Mat e Ensino Base 12.

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CURSO DE GRADUAÇÃO EM PEDAGOGIA 
 
 
Aluno: Francisco Domiciano da Silva – Matrícula 128250077 
Disciplina: Matemática e Ensino 
Professora: Heitor Antônio Gonçalves 
Tutor: Fabio Rodrigues Lemes 
 
 
 
Tarefa 1 
 
 
 
 
São Paulo, março de 2016 
 
Como se faz a representação dos números quando tomamos a base 12 
para realizar os agrupamentos, ou seja, após agrupar uma quantidade 
qualquer de elementos de 12 em 12? 
 
A base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos utilizados para a 
escrita de todos os números. O sistema de base 10 é usualmente empregado em nosso 
dia-a-dia, embora não seja a única base de numeração utilizada. 
 
O sistema de numeração de base doze tem origem também intimamente ligada com 
relações com o corpo humano: o número das falanges dos dedos mínimo, anelar, médio 
e indicador. É muito fácil se verificar se um número escrito nessa base numérica é 
divisível por dois, três, quatro e seis, pois são os divisores da base numérica e, portanto, 
somente é necessário se verificar se o último algarismo do número é divisível por dois, 
três, quatro e seis. Podem ser aplicados através de divisões sucessivas ou por conjuntos 
e subconjuntos. 
Além disso, para números “redondos” é simples se encontrar a metade, a terça parte, a 
quarta parte e a sexta parte do número. 
A “dúzia”, muito utilizada no comércio em geral em nossa sociedade, é exatamente se 
contar com o sistema de numeração de base doze. Cinco dúzias e meia nada mais são do 
que 5.12 + 6 = (56)12. Além disso, antigamente, nos países de língua espanhola, se 
utilizava a gruesa, que significava doze dúzias. 
 
 É do nosso cotidiano a existência de contagem cujo agrupamento é 12, por exemplo, as 
dúzias, o relógio com 12 algarismos, o ano com 12 meses, o dia com 24 horas (2/12) 
mas, como já vimos, historicamente, não foi o sistema numérico que prevaleceu. 
Na representação numérica em base 12 vamos continuar aplicando os algarismos indo 
arábicos, mas sabemos que serão necessários 12 símbolos para representar quantidades 
na base 12 então teremos de criar dois novos símbolos para representar todos os 
símbolos necessários para a escrita numérica. Estes símbolos poderiam ser qualquer 
figura ou desenho já que não temos mais que 10 símbolos indo arábicos utilizados no 
sistema decimal. Optamos, então, pelo α e β para completar o conjunto de símbolos da 
base 12, que podem ser assim apresentados a seguir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β. 
Deste modo, α12=10 unidades e β12 = 11 unidades. 
 
Um exemplo é o número 144 pode ser representado na base 12 se agruparmos esta 
quantidade em grupos de 12, encontramos 12 grupos de 12, como não temos um 
símbolo, neste sistema, para representar 12, vamos reagrupá-los, novamente, e obtemos 
1 grupo de 12/12, nenhum grupo de 12 e nenhuma unidade. Logo, 144 = 10012. 
 
Vamos escrever o numeral decimal 1575 no sistema cuja base é dozenal ou base 12, 
utilizando o algoritmo das divisões sucessivas que permite fazer esta conversão. Deste 
modo, 
 
1575 : 12 = 131 com restante 3. Dividindo 131:12 = 10 e sobra 11 
 
Mas, como α12 = 10 unidades e β12 = 11 unidades, então: 1575 = αβ312 
Neste sistema, a construção numérica se faz, como nos outros sistemas, combinando em 
seqüência os dígitos. A partir do momento que temos que representar 12 unidades, 
formamos 1 grupo de 12, que é representado pela combinação do 1 com o 0 e forma 
1012. 
Dando seqüência temos 1112, 1212, 1312, 1412, ..., 1α12, 1β12, 2012, 2112, 2212 , ..., 
2α12, 2β12 , ..., α012, ..., αβ12, β012 , β212, β312,..., βα12, ββ12, 10012, ... 
 
É esta regularidade que possibilita saber a quantidade de dígitos a cada agrupamento 
registrado e que se mantém neste sistema de base duo decimal. 
A escrita dos numerais através da representação dos grupos como soma de potências 
cuja base é o valor dos grupos tomados na contagem, como observado nos outros 
sistemas anteriores, se observa também neste caso. 
A conversão dos valores que se apresentam na base 12 para o sistema decimal também é 
feita da mesma maneira, que se calcula resolvendo a expressão numérica encontrada. 
 
REFERÊNCIAS: 
 
http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/TN/SistNum.pdf, acesso ao site em 03 de março de 
2016. 
 
http://www.matematicamuitofacil.com/naodecimais.html, acesso ao site em 05 de 
março de 2016.