1 2011 P2 A B GABARITO (1)

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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2011 Prova P2 A Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: ________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Não é permitido usar calculadora Fazer a prova legível e em ordem NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Um jogador de basquete de 2m de altura arremessa a bola para a ces-
ta que está a 10m de distância. A 6m de distância do arremesso a bola atinge a altura 
de 4m. Sabendo-se que a cesta está a 3m do solo, determinar a altura que a bola alcan-
ça a 7m de distância do arremesso? Usar 1 casa decimal. 
 
 
Solução: 
Devemos usar o polinômio interpolador de Lagrange com a seguinte tabela: 
x distância 0 6 7 10 
f(x) altura 2 4 ? 3 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 3.610.010
6x.0x4.
106.06
10x.0x2.
100.60
10x.6x)x(P2
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
= 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 3.4.10
67.074.
4.6
107.072.
10.6
107.67)7(P2
−−
+
−
−−
+
−−
−−
= 
 
m95,3
40
158
40
21
2
7
10
1
==++
−
= 
QUESTÃO 2: Usar a tabela e o polinômio interpolador de Newton de grau 2, para calcu-
lar A sabendo-se que o erro é desprezível e f(0,4)=2,56. Usar 2 casas decimais. 
x 0 1 2 3 4 5 
f(x) A 2A 4A 8A 16A 32A 
 
 
 Solução: 
Construindo a tabela de diferenças temos 
x f(x) ∆∆∆∆f(x) ∆∆∆∆2f(x) 
0 A A A 
1 2A 2A 2A 
2 4A 4A 4A 
3 8A 8A 16A 
4 16A 16A 
5 32A 
 
.A
!2
x
x.AA(x)P
)2(
2 ++= ⇒ 
.A
2
)6,0)(4,0(
.A)4,0(A56,2)4,0(P2
−
++== ⇒ 
2AA28,156,2 =⇒= 
 A
 
 
QUESTÃO 3: Para calcular ∫
4
2
.dxe x pode-se usar a Tabela 1 só com a fórmula de Simpson ou 
a Tabela 2 só com a fórmula do trapézio. Qual das tabelas fornece o melhor resultado? Justifique. 
x 2,0 3,0 4,0 x 2,0 2,1 2,2 2,3 ........ 3,8 3,9 4,0 
T
a
b
e
l
a
 
1
 
ex ........................... 
T
a
b
e
l
a
 
2
 
ex ............................................................. 
 
 
Solução: 
O erro pela fórmula de Simpson com a Tabela 1 é 
{
K0111111,0e.
90
1)e(máxD.
90
1E
K
0,4x4
5
Simpsontr === 
 
O erro pela fórmula do trapézio com a Tabela 2 é 
{
K0016666,0e.
3
)001,0.(5)e(máxD.
12
1,0
.20E
K
0,4x2
3
Trapéziotr === 
 
 
O erro pela fórmula do trapezio é menor que o erro pela fórmula de Simpson. 
Portanto, a tabela 2 formece o melhor resultado. 
QUESTÃO 4: Usando a fórmula de Euler-modificado, dada abaixo, com a equação 
diferencial y’=x+y, complete as lacunas com ? para a seguinte tabela: 
 K1=F(x,y) 





++= 12 K.2
hy,
2
h
xFK y(x+h)=y(x)+h.K2 
x y(x) K1 K2 
x0=?0 ? 1,0 ? 1,0 1,2 
x1=0,2 ? 1,24 
x2=0,4 
 
 
Solução: 
Pela tabela, o passo é h=0,2 e x1− x0=0,2 então x0=0 
A fórmula de Euler-modificado adaptada para a questão é dada por 
K1=f(x,y)=x+y 
K2= 11 K1,0)x(y1,0xK.2
hy,
2
h
xf +++=





++ =1,1x+1,1y(x)+0,1 
y(x+h)=y(x)+h.K2 ⇒ y(x+0,2)=y(x)+0,2(1,1x+1,1y(x)+0,1) 
 y(x+0,2)=0,22x+1,22y(x)+0,02 
Para x0=0 







=⇒=
+=
++==
+=
⇒
1)0(y)0(y.1,11,1
1,0)0(y.1,12,1
1,0)0(y.1,1)0.(1,12,1k
)0(y0k
2
1
 
y(x1)=y(0+0,2)=0,22(0)+1,22(1)+0,02=1,24 
A 
 
 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2011 Prova P2 B Nº de ordem: __________ 
Nome: __________________________________ Ass.: ________________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Não é permitido usar calculadora Fazer a prova legível e em ordem NOTA: -
____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Um jogador de basquete de 2m de altura arremessa a bola para a ces-
ta que está a 10m de distância. A 5m de distância do arremesso a bola atinge a altura 
de 4m. Sabendo-se que a cesta está a 3m do solo, determinar a altura que a bola alcan-
ça a 7m de distância do arremesso? Usar 1 casa decimal. 
 
 
Solução: 
Devemos usar o polinômio interpolador de Lagrange com a seguinte tabela: 
x distância 0 5 7 10 
f(x) altura 2 4 ? 3 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 3.510.010
5x.0x4.
105.05
10x.0x2.
100.50
10x.5x)x(P2
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
= 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 3.5.10
57.074.
5.5
107.072.
10.5
107.57)7(P2
−−
+
−
−−
+
−−
−−
= 
 
m96,3
50
198
25
21
25
84
50
12
==++
−
= 
QUESTÃO 2: Usar a tabela e o polinômio interpolador de Newton de grau 2 para calcu-
lar B sabendo-se que o erro é desprezível e f(0,6)=2,96. Usar 2 casas decimais. 
x 0 1 2 3 4 5 
f(x) B 2B 4B 8B 16B 32B 
 
 
 Solução: 
Construindo a tabela de diferenças temos 
x f(x) ∆∆∆∆f(x) ∆∆∆∆2f(x) 
0 B B B 
1 2B 2B 2B 
2 4B 4B 4B 
3 8B 8B 16B 
4 16B 16B 
5 32B 
 
.B
!2
x
x.BB(x)P
)2(
2 ++= ⇒ 
.B
2
)4,0)(6,0(
.B)6,0(B96,2)6,0(P2
−
++== ⇒ 
 2BB48,196,2 =⇒= 
 
 B 
 
 
QUESTÃO 3: Para calcular ∫
4
2
.dxe x pode-se usar a Tabela 1 só com a fórmula de Simpson ou a 
Tabela 2 só com a fórmula do trapézio. Qual das tabelas fornece o melhor resultado? Justifique. 
x 2,0 3,0 4,0 x 2,0 2,2 2,4 2,6 ...... 3,6 3,8 4,0 
T
a
b
e
l
a
 
1
 
ex ......................... 
T
a
b
e
l
a
 
2
 
ex ......................................................... 
 
 
Solução: 
O erro pela fórmula de Simpson com a Tabela 1 é 
{
K0111111,0e.
90
1)e(máxD.
90
1E
K
0,4x4
5
Simpsontr === 
 
O erro pela fórmula do trapézio com a Tabela 2 é 
{
K0066666,0e.
6
)008,0.(5)e(máxD.
12
2,0
.10E
K
0,4x2
3
Trapéziotr === 
 
O erro pela fórmula do trapezio é menor que o erro pela fórmula de Simpson. 
Portanto, a tabela 2 formece o melhor resultado. 
QUESTÃO 4: Usando a fórmula de Euler-modificado, dada abaixo, com a e-
quação diferencial y’=x−y, complete as lacunas com ? para a seguinte tabela: 
 K1=F(x,y) 





++= 12 K.2
hy,
2
h
xFK y(x+h)=y(x)+h.K2 
x y(x) K1 K2 
x0=? 0 ? 1,0 ? −1,0 −0,8 
x1=0,2 ? 0,84 
x2=0,4 
 
 
Solução: 
Pela tabela, o passo é h=0,2 e x1− x0=0,2 então x0=0 
A fórmula de Euler-modificado adaptada para a questão é dada por: 
K1=f(x,y)=x−y 
K2= 11 K1,0)x(y1,0xK.2
hy,
2
h
xf −−+=





++ =0,9x−0,9y(x)+0,1 
y(x+h)=y(x)+h.K2 ⇒ y(x+0,2)=y(x)+0,2.(0,9x−0,9y(x)+0,1) 
 y(x+0,2)=0,18x+0,82.y(x)+0,02 
Para x0=0 





=⇒−=−
+−=−=
−=
⇒
1)0(y)0(y9,09,0
1,0)0(y.9,0)0.(9,08,0k
)0(y0k
2
1
 
y(x1)=y(0+0,2)=0,18.(0)+0,82.(1)+0,02=0,84 
 
B