurdo enta˜o f e´ injetora. Questa˜o 15 b Propriedade 13. Seja f : A→ B, enta˜o vale que 1. Para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z. 2. f e´ sobrejetiva ⇔, f(f−1(Z)) = Z ∀ Z, Z ⊂ B. ê Demonstrac¸a˜o. 1. f−1(Z) e´ subconjunto de A que leva elemento em Z por f, enta˜o e´ claro que a imagem de tal conjunto por f esta´ contida em Z. 2. ⇒ ) Suponha que f seja sobrejetiva. Ja´ sabemos que para qualquer func¸a˜o f vale que f(f−1(Z)) ⊂ Z, em especial vale para f sobrejetiva, temos que provar que se f e´ sobrejetiva, vale a outra inclusa˜o Z ⊂ f(f−1(Z)). Seja z ′ ∈ Z arbitra´rio enta˜o, existe x ∈ A tal que f(x) = z ′, pois f e´ sobrejetora , daı´ x ∈ f−1(Z), pois tal e´ o conjunto de A que leva elementos em Z, mas isso significa tambe´m que Z ⊂ f(f−1(Z)), pois um z ′ ∈ Z arbitra´rio e´ imagem de elemento de f−1(Z), como querı´amos demonstrar. ⇐). Suponha que vale f(f−1(Z)) = Z, ∀ Z ⊂ B, vamos mostrar que f : A → B e´ sobrejetiva . Seja y ∈ B qualquer, tomamos Z = {y}, temos que f(f−1(Z)) = Z , em especial Z ⊂ f(f−1(Z)), portanto f(f−1(Z)) na˜o e´ vazio e daı´ f−1(Z) tambe´m na˜o e´ vazio, sendo esse u´ltimo o conjunto dos elementos x ∈ A tais que f(x) = z, logo f e´ sobrejetiva, pois z ∈ Z foi um elemento arbitra´rio tomado no contradomı´nio e´ imagem de pelo menos um elemento de A. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 14 1.3 Capı´tulo 2-Conjuntos finitos, Enumera´veis e na˜o- enumera´veis Questa˜o 1 Axioma 1. Existe uma func¸a˜o s : N→ N injetiva, chamada de func¸a˜o sucessor, o nu´mero natural s(n) e´ chamado sucessor de n. $ Corola´rio 3. Como s e´ uma func¸a˜o, enta˜o o sucessor de um nu´mero natural e´ u´nico, isto e´, um nu´mero natural possui apenas um sucessor. Axioma 2. Existe um u´nico nu´mero natural que na˜o e´ sucessor de nenhum outro natural, esse nu´mero simbolizamos por 1. Axioma 3 (Axioma da induc¸a˜o). Dado um conjunto A ⊂ N, se 1 ∈ A e ∀ n ∈ A tem-se s(n) ∈ A enta˜o A = N. b Propriedade 14. Supondo os axiomas 1 e 2 enta˜o o axioma 3 e´ equivalente a proposic¸a˜o: Para todo subconjunto na˜o vazio A ⊂ N tem-se A \ S(A) 6= ∅. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Supondo o axioma (3) va´lido. Suponha por absurdo que exista A 6= ∅, A ⊂ N tal que A \ S(A) = ∅ enta˜o A ⊂ S(A), isto e´, ∀ x ∈ A existe y ∈ A tal que x = s(y). Sabemos que 1 /∈ A, pois se na˜o 1 ∈ A\S(A). Se n /∈ A, vamos mostrar que s(n) /∈ A. Se fosse s(n) ∈ A, chegarı´amos em uma contradic¸a˜o com A ⊂ S(A), pois deveria haver y ∈ A tal que s(y) = s(n) e por injetividade seguiria y = n ∈ A, o que contraria a hipo´tese, logo S(n) /∈ A, A e´ vazio pois na˜o conte´m nenhum nu´mero natural, mas consideramos que A na˜o e´ vazio como hipo´tese, absurdo!.⇐). Pelo axioma 2 temos que 1 e´ o u´nico elemento de N\S(N), pelo axioma 1 temos que S(N) ⊂ N daı´ temos N = {1}∪S(N) o que implica 1 ∈ A, ∀ n ∈ N s(n) ∈ A⇔ A = N. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 15 Questa˜o 2 b Propriedade 15. Dados m e n naturais enta˜o existe x natural tal que x.n > m. ê Demonstrac¸a˜o. Vale n ≥ 1 daı´ multiplicando por m + 1 segue (m + 1)n ≥ m+ 1 > m logo (m+ 1)n > n. Questa˜o 3 b Propriedade 16. Seja n0 ∈ N. Se A ⊂ N tal que n0 ∈ A e n ∈ A⇒ n+1 ∈ A enta˜o todo x ∈ N com x ≥ a pertence a` A. ê Demonstrac¸a˜o. Se a = 1 nada temos a fazer pois A = N. Se a > 1 enta˜o a = b + 1 e´ sucessor de b. Vamos mostrar que b + n ∈ A ∀ n ∈ N. Sabemos que b + 1 ∈ A. Supondo que b + n ∈ A enta˜o b + (n + 1) ∈ A daı´ por induc¸a˜o segue que b + n ∈ A ∀ n ∈ N. Lembrando que x > b significa que existe p natural tal que b + p = x, como b + p ∈ A ∀ p ∈ N enta˜o x ∈ A. Outro fato que usamos e´ que se x > b enta˜o x ≥ b+ 1 = a pois na˜o existe natural entre b e b+ 1, b ∈ N. Questa˜o 5 m Definic¸a˜o 1 (Antecessor). m ∈ N e´ antecessor de n ∈ N quando m < n mas na˜o existe c ∈ N tal que m < c < n. b Propriedade 17. 1 na˜o possui antecessor e qualquer outro nu´mero natural possui antecessor. ê Demonstrac¸a˜o. Na˜o vale m < 1 para algum natural m, logo 1 na˜o possui antecessor. Agora para todo outro n ∈ N vale n > 1 logo existe p ∈ N tal que p + 1 = n, vamos mostrar que p = m e´ o antecessor de n. Vale p < p + 1, logo a primeira condic¸a˜o e´ satisfeita, a segunda condic¸a˜o tambe´m e´ satisfeita pois na˜o existe c ∈ N tal que p < c < p + 1. Vamos mostrar agora que existe um u´nico antecessor. Suponha existeˆncia de dois antecessores m e m ′ distintos enta˜o existe CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 16 um deles que e´ o maior, digamos m ′, daı´ m < m ′ e m ′ < n por transitividade segue m < m ′ < n o que contraria a definic¸a˜o de antecessor, enta˜o existe um u´nico. Questa˜o 6 Questa˜o 6 a) b Propriedade 18. Mostrar que n∑ k=1 k = n(n+ 1) 2 . ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois 1∑ k=1 k = 1 = 1(2) 2 . Supondo a validade para n n∑ k=1 k = n(n+ 1) 2 vamos provar para n+ 1 n+1∑ k=1 k = (n+ 1)(n+ 2) 2 . Por definic¸a˜o de somato´rio temos n+1∑ k=1 k = (n+ 1) + n∑ k=1 k = (n+ 1) + n(n+ 1) 2 = (n+ 1)(1+ n 2 ) = (n+ 1)(n+ 2) 2 onde usamos a hipo´tese da induc¸a˜o . Questa˜o 6 b) b Propriedade 19. Mostrar que n∑ k=1 (2k− 1) = n2. ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 temos 1∑ k=1 (2k− 1) = 2.1− 1 = 1 = 12. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 17 supondo a validade para n, n∑ k=1 (2k− 1) = n2 vamos provar para n+ 1 n+1∑ k=1 (2k− 1) = (n+ 1)2. Usando a definic¸a˜o de somato´rio e hipo´tese da induc¸a˜o tem-se n+1∑ k=1 (2k− 1) = n∑ k=1 (2k− 1) + 2n+ 1 = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2 .Questa˜o 6 c) Z Exemplo 2. Mostrar por induc¸a˜o que (a− 1) n∑ k=0 ak = an+1 − 1. Para n = 1 temos (a− 1) 1∑ k=0 ak = (a− 1)(a+ 1) = a2 − 1. Supondo que (a − 1) n∑ k=0 ak = an+1 − 1 vamos provar que (a − 1) n+1∑ k=0 ak = an+2 − 1. Por definic¸a˜o de somato´rio e pela hipo´tese da induc¸a˜o temos (a− 1) n+1∑ k=0 ak = (a− 1)an+1 + (a− 1) n∑ k=0 ak = an+2 − an+1 + an+1 − 1 = an+2 − 1 . Questa˜o 6 d) Z Exemplo 3. Mostre que se n ≥ 4 enta˜o n! > 2n. Para n = 4 vale 4! = 24 > 24 = 16. Suponha validade para n , n! > 2n, vamos provar para n+ 1, (n+ 1)! > 2n+1. Multiplicando n! > 2n por n+ 1 de ambos lados CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 18 segue que (n+ 1)! > (n+ 1)︸ ︷︷ ︸ >2 2n > 2.2n = 2n+1 . Questa˜o 7 b Propriedade 20 (Unicidade da fatorac¸a˜o em primos). Seja n ∈ N,n > 1. Se n = m∏ k=1 pk = s∏ k=1 qk onde cada pk e qk sa˜o primos, na˜o necessariamente distintos enta˜o m = s e pk = qk∀ k , apo´s, se necessa´rio, uma renomeac¸a˜o dos termos. ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar usando o segundo princı´pio da induc¸a˜o, para n = 2 a propriedade vale. Suponha a validade para todo t < n vamos provar que nessas condic¸o˜es vale para n. n = pm m−1∏ k=1 pk = qs s−1∏ k=1 qk pm divide o produto s∏ k=1 qk enta˜o deve dividir um dos fatores, por exemplo qs (se na˜o, renomeamos os termos), como pm|qs enta˜o pm = qs pm m−1∏ k=1 pk = pm s−1∏ k=1 qk ⇒ m−1∏ k=1 pk = s−1∏ k=1 qk = n0 < n como n0 e´ menor que n, usamos a hipo´tese da induc¸a˜o, que implica m − 1 = s − 1, qk = pk de k = 1 ate´ m− 1, daı´ segue que m = n e qk = pk de k = 1 ate´ m. questa˜o 8 b Propriedade 21. Sejam A e B conjuntos com n elementos, enta˜o o nu´mero de bijec¸o˜es de f : A→ B e´ n! ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1, tem-se uma func¸a˜o A = {a1} e B = {b1}, f : A→ B tal que f(a1) = b1. Supondo a validade para conjuntos com n elementos, vamos provar que vale para conjuntos com n + 1 elementos. Tomando A = {ak, k ∈ In+1} e B = {bk, ∈ In+ 1}, dado s ∈ In+1, fixamos as bijec¸o˜es f com f(a1) = bs daı´ a quantidade dessas func¸o˜es e´ dada pela quantidade de bijec¸o˜es de A \ {a1} em B \ {bs}, que e´ n! para cada s variando de 1 ate´ n+ 1, o total enta˜o e´ (n+ 1)n! = (n+ 1)!. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 19 $ Corola´rio 4. O mesmo vale se A = B. Questa˜o 9 Questa˜o a) b Propriedade 22. Se A e B sa˜o finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m enta˜o A ∪ B e´ finito com |A ∪ B| = m+ n. ê Demonstrac¸a˜o. Existem bijec¸o˜es f : In → A, g : Im → B. Definimos h : Im+n → A ∪ B como h(x) = f(x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x− n) se 1+ n ≤ x ≤ m+ n (1 ≤ x− n ≤ m), como h e´ bijec¸a˜o segue o resultado. b Propriedade 23. Se A e B sa˜o conjuntos finitos na˜o necessariamente dis- juntos vale a relac¸a˜o |A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|. ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos A como a unia˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), daı´ |A|− |A ∩ B| = |A \ B| agora escrevemos A ∪ B = (A \ B) ∪ B, unia˜o disjunta logo |A ∪ B| = |A \ B|+ |B| usando a primeira expressa˜o segue que |A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|. b Propriedade 24. Se A e B sa˜o conjuntos finitos na˜o necessariamente dis- juntos vale a relac¸a˜o |A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|. ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos A como a unia˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), daı´ |A|− |A ∩ B| = |A \ B| agora escrevemos A ∪ B = (A \ B) ∪ B, unia˜o disjunta logo |A ∪ B| = |A \ B|+ |B| usando a primeira expressa˜o segue que |A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 20 Questa˜o b) $ Corola´rio 5. Podemos deduzir a identidade para treˆs conjuntos |A ∪ B ∪ C|, tomamos B ′ = B ∪ C e aplicamos o resultado para dois conjuntos |A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B ∪ C|− |A ∩ [B ∪ C]| = = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|[A∩B]∪[A∩C]| = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C| logo |A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C|− |B ∩ C|− |A ∩ B|− |A ∩ C|+ |A ∩ B ∩ C| Questa˜o c) b Propriedade 25 (Princı´pio da inclusa˜o- exclusa˜o). Sejam n conjuntos finitos (Ak) n 1 , seja I o multiconjunto das combinac¸o˜es das intersec¸o˜es desses n conjuntos, enta˜o | n⋃ k=1 Ak| = ∑ K∈I |K|(−1)nk onde onde nk e´ o nu´mero de intersec¸o˜es em K. Questa˜o 10 b Propriedade 26. Seja A finito. Existe uma bijec¸a˜o g : In → A para algum n, pois A e´ finito, a func¸a˜o f : A→ A e´ injetiva ou sobrejetiva ⇔ g−1 ◦ f ◦ g : In → In e´ injetiva ou sobrejetiva, respectivamente. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Se f e´ injetiva ou sobrejetiva enta˜o g−1◦f◦g : In → In e´ injetiva ou sobrejetiva, por ser composic¸a˜o de func¸o˜es com essas propriedades.⇐). Seja g−1 ◦f◦g : In → In sobrejetiva vamos mostrar que f tambe´m e´ sobrejetiva. Dado y ∈ A vamos mostrar que existe x ∈ A tal que f(x) = y. Como g : In → A e´ CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 21 sobrejetiva enta˜o existe x1 ∈ In tal que g(x1) = y e pelo fato de g−1◦f◦g ser sobrejetiva enta˜o existe x2 ∈ In tal que g−1(f(g(x2))) = x1 = g−1(y) como g−1 e´ injetiva segue que f(g(x2)) = y logo f e´ sobrejetiva. Se g−1 ◦ f ◦ g e´ injetiva enta˜o f e´ injetiva. Sejam x, y quaisquer em A, existem x1, x2 ∈ In tais que g(x1) = x, g(x2) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f(y) enta˜o x = y. Se f(x) = f(y) enta˜o f(g(x1)) = f(g(x2)) e g−1(f(g(x1))) = g−1(f(g(x2))) com g−1◦f◦g segue que x1 = x2 que implica g(x1) = g(x2), isto e´, x = y. b Propriedade 27. Seja A um conjunto finito. f : A → A e´ injetiva ⇔ e´ sobrejetiva. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Consideramos o caso f : In → In, se f for injetiva enta˜o f : In → f(In) e´ uma bijec¸a˜o com f(In) ⊂ In. fn na˜o pode ser parte pro´pria de In pois se na˜o f−1(In) → In seria bijec¸a˜o de um conjunto com sua parte pro´pria, logo f(In) = In e f : In → In e´ bijec¸a˜o.⇐). Se f for sobrejetiva enta˜o para cada y ∈ In (imagem) podemos escolher x ∈ In (domı´nio) tal que f(x) = y e daı´ definir g : In → In tal que g(y) = x, g e´ injetiva, pois f e´ func¸a˜o, logo pelo resultado ja´ mostrado g e´ bijetora, implicando que f tambe´m e´. Questa˜o 11 b Propriedade 28 (Princı´pio das gavetas de Dirichlet- Ou princı´pio da casas dos pombos.). Se temos m conjuntos (Ak)m1 e n elementos n > m, com n∑ k=1 |Ak| = n enta˜o existe At em (Ak)m1 tal que |At| > 1. Esse resultado diz que se temos n elementos e m conjuntos tais que n > m enta˜o deve haver um conjunto com pelo menos 2 elementos. ê Demonstrac¸a˜o. Supondo que |Ak| ≤ 1 ∀ k enta˜o aplicando a soma n∑ k=1 em CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 22 ambos lados dessa desigualdade temos n = n∑ k=1 |Ak| ≤ m⇒ n ≤ m o que contraria a hipo´tese de n > m ,portanto deve valer |At| > 1 para algum t ∈ In. Questa˜o 12 b Propriedade 29. Seja A um conjunto com n elementos, enta˜o o nu´mero de func¸o˜es injetivas f : Ip → A e´ p−1∏ k=0 (n− k). ê Demonstrac¸a˜o. Se p > n o resultado vale pois na˜o existe func¸a˜o injetiva de f : Ip → A, pois se na˜o f : Ip → f(A) seria bijec¸a˜o e f(A) ⊂ A daı´ A iria possuir um subconjunto com p elementos que e´ maior que o nu´mero de elementos de A, o que e´ absurdo. Iremos provar o resultado para outros valores de p ≤ n. Para p = 1 temos n func¸o˜es, que sa˜o f1(1) = a1, f2(1) = a2, · · · , fn(1) = an. Suponha que para Ip temos p−1∏ k=0 (n − k) func¸o˜es que sa˜o injetivas, vamos mostrar que para Ip+1 temos p∏ k=0 (n − k) func¸o˜es. Seja o conjunto das func¸o˜es f : Ip+1 → A injetivas, podemos pensar o conjunto das f restritas a` Ip tendo p−1∏ k=0 (n−k) func¸o˜es, por hipo´tese da induc¸a˜o , agora podemos definir essas func¸o˜es no ponto p+1, onde temos n − p escolhas, para cada uma dessas escolhas temos p−1∏ k=0 (n − k) func¸o˜es, portanto temos um total de (n− p) p−1∏ k=0 (n− k) = p∏ k=0 (n− k) func¸o˜es. Questa˜o 13 b Propriedade 30. Se X possuin elementos enta˜o tal conjunto possui ( n p ) subconjuntos com p elementos. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 23 ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar por induc¸a˜o sobre n e p livre. Para n = 0 ele so´ possui um subconjunto com 0 elementos ( 0 0 ) = 1 e para outros valores de p > 0 ∈ N vale ( 0 p ) = 0. Suponha que para um conjunto qualquer A com n elementos, temos ( n p ) sub- conjuntos, agora podemos obter um conjunto com n + 1 elementos, adicionando um novo elemento {an+1}, continuamos a contar os ( n p ) subconjuntos que contamos com elementos de A e podemos formar mais subconjuntos com p elementos adicionando o ponto {an+1} aos conjuntos com p− 1 elementos, que por hipo´tese da induc¸a˜o temos( n p− 1 ) , enta˜o temos no total ( n p− 1 ) + ( n p ) = ( n+ 1 p ) pela identidade de Stifel, como querı´amos demonstrar. Questa˜o 14 b Propriedade 31. Seja |A| = n enta˜o |P(A)| = 2n. ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, se n = 1, enta˜o A = {a1} possui dois subconjuntos que sa˜o ∅ e {α1}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos tenha |P(B)| = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica |P(C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (por hipo´tese da induc¸a˜o), sk de k = 1 ate´ k = 2n, que tambe´m sa˜o subconjuntos de C, pore´m podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a unia˜o do elemento {a}, logo no total temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois na˜o temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados. Questa˜o 15 Z Exemplo 4. Existe g : N→ N sobrejetiva tal que g−1(n) e´ infinito para cada n ∈ N. Seja f : N → N definida como f(n) = k se n e´ da forma n = pαkk onde pk e´ o k-e´simo nu´mero primo e f(n) = n caso contra´rio, f e´ sobrejetiva e existem infinitos n ∈ N tais que f(n) = k para cada k natural. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 24 Questa˜o 16 b Propriedade 32. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} e´ enumera´vel. ê Demonstrac¸a˜o. Definimos a func¸a˜o f : Pn → Nn da seguinte maneira: Dado A = {x1 < x2 < · · · < xn}, f(A) = (x1, · · · , xn). Tal func¸a˜o e´ injetiva pois dados A = {xk, k ∈ In} e B = {yk, k ∈ In} na˜o pode valer xk = yk para todo k, pois se na˜o os conjuntos seriam iguais. Se trocamos N por outro conjunto X enumera´vel o resultado tambe´m vale, basta definir uma func¸a˜o f : Pn → Xn e g : X → N injetiva, enumeramos um subconjunto finito qualquer com n elementos A ⊂ X como A = {x1, · · · , xn} onde g(x1) < g(x2) < · · · < g(xn) e definimos f(A) = (x1, · · · , xn). $ Corola´rio 6. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N e´ enumera´vel pois Pf = ∞⋃ k=1 Pk e´ unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis. O mesmo vale trocando N por um conjunto enumera´vel qualquer A. Questa˜o 17 b Propriedade 33. X e´ finito ⇔ existe f : X → X que so´ admite subconjuntos esta´veis ∅ e X. ê Demonstrac¸a˜o. Iremos considerar sempre conjuntos na˜o vazios.⇒). Suponha X finito, enta˜o X = {a1, · · · , an}, definimos f : X→ X como f(a1) = a2, f(a2) = a3, em geral f(ak) = ak+1 se k < n e f(an) = a1. f na˜o possui subconjunto esta´vel diferente de X, pois, suponha um conjunto Y 6= X esta´vel, a1 na˜o pode perten- cer ao conjunto, pois se na˜o f(a1) = a2 ∈ Y, f(a2) = a3 ∈ Y ate´ f(an−1) = an ∈ Y enta˜o terı´amos Y = X o que e´ absurdo, da mesma maneira se at ∈ Y enta˜o f(at) = at+1 ∈ Y, f(at+1) = at+2 ∈ Y, em menos de n aplicac¸o˜es da func¸a˜o teremos f(an−1) = an ∈ Y e daı´ f(an) = a1 ∈ Y o que implica Y = X, logo na˜o podemos ter outro subconjunto esta´vel ale´m de X com a func¸a˜o f definida acima.⇐). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 25 Suponha X infinito, vamos mostrar que qualquer func¸a˜o f : X→ X possui subcon- junto esta´vel Y 6= X. Tomamos a1 ∈ X, consideramos f(a1) := a2 se a1 = a2 paramos e temos o conjunto Y = {a1} 6= X pois X e´ infinito, se na˜o continuamos a aplica a func¸a˜o f(a2) := a3, se a3 = a2 ou a1 enta˜o paramos e tomamos Y = {a1, a2}, continuamos o processo recur- sivamente f(ak) : ak+1 se ak+1 e´ igual a algum dos elementos de {a1, · · · , ak}, enta˜o paramos o processo e tomamos Y = {a1, · · · , ak}, se para todo k ∈ N os elementos ak+1 = f(ak) na˜o pertencem ao conjunto {a1, · · · , ak}, enta˜o temos um conjunto = {a2 = f(a1), f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , f(an) = an+1, · · · } tomamos tal conjunto como Y e temos f(Y) = {f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , } ⊂ Y podemos observar que Y 6= X pois a1 /∈ Y. Assim concluı´mos nossa demonstrac¸a˜o. Questa˜o 18 b Propriedade 34. Seja f : A → A injetiva, tal que f(A) 6= A, tomando x ∈ A\f(A) enta˜o os elementos fk(x) de O(x) = {fk(x), k ∈ N} sa˜o todos distintos. Estamos denotando fk(x) pela k-e´sima composic¸a˜o de f com ela mesma. ê Demonstrac¸a˜o. Para todo t vale que ft e´ injetiva, pois a composic¸a˜o de func¸o˜es injetivas e´ injetiva. Se existisse k 6= t tal que fk(x) = ft(x), t > k , enta˜o existe p > 0 ∈ N tal que t = k+ p fk+p(x) = fk(fp(x)) = fk(x) por injetividade de fk segue que fp(x) = x, logo x ∈ f(A) o que contraria a hipo´tese de x ∈ A \ f(A). Portanto os elementos sa˜o distintos. Questa˜o 19 b Propriedade 35. Se A e´ infinito enta˜o existe func¸a˜o injetiva f : N→ A. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 26 ê Demonstrac¸a˜o. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e definimos f(1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A \ n⋃ k=1 {xk} definido f(n+ 1) = xn+1. A \ n⋃ k=1 {xk} nunca e´ vazio pois A e´ infinito. f e´ injetora pois tomando m > n tem-se f(n) ∈ m−1⋃ k=1 {xk} e f(m) ∈ A \ m−1⋃ k=1 {xk}. $ Corola´rio 7. Existe func¸a˜o injetiva de um conjunto finito B num conjunto infinito A, usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para depois de definir a func¸a˜o |B| pontos. b Propriedade 36. Sendo A infinito e B finito existe func¸a˜o sobrejetiva g : A→ B. ê Demonstrac¸a˜o. Existe func¸a˜o injetiva f : B → A, logo f : B → f(B) ⊂ A e´ bijec¸a˜o, possuindo inversa g−1 : f(B) → B. Considere a func¸a˜o f : A → B definida como f(x) = g−1(x) se x ∈ f(B) e f(x) = x1 ∈ B se x /∈ f(B), f e´ func¸a˜o sobrejetiva. Questa˜o 20 Questa˜o 20-a) b Propriedade 37. O produto cartesiano finito de conjuntos enumera´veis e´ enumera´vel. ê Demonstrac¸a˜o. Seja s∏ k=1 Ak o produto cartesiano dos conjuntos Ak enu- mera´veis, enta˜o para cada k existe uma func¸a˜o fk : N→ Ak que e´ sobrejetiva, enta˜o definimos a func¸a˜o f : Ns → s∏ k=1 Ak dada por f(xk) s 1 = (fk(xk)) s 1 ,isto e´, f(x1, · · · , xs) = (f1(x1), · · · , fs(xs)) CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 27 como tal func¸a˜o e´ sobrejetiva e Ns e´ enumera´vel segue que s∏ k=1 Ak e´ enumera´vel. $ Corola´rio 8. Se X e´ finito e Y e´ enumera´vel, enta˜o F(X, Y) e´ enumera´vel. Basta considerar o caso de X = In, enta˜o F(X, Y) = n∏ k=1 Y = Yn, que e´ enumera´vel. Questa˜o 20-b) b Propriedade 38. Para cada f : N → N seja Af = {n ∈ N | f(n) 6= 1}. O conjunto M das func¸o˜es, f : N→ N tais que Af e´ finito e´ um conjunto enumera´vel. ê Demonstrac¸a˜o. Seja Bn o conjunto das f : N → N, tais que |Af| = n, vamos mostrar inicialmente que Bn e´ enumera´vel. Cada f : N→ N e´ uma sequeˆncia (f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · ), os elementos de Bn sa˜o as sequeˆncias que diferem da unidade em exatamente n valores. Para cada elemento f de Bn temos n termos diferentes de 1, que sera˜o simbolizados por f(k1), f(k2), · · · , f(kn) onde k1 < k2 < · · · < kn definimos g : Bn → Nn como g(f) = (p f(k1) k1 , p f(k2) k2 , · · · , pf(kn)kn ) onde cada pt e´ o t-e´simo primo. A func¸a˜o definida dessa forma e´ injetora, pois se vale g(f) = g(h) enta˜o (p f(k1) k1 , p f(k2) k2 , · · · , pf(kn)kn) = (q f(k ′1 ) k ′1 , q f(k ′2) k ′2 , · · · , qf(k ′n)k ′n ) por unicidade de fatorac¸a˜o em primos segue que qt = pt e kt = k ′t ∀ t. Agora escrevemos M = ∞⋃ k=1 Bk e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis, portanto o conjunto das func¸o˜es f : N→ N tais que Af e´ finito e´ enumera´vel. Questa˜o 21 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 28 Z Exemplo 5. Exprimir N = ∞⋃ k=1 Nk onde os conjuntos sa˜o infinitos e dois a dois disjuntos. Tome Nk+1 = {pαkk , αk ∈ N onde pk o k-e´simo primo} e N1 = N \ ∞⋃ k=2 Nk, cada um deles e´ infinito, sa˜o disjuntos e sua unia˜o da´ N. Questa˜o 22 Z Exemplo 6. f : N × N → N definida como f(m,n) = 2m−1(2n − 1) e´ uma bijec¸a˜o. Dado um nu´mero natural n qualquer, podemos escrever esse nu´mero como produto dos seus fatores primos n = n∏ k=1 pαkk = 2 α1 . n∏ k=2 pαkk como os primos maiores que 2 sa˜o ı´mpares e o produto de ı´mpares e´ um nu´mero ı´mpar enta˜o n = 2m(2n − 1). Agora vamos mostrar que a func¸a˜o e´ injetora seja f(m,n) = f(p, q) 2m(2n− 1) = 2p(2q− 1) se m 6= p os nu´meros sera˜o diferentes pela unicidade de fatorac¸a˜o (2s − 1 na˜o possui fatores 2 pois sempre e´ ı´mpar), enta˜o devemos ter m = p, daı´ segue que n = q e termina a demonstrac¸a˜o. Questa˜o 23 b Propriedade 39. Todo conjunto A ⊂ N e´ enumera´vel. ê Demonstrac¸a˜o. Se A e´ finito enta˜o A e´ enumera´vel. Se A e´ infinito podemos enumerar seus elementos da seguinte maneira x1 = minA, xn+1 = minA \ n⋃ k=1 {xk}, daı´ A = ∞⋃ k=1 {xk} CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 29 pois se existisse x ∈ A tal que x 6= xk daı´ terı´amos x > xk para todo k que e´ absurdo, pois nenhum conjunto infinito de nu´meros naturais e´ limitado superiormente. A func¸a˜o x definida e´ injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela e´ a u´nica bijec¸a˜o crescente entre A e N. Suponha outra bijec¸a˜o crescente f : N → A. Deve valer f(1) = x1, pois se fosse f(1) > x1 enta˜o f na˜o seria crescente. Supondo que vale f(k) = xk ∀ k ≤ n ∈ N vamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, na˜o pode valer f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) ∈ A pois a func¸a˜o e´ injetora e os possı´veis termos ja´ foram usados em f(k) com k < n + 1, na˜o pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se na˜o a func¸a˜o na˜o seria crescente, ela teria que assumir para algum valor x > n+ 1 o valor de xn+1, a u´nica possibilidade restante e´ f(n + 1) = xn+1 o que implica por induc¸a˜o que xn = f(n) ∀ n ∈ N. Questa˜o 24 b Propriedade 40. Todo conjunto infinito se decompo˜e como unia˜o de uma infinidade enumera´vel de conjuntos infinitos, dois a dois disjuntos. ê Demonstrac¸a˜o. Todo conjunto X infinito possui um subconjunto infinito enumera´vel E = {b1, b2, · · · , bn, · · · }, tomamos b2k = xk e formamos o conjunto A = {x1, x2, · · · , xn, · · · }. Definimos Bk = {xαkpk , αk ∈ N}, onde pk e´ o k-e´simo primo e B0 = A \ ∞⋃ k=1 Bk, cada um desses conjuntos B0, B1, · · · e´ infinito e todos sa˜o disjuntos, vale A = ∞⋃ k=0 Bk , definimos B−1 = (E ∪ X) \ A que e´ infinito e na˜o possui elemento e disjunto com todo outro Bk, com isso temos X = ∞⋃ k=−1 Bk que e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos infinitos disjuntos. Questa˜o 25 m Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o caracterı´stica). Sejam um conjunto A e V um subcon- CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 30 junto qualquer de A, definimos Cv(t) = 0 se x /∈ V Cv(t) = 1 se x ∈ V b Propriedade 41. Sejam X, Y ⊂ A. Valem as propriedades. • Cx∩y = CxCy • Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅. • Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy. • CA\X = 1− Cx. ê Demonstrac¸a˜o. • Cx∩y = CxCy. Temos dois casos a analisar, se t ∈ X ∩ Y enta˜o Cx∩y(t) = 1 = Cx(t)︸ ︷︷ ︸ 1 Cy(t)︸ ︷︷ ︸ 1 , se t /∈ X ∩ Y podemos supor t /∈ Yenta˜o Cx∩y(t) = 0 = Cx(t)Cy(t)︸ ︷︷ ︸ 0 . • Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅. Analisamos treˆs casos. 1. Se t ∈ X ∩ Y enta˜o Cx∪y(t) = 1, Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) = 1+ 1− 1 = 1, logo vale a igualdade. 2. Se t /∈ X ∩ Y e t ∈ X ( sem perda de generalidade), enta˜o Cx∪y(t) = 1, Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) = 1+ 0− 0 = 1, logo vale a igualdade. 3. Agora o u´ltimo caso, se t /∈ X, Y, Cx∪y(t) = 0 e Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) = 0+ 0− 0 = 0, valendo novamente a igualdade. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 31 Cx∪y = Cx + Cy ⇔ Cx∩y = 0⇔ Cx∩y(t) = 0 ∀ t ∈ A, isso significa que X e Y sa˜o disjuntos. • Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy. ⇒). Analisamos treˆs casos 1. t /∈ Y e t /∈ Y daı´ t /∈ x e vale Cx(t) = 0Cy(t). 2. Se t ∈ Y e t /∈ x enta˜o Cx(t) = 0 ≤ Cy(t) = 1. 3. Se t ∈ Y tem-se t ∈ Y daı´ Cx(t) = 1 ≤ 1 = Cy(t). Em qualquer caso vale a desigualdade. ⇐). Suponha que X na˜o esteja contido em Y , enta˜o existe t tal que t ∈ X, t /∈ Y portanto vale cx(t) = 1 e cy(t) = 0 e na˜o se verifica a desigualdade. • CA\X = 1− Cx. Analisamos dois casos 1. Se t /∈ X enta˜o CA\X(t) = 1 = 1− Cx(t)︸ ︷︷ ︸ 0 . 2. Se t ∈ X CA\X(t) = 0 = 1− Cx(t)︸ ︷︷ ︸ 1 . Questa˜o 26 b Propriedade 42. O conjunto das sequeˆncias crescentes de nu´meros naturais na˜o e´ enumera´vel. ê Demonstrac¸a˜o. Seja A o conjunto das sequeˆncias crescentes de nu´meros naturais. Suponha que seja enumera´vel, enta˜o existe uma bijec¸a˜o x : N→ A x1 = (y(1,1), y(2,1), y(3,1), y(4,1), · · · ) x2 = (y(1,2), y(2,2), y(3,2), y(4,2), · · · ) ... xn = (y(1,n), y(2,n), y(3,n), y(4,n), · · · ) vamos mostrar que existe uma sequeˆncia crescente que sempre escapa a essa enumerac¸a˜o, tomamos a sequeˆncia s como s = (y(1,1)+1 , y(2,2)+y(1,1)+1 , y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1, y(4,4)+y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1 , · · · ) CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 32 denotando y(0,0) = 1 o t-e´simo termo da sequeˆncia acima e´ st = t∑ k=0 y(k,k), tal sequeˆncia e´ crescente e ela difere de cada xt na t-e´sima coordenada, portanto ela na˜o pertence a enumerac¸a˜o, o que e´ absurdo, portanto o conjunto das sequeˆncias crescentes e´ na˜o enumera´vel. Questa˜o 27 b Propriedade 43. Sejam (N, s) e (N ′, s ′) dois pares formados por um conjunto e uma func¸a˜o em que ambos cumprem os axiomas de Peano. Enta˜o existe uma u´nica bijec¸a˜o f : N→ N ′ tal que f(1) = 1 ′, f(n+ 1) = f(n) + 1 ′ e vale ainda que • f(m) + f(n) = f(m+ n) • f(m.n) = f(m)f(n) • m < n⇔ f(m) < f(n). ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos provar que f deve ser obrigatoriamente da forma f(n) = n ′ ∀ n ∈ N, por induc¸a˜o sobre n, a propriedade vale para n = 1, suponha a validade para n, vamos provar para n+ 1 f(n+ 1) = f(n) + 1 ′ = n ′ + 1 ′ = s ′(n) = (n+ 1) ′. Enta˜o para todo n ∈ N fica provado que f(n) = n ′, f e´ u´nica por construc¸a˜o, sendo tambe´m sobrejetora. • Vale que f(m)+f(n) = f(m+n), vamos provar por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 ela vale por definic¸a˜o da func¸a˜o, supondo a validade para n, vamos provar para n+ 1 f((m+ n) + 1) = f(m+ n) + f(1) = f(m) + (f(n) + f(1)) = f(m) + f(n+ 1) logo fica provada a propriedade. f e´ injetiva, pois se houvessem dois valores distintos m > n tais que f(m) = f(n) enta˜o existe p ∈ N tal que n + p = m, aplicando a func¸a˜o temos f(n) + f(p) = f(m) = f(n), isto e´ n ′ + p ′ = n ′ enta˜o n ′ > n ′ o que e´ absurdo, portanto a func¸a˜o e´ injetiva. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 33 • f(m.n) = f(m)f(n). Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 ela vale. Suponha validade para n, vamos provar para n+ 1 f(m.(n+ 1)) = f(mn+m) = f(m)f(n) + f(m) = f(m)[f(n) + 1] = f(m)f(n+ 1) como querı´amos provar. • m < n⇔ f(m) < f(n). ⇒). Se vale m < n enta˜o existe p ∈ N tal que m+p = n e daı´ aplicando f tem-se m ′+p ′ = n ′ o que implica n ′ > m ′, isto e´, f(n) > f(m). ⇐) Da mesma forma se f(m) < f(n) enta˜o m ′ < n ′ e daı´ existe p ′ tal que m ′+ p ′ = n ′ ⇒ f(m+ p) = f(n) que por injetividade segue m+ p = n, portanto n > m. 1.4 Capı´tulo 3 -Nu´meros reais 1.4.1 Questa˜o 1 Questa˜o1-1◦ Primeiro provamos um lema, depois a questa˜o pedida. b Propriedade 44. a d + c d = a+ c d . ê Demonstrac¸a˜o. a d + c d = d−1a+ d−1c = d−1(a+ c) = a+ c d por distributividade do produto em relac¸a˜o a soma. b Propriedade 45. a b + c d = ad+ bc bd . ê Demonstrac¸a˜o. a b + c d = a b d d + c d b b = ad bd + cb db = ad+ bc bd . CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 34 Questa˜o 1-2◦ b Propriedade 46. a b . c d = ac bd . ê Demonstrac¸a˜o. a b . c d = a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 = ac bd . 1.4.2 Questa˜o 2 Questa˜o 2-1◦ b Propriedade 47. Para todo m inteiro vale am.a = am+1. ê Demonstrac¸a˜o. Para m natural vale pela definic¸a˜o de poteˆncia, agora para m = −n,n > 0 ∈ N um inteiro vamos provar a−n.a = a−n+1. Para n = 1 temos a−1a = a−1+1 = a0 = 1. Vamos provar agora para n > 1, n− 1 > 0 a−n = (an)−1 = (an−1a)−1 = a−n+1a−1 multiplicando por a de ambos lados a−n.a = a−n+1 como querı´amos demonstrar. b Propriedade 48. am.an = am+n. ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro seja m um inteiro qualquer e n natural, vamos provar a identidade por induc¸a˜o sobre n, para n = 0 vale am.a0 = am = am+0 para n = 1 vale ama1 = ama = am+1. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 35 Supondo va´lido para n am.an = am+n vamos provar para n+ 1 am.an+1 = am+n+1 temos am.an+1 = amana = am+n.a = am+n+1 . Agora para −n com n natural , se m e´ natural temos que a propriedade ja´ foi demonstrada ama−n = am−n se m e´ inteiro negativo temos ama−n = am−n pois o inverso de ama−n e´ a−man = a−m+n propriedade que ja´ esta´ provada por −m e n serem naturais e am−nan−m = 1 por unicidade do inverso de = a−man = a−m+n e´ ama−n logo fica provado para n e m inteiros. Para poteˆncia negativa −n podemos fazer como se segue ama−n = (a−m)−1(an)−1 = (a−man)−1 = (a−m+n)−1 = am−n. Questa˜o 2-2◦ b Propriedade 49. (am)n = amn para m e n inteiros. ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro por induc¸a˜o para m inteiro e n natural (am)0 = 1 = am.0 (am)1 = am = am.1. Supondo va´lido para n (am)n = amn vamos provar para n+ 1 (am)n+1 = am(n+1) CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 36 temos pela definic¸a˜o de poteˆncia e pela hipo´tese da induc¸a˜o que (am)n+1 = (am)nam = amnam = amn+m = am(n+1) onde usamos a propriedade do produto de poteˆncia de mesma base. Para n inteiro negativo (am)−n = ((am)n)−1 = (amn)(−1) = a−mn. 1.4.3 Questa˜o 3 Z Exemplo 7. Se xk yk = xs ys para todos k, s ∈ In, num corpo K, prove que dados, ak ∈ K, k ∈ In tais que n∑ k=1 akyk 6= 0 tem-se n∑ k=1 akxk n∑ k=1 akyk = x1 y1 . Chamando x1 y1 = p temos xk yk = p logo xk = pyk e a soma n∑ k=1 akxk = p n∑ k=1 akyk logo n∑ k=1 akxk n∑ k=1 akyk = p = x1 y1 . 1.4.4 Questa˜o 4 m Definic¸a˜o 3 (Homomorfismo de corpos). Sejam A,B corpos. Uma func¸a˜o f : A→ B chama-se um homomorfismo quando se tem f(x+ y) = f(x) + f(y) CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 37 f(x.y) = f(x).f(y) f(1A) = 1B para quaisquer x, y ∈ A. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmos sı´mbolos e escrevemos f(1) = 1. b Propriedade 50. Se f e´ homomorfismo enta˜o f(0) = 0. ê Demonstrac¸a˜o. Temos f(0+ 0) = f(0) + f(0) = f(0) somando −f(0) a ambos lados segue f(0) = 0. b Propriedade 51. Vale f(−a) = −f(a). ê Demonstrac¸a˜o. Pois f(a− a) = f(0) = 0 = f(a) + f(−a) daı´ f(−a) = −f(a). $ Corola´rio 9. f(a− b) = f(a) + f(−b) = f(a) − f(b). b Propriedade 52. Se a e´ invertı´vel enta˜o f(a) e´ invertı´vel e vale f(a−1) = f(a)−1. ê Demonstrac¸a˜o. f(a.a−1) = f(1) = 1 = f(a).f(a−1) enta˜o pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)−1 = f(a−1). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 38 b Propriedade 53. f e´ injetora. ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y tais que f(x) = f(y), logo f(x)−f(y) = 0, f(x−y) = 0, se x 6= y enta˜o x− y seria invertı´vel logo f(x− y) na˜o seria nulo, enta˜o segue que x = y. b Propriedade 54. Se f : A→ B com f(x+ y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x)f(y) para x, y arbitra´rios, enta˜o f(x) = 0 ∀ x ou f(1) = 1. ê Demonstrac¸a˜o. f(1) = f(1.1) = f(1)f(1), logo f(1) = f(1)2 por isso f(1) = 1 ou f(1) = 0. Se f(1) = 0 enta˜o f(x.1) = f(x)f(1) = 0, f(x) = 0 ∀ x. 1.4.5 Questa˜o 5 b Propriedade 55. Se f : Q→ Q e´ um homomorfismo enta˜o f(x) = x ∀ x ∈ Q. ê Demonstrac¸a˜o. Vale que f(x + y) = f(x) + f(y), tomando x = kh e y = h fixo, tem-se f((k+ 1)h) − f(kh) = f(h) aplicamos a soma n−1∑ k=0 de ambos lados, a soma e´ telesco´pica e resulta em f(nh) = nf(h) tomando h = 1 segue que f(n) = n, tomando h = p n segue f(n p n ) = f(p) = p = nf( p n )⇒ f(p n ) = p n . 1.4.6 Questa˜o 6 1.4.7 Questa˜o 7 1.4.8 Questa˜o 8 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 39 b Propriedade 56. Seja K um conjunto onde valem todos os axiomas de corpo, exceto a existeˆncia de inverso multiplicativo. Seja a 6= 0. f : K→ K com f(x) = ax e´ bijec¸a˜o ⇔ ∃ a−1 ∈ K. ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). A func¸a˜o e´ sobrejetora logo existe x tal que f(x) = 1 = ax portanto a e´ invertı´vel com a−1 = x ∈ K.⇐). Dado qualquer y ∈ K tomamos x = ya−1 daı´ f(x) = aa−1y = y e a func¸a˜o e´ sobrejetiva. f tambe´m e´ injetiva, pois se f(x1) = f(x2), ax1 = ax2 implica por lei do corte que x1 = x2.. Em geral f e´ injetiva ⇔ vale a lei do corte por essa observac¸a˜o. b Propriedade 57. Seja K finito. Vale a lei do corte em A ⇔ existe inverso para cada elemento na˜o nulo de K, ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se vale a lei do corte, pela propriedade anterior tem-se que para qualquer a 6= 0 em K, f : K→ K com f(x) = ax e´ injetiva, como f e´ injetiva de K em K que e´ um conjunto finito, enta˜o f e´ bijetiva, o que implica a ser invertı´vel.⇐). A volta e´ trivial pois existeˆncia de inverso implica lei do corte. 1.4.9 Questa˜o 9 Z Exemplo 8. O conjunto dos polinoˆmios de coeficiente racionais Q[t] na˜o e´ um corpo, pois por exemplo o elemento x na˜o possui inverso multiplicativo, se houvesse haveria n∑ k=0 akx k tal que x n∑ k=0 akx k = 1 = n∑ k=0 akx k+1 o que na˜o e´ possı´vel pois o coeficiente do termo independente x0 e´ zero em n∑ k=0 akx k+1 e deveria ser 1. O conjunto dos inteiros Z na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui inverso multipli- cativo para todo elementos, por exemplo na˜o temos o inverso de 2. 1.4.10 Questa˜o 10 b Propriedade 58. Dados x, y ∈ R, x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 40 ê Demonstrac¸a˜o. ⇒).Suponha que x 6= 0, enta˜o x2 > 0 e y2 ≥ 0 de onde segue que x2 + y2 > 0 , absurdo enta˜o deve valer x2 = 0 ⇒ x = 0 logo temos tambe´m y2 = 0⇒ y = 0, portanto x = y = 0.⇐). Basta substituir x = y = 0 resultando em 0. 1.4.11 Questa˜o 11 Z Exemplo 9. A func¸a˜o f : K+ → K+ com f(x) = xn, n ∈ N e´ crescente. Sejam x > y > 0 enta˜o xn > yn pois xn = n∏ k=1 x > n∏ k=1 y = yn, por propriedade de multiplicac¸a˜o de positivos. Se f : Q+ → Q+, Q+ o conjunto dos racionais positivos, enta˜o f na˜o e´ sobrejetiva para n = 2, pois na˜o existe x ∈ Q tal que x2 = 2 ∈ Q+. f(K+) na˜o e´ um conjunto limitado superiormente de K, isto e´, dado qualquer x ∈ K existe y ∈ K+ tal que yn > x. O limitante superior do conjunto, se existisse, na˜o poderia ser um nu´mero negativou ou zero, pois para todo y positivo tem-se yn positivo, que e´ maior que 0 ou qualquer nu´mero negativo. Suponha que x positivo seja, tomando y = x+ 1 temos yn = (x+ 1)n ≥ 1+nx > x, logo f(K+) na˜o e´ limitado superiormente. 1.4.12 Questa˜o 12 b Propriedade 59. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, enta˜o o conjunto F(X,K) munido de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de func¸o˜es e´ um anel comuta-tivo com unidade, na˜o existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comutativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e existeˆncia de inverso aditivo, para adic¸a˜o. valendo tambe´m a comutatividade, associatividade, existeˆncia de unidade 1 para o produto e distri- butividade que relaciona as duas operac¸o˜es. ê Demonstrac¸a˜o. • Vale a associatividade da adic¸a˜o ((f+ g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f+ (g+ h))(x) CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 41 • Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ K e a func¸a˜o constante 0(x) = 0 ∀ x ∈ K, daı´ (g+ 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x). • Comutatividade da adic¸a˜o (f+ g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+ f)(x) • Existe a func¸a˜o sime´trica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e daı´ (g+ f)(x) = g(x) − g(x) = 0. • Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o (f(x).g(x)).h(x) = f(x).(g(x).h(x)) • Existe elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 ∈ K e a func¸a˜o constante I(x) = 1 ∀ x ∈ K, daı´ (g.I)(x) = g(x).1 = g(x). • Comutatividade da multiplicac¸a˜o (f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x) Por u´ltimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x) = (f.g+ f.h)(x). Na˜o temos inverso multiplicativo para toda func¸a˜o, pois dada uma func¸a˜o, tal que f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x 6= 1 em K, na˜o existe func¸a˜o g tal que g(1)f(1) = 1, pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func¸a˜o gera a identidade. 1.4.13 Questa˜o 13 b Propriedade 60. Sejam x, y > 0 . x < y ⇔ x−1 > y−1. ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Como y > x e x−1 e y−1 sa˜o positivos, multiplicamos a desigualdade por x−1y−1 em ambos lados x−1y−1y > x−1y−1x implicando x−1 > y−1, enta˜o se y > x temos 1 x > 1 y .⇐). Se x−1 > y−1 . x, y sa˜o positivos, multiplicamos a desigualdade por xy em ambos lados, de onde segue que y > x. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 42 1.4.14 Questa˜o 14 b Propriedade 61. Sejam a > 0 em K e f : Z → K com f(n) = an. Nessas condic¸o˜es f e´ crescente se a > 1, decrescente se a < 1 e constante se a = 1. ê Demonstrac¸a˜o. Para qualquer n ∈ Z vale f(n+1)−f(n) = an+1−an = an(a−1), an e´ sempre positivo, enta˜o o sinal da diferenc¸a depende do sinal de a− 1. Se a = 1 vale f(n + 1) = f(n) ∀ n ∈ Z logo f e´ constante, se a − 1 < 0, a < 1 enta˜o f(n + 1) − f(n) < 0, f(n + 1) < f(n), f e´ decrescente e finalmente se a − 1 > 0, a > 1 enta˜o f(n+ 1) > f(n) e a func¸a˜o e´ crescente. Perceba que as propriedades citadas valem para todo n ∈ Z, por exemplo no caso de a > 1 temos · · · < f(−4) < f(−3) < f(−2) < f(−1) < f(0) < f(1) < f(2) < f(3) < · · · < f(n) < f(n+1) < · · · analogamente para os outros casos. 1.4.15 Questa˜o 15 Z Exemplo 10. Para todo x 6= 0 real, prove que (1+ x)2n > 1+ 2nx. Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se x < −1 vale 1 + x < 0 pore´m elevando a uma poteˆncia par resulta num nu´mero positivo, por outro lado 2nx < −2n logo 1 + 2nx < 1 − 2n < 0 enta˜o (1 + x)2n e´ positivo e 1+ 2nx e´ negativo, logo nesse caso vale (1+ x)2n > 1+ 2nx . 1.4.16 Questa˜o 16 Z Exemplo 11. Se n ∈ N e x < 1 enta˜o (1 − x)n ≥ 1 − nx, pois de x < 1 segue que −x > −1 e daı´ aplicamos a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n ≥ 1 + ny com y = −x. 1.4.17 Questa˜o 17 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 43 $ Corola´rio 10. Se a e a+ x sa˜o positivos, enta˜o vale (a+ x)n ≥ an + nan−1x. Pois a+ x a = (1 + x a ) > 0 enta˜o podemos aplicar a desigualdade de Bernoulli (1+ y)n ≥ 1+ ny com y = x a , resultando em (a+ x)n ≥ an + nan−1x. Se a 6= 0, arbitra´rio em R, podendo agora ser negativo, substituı´mos y = x a em (1+ x)2n > 1+ 2nx. chegando na desigualdade (a+ x)2n > a2n + a2n−12nx. Se vale x a < 1 enta˜o da desigualdade (1 − y)n ≥ 1 − ny, novamente tomamos y = x a de onde segue (a− x)n ≥ an − an−1nx. 1.4.18 Questa˜o 18 b Propriedade 62. Sejam sequeˆncias (ak) , (bk) em um corpo ordenado K onde cada bk e´ positivo, sendo a1 b1 o mı´nimo e an bn o ma´ximo dos termos da sequeˆncia de termo ak bk enta˜o vale a1 b1 ≤ n∑ k=1 ak n∑ k=1 bk ≤ an bn . ê Demonstrac¸a˜o. Para todo k vale a1 b1 ≤ ak bk ≤ an bn ⇒ bka1 b1 ≤ ak ≤ bkan bn pois bk > 0, aplicamos a soma n∑ k=1 em ambos lados, de onde segue n∑ k=1 bk a1 b1 ≤ n∑ k=1 ak ≤ n∑ k=1 bk an bn CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 44 dividindo por n∑ k=1 bk que e´ positivo, temos finalmente a1 b1 ≤ n∑ k=1 ak n∑ k=1 bk ≤ an bn . 1.4.19 Questa˜o 19 b Propriedade 63 (Multiplicatividade). |a||b| = |a.b| para a e b reais quaisquer. ê Demonstrac¸a˜o. Vale que |x.y|2 = (x.y)2 = x2y2 e (|x||y|)2 = |x|2|y|2 = x2.y2 os quadrados desses nu´meros sa˜o iguais e eles sa˜o na˜o negativos, enta˜o segue que |x.y| = |x||y|. ê Demonstrac¸a˜o.[2] |a.b| = √ (a.b)2 = √ a2.b2 = √ a2. √ b2 = |a||b|. b Propriedade 64. Se x 6= 0 enta˜o | 1 x | = 1 |x| . ê Demonstrac¸a˜o. Vale |x|| 1 x | = | x x | = 1 daı´ | 1 x | e´ inverso de |x|, sendo 1 |x| . $ Corola´rio 11 (Preserva divisa˜o). | x y | = |x| |y| . 1.4.20 Questa˜o 20 b Propriedade 65. n∏ k=1 |ak| = | n∏ k=1 ak| CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 45 ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o, para n = 1 vale, supondo para n nu´meros n∏ k=1 |ak| = | n∏ k=1 ak| vamos provar para n+ 1 n+1∏ k=1 |ak| = | n+1∏ k=1 ak| temos n+1∏ k=1 |ak| = n∏ k=1 |ak|.|an+1| = | n∏ k=1 ak||an+1| = | n∏ k=1 akan+1| = | n+1∏ k=1 ak| . b Propriedade 66 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k) definida para k inteiro ,a, b ∈ Z, enta˜o vale | b∑ k=a g(k)| ≤ b∑ k=a |g(k)|. ê Demonstrac¸a˜o. Para cada k vale −|g(k)| ≤ g(k) ≤ |g(k)| aplicando o somato´rio em ambos lados segue − b∑ k=a |g(k)| ≤ b∑ k=a g(k) ≤ b∑ k=a |g(k)| que implica | b∑ k=a g(k)| ≤ | b∑ k=a |g(k)|| = b∑ k=a |g(k)| pois os termos |g(k)| somados sa˜o na˜o negativos ,logo a soma desses termos e´ na˜o- negativa e o mo´dulo da soma e´ igual a soma. b Propriedade 67. A identidade que provamos acima vale para nu´meros reais, vamos provar agora por induc¸a˜o que se vale |z+w| ≤ |z|+ |w| para quaisquer z,w enta˜o vale | n∑ k=1 zk| ≤ n∑ k=1 |zk| CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 46 de maneira que possa ser usada para nu´meros complexos , normas e outras estru- turas que satisfazem a desigualdade triangular. ê Demonstrac¸a˜o.[2] Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 tem-se | 1∑ k=1 zk| = |z1| ≤ 1∑ k=1 |zk| = |z1| logo vale. Supondo a validade para n | n∑ k=1 zk| ≤ n∑ k=1 |zk| vamos provar para n+ 1 | n+1∑ k=1 zk| ≤ n+1∑ k=1 |zk|. Da hipo´tese da induc¸a˜o somamos |zn+1| em ambos lados, logo | n+1∑ k=1 zk| = |zn+1 + n∑ k=1 zk| ≤ |zn+1|+ | n∑ k=1 zk| ≤ n+1∑ k=1 |zk| Vejamos outras1 demonstrac¸o˜es da desigualdade triangular 1.4.21 Questa˜o 22 Vamos resolver um caso mais geral do problema. m Definic¸a˜o 4 (Mediana). Dada uma sequeˆncia finita (yk)n1 seus termos podem ser rearranjados para forma uma sequeˆncia na˜o-decrescente (xk)n1 . A mediana X˜ e´ definida da seguinte maneira • Se n e´ ı´mpar X˜ = xn+1 2 . • Se n e´ par X˜ = xn 2 +1 + x n 2 2 . 1Essas demonstrac¸o˜es aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as soluc¸o˜es. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 47 Z Exemplo 12. Seja (xk)n1 uma sequeˆncia crescente f : R → R com f(x) = n∑ k=1 |x− xk|. Se x < x1 enta˜o f(x) = −nx+ n∑ k=1 xk logo f e´ decrescente parax < x1. Tomando x > xn f(x) = nx− n∑ k=1 xk logo f e´ crescente para x > xn. Seja agora x ∈ [xt, xt+1), t variando de 1 ate´ n− 1 f(x) = t∑ k=1 (x− xk) − n∑ k=t+1 (x− xk) = (2t− n)x+ t∑ k=1 xk − n∑ k=t+1 xk portanto a func¸a˜o e´ decrescente se t < n 2 e crescente se t > n 2 , de t = 1 ate´ t = bn 2 c em cada intervalo [xt, xt+1) a func¸a˜o e´ decrescente, sendo bn2 c segmentos decrescentes, de t = bn 2 c+ 1 ate´ n− 1, temos n− 1− bn 2 c segmentos crescentes. • Se n e´ ı´mpar f e´ decrescente em [xbn2 c, xbn2 c+1) e crescente em [xbn2 c+1, xbn2 c+2) logo o ponto xbn2 c+1 = xn+12 e´ o u´nico ponto de mı´nimo. • Se n e´ par a func¸a˜o e´ constante em [xn 2 , xn 2 +1), todos os pontos desse intervalo sa˜o pontos de mı´nimo. Em especial o ponto xn 2 + xn 2 +1 2 e´ ponto de mı´nimo. Concluı´mos que um ponto de mı´nimo acontece sempre na mediana da sequeˆncia. Z Exemplo 13. Achar o mı´nimo da func¸a˜o f(x) = n∑ k=1 |x − k| para n ı´mpar e para n par. Trocando n por 2n temos que o mı´nimo acontece no ponto x 2n 2 = xn = n, CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 48 substituı´mos enta˜o tal valor na func¸a˜o 2n∑ k=1 |n− k| = n∑ k=1 |n− k|+ 2n∑ k=n+1 |n− k| = n∑ k=1 (n− k) + 2n∑ k=n+1 (−n+ k) = = n∑ k=1 (n− k) + n∑ k=1 (k) = n∑ k=1 n = n.n = n2. portanto o mı´nimo de 2n∑ k=1 |x− k| e´ n2. • min{|x− 1|+ |x− 2|} = 1 • min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|} = 4 • min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|} = 9 • min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|+ |x− 7|+ |x− 8|} = 16. Agora para n ı´mpar, trocamos n por 2n+1 o mı´nimo acontece no ponto x (2n+1)+1 2 = xn+1 = n+ 1, aplicando na func¸a˜o temos 2n+1∑ k=1 |n+1−k| = n+1∑ k=1 |n+1−k|+ 2n+1∑ k=n+2 |n+1−k| = n+1∑ k=1 (n+1−k)+ 2n+1∑ k=n+2 −(n+1)+k = = n∑ k=1 (n+ 1− k) + n∑ k=1 k = n∑ k=1 (n+ 1) = n(n+ 1). • min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|} = 2 • min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|} = 6 • min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|+ |x− 7|} = 12 • min{|x−1|+ |x−2|+ |x−3|+ |x−4|+ |x−5|+ |x−6|+ |x−7|+ |x−8|+ |x−9|} = 20. 1.4.22 Questa˜o 23 b Propriedade 68. |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε. ê Demonstrac¸a˜o. Partindo da desigualdade |a − b| < ε, somamos |b| a ambos CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 49 lados |a− b|+ |b| < ε+ |b| e usamos agora a desigualdade triangular |a| ≤ |a− b|+ |b| < ε+ |b| daı´ segue |a| ≤ ε+ |b|. Da mesma forma vale se |a − b| < ε enta˜o |b| ≤ ε + |a| ⇒ |b| − ε ≤ |a| e com |a| ≤ ε+ |b|. temos |b|− ε ≤ |a| ≤ ε+ |b|. Vimos que |a− b| < ε implica |a| < |b|+ ε, mas como a ≤ |a| segue a < |b|+ ε. 1.4.23 Questa˜o 24 b Propriedade 69. Dado um corpo ordenado K , sa˜o equivalentes 1. K e´ arquimediano. 2. Z e´ ilimitado superiormente e inferiormente. 3. Q e´ ilimitado superiormente e inferiormente. ê Demonstrac¸a˜o. • 1 ⇒ 2. N ⊂ Z enta˜o Z e´ ilimitado superiormente. Suponha por absurdo que Z seja limitado inferiormente, enta˜o existe a ∈ K tal que a < x ∀ x ∈ Z, logo −a > −x, pore´m existe n natural tal que n > −a⇒ −n︸︷︷︸ ∈Z < a o que contraria a hipo´tese. • 2⇒ 3 . Z ⊂ Q portanto Q e´ ilimitado superiormente e inferiormente. • 3 ⇒ 1 . Para todo y ∈ K existe a b ∈ Q com a, b > 0 naturais tal que a b > y, daı´ a > yb, podemos tomar y = x b , logo a > x, a ∈ N, portanto N e´ ilimitado superiormente e o corpo e´ arquimediano. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 50 1.4.24 Questa˜o 25 b Propriedade 70. Seja K um corpo ordenado. K e´ arquimediado ⇔ ∀ ε > 0 em K existe n ∈ N tal que 1 2n < ε. ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Como K e´ arquimediano, enta˜o ∀ ε > 0 existe n ∈ N tal que n > 1 ε ⇒ n+ 1 > n > 1 ε por desigualdade de Bernoulli temos 2n > n+ 1 > 1 ε ⇒ 1 2n < ε. ⇐). Se ∀ ε > 0 em K existe n ∈ N tal que 1 2n < ε, tomamos ε = 1 x , x > 0 arbitra´rio enta˜o x < 2n, com 2n = m ∈ N enta˜o K e´ arquimediano, N na˜o e´ limitado superiormente. 1.4.25 Questa˜o 26 b Propriedade 71. Seja a > 1, K corpo arquimediano, f : Z→ K com f(n) = an, enta˜o • f(Z) na˜o e´ limitado superiormente. • inf(F(Z)) = 0. ê Demonstrac¸a˜o. • Vale que a > 1 enta˜o a = p + 1 onde p > 0, por desigualdade de Bernoulli temos (p + 1)n ≥ 1 + pn. ∀ x > 0 ∈ K existe n tal que n > x p ⇒ pn > x ⇒ (p+ 1)n ≥ 1+ pn > x, logo f(Z) na˜o e´ limitado superiormente. • 0 e´ cota inferior de f(Z) pois vale 0 < an ∀ n ∈ Z. Suponha que exista x tal que 0 < x < am ∀ m ∈ Z, sabemos que existe n ∈ N tal que an > 1 x daı´ x > 1 an = a−n, absurdo, enta˜o 0 deve ser o ı´nfimo. 1.4.26 Questa˜o 27 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 51 b Propriedade 72. Se s e´ irracional e u 6= 0 e´ racional enta˜o u.s e´ irracional. ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que s e´ irracional e u.s seja racional, enta˜o u.s = p q com p 6= 0 e q 6= 0 inteiros e como u 6= 0 e´ racional ele e´ da forma u = j v , j 6= 0 e v 6= 0, inteiros, logo j v s = p q multiplicando por v j ambos lados segue s = p.v j.q que e´ um nu´mero racional, logo chegamos a um absurdo. b Propriedade 73. Se s e´ irracional e t racional, enta˜o s+ t e´ irracional. ê Demonstrac¸a˜o. Suponha s + t racional, enta˜o s + t = p q daı´ s = p q − t que seria racional por ser diferenc¸a de dois racionais, um absurdo enta˜o segue que s+ t e´ irracional. Z Exemplo 14. Existem irracionais a e b tais que a+b e a.b sejam racionais. Exemplos a = 1+ √ 5 , b = 1− √ 5 daı´ a+ b = 2 e a.b = 1− 5 = −4. 1.4.27 Questa˜o 28 b Propriedade 74. Sejam a, b, c, d racionais enta˜o a+ b √ 2 = c+ d √ 2⇔ a = c e b = d. ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Se a = c e b = d a temos a+ b√2 = c+ d√2.⇒). Suponha a + b√2 = c + d√2 enta˜o a − c = √2(d − b), se d = b enta˜o a = c e terminamos, se na˜o vale que a− c d− b = √ 2 o que e´ absurdo pois √ 2 e´ irracional. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 52 1.4.28 Questa˜o 29 Z Exemplo 15. O conjunto da forma {x + y√p} onde x e y sa˜o racionais e´ subcorpo dos nu´meros reais. • O elemento neutro da adic¸a˜o 0 pertence ao conjunto. Pois 0 = 0+ 0 √ p • O elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 pertence ao conjunto. Pois 1 = 1+0 √ p • A adic¸a˜o e´ fechada. Pois x+ y √ p+ z+w √ p = x+ z+ (y+w) √ p. • O produto e´ fechado. Pois (x+y √ p)(z+w √ p) = xz+xw √ p+yz √ p+y.wp. • Dado x ∈ A implica −x ∈ A. Pois dado x+y√p temos o sime´trico −x−y√p. • Dado x 6= 0 ∈ A tem-se x−1 ∈ A. Pois dado x+ y√p temos inverso x− y √ p x2 − y2p como inverso multiplicativo. Z Exemplo 16. O conjunto dos elementos da forma a+ bα onde α = 3√2 na˜o e´ um corpo pois o produto na˜o e´ fechado, vamos mostrar que α2 na˜o pertence ao conjunto. Suponha que α2 = a+ bα enta˜o α3 = aα+ bα2 = 2 substituindo a primeira na segunda temos que aα+ b(a+ bα) = aα+ ab+ b2α = α(b2 + a) + ab = 2⇒ α(b2 + a) = 2− ab se b2 + a 6= 0 enta˜o α = 2− ab b2 + a o que e´ absurdo pois α e´ irracional, enta˜o devemos ter a = −b2, multiplicamos a expressa˜o aα + bα2 = 2 por α, de onde segue aα2 + 2b = 2α, substituindo α2 = a+ bα nessa u´ltima temos a(a+ bα) + 2b = a2 + abα+ 2b = 2α⇒ α(2− ab) = 2b+ a2 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 53 se 2 6= ab chegamos num absurdo de α = 2b+ a 2 2− ab , temos que ter enta˜o 2 = ab e a = −b2 de onde segue 2 = −b3, pore´m na˜o existe racional que satisfaz essa identidade, daı´ na˜o podemos escrever α2 da forma a + bα com a e b racionais, portanto o produto de elementos na˜o e´ fechado e assim na˜o temos um corpo. 1.4.29 Questa˜o 30 b Propriedade 75. Sejam a, b ∈ Q+. √a + √ b e´ racional ⇔ √a e √b sa˜o racionais. ê Demonstrac¸a˜o.⇒).Se a = b enta˜o 2 √ a ∈ Q o que implica √a = √ b ∈ Q. Agora o caso de a 6= b. Suponha que √ a + √ b e´ racional enta˜o seu inverso tambe´m racional , que e´√ a− √ b a− b , daı´ √ a− √ b ∈ Q , a soma (√a+ √ b)+( √ a− √ b) = 2 √ a ∈ Q logo √a ∈ Q, a diferenc¸a de nu´meros racionais tambe´m e´ um nu´mero racional ( √ a+ √ b) − √ a =√ b, portanto √ a e √ b sa˜o racionais.⇐). A volta vale pois a soma de racionais e´ um racional. 1.4.30 Questa˜o 31 b Propriedade 76. Sejam A ⊂ R na˜o vazio limitado e c ∈ R, enta˜o 1. c ≤ sup(A)⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c− ε < x. 2. c ≥ inf(A)⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c+ ε > x. ê Demonstrac¸a˜o. 1. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c− ε < sup(A). Dado ε > 0 fixo, se na˜o existisse x ∈ A tal que c− ε < x enta˜o c− ε seria cota superior menor que o supremo, o que e´ absurdo, contraria o fato do supremo ser a menor das cotas superiores. ⇐). Suponha por absurdo que fosse c > sup(A), poderı´amos tomar c−sup(A) = ε daı´ c− c+ sup(A) = sup(A) < x o que e´ absurdo. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 54 2. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c+ ε < inf(A). Dado ε > 0 fixo, se na˜o existisse x ∈ A tal que c + ε > x enta˜o c + ε seria cota superior menor que o ı´nfimo, o que e´ absurdo, contraria o fato do ı´nfimo ser a menor das cotas inferiores. ⇐). Suponha por absurdo que fosse c < inf(A), poderı´amos tomar inf(A)−c = ε daı´ x < c+ inf(A) − c = inf(A) o que e´ absurdo. 1.4.31 Questa˜o 32 Z Exemplo 17. Seja A = { 1 n | n ∈ N} . Mostre que infA = 0. Sabemos que 0 e´ uma cota inferior, agora vamos mostrar que 0 e´ a menor delas. Dado 0 < x, x na˜o pode ser cota inferior, pois existe n natural tal que 1 n < x, logo 0 e´ o ı´nfimo. 1.4.32 Questa˜o 33 b Propriedade 77. Se A e´ limitado inferiormente e B ⊂ A enta˜o inf(A) ≤ inf(B). ê Demonstrac¸a˜o. infA e´ cota inferior de A, logo tambe´m e´ cota inferior de B, sendo cota inferior de B vale infA ≤ infB, pois inf B e´ a maior cota inferior de B. b Propriedade 78. Se A e´ limitado superiormente e B ⊂ A enta˜o sup(A) ≥ sup(B). ê Demonstrac¸a˜o. Toda cota superior de A e´ cota superior de B, logo o sup(A) e´ cota superior de B, como sup(B) e´ a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) ≥ sup(B). $ Corola´rio 12. Se A e B sa˜o conjuntos limitados com B ⊂ A enta˜o vale sup(A) ≥ sup(B) ≥ inf(B) ≥ inf(A) pois temos sup(A) ≥ sup(B) e inf(A) ≤ inf(B), tendo ainda que sup(B) ≥ inf(B). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 55 1.4.33 Questa˜o 34 b Propriedade 79. Sejam A,B ⊂ R tais que para todo x ∈ A e todo y ∈ B se tenha x ≤ y. Enta˜o supA ≤ inf B. ê Demonstrac¸a˜o. Todo y ∈ B e´ cota superior de A, logo supA ≤ y para cada y pois supA e´ a menor das cotas superiores, essa relac¸a˜o implica que supA e´ cota inferior de B logo supA ≤ inf B, pois inf B e´ a maior cota inferior. b Propriedade 80. supA = inf B ⇔ para todo ε > 0 dado , existam x ∈ A e y ∈ B com y− x < ε. ê Demonstrac¸a˜o. ⇐, usamos a contrapositiva. Na˜o podemos ter inf B < supA pela propriedade anterior, enta˜o temos forc¸osamente que inf B > supA, tomamos enta˜o ε = inf B− supA > 0 e temos y− x ≥ ε para todo x ∈ A e y ∈ B pois y ≥ inf B e supA ≥ x de onde segue −x ≥ − supA, somando esta desigualdade com a de y tem-se y− x ≥ inf B− supA = ε.⇒ , Se supA = inf B. Enta˜o sendo para qualquer ε > 0, supA − ε 2 na˜o e´ cota superior de A, pois e´ menor que o supA (que e´ a menor cota superior), da mesma maneira infA+ ε 2 na˜o e´ cota inferior de B, enta˜o existem x ∈ A e y ∈ B tais que supA− ε 2 < x ≤ supA = inf B ≤ y < inf B+ ε 2 inf B− ε 2 < x ≤ y < inf B+ ε 2 de onde segue inf B− ε 2 < x, −x < ε 2 − inf B e y < inf B+ ε 2 somando ambas tem-se y− x < ε. 1.4.34 Questa˜o 35 e 36 b Propriedade 81. Se c > 0 enta˜o sup(c.A) = c. supA. ê Demonstrac¸a˜o. Seja a = supA. Para todo x ∈ A tem-se x ≤ a, de onde segue cx ≤ ca, assim ca e´ cota superior de cA. Seja d tal que d < ca enta˜o d c < a logo d c na˜o e´ cota superior de A, implicando a existeˆncia de pelo menos um x tal que d c < x, d < cx de onde segue que d na˜o e´ cota superior de cA, assim ca e´ a menor cota superior de cA logo o supremo. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 56 b Propriedade 82. Se c > 0, inf cA = c infA. ê Demonstrac¸a˜o. Seja a = infA, enta˜o vale a ≤ x para todo x, multiplicando por c segue ca ≤ cx de onde concluı´mos que ca e´ cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, enta˜o a < d c , implicando que d c na˜o e´ cota inferior de A assim existe x ∈ A tal que x < d c ⇒ cx < d, logo d na˜o e´ cota inferior de cA, implicando que c.a e´ a maior cota inferior, logo o ı´nfimo do conjunto. b Propriedade 83. Se c < 0 enta˜o inf(cA) = c supA. ê Demonstrac¸a˜o. Seja a = supA . Tem-se x ≤ a para todo x ∈ A, multiplicando por c segue cx ≥ ca para todo x ∈ A. Enta˜o ca e´ uma cota inferior de cA. Se d > ca tem-se d c < a como a e´ supremo, isso significa que existe x ∈ A tal que d c < x logo d > cx, assim esse d na˜o e´ cota inferior, implicando que ca e´ a menor cota inferior, enta˜o ı´nfimo do conjunto. A questa˜o 35 segue da pro´xima propriedade com c = −1. b Propriedade 84. Se c < 0 enta˜o sup(cA) = c infA. ê Demonstrac¸a˜o. Seja b = infA enta˜o vale b ≤ x para todo x ∈ A, multipli- cando por c segue cb ≥ cx assim cb e´ cota superior de cA. Agora tome d tal que cb > d segue b < d c , como b e´ ı´nfimo existe x ∈ A tal que x < d c , cx > d assim esse d na˜o pode ser cota superior de cA, enta˜o cb e´ a menor cota superior, logo o ı´nfimo. 1.4.35 Questa˜o 37 Item I Sejam A,B ⊂ R, conjuntos limitados . b Propriedade 85. O conjunto A + B = {x + y | x ∈ A,y ∈ B} tambe´m e´ limitado. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 57 ê Demonstrac¸a˜o. Se A e´ limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se B e´ limitado existe u tal que |y| < u ∀ y ∈ B. Somando as desigualdades e usando desigualdade triangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| ≤ |x| + |y| < u + t logo o conjunto A+ B e´ limitado. Item II b Propriedade 86 (Propriedade aditiva). Vale sup(A+ B) = sup(A) + sup(B). ê Demonstrac¸a˜o. Como A,B sa˜o limitidados superiomente, temos supA := a e supB := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A,B respectivamente segue que a+ b ≥ x+ y logo o conjunto A+ B e´ limitado superiormente. Para todo e qualquer ε > 0 existem x, y tais que a < x+ ε 2 , b < y+ ε 2 somando ambas desigualdades-segue-se que a+ b < x+ y+ ε que mostra que a+ b e´ a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo enta˜o sup(A+ B) = sup(A) + sup(B). Item III b Propriedade 87. inf(A+ B) = infA+ inf B. ê Demonstrac¸a˜o. Sejam a = infA e b = infB enta˜o ∀x, y ∈ A,B tem-se a ≤ x, b ≤ y de onde segue por adic¸a˜o a+ b ≤ x+ y, assim a+ b e´ cota inferior de A+ B. ∃x, y ∈ A,B tal que ∀ε > 0 vale x < a + ε 2 e y < b + ε 2 pois a e b sa˜o as maiores cotas inferiores, somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + ε, que implica que a+ b e´ a maior cota inferior logo o ı´nfimo. 1.4.36 Questa˜o 38 m Definic¸a˜o 5 (Func¸a˜o limitada). Seja A ⊂ R, f : A→ R e´ dita limitada quando o conjunto f(A) = {f(x) | x ∈ A}, se f(A) e´ limitado superiormente enta˜o dizemos CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 58 que f e´ limitada superiormente e caso f(A) seja limitado inferiormente dizemos que A e´ limitado inferiormente. Seja uma func¸a˜o limitada f : V → R. m Definic¸a˜o 6. sup f := sup f(V) = sup{f(x) | x ∈ V} m Definic¸a˜o 7. inf f := inf f(V) = inf{f(x) | x ∈ V} b Propriedade 88. A func¸a˜o soma de duas func¸o˜es limitadas e´ limitada. ê Demonstrac¸a˜o. Vale |f(x)| ≤M1 e |g(x)| ≤M2 ∀ x ∈ A enta˜o |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤M1 +M2 =M portando a func¸a˜o soma f + g de duas
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