raciocinio logico modulo completo

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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS 
| APOSTILA 2016 – Prof. Thiago Pacífico 
 
 
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 
CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 
1 
 
OS: 0243/9/16-Gil 
CONCURSO: Diversos Concursos 
 
ASSUNTO: RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
ÍNDICE: 
 NOSSAS REDES SOCIAS – MAIS SOBRE NOSSOS CURSOS!........................................................01 
 
 IMPLICAÇÃO LÓGICA E REGRAS DE DEDUÇÃO..........................................................................02 
Diagramas Lógicos.....................................................................................................................02 
Estruturas Lógicas......................................................................................................................06 
Questões de Concursos..............................................................................................................10 
Gabarito.....................................................................................................................................17 
 
 ESTRUTURAS LÓGICAS BÁSICAS: PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS; EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 
(PASSO-A-PASSO).......................................................................................................................18 
 
 ESTRUTURAS LÓGICAS BÁSICAS: PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS; EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 
(RESUMO TEÓRICO)...................................................................................................................30 
Questões de Concursos..............................................................................................................42 
Gabarito.....................................................................................................................................49 
 
 ARITMÉTICA BÁSICA E RELAÇÃO DE ORDEM NOS INTEIROS....................................................50 
 
 NOÇÕES BÁSICAS DE CONJUNTOS............................................................................................55 
Questões de Concursos..............................................................................................................62 
Gabarito.....................................................................................................................................68 
 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA/PROBLEMAS BÁSICOS DE CONTAGEM...........................................69 
Questões de Concursos..............................................................................................................79 
Gabarito.....................................................................................................................................87 
 
 
ACESSE NOSSAS REDES SOCIAIS! =D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS 
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OS: 0243/9/16-Gil 
ORGANIZADORA: IFCE 
 
ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO / AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO: 
 Estruturas lógicas básicas: Proposições e Conectivos; 
 Implicação e equivalência lógicas; 
 Regras de dedução; 
 Aritmética básica e relação de ordem nos inteiros; 
 Noções básicas de conjuntos; 
 Análise combinatória / Problemas básicos de contagem. 
 
 
IMPLICAÇÃO LÓGICA E REGRAS DE DEDUÇÃO 
 
 
“As pessoas mais felizes não têm as melhores coisas. Elas sabem fazer o melhor das 
oportunidades que aparecem em seus caminhos.” 
CLARICE LISPECTOR 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
 
QUANTIFICADORES 
 
São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. 
Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir 
para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. 
 
TIPOS DE QUANTIFICADORES 
a) Quantificador existencial: 
É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a 
proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. 
É indicado pelo símbolo “”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”. 
Exemplo: 
(p) xR / x  3 
(q) Existe dia em que não chove. 
 
b) Quantificador universal: 
É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição 
dada para que esta seja considerada verdadeira. 
É indicado pelo símbolo “”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”. 
Exemplo: 
(m) xR  x  5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”) 
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá. 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
NENHUM (~) 
 
Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe 
um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”. 
Ex.: 
 
A: “Nenhum advogado é bancário” 
 
 
 
 
 
 
ALGUM () 
 
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, 
ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo 
a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”. 
Ex.: 
B: “Algum advogado é bancário” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TODO () 
 
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento 
está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A. 
Ex.: 
C: “Todo advogado é bancário” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
 
EXEMPLOS 
 
01. Considere que os argumentos são verdadeiros: 
 Todo comilão é gordinho; 
 Todo guloso é comilão; 
Com base nesses argumentos, é correto afirmar que: 
a) Todo gordinho é guloso. 
b) Todo comilão não é guloso. 
c) Pode existir gordinho que não é guloso. 
d) Existem gulosos que não são comilões. 
e) Pode existir guloso que não é gordinho. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Do enunciado temos os conjuntos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso. 
 
 
02. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos 
logicamente concluir que: 
a) não pode haver cientista filósofo. 
b) algum filósofo é cientista. 
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. 
d) alguns cientistas não são filósofos. 
e) nenhum filósofo é objetivo. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dadas as premissas: 
 A: “todos os cientistas são objetivos” 
 B: “alguns filósofos são objetivos” 
Sejam 
 O – Objetivos 
 C – Cientistas 
 F – Filósofos 
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica 
necessariamente que “esse filósofo será objetivo”, pois “todo cientista é objetivo”. 
 
Resposta: C 
 
O 
CF 
O 
C F 1
o
 2
o
 3
o
 
O 
F C 
GULOSO 
COMILÃO 
GORDINHO 
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OS: 0243/9/16-Gil 
03. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir 
logicamente que: 
a) nenhum cronópio é fama. 
b) não existe cronópio que seja fama. 
c) todos os cronópios são famas. 
d) nenhum fama é cronópio. 
e) algum cronópio não é fama. 
 
SOLUÇÃO: 
Dada a premissa: 
 A: “Nem todos os cronópios são famas” 
Sejam 
 C – Cronópios 
 F – Famas 
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que 
não é fama”. 
Resposta: E 
 
04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: 
a) Alguns A não é G. 
b) Algum A é G. 
c) Nenhum A é G. 
d) Algum G é A. 
e) Nenhum G é A. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que 
nunca serão G. 
 
Resposta: A 
 
 
OBS.: 
 
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas 
como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar. 
 
 
05. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum politico é honesto” e que “alguns advogados são 
honestos”. Dessa forma, aponte o único item errado. 
a) É possível que alguns politicos sejam advogados. 
b) Alguns advogados não são politicos. 
c) É impossível que algum advogado seja político. 
d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado. 
e) Pode ou não haver advogado político. 
 
 
 
 
 
 
 
C F 1
o
 2
o
 C F 
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OS: 0243/9/16-Gil 
SOLUÇÃO: 
 
Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cuidado! Não podemos afirmar que “existe A que é P”, nem tão pouco dizer que “não existe A que é P”. O fato 
é que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que “é possível existir um A que seja P”, ou 
ainda, “é possível que não exista A que seja P”. Então, será errado dizer que “é impossível que um A seja P”. 
Resposta: C 
 
 
 
ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
 
INVESTIGANDO 
 
As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das 
provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer 
que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, 
objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das 
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. 
 
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar 
novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de 
pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um 
conhecimento. 
 
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas 
pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, 
sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se 
todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não 
haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer 
suposisções para chegarmos as conclusões. 
 
 
IDENTIFICANDO CADA CASO 
 
Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas 
informações, com base nas informações fornecidas no enunciado. 
 
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação 
ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles. 
 
 
1º CASO – SOMENTE VERDADES: ORDENAÇÕES 
 
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, 
datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar 
os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado. 
 
P 
A 
H 
1
o
 2
o
 
P 
A 
H 
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Exemplo: 
 
Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que 
Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, 
Determine quem mora no 2º andar. 
a) Heitor 
a) Erick 
d) Fred 
e) Giles 
 
SOLUÇÃO: 
 
Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores. 
Inicialmente como “Erick mora acima de todos”, então ele mora no 4º andar. 
Como “Fred mora acima de Heitor” e “Heitor não mora no 1º andar”, então Heitor tem que morar no 2º andar e 
Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. 
Por exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de “morar abaixo de Fred”. 
 
 
 
 
2º CASO – SOMENTE VERDADES: ASSOCIAÇÃO 
 
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em 
uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações ou características e as linhas 
tratam das pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das 
pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. 
 
Exemplo: 
 
(FCC) Em 2015, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada um para um 
local diferente. Sabe-se que: 
 
 seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior do Estado; 
 as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alugada; 
 o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada; 
 Carlos foi a uma cidade do interior; 
 Alfredo não foi à praia; 
 Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos. 
 
Nessas condições, é verdade que 
a) Aquele que foi às montanhas hospedou-se em um hotel. 
b) Alfredo alugou uma casa. 
c) Benício foi às montanhas. 
d) Carlos hospedou-se em uma pousada. 
e) Aquele que foi à cidade hospedou-se em uma pousada. 
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OS: 0243/9/16-Gil 
SOLUÇÃO: 
 
1) Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos 
 
 Destinos Acomodações 
 praia montanha interior pousada hotel casa alugada 
Alfredo 
Benício 
Carlos -2) Alfredo não foi à praia 
 
 Destinos Acomodações 
 praia montanha interior pousada hotel casa alugada 
Alfredo - 
Benício 
Carlos - 
 
 
3) Carlos foi a uma cidade do interior 
 
 Destinos Acomodações 
 praia montanha interior pousada hotel casa alugada 
Alfredo - ok - 
Benício ok - - 
Carlos - - ok - 
 
 
4) O técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada 
 
 Destinos Acomodações 
 praia montanha interior pousada hotel casa alugada 
Alfredo - ok - - ok - 
Benício ok - - ok - - 
Carlos - - ok - - ok 
 
 
Então: 
 
 Alfredo – montanha – hotel 
 Benício – praia – pousada 
 Carlos – interior – casa alugada 
 
 
Resposta: A 
 
 
3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: HIPÓTESES 
 
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da 
análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um “delegado” procurar descobrir 
quem é o verdadeiro culpado entre cinco suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que 
cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou 
rejeitar a hipótese. 
 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
Exemplo: 
 
(ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um 
funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: 
 
- “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. 
- “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. 
- “Foi a Mara”, disse Manuel. 
- “O Mário está mentindo”, disse Mara. 
- “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. 
 
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar 
foi: 
a) Mário 
b) Marcos 
c) Mara 
d) Manuel 
e) Maria 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dados da questão: 
 
 Uma declaração é falsa 
 Quatro declarações são verdadeiras 
 
 Suspeitos 
D
e
c
la
ra
ç
õ
e
s
 
 
 
 
 
 
1) Marcos culpado (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS – NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 
 
 
 
2) Mário culpado (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS – NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
3) Manuel culpado (1 VERDADEIRAS E 4 FALSAS – NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 
 
 
 
4) Mara culpada (4 VERDADEIRAS E 1 FALSAS – SATISFAZ A CONDIÇÃO) 
 
 
 
5) Maria culpada (2 VERDADEIRAS E 3 FALSAS – NÃO SATISFAZ A CONDIÇÃO) 
 
 
 
Então: 
 
 Mara entrou sem pagar 
 
Resposta: C 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto 
são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os 
professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, 
professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de 
piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então: 
 
a) nenhum professor de violão é professor de canto 
b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro 
c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro 
d) todos os professores de piano são professores de canto 
e) todos os professores de piano são professores de violão 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
02. (FCC) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então, também é 
necessariamente verdade que 
a) nenhum músico é escritor 
b) algum escritor é músico 
c) algum músico é escritor 
d) algum escritor não é músico 
e) nenhum escritor é músico 
 
03. (FCC) É bem conhecido que os marcianos tem pelo menos uma cabeça. Um cientista assegura: "Todo 
marciano tem exatamente duas cabeças". Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das 
seguintes afirmações é necessariamente correta? 
a) Não há marciano com duas cabeças. 
b) Todo marciano, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças. 
c) Há um marciano que tem somente uma cabeça. 
d) Há um marciano que tem mais de duas cabeças. 
e) Há um marciano que, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças. 
 
04. (FCC) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia 
não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é 
que seja verdadeira a seguinte proposição: 
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
05. (FCC) Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B, segue, necessariamente, que: 
a) nenhum A é C. 
b) alguns A são C. 
c) alguns C são A. 
d) alguns C não são A. 
e) nenhum C é A. 
 
06. (FCC) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e 
Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São 
Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu 
curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e 
Priscila são, pela ordem: 
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo 
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo 
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo 
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis 
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis 
 
07. (FCC) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um 
funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: 
 
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. 
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. 
– “Foi a Mara”, disse Manuel. 
– “O Mário está mentindo”, disse Mara. 
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. 
 
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem 
pagar foi: 
a) Mário 
b) Marcos 
c) Mara 
d) Manuel 
e) Maria 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
08. (FCC) O setor de fiscalização da secretaria de meio ambiente de um município é composto por seis fiscais, 
sendo três biólogos e três agrônomos. Para cada fiscalização, é designada uma equipe de quatro fiscais, 
sendo dois biólogos e dois agrônomos. São dadas a seguir as equipes para as três próximas fiscalizaçõesque serão realizadas. 
 
Fiscalização 1 Fiscalização 2 Fiscalização 3 
Celina Tânia Murilo 
Valéria Valéria Celina 
Murilo Murilo Rafael 
Rafael Pedro Tânia 
 
Sabendo que Pedro é biólogo, é correto afirmar que, necessariamente, 
a) Valéria é agrônoma. 
b) Tânia é bióloga. 
c) Rafael é agrônomo. 
d) Celina é bióloga. 
e) Murilo é agrônomo. 
 
09. (FCC) Em relação às pessoas presentes em uma festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual temos: 
 
 
 
P: conjunto das pessoas presentes nessa festa; 
M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo masculino; 
C: conjunto das crianças presentes nessa festa. 
 
Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na festa que são do sexo feminino está representado 
em cinza. 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
10. (FCC) Um jornal publicou a seguinte manchete: 
 
“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.” 
 
Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das 
sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: 
a) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. 
b) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo. 
c) Qualquer Agência do banco do Brasil não tem déficit de funcionários. 
d) Nenhuma Agência do banco do Brasil tem déficit de funcionários. 
e) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. 
 
 
11. (FCC) Em 2010, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada um para 
um local diferente. Sabe-se que: 
 
 seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior do Estado; 
 as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alugada; 
 o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada; 
 Carlos foi a uma cidade do interior; 
 Alfredo não foi à praia; 
 Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos. 
 
Nessas condições, é verdade que 
a) Aquele que foi às montanhas hospedou-se em um hotel. 
b) Alfredo alugou uma casa. 
c) Benício foi às montanhas. 
d) Carlos hospedou-se em uma pousada. 
e) Aquele que foi à cidade hospedou-se em uma pousada. 
 
 
12. (FCC) Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 
anos”? 
a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 
b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. 
c) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. 
d) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 
e) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 
 
13. (CESGRANRIO) Uma pesquisa foi feita em uma sala de aula para saber qual a utilização do jornal impresso 
e da TV na obtenção de notícias. 
Na figura abaixo, o retângulo representa a sala. O círculo da esquerda representa as pessoas dessa sala que 
se informam através do jornal impresso. O círculo da direita representa as pessoas dessa sala que se 
informam através da TV. 
 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas abaixo sobre as regiões assinaladas na figura. 
 
I. A região P corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam o jornal impresso, mas não 
utilizam a TV. 
II. A região Q corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam o jornal impresso e a TV. 
III. A região R corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam ou a TV ou o jornal 
impresso. 
 
 
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Está correto APENAS o que se afirma em 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e II. 
e) II e III 
 
 
14. (FCC) Considere verdadeira a seguinte afirmação: 
 
“Todas as mulheres casadas gostam de viajar.” 
 
Com base na afirmação acima, conclui-se que 
a) Alice gosta de viajar. 
b) se uma mulher é solteira, então gosta de viajar. 
c) Maria, que é solteira, não gosta de viajar. 
d) Murilo não gosta de viajar. 
e) a esposa de Murilo gosta de viajar. 
 
 
15. (CESGRANRIO) A negação de “Todos os elementos do conjunto A são números positivos” é: 
a) Todos os elementos do conjunto A são números negativos. 
b) Todos os elementos do conjunto A não são números positivos. 
c) Pelo menos um dos elementos do conjunto A é um número negativo. 
d) Pelo menos um dos elementos do conjunto A não é um número positivo. 
e) Pelo menos um dos elementos do conjunto A é o zero. 
 
 
16. (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, 
Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntamos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: 
 
- Armando: “Sou inocente”. 
- Celso: “Edu é o culpado”. 
- Edu: “Tarso é o culpado”. 
- Juarez: “Armando disse a verdade”. 
- Tarso: “Celso mentiu”. 
 
 
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se 
concluir que o culpado é: 
a) Armando 
b) Edu 
c) Celso 
d) Juarez 
e) Tarso 
 
 
17. (FCC) Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são 
Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que 
a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. 
b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves. 
c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. 
d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. 
e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves. 
 
 
 
 
 
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18. (IFCE) Um arquipélago é formado por cinco ilhas, A, B, C, D e E. Na tabela abaixo, foi colocada a letra P, 
para indicar que existe uma ponte (a única forma de ir de carro de uma ilha pra outra) entre as ilhas de cada 
coluna e linha consideradas, e N, para indicar que não há uma ponte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessas condições, é verdade que, de carro: 
a) não se pode ir da ilha B para a ilha C. 
b) não se pode ir da ilha D para a ilha E. 
c) não se pode ir da ilha A para a ilha E. 
d) pode-se ir da ilha A para a ilha D. 
e) pode-se ir da ilha B para a ilha E. 
 
 
 
19. (IFCE) Em cada um dos círculos ao lado, deve aparecer o número 1, 2, 3 ou 4, respeitando a regra de que 
números iguais não devem aparecer na mesma linha, na mesma coluna, nem no mesmo quadrado menor. 
Nessas condições, a soma dos números que devem ser colocados nos círculos sombreados é: 
 
 
 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
e) 12. 
 
 
20. (IFCE) No jogo de menos-dobra, cada jogador escolhe um número natural e, em cada uma das etapas 
seguintes, os números dos jogadores são divulgados. Aqueles que tiverem o menor número têm o seu 
número multiplicado por 2. O vencedor da etapa é aquele que estiver com o maior número. No começode um 
jogo de menos-dobra, Hugo, José e Luís escolheram os números 3, 7 e 24, respectivamente. A quinta etapa 
terá como vencedor(es): 
a) apenas Luís. 
b) apenas José. 
c) Hugo e José. 
d) Hugo e Luís. 
e) José e Luís. 
 
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21. (IFCE) Sabendo-se que todos os plircs são zanetos, que todos os amatis são plircs e que existem alguns 
zanetos que não são plircs, então, necessariamente: 
a) todos os zanetos são plircs. 
b) todos os plircs são amatis. 
c) existem amatis que não são plircs. 
d) existem plircs que não são amatis. 
e) existem zanetos que não são amatis. 
 
22. (IFCE) Em uma mesa, havia 10 xícaras vazias. Clara colocou leite em sete dessas xícaras e café em cinco 
das xícaras. Assim, com certeza: 
a) não há nenhuma xícara vazia. 
b) não há nenhuma xícara com café e leite. 
c) há, pelo menos, duas xícaras com café e leite. 
d) há, no máximo, duas xícaras com café e leite. 
e) há, pelo menos, três xícaras vazias. 
 
23. (IFCE) Cinco números de três dígitos tiveram seus algarismos trocados por símbolos, de tal forma que 
algarismos iguais foram substituídos por símbolos iguais. O resultado da substituição aparece no quadro 
abaixo. 
 
↑ ≡ ↑ ≡ ○ + × ○ □ □ ×↑ × + ∆ 
 
Se quatro desses números são 125, 358, 437 e 717, que não aparecem necessariamente nessa ordem, o 
outro número é: 
a) 245. 
b) 324. 
c) 438. 
d) 592. 
e) 818. 
 
24. (IFCE) Beatriz tem um cartão verde, um cartão vermelho e um cartão azul. Em cada cartão, há exatamente 
um número (10, 20 ou 30) e uma letra (X, Y ou Z). São feitas as seguintes afirmações sobre esses cartões: 
 
- O número no cartão verde é menor que o do cartão vermelho, o qual é menor que o do cartão azul. 
- Y e 20 estão no mesmo cartão. 
- X e 10 não estão no mesmo cartão. 
 
Nessas condições, é verdade que 
a) X está no cartão verde. 
b) Y não está no cartão vermelho. 
c) Z e 30 estão no mesmo cartão, que não é azul. 
d) X pode estar no cartão com 20 ou com 30, mas não se tem como saber em qual. 
e) Y está num cartão que tem um número maior que o cartão de Z. 
 
25. (IFCE) No quadro abaixo, cada letra X deve ser substituída por um número do conjunto {1, 2, 3, 4}, de modo 
que não apareçam números iguais em uma mesma linha nem em uma mesma coluna. 
 
 
 
Ao final da correta substituição, teremos que a soma dos números nos quadros sombreados é: 
a) 10. 
b) 11. 
c) 12. 
d) 13. 
e) 14. 
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26. (IFCE) Sabendo-se que todos os riláceos são polibas, que nenhum poliba é ceteu e que todos os ceteus são 
altarves, é correto concluir-se que 
a) nenhum riláceo é altarve. 
b) todos os riláceos são altarves. 
c) existem polibas que não são riláceos. 
d) existem altarves que não são ceteus. 
e) nenhum riláceo é ceteu. 
 
27. (IFCE) Em Pamonholândia, há dois tipos de pessoas: as que sempre mentem e as que sempre falam a 
verdade. Em um ano de eleições, três candidatos A, B e C, afirmaram: 
 
– Candidato A: “o candidato B é mentiroso”. 
– Candidato B: “o candidato C é mentiroso”. 
– Candidato C: “A é mentiroso ou B é mentiroso”. 
 
É correto afirmar-se que 
a) o candidato a fala a verdade. 
b) o candidato b fala a verdade. 
c) o candidato c é mentiroso. 
d) dois dos candidatos são mentirosos. 
e) os três candidatos são mentirosos. 
 
28. (IFCE) Um caixa eletrônico dispõe apenas de notas de 2 reais e 5 reais. Sobre saques nesse caixa, é correto 
afirmar-se que: 
a) é possível realizar um saque de 11 reais de uma única maneira. 
b) não é possível realizar um saque de 21 reais. 
c) é possível realizar um saque de 19 reais de três modos diferentes. 
d) não é possível realizar um saque de 91 reais. 
e) é possível realizar um saque de 17 reais de quatro modos diferentes. 
 
29. (IFCE) Sabendo que todos os tituflas são rifletas, alguns tituflas são filingos e nenhum filingo é simpleto, 
podemos concluir corretamente que: 
a) alguns simpletas são rifletas. 
b) nenhum titufla é simpleta. 
c) alguns rifletas não são simpletas. 
d) alguns filingos não são rifletas. 
e) nenhum rifleta é filingo. 
 
30. (IFCE) Rachel, Inácio, Felipe, Elaine e Ícaro foram os cinco últimos alunos a entregar a prova ao professor, 
que verificou também que Rachel entregou antes de Elaine e Felipe, Elaine entregou antes de Ícaro, Inácio 
entregou a prova antes de Rachel, e Ícaro não foi o último a entregar. Nessas condições, podemos concluir 
que o antepenúltimo a entregar a prova foi: 
a) Rachel. 
b) Inácio. 
c) Felipe. 
d) Elaine. 
e) Ícaro. 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
A D E C D C C A A E 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A D D E D E D C C B 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
E C B E C E A A C D 
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ESTRUTURAS LÓGICAS BÁSICAS: PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS; 
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS (PASSO-A-PASSO) 
 
 
“Não faz mal que seja pouco, o que importa é que o avanço de hoje seja maior que o de 
ontem. Que nossos passos de amanhã sejam mais largos que o de hoje.” 
 DAISAKU IKEDA 
 
O conceito mais elementar no estudo da lógica – é o de Proposição. 
 Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos – 
e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. 
 Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é 
verdadeiro. 
Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis 
juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc.). São outros 
exemplos de proposições, as seguintes: 
 
p: Pedro é médico. 
q: 5 < 8 
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. 
 
 Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que 
não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se 
entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: 
 
 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); 
 Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição); 
 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). 
 
Proposições podem ser ditas simples ou compostas. 
 
Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada 
mais fácil de ser entendido. 
 
 Todo homem é mortal. 
 O novo papa é alemão. 
 
Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos 
diante de uma proposição composta. Exemplos: 
 
 João é médico e Pedro é dentista. 
 Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. 
 Ou Luís é baiano, ou é paulista. 
 Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. 
 Comprarei uma mansãose e somente se eu ganhar na loteria. 
 
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que 
poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de 
nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. 
 
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas 
coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une. 
 
 
 
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CONECTIVO “e” (conjunção) 
 
 Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, 
esse conectivo pode ser representado por “”. Então, se temos a sentença: 
 “Marcos é médico e Maria é estudante” 
... poderemos representá-la apenas por: p  q 
onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. 
 
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só 
será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. 
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta 
proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é 
estudante. 
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e 
a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as 
proposições componentes forem falsas. 
Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. 
Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. 
Retomemos as nossas premissas: 
 
p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. 
 
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é 
estudante) será também verdadeira. Teremos: 
 
 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p  q 
V V V 
 
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: 
 
 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p  q 
V F F 
 
Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: 
 
 
 
 
 
 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p  q 
F V F 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p  q 
F F F 
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Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há! 
Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma 
proposição composta com a presença do conectivo “e”. 
Teremos: 
TABELA VERDADE 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “p 
e q” corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos: 
 
 Passemos ao segundo conectivo. 
 
CONECTIVO “ou” (disjunção não excludente) 
 
 Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo 
ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”. Portanto, se temos a sentença: 
 
 “Marcos é médico ou Maria é estudante” 
 
... então a representaremos por: p  q. 
 
 Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos 
lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.” 
Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! 
Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e 
resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que 
cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o 
presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. 
 
Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas 
falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações: 
 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p  q 
V V V 
 
Ou: 
 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p  q 
V F V 
 
 
 
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 Ou: 
 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p  q 
F V V 
 
 Ou, finalmente: 
 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p  q 
F F F 
 
Juntando tudo, teremos: 
 
TABELA VERDADE 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! 
 Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do q – são 
exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora 
representa um “ou”, a disjunção. 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p 
ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, 
 
 
 
CONECTIVO “ou... ou...” (disjunção exclusiva) 
 
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas 
com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: 
 
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 
 
“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 
 
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a 
primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) 
também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será 
dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será 
dada a bola. 
 
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas 
uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. 
 
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Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, 
falsas. 
 
Na segunda sentençaacima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois 
conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente 
falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva. 
 
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua 
exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra 
falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. 
 
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte: 
 
TABELA VERDADE 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
CONECTIVO “Se... então...” (condicional) 
 
Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: 
 
 Se Pedro é médico, então Maria é dentista. 
 Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. 
 
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar 
nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença. 
 
Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. 
 
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua 
cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. 
 
Por exemplo: 
 
 Se nasci em Belém, então sou paraense. 
 Se nasci em Niterói, então sou fluminense. 
 
E assim por diante. Pronto? 
 
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de 
essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. 
 
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. 
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então 
este conjunto estará todo falso. 
 
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne 
um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário. 
 
Uma condição suficiente gera um resultado necessário. 
 
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, 
então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. 
 
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Teremos: 
 
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: 
“Se Pedro for rico, então Maria é médica” 
 
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro 
seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma: 
 
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a: 
“Se Pedro for rico, então Maria é médica” 
 
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da 
proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. 
Não podemos, pois esquecer disso: 
 
Uma condição suficiente gera um resultado necessário. 
 
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela 
via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário 
não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a 
condicional será verdadeira. 
 
A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: p → q. 
Na proposição “Se p, então q”, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é 
dita consequente. 
 
Teremos: 
 
TABELA VERDADE 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição 
condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): 
 
 
 
CONECTIVO “...se e somente se ...” (bicondicional) 
 
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças 
simples. 
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: 
 
“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. 
 
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É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: 
 
“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”. 
 
Ou ainda, dito de outra forma: 
 
“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”. 
 
São construções de mesmo sentido! 
 
Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa 
somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá 
duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos 
verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa. 
 
Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p ↔ q”, então nossa tabela-verdade será 
a seguinte: 
TABELA VERDADE 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição 
bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. 
 
 
 
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: “se p 
então q e se q então p”, ou seja, 
 
“p ↔ q” é a mesma coisa que “(p → q) e (q → p)” 
 
 
PARTÍCULA “não” (negação) 
 
Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. 
 
No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da 
sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: 
 
 João é médico. Negativa: João não é médico. 
 Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante. 
 
Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar 
a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim: 
 
 João não é médico. Negativa: João é médico. 
 Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante. 
 
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Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques! 
 
O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a 
frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. 
Teremos: 
p ~p 
V F 
F V 
 
 
Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões: 
 
 Não é verdade que A. 
 É falso que A. 
Daí as seguintes frases são equivalentes: 
 
 Lógica não é fácil. 
 Não é verdade que Lógica é fácil. 
 É falso que Lógica é fácil. 
 
 
NEGATIVA DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
 
Oque veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já sabemos negar 
uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura 
em que se encontra essa proposição. 
 
Veremos, pois, uma a uma: 
 
 Negação de uma Proposição Conjuntiva: (p e q) 
 
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 
 
1) Negaremos a primeira (~p); 
2) Negaremos a segunda (~q); 
3) Trocaremos e por ou. 
 
E só! 
 
Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que encontremos, 
entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida. 
 
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade que...” é nada 
mais nada menos que negar o que vem em seguida. 
 
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! 
 
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima: 
 
1º - Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico” 
2º - Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista” 
3º - Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte: 
 
 “João não é médico ou Pedro não é dentista”. 
 
 
 
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Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: 
 
~(p  q) = ~p  ~q 
 
 
TABELA VERDADE 
p q p  q ~(p  q) ~p ~q ~p  ~q 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
 Negação de uma Proposição Disjuntiva: (p ou q) 
 
 Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) 
 
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 
 
1º - Negaremos a primeira (~p); 
2º - Negaremos a segunda (~q); 
3º - Trocaremos ou por e. 
 
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não 
é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”. 
 
 Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo 
negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, 
faremos: 
 
1º - Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista” 
2º - Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro” 
3º - Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: 
 
“Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”. 
 
Na linguagem apropriada, concluiremos que: 
 
~(p  q) = ~p  ~q 
 
TABELA VERDADE 
p q p  q ~(p  q) ~p ~q ~p  ~q 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
 
 Negação de uma Proposição Condicional: (p → q) 
 
Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é 
que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 
 
1º - Mantém-se a primeira parte; e 
2º - Nega-se a segunda. 
 
 
 
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Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”? 
 
1º - Mantendo a primeira parte: “Chove” e 
2º - Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”. 
 
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”. 
 
Na linguagem lógica, teremos que: 
 
~(p → q) = p  ~q 
 
 
TABELA VERDADE (1) 
p q p → q ~(p → q) 
V V V F 
V F F V 
F V V F 
F F V F 
 
 
TABELA VERDADE (2) 
p q ~q p  ~q 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
 
 
Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja, 
ambas apresentam a sequência F V F F, o que significa que ~(p → q) = p  ~q . 
 
Na sequência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este 
momento. 
 
Vejamos: 
 
Estrutura 
lógica 
É verdade quando É falso quando 
p  q p e q são ambos, verdade um dos dois for falso 
p  q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos 
p → q nos demais casos p é verdade e q é falso 
p ↔ q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes 
~p p é falso p é verdade 
 
 
 Negativas das Proposições Compostas: 
 
negação de (p e q) é ~p ou ~q 
negação de (p ou q) é ~p e ~q 
negação de (p → q) é p e ~q 
negação de (p ↔ q) é [(p e ~q) ou (q e ~p)] 
 
 
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TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES 
 
 
 TAUTOLOGIA 
 
Considere a proposição composta: 
s: (p  q) → (p  q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. 
 
Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, 
teremos: 
 
p q p  q p  q (p  q) → (p  q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
 
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição 
composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. 
 
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: 
 
 p: O Sol é um planeta (valor lógico F) 
 q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), 
 
Podemos concluir que a proposição composta 
 
s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta 
plano" é uma proposição logicamente verdadeira. 
 
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição 
composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. 
 
 
 CONTRADIÇÃO 
 
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que 
ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. 
 
Exemplo: 
 
A proposição composta t: p  ~p é uma contradição, senão vejamos: 
 
p ~p P  ~p 
V F F 
F V F 
 
 
Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira. 
 
 CONTINGÊNCIA 
 
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter o valor lógico 
verdadeiro ou falso. 
 
 
 
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PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA 
 
Nesse caso, as proposições não são nem Tautologia nem Contradição. 
 
Exemplo: Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p  q)  r, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2
n
 linhas. 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q r (p  q) (p  q)  r 
V V V V V 
V V F V V 
V F V F V 
V F F F F 
F V V F V 
F V F F F 
F F V F V 
F F F F F 
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ESTRUTURAS LÓGICAS BÁSICAS: PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS; 
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS (RESUMO TEÓRICO) 
 
 
 “O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.” 
ALBERT EINSTEIN 
 
 “A sabedoria é saber o que se deve fazer; a virtude é fazê-lo.” 
DAVID STARR JORDAN 
 
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) 
 
 
 não 
 e 
 ou 
→ se ... então 
↔ se e somente se 
 tal que 
 Implica 
 Equivalente 
 Existe 
  existe um e somente um 
 qualquer que seja 
 
 O MODIFICADOR NEGAÇÃO 
 
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se "não p" ). 
 
Exemplo 1: 
 q: “Thiago Pacífico é magro” 
 ~q: “Thiago Pacífico não é magro” 
 ~q: “Não é verdade que Thiago Pacífico é magro” 
 
Exemplo 2: 
 s: “Fernando Castelo Branco é honesto” 
 ¬s: “Fernando Castelo Branco não é honesto” 
 ¬s: “Não é verdade que Fernando Castelo Branco é honesto” 
 ¬s: “Fernando Castelo Branco é desonesto” 
 
OBS.: 
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. 
 p: “Lidiane Coutinho dirige bem” 
 ~p: “Lidiane Coutinho não dirige bem” 
 ~(~p): “Não é verdade que Lidiane Coutinho não dirige bem” 
 
 
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 ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS 
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , → e ↔, dando origem 
ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos 
então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p → q, p ↔ q. 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: 
 CONJUNÇÃO: p q (lê-se "p e q" ) 
 DISJUNÇÃO: p  q (lê-se "p ou q") 
 CONDICIONAL: p → q (lê-se "se p então q") 
 BI-CONDICIONAL: p ↔ q (lê-se "p se e somente se q") 
 
CONJUNÇÃO (E) 
 
 A  B (lê-se “Premissa A e premissa B”) 
EXEMPLO: 
 
Analise a afirmação: “Este final de semana irei à praia e ao cinema”. 
 
 A:”Irei à praia” 
 B:”Irei ao cinema” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Conclusão: 
 A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B 
também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa. 
Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. 
 
DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE (OU) 
 
A  B (lê-se “Premissa A ou premissa B”) 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação: “Este final de semana irei à praia ou ao cinema”. 
 A:”Irei à praia” 
 B:”Irei ao cinema” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Conclusão: 
 
PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: São aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o 
“ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. 
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DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU... OU) 
 
A  B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”) 
 
 
EXEMPLO: 
 
Analise a afirmação: “Este final de semana Renata ou vai à praia, ou vai ao cinema”. 
 
 A:” Renata vai à praia” 
 B:” Renata vai ao cinema” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo. Então, a 
afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira. 
 
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são 
excludentes ou não excludentes. 
 
 
Conclusão: 
 
PREMISSAS EXCLUDENTES: São aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o 
“ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, 
devemos entender que se trata de disjunção excludente. 
 
CONDICIONAL (SE... ENTÃO) 
 
A → B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”) 
 
EXEMPLO: 
 
Analise a afirmação: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.” 
 
 A:”Nasci em Fortaleza” 
 B:”Sou Cearense” 
 
TABELA VERDADE 
A B A → B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Conclusão: 
 
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente 
verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja 
verdadeira. 
 
 
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Observação: 
 A é condição suficiente para que B ocorra 
 B é condição necessária para que A ocorra 
 ~B é condição suficiente para que ~A ocorra 
 ~A é condição necessária para que ~B ocorra 
 
 CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) 
 
 CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre) 
 
 
RESUMINDO: 
 
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito. 
 
 
 
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. 
 
 
 
 
 
BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) 
 
A ↔ B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”) 
 
EXEMPLO: 
 
Analise a afirmação: “Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. 
 
 A: “Eduardo fica alegre” 
 B: “Maria sorrir” 
 
 
Atenção: 
 
É o mesmo que: 
“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre” 
Ou ainda, dito de outra forma: 
 
“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre” 
 
 
 
 
 
 
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TABELA VERDADE 
A B A ↔ B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. 
 
Conclusão: 
 
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. 
Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da 
premissa A também ser. 
 
Observação: 
 
 A é condição necessária e suficiente para que B ocorra 
 
 B é condição necessária e suficiente para que A ocorra 
 
 
TABELA VERDADE 
 
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa 
e (1) ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada: 
 
TABELA VERDADEDa tabela acima, infere-se (deduz-se) que: 
 a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. 
 a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
 a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. 
 a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. 
 
 
 TABELAS-VERDADE: 
 
Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. 
 
 Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições 
compostas. 
 
Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente 
um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais 
proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? 
p q p  q p  q A  B p → q p ↔ q 
V V V V F V V 
V F F V V F F 
F V F V V V F 
F F F F F V V 
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Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado 
por: 
 
Nº de Linhas da Tabela - Verdade = 2
Nº de proposições
 
 
Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já 
que 2
2
 = 4. 
 
E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? 
Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 2
3
 = 8. 
 
E assim por diante. 
 
 TAUTOLOGIA: 
 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se 
ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. 
 
 
 CONTRADIÇÃO: 
 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se 
ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. 
 
 
 CONTINGÊNCIA: 
 
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma 
contradição. 
 
 
SUPER-RESUMO SOBRE O “SE... ENTÃO...” - NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIAS 
 
 
 
 
PROVANDO AS EQUIVALÊNCIAS E A NEGAÇÃO – MAIS UM POUCO DE TABELA VERDADE 
 
 
A B ¬A ¬B A  B ¬B  ¬A ¬A  B A  ¬B 
V V F F V V V F 
V F F V F F F V 
F V V F V V V F 
F F V V V V V F 
 
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QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ,  e → sejam 
operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. 
Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro 
(V) ou falso (F), mas nunca ambos. 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 
 
01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬P)  (¬Q) também é verdadeira. 
 
Solução: 
 
P Q ¬P ¬Q (¬P)  (¬Q) 
V V F F F 
 
 
Resposta: ERRADO 
 
 
02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬T) é falsa. 
 
 
 
Solução: 
 
T R ¬T R → (¬T) 
V F F V 
 
Resposta: ERRADO 
 
 
03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P  R) → (¬ Q) 
é verdadeira. 
 
 
Solução: 
 
P Q R ¬Q P  R (P  R) → (¬Q) 
V V F F F V 
 
 
Resposta: CERTO 
 
 
04. O número de valorações possíveis para (Q  ¬R) → P é inferior a 9. 
 
 
Solução: 
 
n = 3 (Q, ¬R, P) , então 2
n
 = 2
3
 = 8 < 9 
 
 
Resposta: CERTO 
 
 
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(CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: 
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no 
território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. 
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva 
acima. 
 
05. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração 
de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. 
 
Solução: 
 
 Instituído → 100 mil barris/dia 
 ~ Instituído  100 mil barris/dia 
~100 mil barris/dia 
 
Se não atingiu a produção de 100 mil barris/dia então não foi instituído. 
 
Resposta: CERTO 
 
 
06. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, 
então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. 
 
Solução: 
 Instituído → 100 mil barris/dia 
 ~ Instituído  100 mil barris/dia 
~100 mil barris/dia 
 
Se não instituiu então pode ou não ter atingido a produção de 100 mil barris/dia. 
 
Resposta: ERRADO 
 
 
07. Se João é rico, , Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. 
Logo: 
a) Maria é bonita 
b) João é rico 
c) José é rico 
d) João não é rico 
e) Maria é rica 
 
Solução: 
 
Representação por siglas das proposições: 
 JR: “João é rico” 
 MB : “Maria é bonita” 
 JSC: “José é carpinteiro” 
 
Então: 
 João não é rico 
 Maria não é bonita 
 José não é carpinteiro 
 
Resposta: D 
 
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08. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. 
Ora, Paula é professora, portanto: 
a) Ana é advogada 
b) Sandra é secretária 
c) Ana é advogada ou Paula não é professora 
d) Ana é advogada e Paula é professora 
e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. 
 
Solução: 
 
Representação por siglas das proposições: 
 AA: “Ana é advogada” 
 SS: “Sandra é secretaria” 
 PP: “Paula é professora” 
 
Então: 
 Ana não é advogada 
 Sandra é secretaria 
 Paula é professora 
 
Resposta: B 
 
 
09. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. 
Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então: 
a) Estou feliz e fiz uma boa ação. 
b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação. 
c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. 
d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação. 
 
Solução: 
 
Representação por siglas das proposições: 
 RD: “Receber dinheiro” 
 EV: “Eu viajar” 
 BA: “Fazer boa ação” 
 FF: “Eu ficar feliz” 
 
 
Então: 
 Recebi dinheiro 
 Eu viajei 
 Fiz boa ação 
 Eu estou felizResposta: A 
 
 
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10. (CESPE/UNB) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição 
falsa, a proposição (p  r) → (q  s) será: 
 
a) verdadeira, somente se p for verdadeira 
b) verdadeira, somente se q for verdadeira 
c) verdadeira, para qualquer valores lógicos de p e q 
d) falsa, se p for verdadeira e q falsa 
e) falsa, se p e q forem ambas falsas 
 
Solução: 
 
p q r s p  r q  s (p  r) → (q  s) 
V V V F V V V 
V F V F V F F 
F V V F F V V 
F F V F F F V 
 
Resposta: D 
 
 
 
11. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria, 
então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição: 
 
a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. 
b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. 
c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria; 
d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. 
e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. 
 
Solução: 
 
 Ganhar na loteria → casa 
 
 
 Não ganhar na loteria  casa 
não casa 
 
Resposta: B 
 
 
 
12. (ESAF) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 
 
P Q ? 
V V F 
V F V 
F V F 
F F F 
 
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 
 
a) P  Q 
b) P → Q 
c) (P → Q) 
d) P ↔ Q 
e) (P  Q) 
 
 
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Solução: 
 
P Q P  Q P → Q ~(P → Q) P ↔ Q ~(P  Q) 
V V V V F V F 
V F F F V F V 
F V F V F F V 
F F F V F V V 
 
Resposta: C 
 
 
13. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
Solução: 
 
Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A → B é 
~(A → B) = A  ~B 
 
Logo 
~(~(A → B)) = ~(A  ~B) 
 
Ou ainda, 
A → B = ~A v B 
 
Nesse caso, as proposições abaixo são equivalentes 
~BB  AA = BB → AA 
 
VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE 
Dado 
AA  ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" 
 
TABELA VERDADE 
AA ~BB AA  ~BB 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Observe, que apenas a premissa composta 
B → AA: "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista" 
tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Onde ~BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos 
contrários. 
 
TABELA VERDADE 
AA BB BB → AA 
V F V 
V V V 
F F V 
F V F 
 
Resposta: D 
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14. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”. 
a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa 
b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa 
c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa 
d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa 
e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa 
 
Solução: 
 
Sabemos que a negação de A  B é 
 
~(A  B) = ~A  ~B 
 
 
Portanto, as possíveis negações para “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”, são 
 
 ~(A  B): “Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa” 
 
 
Ou então 
 
 ~A  ~B: “Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa” 
 
Resposta: C 
 
15. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”, podemos logicamente 
concluir que a única afirmação falsa é: 
a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. 
b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. 
c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. 
d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. 
e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. 
 
Solução: 
 
A proposição composta dada, é equivalente a 
A → B : “Se chover em Guaramiranga então faz frio” 
 
 
Portanto, sua negação será 
~(A → B) = A  ~B 
 
 
Ou ainda 
~(A → B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio” 
 
 
Que por sua vez equivale a 
A  ~B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio” 
 
Resposta: C 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. (IFBA) Considere a afirmação P: 
 
P: “A ou B” 
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: 
 
A: “Carlos é dentista” 
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. 
 
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: 
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. 
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. 
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. 
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 
 
 
02. (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. 
Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, 
passeio. Portanto, hoje: 
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. 
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor. 
c) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. 
d) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. 
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 
 
 
03. (FCC) Considere as afirmações abaixo. 
 
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. 
II. A proposição “(10 < 
10
)  (8 – 3 = 6)” é falsa. 
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p  q)  (q)” é uma tautologia. 
 
É verdade o que se afirma APENAS em 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e II. 
e) I e III. 
 
 
04. (IFBA) Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de seu cliente. 
 
 Se João não estava na cidade então ele é inocente 
 Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo 
 Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha 
 Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha 
 De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feira 
 
Tomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que: 
a) João é inocente e não visitou Ana 
b) João é inocente e visitou Ana 
c) João é culpado e não visitou Ana 
d) João é culpado e visitou Ana 
e)O júri não conseguiu chegar a uma conclusão 
 
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05. (ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a 
duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o 
barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: 
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. 
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. 
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. 
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 
 
06. (ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, 
a) estudo e fumo. 
b) não fumo e surfo. 
c) não velejo e não fumo. 
d) estudo e não fumo. 
e) fumo e surfo. 
 
07. (ESAF) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para 
Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. 
Assim, quando Carmem canta, 
 
a) Beto não bebe ou Ana não chora. 
b) Denise dança e Beto não bebe. 
c) Denise não dança ou Ana não chora. 
d) nem Beto bebe nem Denise dança. 
e) Beto bebe e Ana chora. 
 
08. (IFPE) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela, então Carina é feia” é: 
a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. 
b) Ana é bela ou Carina não é feia. 
c) Se Carina é feia, Ana é bela. 
d) Ana não é bela ou Carina é feia. 
e) Se Carina não é feia, então Ana é bela. 
 
09. (IFPE) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: 
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. 
c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista; 
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; 
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 
 
10. (FCC) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: 
a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. 
b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. 
c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. 
d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. 
e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 
 
11. (FCC) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, 
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. 
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. 
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. 
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. 
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 
 
12. (IFBA) A negação da afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vai viajar” é: 
a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. 
b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar. 
c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. 
d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. 
e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 
 
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13. (IFPE) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: 
a) Milão não é a capital da Itália. 
b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. 
d) Paris não é a capital da Inglaterra. 
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 
 
 
14. (IFCE) Considere verdadeiros os seguintes pronunciamentos sobre a mesma festa: 
 
João: "Eu só vou à festa, se Marcos for. " 
Mateus: "Se Lucas for à festa, eu não vou." 
Lucas: "Se João for à festa, eu também vou." 
Marcos: "Se eu for à festa, então Mateus ou Lucas irá comigo." 
 
Sabendo-se que João foi à festa, pode-se concluir corretamente que 
a) Marcos não foi à festa. 
b) Lucas não foi à festa. 
c) Mateus foi à festa. 
d) Lucas e Mateus não foram à festa. 
e) Marcos e Lucas foram à festa. 
 
15. (FCC) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro 
é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco; ou o fiesta é branco; 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul; 3) ou o 
fiesta é azul, ou o corsa é azul; 4) ou o corsa é preto ou o fiesta é preto. Portanto, as cores do gol, do corsa e 
do fiesta são, respectivamente: 
a) branco, preto, azul. 
b) preto, azul, branco. 
c) azul, branco, preto. 
d) preto, branco, azul. 
e) branco, azul, preto. 
 
 
16. (ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, 
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo, 
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. 
b) Camile e Carla não foram ao casamento. 
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. 
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. 
e) Vera e Vanderléia não viajaram. 
 
 
17. (FCC) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva 
ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim, 
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina. 
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina. 
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina. 
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina. 
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina. 
 
 
18. (FCC) Ana possui tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é loira, a 
outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira; 2) ou a gremista 
é morena, ou a corintiana é ruiva; 3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva; 4) ou a corintiana é 
morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, são, respectivamente, 
a) loira, ruiva, morena. 
b) ruiva, morena, loira. 
c) ruiva, loira, morena. 
d) loira, morena, ruiva. 
e) morena, loira, ruiva. 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
19. (FCC) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de 
vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: 
 
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. 
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. 
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. 
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. 
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 
 
 
 
20. (ESAF) Se X > Y, então Z > Y; se X < Y, então Z > Y ou W > Y; se W < Y, então Z < Y; se W > Y, então X > 
Y. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) X > Y; Z > Y; W > Y 
b) X < Y; Z < Y; W < Y 
c) X > Y; Z < Y; W < Y 
d) X < Y; W < Y; Z > Y 
 
 
 
21. (ESAF) Durante uma prova de matemática, Joãozinho faz uma pergunta para a professora. Mariazinha, que 
precisa obter nota alta e, portanto, qualquerinformação na hora da prova lhe será muito valiosa, não escutou 
a pergunta de Joãozinho. Contudo, ela ouviu quando a professora respondeu para Joãozinho afirmando que: 
se X ≠ 2, então Y = 3. Sabendo que a professora sempre fala a verdade, então Mariazinha conclui 
corretamente que: 
 
a) se X = 2, então Y ≠ 3 
b) X ≠ 2 e Y = 3 
c) X = 2 ou Y = 3 
d) se Y = 3, então X ≠ 2 
e) se X ≠ 2, então Y ≠ 3 
 
 
22. (FCC) X, Y e Z são números inteiros. Um deles é par, outro é ímpar, e o outro é negativo. Sabe-se que: ou X 
é par, ou Z é par; ou X é ímpar, ou Y é negativo; ou Z é negativo, ou Y é negativo; ou Y é ímpar, ou Z é 
ímpar. Assim: 
 
a) X é par, Y é ímpar e Z é negativo. 
b) X é par, Y é negativo e Z é ímpar. 
c) X é ímpar, Y é negativo e Z é par. 
d) X é negativo, Y é par e Z é ímpar. 
e) X é ímpar, Y é par e Z é negativo. 
 
 
23. (ESAF) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem dos valores assumidos 
pelas variáveis X, Y, Z, W e Q: i) X < Y e X > Z; ii) X < W e W < Y se e somente se Y > Z; iii) Q ≠ W se e 
somente se Y = X. Logo: 
 
a) Y > W e Y = X 
b) Q < Y e Q > Z 
c) X = Q 
d) Y = Q e Y > W 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
24. (CESPE) Ao investigar um assalto, a polícia levantou três proposições acerca das características dos 
possíveis responsáveis pelo delito: os envolvidos conheciam a vítima (p), os envolvidos já tinham passagem 
pela polícia (q) e os envolvidos tinham conhecimento de que a vítima transportava valores no dia do crime (r). 
A partir dessas proposições e avançando nas investigações, a polícia chegou a quatro suspeitos e aos 
seguintes argumentos (o símbolo lógico ¬ indica negação): 
 
I - se p ou ¬ q ou r, então o suspeito 1 participou do crime; 
II - se p ou ¬ r, então o suspeito 2 participou do crime; 
III - se q ou r, então o suspeito 3 não participou do crime; 
IV - o suspeito 4 participou do crime se, e somente se, p e ¬ q. 
 
Ao final da investigação, a polícia verificou a veracidade ou não das hipóteses p, q e r e, seguindo os 
argumentos I, II, III e IV, todos válidos, conseguiu identificar o(s) suspeito(s) participante(s) do crime. Se o 
suspeito 1 não participou do crime, então 
a) apenas o suspeito 2 participou do crime. 
b) apenas o suspeito 3 participou do crime. 
c) os suspeitos 2 e 3 participaram do crime. 
d) os suspeitos 2 e 4 participaram do crime. 
e) os suspeitos 2, 3 e 4 participaram do crime. 
 
25. (IFBA) José, João e Marcelo estão em especialidades diferentes . Um é pediatra, outro é neurologista e o 
outro cardiologista. Sabendo que: 
 
 ou João é pediatra, ou Marcelo é pediatra; 
 ou José é neurologista, ou Marcelo é cardiologista; 
 ou Marcelo é cardiologista, ou João é cardiologista. 
 
Podemos afirmar que José, João e Marcelo são, respectivamente, 
a) neurologista, pediatra e cardiologista. 
b) neurologista, cardiologista e pediatra. 
c) cardiologista, neurologista e pediatra. 
d) cardiologista, pediatra e neurologista. 
e) pediatra, neurologista e cardiologista. 
 
 
26. (CESPE) A formação das escalas na divisão dos trabalhos da semana, obedece às seguintes proposições: 
 
 Carlos fiscaliza a empresa A e João não fiscaliza a empresa B. 
 João fiscaliza a empresa B ou Maria não fiscaliza a empresa D. 
 Augusto fiscaliza a empresa D se e somente se Maria não fiscaliza a empresa B. 
 
Com base nas proposições acima, considerando que cada funcionário deve fiscalizar apenas uma empresa e 
que todas as empresas devem ser fiscalizadas, então nessa semana 
a) Carlos não fiscaliza a empresa A. 
b) Augusto fiscaliza a empresa D. 
c) Maria fiscaliza a empresa B. 
d) Maria fiscaliza a empresa C. 
e) João fiscaliza a empresa C. 
 
27. (CESGRANRIO) Considere que as seguintes afirmações sejam verdadeiras: 
 
 Se é noite e não chove, então Paulo vai ao cinema. 
 Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema, então Márcia vai ao cinema. 
 
Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite, 
a) não fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. 
b) fez frio, Paulo foi ao cinema e choveu. 
c) fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. 
d) fez frio, Paulo não foi ao cinema e não choveu. 
e) não fez frio, Paulo foi ao cinema e não choveu. 
 
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28. (FCC) Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega 
mais tarde ao trabalho. Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho. Sabendo-se 
que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que 
a) Alceu não tira férias e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. 
b) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. 
c) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e Alceu não tira férias. 
d) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. 
e) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando. 
 
 
29. (FCC) A negação da sentença “se você estudou lógica, então você acertará esta questão” é: 
a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. 
b) você não estudou lógica e acertará esta questão. 
c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. 
d) você estudou lógica e não acertará esta questão. 
e) se você não estudou lógica, então não acertará esta questão. 
 
30. (FCC) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado, um número, e do outro lado, uma letra. 
 
 
 
Alguém afirmou que todos os cartões que tem uma vogal numa face tem número par na outra. Para verificar 
se tal informação é verdadeira: 
a) é necessário virar todos os cartões 
b) é suficiente virar os dois primeiros cartões 
c) é suficiente virar os dois últimos cartões 
d) é suficiente virar os dois cartões do meio 
e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão 
 
31. (FCC) Um dos novos funcionários de um cartório, responsável por orientar o público, recebeu a seguinte 
instrução: 
 
“Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde.” 
 
Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, pode-se concluir que, necessariamente, 
a) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. 
b) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. 
c) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenticar documentos. 
d) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são encaminhadas ao setor verde. 
e) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar documentos. 
 
 
32. (FCC) Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte 
afirmação: 
 
“Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir mais de 5.000 casas populares em 
nosso Estado.” 
 
Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se concluir que, necessariamente, 
a) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. 
b) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. 
c) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. 
d) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado.e) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5.000 casas 
populares no Estado. 
 
 
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33. (IFCE) Considere os conectivos * e # com a seguinte interpretação: p * q é verdadeira, somente quando p e q 
têm o mesmo valor lógico. p # q é falsa, somente quando p é falsa e q é verdadeira. Nessas condições, 
dentre todas as escolhas de valor lógico para as proposições simples A, B e C, a fórmula A # (B * C) é falsa: 
a) nenhuma vez. 
b) duas vezes. 
c) três vezes. 
d) cinco vezes. 
e) todas as vezes. 
 
 
 
34. (IFCE) Quintino possui um bode que sempre espirra antes de uma chuva. O bode de Quintino espirrou hoje. 
Isso significa que: 
a) não pode chover hoje. 
b) certamente vai chover hoje. 
c) certamente choveu ontem. 
d) pode não chover hoje. 
e) Quintino não fala a verdade. 
 
 
 
35. (FCC) “Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de 
n que mostra ser falsa a frase acima é 
a) 30 
b) 33 
c) 40 
d) 42 
e) 60 
 
 
 
36. (AOCP) Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição: 
 
“Mauro gosta de rock ou João gosta de samba”. 
 
a) Mauro gosta de rock ou João não gosta de rock. 
b) Mauro gosta de rock se João não gosta de samba. 
c) Mauro não gosta de rock ou João não gosta de samba. 
d) Mauro não gosta de rock se, e somente se João não gosta de samba. 
e) Mauro não gosta de rock e João não gosta de samba. 
 
 
 
37. (AOCP) A negação da proposição “Ana gosta do campo e Márcia gosta do litoral” é 
a) Ana não gosta do campo ou Márcia não gosta do litoral. 
b) Ana não gosta do campo e Márcia não gosta do litoral. 
c) Se Ana não gosta do campo, então Márcia não gosta do litoral. 
d) Se Márcia não gosta do litoral, então Ana não gosta do campo. 
e) Ana não gosta do campo se, e somente se, Márcia não gosta do litoral. 
 
 
 
38. (AOCP) Dizer que não é verdade a seguinte sentença “João é moreno e Juca é rico” é equivalente a dizer 
que 
a) João não é moreno e Juca não é rico. 
b) João não é moreno ou Juca não é rico. 
c) João é moreno ou Juca não é rico. 
d) Se João não é moreno, então Juca é rico. 
e) Se João não é moreno, então Juca não é rico. 
 
 
 
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39. (IFBA) Considere as seguintes proposições: 
 
p: A criança está doente. 
q: O cachorro foi abandonado. 
 
(Saiba que ~x é definido como a negação da sentença x ) 
 
A sentença “O cachorro foi abandonado e a criança não está doente” assume valor lógico verdadeiro quando 
a) ~p é verdadeira e q é falsa. 
b) p é falsa e q é falsa. 
c) ~p é falsa e q é verdadeira. 
d) p é verdadeira e ~q é falsa. 
e) ~p é verdadeira e ~q é falsa 
 
40. (IFCE) A negação de “Se Maomé não vai à montanha, então a montanha vai a Maomé” é logicamente 
equivalente a: 
a) Maomé não vai à montanha e a montanha não vai a Maomé. 
b) Maomé vai a Montanha e a montanha vai a Maomé. 
c) Se a montanha não vai a Maomé, então Maomé vai à montanha. 
d) Se Maomé vai à montanha, então a montanha não vai a Maomé. 
e) Maomé vai à montanha ou a montanha vai a Maomé. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
B D E B C E E D E C 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
E C B E E E A A D A 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
C B B A B C C C D E 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
A E B D B E A B E A 
 
 
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ARITMÉTICA BÁSICA E RELAÇÃO DE ORDEM NOS INTEIROS 
 
 
 
“As equações são mais importantes para mim que a política, pois esta é feita para o 
presente, enquanto que as primeiras são algo para a Eternidade.” 
 
 ALBERT EINSTEIN 
 
 Conjunto dos Números Naturais 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos 
 
N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos 
 
Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos 
 
Z_ = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Positivos 
 
Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Negativos 
 
Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1} 
 
 
 Conjunto dos Números Racionais 
 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xQ
 
 
 Propriedades 
 
 Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. 
 Todo número inteiro é um número racional. 
 Todo número decimal exato é um número racional. 
 Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. 
 
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 Conjunto dos Números Irracionais 
 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xΙQ
 
 
 
...4142,12 
  e = 2,71828...   = 3,14159... 
 
 
 Conjunto dos Números Reais 
 
QQR 
 
 
 Conjunto dos Números Complexos 
 
C = {z/z = a + bi com a, b  R e i2 = -1} 
 
 
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN) 
 
 
 
 Naturais e Inteiros 
 
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas. 
 
Exemplos: 
 
5
10
1
2
2 
 
5
30
1
6
6




 
8
0
1
0
0 
 
2
18
1
9
981 
 
 
 Decimais 
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de 
tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. 
 
Exemplos: 
10
4
4,0 
 
100
12
12,0 
 
1000
8125
125,8 
 
10
15
100
225
25,2 
 
 
 
 
 
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 Dizima Periódica Simples 
Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem 
apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se 
repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. 
 
Exemplos: 
9
4
...444,04,0 
 
999
125
....125125125,0125,0 
 
99
12
...121212,012,0 
 
9999
5526
....265526552655,05526,0 
 
 
 Dizima Periódica Compostas 
No caso dascompostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica 
(que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida 
da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se 
repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. 
 
Exemplos: 
90
221
90
24245
...4555,254,2 


 
990
5331
990
535384
...3848484,5843,5 


 
900
4846
900
5385384
...38444,5438,5 


 
900
1985
900
2202205
...20555,2520,2 


 
990
804
990
8812
...8121212,0128,0 


 
999
5379
999
55384
...384384384,5384,5 


 
 
 
Observação 
 
 Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). 
 Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
 
Importante 
 
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC 
(a, b) = 1. 
 
DIVISÃO EM N 
 
 Algoritmo da Divisão 
 
 
 
Onde: D = dq + r Obs.: r < d (sempre!!!) 
 
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 Múltiplos de um Número Natural 
 
M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} 
.............................................. 
M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...} 
 
 Divisores de um Número Natural 
 
D(1) = {1} 
D(2) = {1, 2} 
D(3) = {1, 3} 
D(4) = {1, 2, 4} 
D(5) = {1, 5} 
D(6) = {1, 2, 3} 
D(7) = {1, 7} 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
 
 
Observação 
 
 Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). 
 Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
 
 MMC e MDC 
 
MMC  mínimo (ou menor) múltiplo comum 
 
 
O m.m.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-
comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 
 
 
MDC  máximo (ou maior) divisor comum 
 
 
O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada 
um elevado ao menor expoente. 
 
 
Exemplos: 
 
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6 
 
 
 
Observação 
 
Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números. 
 
 
 
 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
Importante 
 
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1. 
 
 
 Relação entre MMC e MDC 
 
MMC(a, b)  MDC(a, b) = a  b 
 
FRAÇÕES 
 
 Representação 
b
a ou 
b
a
 
 
a  numerador e b  denominador 
 
 
 Número Misto 
c
bAc
c
b
A
c
b
A


 
 
 
 Soma e Subtração 
db
bcda
d
c
b
a



 
 
 
 Multiplicação 
db
ca
d
c
b
a



 
 
 
 Divisão 
c
d
b
a
d
c
b
a

 
 
 Inversão 
a
b
b
a
1









 
 
Importante 
 
d
c
b
a

  ad = bc 
db
ca
d
c
b
a



 
 
 Se a = kb  a/b = k, dizemos que a é diretamente proporcional à b. 
 Se a = k/b  ab = k, dizemos que a é inversamente proporcional à b. 
 k constante de proporcionalidade 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
 
Um conjunto é formado por elementos. Dados um conjunto A e um elemento qualquer a (que pode até 
mesmo ser um outro conjunto) a única pergunta cabível em relação à eles é: a é ou não um elemento do conjunto 
A ? No caso afirmativo, diz-se a pertence ao conjunto A e escreve-se a  A. Caso contrário, põe-se a  A e diz-se 
que a não pertence ao conjunto A. Observem que os símbolos  e  são usados apenas de elemento para 
conjunto. 
 
1. Exemplos de Conjuntos 
 
a) A = { } =  conjunto vazio 
b) B = {}  conjunto unitário 
c) C = {a, b, 2, , ,,}  conjunto finito 
d) D = {1, 3, 5, 7, 9, ...}  conjunto infinito 
 
 
2. Conjuntos Iguais 
 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento 
de B pertence a A. Em símbolos: 
 
 
A = B  (x)(x A  x B) 
 
 
2.1. Exemplos de Conjuntos Iguais 
 
a) {a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {a, d, b, c} 
b) {2, 4, 6, 8, ...} = {x  Z+* / x é par} 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
NOMENCLATURA UTILIZADA 
 conjunto dos números reais 

*
 conjunto dos números reais não nulos 
+ conjunto dos números reais não negativos 

*
+ conjunto dos números reais positivos 
Q conjunto dos números racionais 
Q
*
 conjunto dos números racionais não nulos 
Z conjunto dos números inteiros 
Z+ conjunto dos números inteiros não negativos 
Z
*
 conjunto dos números inteiros não nulos 
N conjunto dos números naturais 
N* conjunto dos números naturais não nulos 
 conjunto vazio 
 símbolo de união entre dois conjuntos 
 símbolo de intersecção entre dois conjuntos 
 símbolo de pertinência entre elemento e conjunto 
 símbolo de inclusão entre dois conjuntos 
 qualquer que seja 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE CONJUNTOS 
 
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UNIÃO (  ) 
 
União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao 
conjunto B ou a ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERSEÇÃO (  ) 
 
Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a 
ambos os conjuntos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR 
 
Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, 
porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que 
falta para B completar o conjunto A. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: “Pessoas que são atletas (A) ou baianos (B)” (o “ou” não é excludente, portanto isso significa que o 
conjunto união abrange os elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos) 
Ex.: “Pessoas que são atletas (A), mas não são baianos (B)” 
Ex.: “Pessoas que são atletas (A) e são baianos (B)” 
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COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO 
 
O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto 
A. 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO 
 
A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um 
desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B. 
 
 
 
 
FIQUE DE OLHO! 
 
Observe como representar em três diagramas, alguns termos muito usados em provas: 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
01. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm 
uma ideia original e o grupo dos que têm uma ideia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm 
uma ideia original e apenas 50% têm ideias comercializáveis. Podemos afirmar que: 
a) 15% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis. 
b) 10% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis. 
c) 30% das pessoas têm ideias comercializáveis, mas não originais. 
d) 70% das pessoas têm ideias originais e não comercializáveis. 
e) 65% das pessoas têm ideias originais e não comercializáveis. 
 
 
Ex.: 
 
“Pessoas que não são atletas (A)” (Dentre todos os envolvidos, podendo ser, 
ou não, baianos) 
Ex.: 
 
“Pessoas que ou são atletas (A), ou são baianos (B)” (O “ou...ou” é excludente) 
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OS: 0243/9/16-Gil 
SOLUÇÃO: 
 
Sejam 
 A – grupo dos que têm uma ideia original ; 
 B – grupo dos que têm uma ideia comercializável; 
 
Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que 
 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
 100% = 60% + 50% – x 
 x = 10% 
 
portanto 
 
 10% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis 
 
Resposta: B 
 
(CESPE) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado 
concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso, usando esses 
livros, revelou que: 
 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 
 20 utilizaram somente o livro N; 
 90 utilizaram o livro L; 
 20 utilizaram os livros L e M; 
 25 utilizaram os livros M e N; 
 15 utilizaram os três livros. 
Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 
 
 
02. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 
 
JULGAMENTO: ERRADO 
 
Do enunciado, podemos construir o diagrama a seguir. 
 
 
 
O preenchimento deve ser feito a partir do centro, onde n(LMN) = 15. 
 
 
 
A B 
x 50% – x 60% – x 
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Como 25 pessoas usaram M e N, ou seja n(MN) = 25, então 10 usaram somente M e N. 
 
 
 
Como 20 pessoas usaram M e L, ou seja n(ML) = 20, então 5 usaram somente M e L. 
 
 
 
Portanto, já podemos verificar que somente 5 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os 
livros L e M. 
 
 
03. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
 
Podemos preencher diretamente os 10 que usaram somente L. 
 
 
 
Como 90 pessoas usaram L, descontando 10+5+15 = 30, sobram 60 que usaram somente N e L. 
 
 
 
Podemos preencher diretamente os 20 que usaram somente N. 
 
 
 
 
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OS: 0243/9/16-Gil 
Do total de 200 pessoas, descontando 15+10+5+60+10+20 = 120, sobram 80 que usaram somente M. 
 
 
Portanto, realmente mais de 100 candidatos (10+20+80=110) se prepararam para o concurso utilizando somente 
um desses livros. 
 
 
04. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
 
 
Exatamente noventa candidatos (60+10+5+15=90) se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois 
desses livros (2 ou 3). 
 
 
05. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105. 
 
JULGAMENTO: ERRADO 
 
O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M não foi inferior a 105, na verdade 
foram 110 (80+10+15+5). 
 
 
(CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês 
e 46 falam espanhol. 
 
06. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
 
Do enunciado, temos: 
 
 n(IE) = 64 
 n(I) = 42 
 n(E) = 46 
 
Sabendo que 
 
 n(IE) = n(I) + n(E) – n(IE) 
então 
 64 = 42 + 46 – n(IE) 
 n(IE) = 88 – 64 
n(IE) = 24 
 
07. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseção de I e E. 
 
 
 
 
 
 
Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente inglês. 
 
I E 
22 24 18 
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OS: 0243/9/16-Gil 
08. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: 
• 40 tem aulas presenciais; 
• 70 assistem vídeo-aulas; 
• 20 utilizam os dois métodos; 
• 10 estudam sozinhos; 
 
Determine o total de alunos do grupo. 
a) 80 
b) 90 
c) 100 
d) 120 
 
1ª SOLUÇÃO: 
 
O preenchimento deve ser feito a partir do centro. 
Sendo n(P  V) = 20, temos: 
 
 
 
Se n(P) = 40, então 20 estão somente em P. 
 
 
 
Se n(V) = 70, então 50 estão somente em V. 
 
 
 
Como 10 não estão nem P, nem V, temos 
 
N = 20+20+50+10 = 100. 
 
 
 
2ª SOLUÇÃO: 
 
Sabendo que 
 
n(PV) = n(P) + n(V) – n(PV) 
 
Temos 
n(PV) = 40 + 70 – 20 
 
n(PV) = 90 
 
Como 10 não estão nem P, nem V, temos 
 
N = 90 + 10 = 100 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. (FCC) Três irmãos, Maria, José e Pedro, receberam respectivamente 1/2, 1/3 e 1/9 de uma determinada herança. 
A fração desta herança que não foi distribuída entre estes irmãos foi de: 
a) 2/3 
b) 8/9 
c) 1/2 
d) 1/18 
 
02. (FCC) Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída 
paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: 
a) R$ 704,00 
b) R$ 640,00 
c) R$ 1.408,00 
d) R$ 1.280,00 
 
03. (FCC) O número que deve ser colocado na posição 

 paratornar válida a igualdade 
0
1
1
1
1
2 



 é: 
a) 0 
b) 1/3 
c) 1/2 
d) 1 
 
 
04. (FCC) Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com 
R$350,00. Quanto tinha inicialmente? 
a) 1600 
b) 1400 
c) 1000 
d) 700 
 
 
05. (IFCE) Durante o inverno, em certa cidade do hemisfério Norte, o sol nasce às 8h e se põe às 16h. Durante o 
verão, quando os relógios estão adiantados uma hora em relação ao inverno, o sol nasce às 6h e se põe às 
22h. Considerando-se como dia o período entre o nascer e o pôr do sol, é correto afirmar-se que, nessa 
cidade, os dias de verão têm a mais que os dias de inverno 
a) dez horas. 
b) nove horas. 
c) oito horas. 
d) sete horas. 
e) seis horas. 
 
 
06. (IFCE) Trinta times disputam um campeonato de futebol em duas etapas. Na primeira etapa, os times são 
distribuídos em cinco grupos com seis times cada, e todos os times devem enfrentar os demais times do 
grupo apenas uma vez. Apenas um time de cada grupo participa da etapa seguinte, na qual os times devem 
se enfrentar exatamente duas vezes. Se cada partida tem 90 minutos de duração, a duração de todos os 
jogos desse campeonato foi de: 
a) menos de 100 horas. 
b) entre 100 e 120 horas. 
c) entre 120 e 140 horas. 
d) entre 140 e 200 horas. 
e) mais de 250 horas. 
 
 
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07. (FCC) Numa divisão o quociente é 3 e o resto 6. A soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 
107. Qual a diferença entre o dividendo e o divisor? 
a) 23 
b) 75 
c) 52 
d) 58 
e) 79 
 
 
 
08. (FCC) Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis, a 
cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minutos. Suponha, ainda, que a 
primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A que horas, depois da primeira saída conjunta, 
ocorrerá a próxima? 
a) 21h 15min 
b) 13h 30min 
c) 19h 20min 
d) 16h 50min 
 
 
 
09. (FCC) Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo 
tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as 
dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, em 
centímetros, será: 
a) 28 
b) 60 
c) 100 
d) 140 
e) 280 
 
 
 
10. 7. (IFCE) A sequência (a, b, c) é um terno aritmético, quando um dos números for igual à soma ou ao produto 
dos outros dois. São exemplos de ternos aritméticos: 
a) (1, 2, 3) e (4, 4, 4). 
b) (4, 5, 6) e (1, 3, 3). 
c) (3, 4, 7) e (2, 3, 6). 
d) (1, 1, 2) e (1, 1, 3). 
e) (2, 3, 7) e (3, 4, 12). 
 
 
 
 
11. 8. (IFCE) Com o número natural N, foram realizadas, consecutivamente, as seguintes operações: 
 
1) subtraiu-se 27 
2) multiplicou-se por 3 
3) adicionou-se 8 
4) dividiu-se por 5. 
 
Se o resultado final foi o número 10, o número N está compreendido entre 
a) 20 e 30. 
b) 30 e 40. 
c) 40 e 50. 
d) 50 e 60. 
e) 60 e 70. 
 
 
 
 
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12. (FCC) Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de 
Identidade etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como 
em 
17326 9.
 Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de 
documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: 
 
 multiplica-se o último algarismo do número por 
1,
 o penúltimo por 
2,
 o antepenúltimo por 
1,
 e assim por 
diante, sempre alternando multiplicações por 
1
 e por 
2.
 
 soma-se 
1
 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 
10.
 
 somam-se os resultados obtidos. 
 calcula-se o resto da divisão dessa soma por 
10,
 obtendo-se assim o dígito verificador. 
 
O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 
24685
 é 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 8. 
 
 
 
13. (IFCE) Para cada número natural n considere um quadrado de lado n dividido em n
2
 quadradinhos de lado 1. 
Pintam-se os quadradinhos de branco e preto, de modo que quadradinhos com um lado em comum tenham 
cores distintas. A figura abaixo representa uma possibilidade no caso n = 4. Seja b o número de 
quadradinhos brancos e p o número de quadradinhos pretos no interior do quadrado de lado n. É correto 
afirmar-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) quando n é ímpar, nunca ocorre p < b. 
b) quando n é ímpar, sempre ocorre p > b. 
c) quando n é ímpar, pode ocorrer p = b. 
d) quando n é par, sempre ocorre p = b. 
e) quando n é par, pode ocorrer p < b. 
 
 
 
14. (FCC) Um galpão na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 30m, 72m e 6m deve ser preenchido 
completamente com caixas cúbicas de mesmo volume. 
Qual o menor número de caixas a serem utilizadas? 
 
a) 80 
b) 70 
c) 60 
d) 50 
e) 40 
 
 
 
 
 
 
 
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15. (ESAF) A Editora do livro Como ser aprovado no vestibular, recebeu os seguintes pedidos: 
 
Livraria N
o
 de exemplares 
A 130 
B 195 
C 390 
 
A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma de n seja o menor possível. 
Calcule o valor de n. 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
16. Três vendedores viajam a serviço para uma empresa. O primeiro viaja de 12 em 12 dias, o segundo de 16 em 
16 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Se todos viajarem hoje, calcule daqui quantos dias eles voltarão a 
viajar no mesmo dia. 
a) 220 dias. 
b) 120 dias. 
c) 240 dias. 
d) 250 dias. 
e) 180 dias. 
 
17. (IFCE) O conjunto P é formado por pares ordenados de números reais positivos. Sobre este conjunto, sabe-
se que: 
 
- (1, 1)  P; 
- Se (a, b) ∈ P, então (a + 1, b + 2) ∈ P. 
 
Sobre o conjunto P, é possível afirmar-se que 
a) se o par (2, 2) pertence a P, então o par (2, 4) pertence a P. 
b) se o par (2, 5) não pertence a P, então o par (1, 3) não pertence a P. 
c) o par (11, 21) não pertence a P. 
d) o par (-1, 1) pode pertencer ao conjunto P. 
e) o par (8, 15) não pertence ao conjunto P. 
 
18. (IFCE) O conjunto D tem como elementos alguns números naturais e satisfaz as seguintes condições 
 
(I) Se n ∈ D, então n + 2 ∈ D. 
(II) 3 ∈ D e 4 ∉ D. 
 
Nessas condições, é necessariamente verdade que: 
a) 8 ∈ D. 
b) 8 ∉ D. 
c) 7 ∉ D. 
d) 2 ∈ D. 
e) 2 ∉ D. 
 
19. (IFCE) Se A é a soma dos algarismos de 10
35
 – 87, se B é a soma dos algarismos de 10
35
 + 91 e se C é a 
soma dos algarismos de A + B, onde todas as representações são decimais, podemos dizer que C vale: 
a) 35. 
b) 28. 
c) 21. 
d) 10. 
e) 6. 
 
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20. (IFCE) Cada termo de uma sequência, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois termos 
imediatamente anteriores. Se os dois primeiros termos dessa sequência são números naturais, é 
necessariamente verdade que: 
a) o terceiro termo é um número par. 
b) a soma do primeiro e do terceiro termos é ímpar. 
c) a soma do terceiro e do sexto termos é par. 
d) o sétimo termo e o segundo termo são ambos pares ou ambos ímpares. 
e) o quinto termo é um número ímpar. 
 
21. (IFPE) Numa escola sabe-se que: 
 
 Existem 30 meninas 
 21 crianças usam óculos 
 13 meninos não usam óculos 
 4 meninas usam óculos 
 
Pergunta-se: 
 
I. Quantas crianças existem na escola? 
II. Quantas crianças usam óculos ou são meninas? 
III. Quantas crianças não usam óculos ou são meninas? 
 
As respostas são respectivamente: 
a) 60, 47,43 
b) 67, 43,50 
c) 62, 45,55 
d) 60, 43, 47 
e) 60, 43, 50 
 
22. (IFBA) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 
 
 15 nunca foram vacinadas; 
 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 
 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. 
 
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças 
B e C é 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
 
23. (FCC) Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das 
pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais C, F e J, da seguinte forma: 
 
 cada um dos empregados assinou pelo menos um dos jornais; 
 2 empregados assinaram os 3 jornais; 
 3 empregados assinaram apenas os jornais C e J; 
 8 empregados assinaram apenas o jornal J; 
 4 empregados assinaram os jornais C e F; 
 13 empregados assinaram o jornal J; 
 16 empregados assinaram o jornal C. 
 
 
 
 
 
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Com base nessas informações, é correto afirmar que: 
 
I. Nenhum empregado assinou apenas os jornais F e J. 
II. 6 empregados assinaram os jornais C e J. 
III. 3 empregados assinaram apenas os jornais C e F. 
IV. 7 empregados assinaram apenas o jornal F. 
V. 10 empregados assinaram apenas o jornal C. 
 
As sentenças verdadeiras são: 
a) Apenas I e III. 
b) Apenas I, III e IV. 
c) Apenas II e V. 
d) Apenas I e IV. 
e) Apenas II e IV. 
 
24. (IFPE) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A  B) = 8, n(B  C) = 
9, n(A  C) = 4 e n(A  B  C) = 3. Assim sendo, o valor de n((A  B)  C) é: 
a) 3 
b) 10 
c) 20 
d) 21 
e) 24 
 
25. (IFPE) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue 
com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O número de 
pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é: 
a) 40 
b) 65 
c) 80 
d) 120 
e) 115 
 
26. (IFBA) Supondo que: 
 
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 
A  B = {4, 5} 
 
A – B = {1, 2, 3}, então B é: 
 
a) {6, 7, 8} 
b) {4, 5, 6, 7, 8} 
c) {1, 2, 3, 4} 
d) {4, 5} 
e) {1, 4, 5} 
 
 
27. (FCC) Uma pesquisa foi realizada e nela constatou-se que, dentre os entrevistados, 70 possuíam carro e 
moto, 220 possuíam apenas um dos veículos (ou carro ou moto), 210 possuíam moto e 170 não possuíam 
carro. Com essas informações, determine quantas pessoas, no mínimo, foram entrevistadas. 
a) 472 pessoas. 
b) 410 pessoas. 
c) 370 pessoas. 
d) 320 pessoas. 
e) 310 pessoas. 
 
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28. (UECE) Em um grupo de 30 pessoas, há brasileiros e estrangeiros. Há, nesse grupo, 7 mulheres estrangeiras 
e 13 homens brasileiros. Considerando-se brasileiros e estrangeiros, há, ao todo, 21 homens no grupo. A 
quantidade de mulheres brasileiras é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
29. (UECE) Numa sala de aula havia 32 alunos. Apenas três dos quinze meninos eram loiros. Das meninas, doze 
não eram loiras. Quantos alunos loiros havia no total? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
30. (UECE) Analise a figura a seguir. 
 
 
 
Com relação à parte sombreada do diagrama, é CORRETO afirmar que 
a) A – (B – C). 
b) A – (B  C). 
c) A – (B  C). 
d) A – (C – B). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
D A D B C D C B D C 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C E D C B C B E E C 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
A C D B C B D A D D 
 
 
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ANÁLISE COMBINÁTORIA / PROBLEMAS BÁSICOS DE CONTAGEM 
 
 
 “Eu odiava cada minuto dos treinos, mas dizia para mim mesmo: Não desista! Sofra 
agora e viva o resto de sua vida como um campeão.” 
 MUHAMMAD ALI 
 
 
FATORIAL 
 
Define-se o fatorial de um número n ( n  N – {1} ) como sendo: 
 
n! = n.(n - 1).(n – 2). ... .3.2.1 
 
Onde, n! lê-se: n fatorial ou fatorial de n. 
Assim, por exemplo: 
 2! = 2.1 = 2 
 3! = 3.2.1 = 6 
 4! = 4.3.2.1 = 24 
 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
ATENÇÃO: 
 
0! = 1 e 1! = 1 
 
Também é importante perceber que o desenvolvimento de um fatorial pode ser "truncado" em qualquer 
fator, colocando-se após esse fator o símbolo que representa o fatorial de um número (!). 
 
Por exemplo: 
 
 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = ... 
 15! = 15.14.13! 
 20! = 20.19.18.17! 
 
 
 De um modo geral, podemos escrever: 
 
n! = n . (n -1)! = n . (n – 1) . (n - 2)! = ... 
 
 
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Exemplo 1: Simplifique os fatoriais: 
 
a)
 909.10
!8
!8.9.10
!8
!10
 
 
b)
 3789.6.7
!5!.8
!8.9!.5.6.7
!5!.8
!9!.7
 
 
c) 
nn)1n.(n
)!2n(
)!2n).(1n.(n
)!2n(
!n 2 



 
 
d) 
nn
1
n).1n(
1
)!1n.(n).1n(
)!1n(
)!1n(
)!1n(
2 








 
 
 
 
 
PRINCÍPIO FUDAMENTAL DE CONTAGEM 
 
Em inúmeras situações do cotidiano, nos deparamos com problemas de contagem. Por exemplo: 
 Ao preencher volante de jogo da mega sena, de quantas maneiras diferentes é possível escolher 6 
números? 
 Ao escolher 6 algarismos para compor uma senha de um cartão magnético, de quantas maneiras 
diferentes podemos fazê-lo? 
 No último campeonato estadual de futebol, ficaram 4 equipes para disputar a etapa final. Se cada uma 
jogou com todas as demais uma única vez, quantas partidas ocorreram nessa fase? 
 As placas dos veículos nacionais atualmentesão compostas de 3 letras seguidas de 4 algarismos. 
Quantas placas diferentes tal sistema comporta? 
 
Como a contagem direta desses eventos é, em geral, impraticável, a Matemática recorre a técnicas 
indiretas de contagem. 
 
Esse conjunto de técnicas é chamado análise combinatória e iniciaremos seu estudo apresentando o 
princípio fundamental de contagem. 
 
 
Exemplo 1: “Um rapaz quer se vestir usando uma calça e uma camisa. Sabendo que ele possui 3 calças (1 
branca, 1 azul e 1 preta) e 2 camisas (1 vermelha e 1 amarela), de quantas maneiras diferentes ele 
poderá se vestir?” 
 
 
 
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Solução: 
 
As possíveis combinações são: 
1. calça branca e camisa vermelha. 
2. calça branca e camisa amarela. 
3. calça azul e camisa vermelha. 
4. calça azul e camisa amarela. 
5. calça preta e camisa vermelha. 
6. calça preta e camisa amarela. 
 
Ou seja, 2  3 = 6 possibilidades 
 
Exemplo 2: Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente 
por uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções 
diferentes há para se ir de A até C ? 
 
Solução: 
 
As possíveis trajetórias são: 
1. 1  4 7. 2  6 
2. 1  5 8. 2  7 
3. 1  6 9. 3  4 
4. 1  7 10. 3  5 
5. 2  4 11. 3  6 
6. 2  5 12. 3  7 
 
Ou seja, 3  4 = 12 possibilidades 
Os dois exemplos vistos ilustram o que chamamos princípio fundamental da contagem, também conhecido 
com princípio multiplicativo, que pode ser enunciado assim: 
 
“Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro 
evento B pode ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do 
evento B é m.n.” 
 
 
 
 
 
 
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COMBINAÇÕES SIMPLES E ARRANJOS SIMPLES 
 
Vamos agora apresentar duas situações que ocorrem frequentemente quando resolvemos problemas de 
contagem: os arranjos simples e as combinações simples. Vamos introduzi-los a partir de um problema. 
 
Seja o conjunto E = {a, b, c}. Com os elementos de E vamos obter os seguintes agrupamentos: 
 
 Todos os subconjuntos de E com 2 elementos: 
 
{a, b}, {a, c}, {b, c} 
 
 Todas as sequências com 2 elementos de E: 
 
(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) 
 
Observe que esses dois tipos de agrupamentos diferem num aspecto básico. 
 
No caso dos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que os elementos são escritos, isto é, 
alterando-se a ordem dos elementos de um subconjunto, este não se altera. 
 
Assim: {a, b} = {b, a} ; {b, c} = {c, b} 
 
Porém, no caso das sequências, a mudança da ordem dos elementos gera uma outra sequência. 
 
Assim: (a, b) 

 (b, a) ; (b, c) 

 (c, b) 
 
Os agrupamentos do 1
o
 tipo, os subconjuntos, são chamados combinações simples, enquanto que os 
dos 2
o
 tipo, as sequências, são chamados arranjos simples. Nos dois casos, a palavra simples se refere ao fato 
de que os agrupamentos são formados por elementos distintos. 
 
Observação: 
 
A diferenciação entre combinações e arranjos será de fundamental importância na resolução dos 
problemas de contagem daqui em diante. Destaquemos mais uma vez que: 
 
COMBINAÇÕES  a ordem não importa 
 
ARRANJOS  a ordem importa 
 
 
 
 NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
)!pn(.!p
!n

C
p
n
 
 
Lê-se: combinação de n elementos distintos tomados p a p. 
 
 
 NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES 
 
)!pn(
!n

A
p
n
 
 
Lê-se: arranjo de n elementos distintos tomados p a p. 
 
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 RELAÇÃO ENTRE OS ARRANJOS SIMPLES E AS COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
CA
p
n
p
n .!p
 
 
 PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
É um caso particular de arranjos simples. A permutação de n elementos distintos é o arranjo de n 
elementos distintos tomados n a n. 
 
n!PAP n
n
nn 
 
 
 
Outras Notações: 
 
pn, 
p
np
n
pn, 
p
n AACC 







 
 
 
 PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES 
 
É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais 
objetivo, o primeiro elemento repete-se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes, ..., o k-ésimo elemento 
repete-se k vezes. 
!k.....!2.!1
α,...,α,α
n
ααα
n!
P k2 1 
 
Onde n = α1 + α2 + ... + αk 
 
 PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
É o caso em que deseja colocar elementos em torno de objetos circulares. È dado por: 
 
P(n – 1) = (n – 1)! 
 
Exemplo: De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar–se em uma mesa redonda? 
 
Solução: 
 
Imagine se todos mudassem para cadeira ao seu lado! Você não teria nenhuma mudança, afinal todos 
continuariam vizinhos as mesmas pessoas. Então, nesse caso fixa–se uma das pessoas e permuta–se as 
outras 5, logo, P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades. 
 
 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
 
01. (FGV) Quantos números inteiros positivos menores que 1000 (com algarismos distintos) podemos 
formar? 
a) 504 
b) 645 
c) 648 
d) 738 
e) 845 
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Solução: 
 
 
Logo: 
 
9 + 81 + 648 = 738 
 
Resposta: D 
 
 
02. (FGV) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões 
distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é: 
a) 3003 
b) 792 
c) 455 
d) 286 
e) 348 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: D 
 
 
03. (FGV) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. 
Dentre eles, quantos serão divisíveis por 5: 
a) 20 números 
b) 30 números 
c) 60 números 
d) 120 números 
e) 180 números 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: C 
 
 
04. (FGV) O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos distribuídos pela 
circunferência abaixo, é igual a: 
a) 56 
b) 28 
c) 14 
d) 24 
e) 48 
 
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Solução: 
 
C8,3 = 
56
!5.1.2.3
!5.6.7.8
!5!.3
!8
 
 
 
Resposta: A 
 
 
05. (ESAF) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos 
triângulos distintos existem com vértices em 3 desses pontos? 
a) 220 
b) 230 
c) 274 
d)286 
e) 294 
 
Solução: 
 
C13,3 – C5,3 – C8,3 = 
220 5610286
2.3
6.7.8
2
4.5
2.3
11.12.13
!5!.3
!8
!2!.3
!5
!10!.3
!13
 
 
Resposta: A 
 
 
06. (FGV) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações: 
 
I. O número total deles é 720. 
II. O número dos que terminam com a letra A é 25. 
III. O número dos que começam com EN é 24. 
 
Então, apenas: 
a) afirmação I é verdadeira. 
b) afirmação II é verdadeira. 
c) afirmação III é verdadeira. 
d) as afirmações I e II são verdadeira. 
e) as afirmações I e III são verdadeira 
 
Solução: 
 
 I. P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (V) 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: E 
 
 
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07. (FGV) Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS são possíveis obter, se as letras R e T devem 
permanecer juntas? 
a) 120 
b) 60 
c) 48 
d) 24 
e) 10 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: C 
 
 
 
08. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem 
ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar? 
a) 27 
b) 54 
c) 108 
d) 216 
e) 432 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: C 
 
 
 
09. (ESAF) De quantas maneiras Amanda, Bruno, Caio, Débora, Érica e Felipe, podem se organizar lado a 
lado para tirar uma foto, sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos? 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 720 
e) 1440 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Resposta: B 
 
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77 
 
OS: 0243/9/16-Gil 
10. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, 
lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos 
de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 46 
e) 48 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Resposta: E 
 
 
 
11. (FGV) Em uma festa existem 12 homens e 20 mulheres, será escolhido o casal mais simpático da festa 
(não necessariamente namorados). De quantas maneiras diferentes poderá ser escolhidos esse 
casal? 
a) 12 
b) 20 
c) 32 
d) 120 
e) 240 
 
Solução: 
 
 
Usando o princípio fundamental de contagem(PFC) temos: 
 
12 x 20 = 240 
 
 
Resposta: E 
 
 
 
12. Sendo (n - 6)! = 120, então podemos afirmar que: 
a) n = 12 
b) n = 11 
c) n = 10 
d) n = 13 
e) n = 14 
 
Solução: 
 
 
(n – 6)! = 5!  n – 6 = 5  n = 11 
 
 
Resposta: B 
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13. (ESAF) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e 
7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos? 
a) 720 
b) 480 
c) 240 
d) 120 
 
Solução: 
 
 
 
Resposta: B 
 
 
 
14. (FGV) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à 
cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas 
rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até 
C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mais em qualquer ordem, é: 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
Solução: 
 
 
 
3 x 2 = 6 
2 x 2 = 4 
Logo: 6 + 4 = 10 
 
Resposta: B 
 
 
15. Desenho representa seis quarteirões retangulares e um dos possíveis percursos de A até B. O 
número total de percursos mínimos distintos, de A até B, ao longo das ruas, é: 
a) 5 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
 
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Solução: 
 
Observe que ele anda 2 vezes para leste (L) e 3 vezes para o norte (N), veja que na figura a sequência 
LNNLN 
 
Portanto, o número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas da sequência 
LLNNN 
Ou seja: 

2
4.5
!3!.2
!5
P
3,2
5
10 caminhos diferentes. 
 
Resposta: D 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
 
01. Utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9 podemos formar números de 3 algarismos. 
 
 Responda: 
 
a) quantos são no total? 
 
 
 
b) quantos possuem os algarismos distintos? 
 
 
 
c) quantos possuem pelo menos 2 algarismos iguais? 
 
 
 
d) quantos tem os algarismos distintos e são pares? 
 
 
 
e) quantos tem os algarismos distintos e são maiores que 600? 
 
 
 
 
02. Com relação aos anagramas da palavra CHUVA, perguntase: 
 
a) quantos são no total? 
 
 
 
 
b) quantos começam e terminam por vogal? 
 
 
 
 
c) quantos possuem as vogais juntas? 
 
 
 
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d) Quantos não possuem as vogais juntas? 
 
 
 
e) quantos possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética? 
 
 
 
 
03. (UECE) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de 
seus algarismos (por exemplo: 383, 4.224, 74.847). O número total de palíndromos de cinco algarismos é: 
a) 900 
b) 1.000 
c) 1.900 
d) 2.500 
 
 
 
 
04. (CESGRANRIO) Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e 
França), deseja-se acomodar os 8 representantes de governo em torno de uma mesa em forma de octógono 
regular (figura abaixo). De quantos modos posso dispô-los se os representantes dos EUA, Canadá e 
Inglaterra devem sentar-se sempre juntos? 
a) 720 
b) 120 
c) 4320 
d) 5040 
 
 
 
05. (UECE) Formados e colocados em ordem crescente todos os números de 4 algarismos obtidos com os 
algarismos 1, 3, 5 e 7 (sem repetir), que lugar ocupa o número 5731? 
a) 18º lugar 
b) 17º lugar 
c) 16º lugar 
d) 15º lugar 
 
 
 
 
06. (UECE) Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até a academia (esquina 2), ele 
percorre exatos 9 quarteirões. Na figura ao lado está representa apenas uma das 
várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine Quantos 
caminhos diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até a 
academia. 
a) 20 
b) 81
 
c) 63
 
d) 126
 
 
 
 
07. (UECE) Um grupo de 10 empresários cumprimenta-se com apertos de mãos no inicio de uma reunião. 
Sabendo que cada um deles cumprimentou a todos, determine o número de apertos de mão. 
a) 90 
b) 70 
c) 50 
d) 45 
 
 
11
22
11
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08. (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A 
promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por 
exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla 
ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que 
podem ser formadas é igual a: 
a) 420 
b) 480 
c) 360 
d) 240 
e) 400 
 
 
 
09. (UECE) A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3 
arquitetos para projetar o empreendimento Beta. Quantas equipes diferentes poderão ser formadas para esse 
empreendimento? 
a) 20 
b) 56 
c) 76 
d) 1120 
 
 
 
10. (UECE) De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma 
loja. De quantas maneiras pode ser feita essa escolha? 
a) 24 
b) 56 
c) 336 
d) 1444 
 
 
 
11. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O 
número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se 
em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se 
juntas, são, respectivamente, 
a) 1112 e 1152. 
b) 1152 e 1100. 
c) 1152 e 1152. 
d) 384 e 1112. 
e) 112 e 384. 
 
 
 
12. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas 
Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no 
cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. 
Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de 
salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se 
juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual 
a: 
a) 1920 
b) 1152 
c) 960 
d) 540 
e) 620 
 
 
 
 
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13. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis 
são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 
dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena 
estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o 
próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos 
ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: 
a) 8 
b) 28 
c) 40 
d) 60 
e) 80 
 
14. (UECE) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são 
moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número 
de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é 
igual a: 
a) 1287 
b) 252 
c) 284 
d) 90 
 
 
15. (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 
anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. 
Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, 
de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser 
selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: 
a) 120 
b) 1220 
c) 870 
d) 760 
e) 1120 
 
 
16. (UECE) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o 
número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é: 
a) 5400 
b) 165 
c) 1650 
d) 5830 
 
 
17. (IFBA) Num curso de graduação, Matheus, Nélson, Ricardo e Pedro são candidatos a representantes da 
turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra 
para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser 
formadas? 
a) 24 
b) 18 
c) 16 
d) 12 
e) 22 
 
 
18. (IFPE) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em fila sendo que Joana, uma dessas 5 
pessoas, jamais seja a primeira da fila? 
a) 120 
b) 112 
c) 96 
d) 75 
e) 100 
 
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19. (IFBA) Deseja-se criar senhas bancárias de 4 algarismos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas de 
modo que o último dígito seja ímpar e todos os algarismos da senha sejam diferentes? 
a) 3600 
b) 3645 
c) 2520 
d) 2240 
e) 2120 
 
20. (UECE) Existem 2 modos de se ir da cidade A à cidade B, 3 modos de se ir da cidade B à cidade C e 4 
modos de se ir da cidade A à cidade C sem passar pela cidade B. Usando essas opções, o número de modos 
diferentes de se ir da cidade A à cidade C é 
a) 9 
b) 10 
c) 24 
d) 18 
 
21. (IFPE) As placas dos veículos possuem três letras e quatro algarismos. Vamos considerar um lote dessas 
placas cujas letras utilizadas são somente A, B e C, mas com todos os algarismos. O número de placas 
diferentes, nesse lote, é de 
a) 177.147. 
b) 270.000. 
c) 27.000. 
d) 300.000. 
e) 90.000. 
 
22. (IFPE) Uma comissão composta por 3 pessoas será constituída a partir de um grupo de 7 gestores. Quantas 
comissões diferentes podem ser formadas? 
a) 21. 
b) 49. 
c) 28. 
d) 35. 
e) 42. 
 
23. (IFCE) Em um computador, um procedimento do tipo alfa é executado, quando uma ou duas teclas de função 
são pressionadas (simultaneamente, no caso de duas). A quantidade máxima de procedimentos alfa distintos 
que podem ser executados em um computador com 12 teclas de função é: 
a) 12. 
b) 24. 
c) 60. 
d) 78. 
e) 144. 
 
24. (AOCP) Em uma tribo indígena o pajé conversava com seu totem por meio de um alfabeto musical. Tal 
alfabeto era formado por batidas feitas em cinco tambores de diferentes sons e tamanhos. Se cada letra era 
formada por três batidas, sendo cada uma em um tambor diferente, pode-se afirmar que esse alfabeto 
possuía: 
a) 10 letras. 
b) 20 letras. 
c) 26 letras. 
d) 49 letras. 
e) 60 letras. 
 
25. (IFCE) Em uma microempresa há nove funcionários. Todos se dão bem, com exceção de Francisco, que não 
conversa com Luís nem com Leonardo. Nesse setor, será constituída uma comissão com 5 funcionários, com 
a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. A quantidade total de comissões 
distintas que podem ser formadas, nessas condições, é: 
a) 57. 
b) 71. 
c) 110. 
d) 126 
e) 144. 
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26. (AOCP) João Carlos possui 10 livros distintos, sendo 5 de geometria, 2 de álgebra e 3 de análise. O número 
de maneiras pelas quais João pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmoassunto permaneçam juntos, é: 
a) 1.728 
b) 8.640 
c) 288 
d) 1.440 
e) 720 
 
 
27. (IFCE) Bruna fez uma lista, em ordem alfabética, com todos os anagramas de seu nome. A posição, em que 
o nome dela aparece, é a: 
a) 60ª. 
b) 54ª. 
c) 50ª. 
d) 48ª. 
e) 42ª. 
 
 
28. (IFCE) Uma fábrica produz fichas de três formas: circulares, triangulares e quadradas. Em cada ficha, há, 
gravada, uma letra (A, B ou C) e um número (1, 2 ou 3). A quantidade máxima de fichas distintas que podem 
ser produzidas é: 
a) 6. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 27. 
e) 30. 
 
 
29. (AOCP) Considere o mapa da região formada pelos países A, B, C e D. 
 
 
 
Ao colorir um mapa, pode-se usar uma mesma cor mais de uma vez, desde que dois países vizinhos tenham 
cores diferentes. De acordo com essa informação e usando apenas quatro cores, pode-se colorir o mapa 
acima de N maneiras distintas. Então, é correto afirmar que N vale: 
a) 24. 
b) 36. 
c) 40. 
d) 48. 
e) 32. 
 
 
30. (AOCP) Cinco amigos vão viajar utilizando um carro com cinco lugares. Sabendo-se que apenas dois deles 
podem dirigir, o número de maneiras que os cinco amigos podem se acomodar para viagem é: 
a) 12 
b) 24 
c) 48 
d) 15 
e) 32 
 
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31. (IFCE) Uma fábrica produz fichas de três formas: circulares, triangulares e quadradas. Em cada ficha, há 
gravada uma letra (A, B ou C) e um número (1, 2 ou 3). Lílian quer ter fichas com todas as formas, letras e 
números possíveis. Para isso, ela deve adquirir, no mínimo: 
a) 3 fichas. 
b) 6 fichas. 
c) 9 fichas. 
d) 27 fichas. 
e) 30 fichas. 
 
 
32. (AOCP) Dois rapazes e quatro moças formam uma fila para serem fotografados. Se deve ficar um rapaz em 
cada extremo da fila, quantas disposições diferentes essa fila pode ter? 
a) 128 
b) 120 
c) 72 
d) 60 
e) 48 
 
33. (AOCP) Podemos ordenar as pessoas que estão na fila de 24 maneiras diferentes. Então, nessa fila estão: 
a) 4 pessoas 
b) 5 pessoas 
c) 6 pessoas 
d) 12 pessoas 
e) 24 pessoas 
 
34. (AOCP) De seis alunos sorteados, dois serão escolhidos para representar a escola em um evento acadêmico. 
O número de comissões que podem ser formadas é 
a) 6 
b) 12 
c) 15 
d) 24 
e) 30 
 
35. (IFBA) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Joana e Marcos, o número de comissões distintas 
que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Joana e Marcos, é: 
a) 300 
b) 792 
c) 455 
d) 286 
e) 320 
 
36. (AOCP) Uma equipe de pesquisa será formada com a seguinte composição: um físico e três químicos. Para 
formar a equipe estão à disposição quatro físicos e seis químicos. O número de diferentes equipes possíveis 
de se formar é 
a) 210. 
b) 80. 
c) 5040. 
d) 480. 
e) 160. 
 
37. (CESPE) Dez policiais federais  dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes  foram 
designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência 
regional. O grupo será dividido em duas equipes, Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, 
necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. 
Considerando essa situação hipotética, o número de maneiras diferentes de compor as referidas equipes é 
a) 48 
b) 50 
c) 52 
d) 96 
e) 192 
 
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38. (FCC) O cientista John Dalton é bastante conhecido pelas suas contribuições para a Química e a Física. 
Descreveu a forma e o uso de vários instrumentos de meteorologia, fazendo considerações sobre a variação 
da altura barométrica. Além disso, Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilitava de 
distinguir a cor verde da vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao 
cromossomo X, recebeu o nome de daltonismo. Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De 
quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um 
daltônico entre os escolhidos? 
 
a) 140 
b) 240 
c) 285 
d) 336 
e) 392 
 
39. (IFCE) Na figura ao lado, pretende-se colorir as regiões A, B, C, D, E e F de modo que regiões vizinhas 
tenham cores distintas. Nessas condições, podemos afirmar que: 
 
a) o problema é possível com exatamente três cores distintas e, nesse 
caso, A e F devem ter a mesma cor. 
b) o problema é possível com exatamente quatro cores distintas e, 
nesse caso, A e D devem ter a mesma cor. 
c) o problema é possível com exatamente três cores distintas e, nesse 
caso, A e D devem ter a mesma cor. 
d) o problema é impossível com quatro cores distintas. 
e) o problema é impossível com exatamente três cores distintas. 
 
 
 
40. A figura abaixo mostra um mapa de uma pequena parte da cidade de Fortaleza. Quando o professor Thiago 
Pacífico vai de casa até o shopping Aldeota, ele percorre exatos 7 quarteirões. 
Na figura, está representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. 
Determine quantos caminhos diferentes, com a mesma distância, ele pode escolher para ir de casa até o 
shopping. 
 
 
a) 30 caminhos 
b) 35 caminhos 
c) 40 caminhos 
d) 45 caminhos 
e) 50 caminhos 
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OS: 0243/9/16-Gil 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
* ** A A A D D A D C 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C A B A E A D C C B 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
B D D E B B E D D C 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
A E A C D B A A C B 
 
 
 
 
Anotações