CONTEUDOS II ; III e IV IC280 UFRRJ

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IC280 – Estatística Básica e IC281 – Introdução à Bioestatística
Professor Marcelo Jangarelli – DEMAT – ICE - UFRRJ
CONTEÚDO II
PROBABILIDADE 
1 – INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES
	A teoria da probabilidade representa um instrumento para a construção e análise de modelos matemáticos relacionados a fenômenos aleatórios. Ao estudarmos um fenômeno aleatório estamos diante de um experimento cujo resultado não pode ser determinado, mas sim ter o seu comportamento probabilístico. 
Modelo Determinístico → É o modelo em que a partir das condições sobre as quais um experimento é executado pode-se determinar o seu resultado. 
Ex.: s = -1,6 t2 + v0t
Modelo Não-Determinístico ou Probabilístico → É o modelo em que às condições de execução de um experimento não permitem determinar o seu resultado, mas sim apenas um comportamento probabilístico do resultado a ser observado. 
Ex.: Previsão do tempo
Experimentos Probabilísticos ou Aleatórios → São experimentos que repetidos diversas vezes, sob condições idênticas, podem fornecer resultados distintos entre as repetições, ou seja, os resultados podem não ser os mesmos.
Ex1: Lançar um dado e verificar sua face superior
Ex2: Lançar uma moeda e verificar sua face superior
Espaço Amostral → Representa o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Notação: “S”.
S1: {1;2;3;4;5;6} 
S2: {Ca ; Co}
Evento → É um subconjunto qualquer do espaço amostral, ou mesmo um conjunto particular de resultados do “S”. Será útil considerarmos o “S” e o conjunto vazio (Ø) como eventos. O primeiro é considerado evento certo → P(S) = 1. O segundo evento impossível → P(Ø) = 0.
Ex1.: Evento A = Ocorrer face ímpar no lançamento de um dado → A = {1;3;5}
Ex2.: Evento B = Ocorrer face par no lançamento de um dado → B = {2;4;6}
Ex3.: Evento C = Ocorrer face superior a dois (2) no lançamento de um dado → 
C = {3;4;5;6}
Eventos Mutuamente Exclusivos (Disjuntos) → Dois (ou mais) eventos são mutuamente exclusivos se, e somente se, a ocorrência de um evento impedir a ocorrência do (s) outro (s). Ou seja, eles não possuem ponto em comum.
Ex.: Eventos A e B
Eventos Não-Mutuamente Exclusivos ou Eventos Quaisquer → Dois (ou mais) eventos são designados como eventos quaisquer quando eles podem ocorrer simultaneamente (possuem pontos em comum).
Ex.: Eventos A e C ou Eventos B e C
União de Eventos (U) → É a união de dois (ou mais) eventos, representando a ocorrência de pelo menos um dos eventos “A” ou “B”, para o caso “A U B”.
Ex.: A U B = {1;2;3;4;5;6}
Interseção de Eventos (∩) → É a interseção de dois (ou mais) eventos, representando a ocorrência simultânea dos eventos “A” e “B”, para o caso “A ∩ B”.
Ex.: A ∩ B = { Ø }
Eventos Complementares → Dois ou mais eventos são complementares quando sua união resulta no “S”.
Ex.: Eventos A e B, ou seja, 
o evento B é definido como sendo o “AC” (Evento A Complementar)
Frequência Relativa → Considere um experimento e os eventos “A” e “B” a ele associado. Se após “n” realizações/repetições do experimento forem observados nA e nB resultados favoráveis aos eventos A e B, respectivamente, então suas frequências relativas serão: fA = nA/n e fB = nB/n.
Propriedades da Frequência Relativa:
0 ≤ fA ≤ 1
fA = 1 ↔ nA = n
fA = 0 ↔ nA = 0
Se A ∩ B = Ø, então fAUB = fA + fB
Princípio da Regularidade Estatística → Este princípio afirma que se um experimento for realizado sob as mesmas condições e um grande número de vezes, a frequência relativa tende a se estabilizar e se aproximar do seu valor de probabilidade. A Probabilidade de um determinado evento (A) deve satisfazer as seguintes condições:
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = 1
Se A ∩ B = Ø, então P(A U B) = P(A) + P(B); Esta condição pode ser generalizada para o caso de um número finito de eventos mutuamente exclusivos → P(A1 U A2 U ... U An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
P(S) = P(A) + P(AC) = 1
Se os elementos do “S” são equiprováveis, isto é, apresentam a mesma chance de ocorrer, definimos a probabilidade do evento A pela expressão:
P(A) = 
2 – TEOREMAS DE PROBABILIDADE
Teorema 1 → Seja o Evento Vazio (Ø), então: P(Ø) = 0
Teorema 2 → AC denomina-se Evento A Complementar, então: P(AC) = 1 – P(A)
Teorema 3 → Sejam “A” e “B” dois Eventos Quaisquer associados ao mesmo experimento aleatório, então: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Teorema 4 → Sejam “A”, “B” e “C” três Eventos Quaisquer associados ao mesmo experimento aleatório, então: 
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
3 – INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
	Sejam “A” e “B” dois eventos quaisquer, associados ao mesmo experimento aleatório. Dizemos que “A” e “B” são dois Eventos Independentes se for válida a igualdade:
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
	Supondo a presença de três eventos quaisquer “A”, “B” e “C”. Eles serão independentes se, e somente se, forem válidas as seguintes condições:
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
P(A ∩ C) = P(A) x P(C)
P(B ∩ C) = P(B) x P(C)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C)
4 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
	Sejam “A” e “B” dois eventos quaisquer, associados ao mesmo experimento aleatório. A probabilidade do evento “A” ocorrer uma vez que o evento “B” tenha ocorrido, ou seja, a Probabilidade Condicional de “A” dado que “B” ocorreu, é definida por:
P(A/B) = 
 QUOTE ��, para P(B) > 0
(Lê-se: Probabilidade Condicional de “A” dado que “B” ocorreu)
OBS: Quando P(B) = 0 tem-se que P(A/B) = 0.
4.1 Teorema do Produto das Probabilidades
	Vimos que a Probabilidade Condicional do evento “A” na hipótese de que o evento “B” tenha ocorrido é dada por:
P(A/B) = 
	Multiplicando ambos os lados da igualdade obtêm-se:
P(A ∩ B) = P(A/B) x P(B)
Este resultado é designado pelo nome “Teoria do Produto das Probabilidades”. É de grande utilidade, pois permite o cálculo da probabilidade de interseção de eventos a partir da probabilidade condicional. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – De acordo com o experimento de cada alínea defina seu espaço amostral (S):
Lançamento de uma moeda duas vezes;
Jogar um dado e observar sua face superior;
Uma fábrica produz determinado artigo. Da linha de produção são retirados três artigos, cada qual classificado como Bom (B) ou Defeituoso (D).
2 – Determinar os eventos de acordo com os experimentos das alíneas do exercício anterior:
Evento A → Ocorrência de uma cara;
Evento B → Ocorrência de face menor que seis;
Evento C → Obtenção de dois artigos defeituosos.
3 – Um lote é formado por dez artigos bons, quatro com defeitos menores e dois com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Calcular a probabilidade de que:
Ele não tenha defeitos;
Ele não tenha defeitos graves;
Ele seja perfeito ou tenha defeitos graves.
4 – Considere um experimento aleatório e os eventos A e B associados a ele. Sabendo-se que P(A) = 1/2; P(B) = 1/3 e P(A ∩ B) = 1/4. Determinar:
P(AC);
P(BC);
P (A U B).
5 – Sejam A, B e C três eventos associados ao mesmo espaço amostral. Sabe-se que P(A) = P(B) = 1/3; P(C) = 1/4; P(A ∩ B) = 1/8; P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 1/9 e P(A ∩ B ∩ C) = 1/20.
Calcular as seguintes probabilidades:
De um evento “X”, que consiste na realização de pelo menos um dos eventos A, B ou C; 
Os eventos A, B e C são independentes?
Os eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?
6 – O quadro abaixo apresenta a divisão dos alunos matriculados em determinado Instituto de Matemática.
	
	Sexo
	
	Curso
	Masculino
	Feminino
	Total
	Matemática Pura (MP)
	70
	40
	110
	Matemática Aplicada (MA)
	15
	15
	30
	Estatística (E)
	10
	20
	30
	Computação (C)
	20
	10
	30
	Total
	115
	85
	200
	
Determinar:
A probabilidade de o aluno estar matriculado em Matemática Pura (MP);
A probabilidade de o aluno ser do sexo feminino;
Dado que o aluno escolhido ao acaso esteja matriculado no curso de Estatística (E), qual a probabilidade de ser dosexo feminino;
Sabendo que uma aluna foi escolhida, qual a probabilidade dela estar matriculada no curso de Estatística (E).
7 – Em determinado instituto de ciências exatas 25% dos estudantes foram reprovados em Matemática (M), 15% em Estatística (E) e 10% em Matemática e Estatística. Um estudante é selecionado aleatoriamente.
Se ele foi reprovado em Estatística, qual é a probabilidade de ter sido reprovado em Matemática?
Se ele foi reprovado em Matemática, qual é a probabilidade de ter sido reprovado em Estatística?
Qual é a probabilidade de ter sido reprovado em Matemática ou Estatística?
Qual é a probabilidade de ter sido reprovado apenas em Estatística?
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 – Defina e dê exemplo:
Espaço Amostral;
Evento;
Evento Mutuamente Exclusivo;
Evento Não Mutuamente Exclusivo;
Evento Independente;
Evento Dependente.
2 – Considerando o espaço amostral de um experimento constituído do lançamento de dois dados perfeitamente simétricos, pede-se:
Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre a face 5 e o segundo a face 3?
Qual a probabilidade de que os dois dados mostrem um número par?
Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre um número menor em sua face em comparação ao segundo dado?
3 – Uma moeda perfeita é lançada três vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer:
Pelo menos uma cara?
Só cara ou só coroa?
Exatamente uma cara?
4 – Em um processo produtivo, 10% dos itens fabricados apresentam defeito. Qual a probabilidade na escolha aleatória de dois itens:
De os dois serem defeituosos?
De os dois não serem defeituosos?
De pelo menos um ser defeituoso?
5 – Em determinada universidade, dos 300 estudantes matriculados no curso de Ciências Biológicas, 100 cursam Química, 80 Estatística e 30 ambas as disciplinas. Ao escolher aleatoriamente um estudante de Ciências Biológicas, qual a probabilidade de ele cursar:
Química?
Estatística?
Estatística e Química?
Nenhuma das duas disciplinas?
Estatística ou Química?
6 – Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral S. Sabendo-se que: P(A) = P(B) = 1/3; P(C) = 1/4; P(A∩B) = 1/8; P(A∩C) = P(B∩C) = 1/9 e P(A∩B∩C) = 1/20. Calcular as probabilidades:
De ocorrer pelo menos um dos eventos A, B ou C;
De que não se realize nenhum dos eventos A, B ou C;
7 – Jogam-se dois dados. Se as duas faces mostram números diferentes, qual a probabilidade de que uma das faces seja o 4?
8 – Quatro equipes A, B, C e D participam de um torneio que premiará uma única equipe campeã. Com relação às probabilidades de cada equipe vencer o torneio, as equipes C e D são equiprováveis, a equipe A é duas vezes mais provável de vencer em relação a equipe B, sendo esta (equipe B) duas vezes mais provável de vencer em relação as equipes C e D. Pede-se: Qual a probabilidade de que as equipes C ou D sejam campeãs?
9 – Se P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4. Calcular: P(AC), P(BC) e P(AUB), se:
A e B são eventos mutuamente exclusivos;
A e B são eventos quaisquer e independentes.
10 – Uma urna contém cinco bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas três bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?
11 – Uma caixa A contém oito peças, das quais três são defeituosas. Uma outra caixa B contém cinco peças, das quais duas são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa.
Qual a probabilidade “p” de ambas as peças não serem defeituosas?
Qual a probabilidade “p” de que uma peça seja defeituosa e a outra não?
12 – Uma urna contém 12 bolas: cinco brancas, quatro vermelhas e três pretas. Outra urna contém 18 bolas: cinco brancas, seis vermelhas e sete pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?
Gabarito
2 – a) 1/36 
 b)1/4 
 c) 5/12
3 – a) 7/8 
 b)1/4 
 c) 3/8
4 – a) 0,01 
 b) 0,81
 c) 0,19
5 – a) 1/3 
 b) 4/15
 c) 1/10
 d)1/2 
 e)1/2 
6 – a) 223/360 
 b) 137/360
7 – 1/3
8 – 1/4
9 – a) 1/2 3/4 3/4 
 b) 1/2 3/4 5/8 
10 – 9/40
11 – a) 3/8 
 b) 19/40
12 – 35/108
CONTEÚDO III
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
1 – INTRODUÇÃO E CONCEITOS
Variável Aleatória (v.a.) é toda e qualquer variável associada a uma probabilidade, isto é, os seus valores estão relacionados a um experimento aleatório.
	Exemplo: Ao jogar uma moeda duas vezes, o espaço amostral associado a este experimento aleatório será: S = { Ca Ca ; Ca Co ; Co Ca ; Co Co}.
Podemos considerar, por exemplo, uma variável aleatória “X”, que pode ser representada pelo número de caras na face superior da moeda. Temos então uma função definida no espaço amostral, que será denominada variável aleatória, sendo designada, em geral, por uma letra maiúscula (X, Y, Z, ...).:
	Espaço Amostral (S)
	Variável Aleatória (X)
	Ca Ca
	2
	Ca Co
	1
	Co Ca
	1
	Co Co
	0
	
	Uma variável aleatória pode ser classificada como Variável Aleatória Discreta (v.a.d.) ou Variável Aleatória Contínua (v.a.c.).
Variável Aleatória Discreta: Seja X uma Variável Aleatória (v.a.). Se o conjunto de valores de X for finito ou infinito enumerável, então X é definida como uma Variável Aleatória Discreta (v.a.d.), sendo obtida mediante a alguma forma de contagem. Exemplos: Número de filhos do sexo masculino de um casal; Número de peças defeituosas produzidas por uma máquina; etc.
Variável Aleatória Contínua: Seja X uma Variável Aleatória (v.a.). Se X puder assumir todo e qualquer valor em algum intervalo “a ≤ X ≤ b”, em que a e b podem assumir de “- (” a “+ (”, então X é definida como uma Variável Aleatória Contínua (v.a.c.). A v.a.c. está associada a um espaço amostral infinito e não enumerável. Exemplos: Altura dos estudantes da UFRRJ; Peso de um lote (grupo) de animais; etc.
2 – DISTRIBUIÇÕES DE BERNOULLI E BINOMIAL: Variável Aleatória Discreta
Uma Variável Aleatória Discreta (v.a.d.) X que segue Distribuição de Bernoulli admite apenas dois tipos de resultados, denominados sucesso e fracasso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é igual ao parâmetro “p”.
Exemplos de experimentos que seguem Distribuição de Bernoulli:
Lançar uma moeda e observar a face superior. Os possíveis resultados são cara (sucesso) e coroa (fracasso) OU cara (fracasso) e coroa (sucesso);
Lançar um dado e observar se ocorre à face 5, designada como sucesso, enquanto que a ocorrência das outras faces representariam o fracasso (faces 1; 2; 3; 4 ou 6).
Seja X o número de sucessos em n repetições independentes e idênticas de um Experimento de Bernoulli caracterizado com o parâmetro p. Neste caso, X passa a seguir a Distribuição Binomial caracterizada pelos parâmetros n (nº de repetições) e p (probabilidade de sucesso). 
Notação da Distribuição Binomial: X ~ B (n ; p) → X segue Distribuição Binomial com n repetições e p probabilidade de sucesso.
	A média [Esperança Matemática: E(...)] e a variância de uma variável aleatória discreta X que segue Distribuição Binomial são definidas por:
E(X) = n.p
V(X) = n.p.q, em que “q = 1 – p” (q = probabilidade de fracasso)
	
Exemplos de experimentos que seguem Distribuição Binomial:
n lançamentos de uma moeda, em que X = número de caras (sucesso);
n lançamentos de um dado, em que X = número de vezes que ocorre a face 5 (sucesso).
OBS: Ressaltar que a v.a.d. X que segue Distribuição Binomial pode assumir os valores:
X = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; n}
A Função de Probabilidade de uma v.a.d. X que segue Distribuição Binomial é definida por:
P(X = x) = 
,
em que: 
p + q = 1
3 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL: Variável Aleatória Contínua
Uma Variável Aleatória Contínua (v.a.c.) X que segue Distribuição Normal é caracterizada pelos parâmetros média (μ) e variância (σ2). Essa distribuição,também denominada de Distribuição Simétrica, apresenta um gráfico em formato de sino (Curva Normal).
A Função Densidade de Probabilidade de uma v.a.c. X que segue Distribuição Normal é definida por:
, -∞ < x < ∞ ,
em que: 
e = 2,71828… ; π = 3,14159…
Notação da Distribuição Normal: X ~ N (μ ; σ2) → X segue Distribuição Normal com média μ e variância σ2.
3.1 Características da Distribuição Normal
A curva normal é simétrica em torno de sua média (μ);
A área total abaixo da curva normal vale 1 (um). Devido a sua simetria, 50% da área ficam à esquerda da média e 50% ficam à direita da média;
A média, a mediana e a moda são iguais (Distribuição Simétrica);
A Distribuição Normal fica completamente caracterizada identificando os parâmetros μ e σ2 (μ pode assumir qualquer valor real e σ2 é sempre positiva);
3.2 Distribuição Normal Padrão ou Normal Reduzida
	Uma v.a.c. X segue Distribuição Normal Padrão ou Normal Reduzida se X ~ N (0 ; 1), ou seja, se X apresentar uma Distribuição Normal com média 0 e variância 1. A Função Densidade de Probabilidade de uma v.a.c. X que segue Distribuição Normal Padrão é definida por:
, -∞ < x < ∞
	Os procedimentos matemáticos para definir percentuais (área abaixo da curva normal) para uma v.a.c. X que segue Distribuição Normal Padrão é facilitado por ela estar tabelada. Assim, para determinar uma área abaixo da Curva da Normal Padrão, entre dois pontos quaisquer, não há necessidade de calcular a integral de sua Função Densidade de Probabilidade. Para obter a área de interesse sob a Curva da Normal Padrão utiliza-se a Variável Normal Padronizada (Z):
 , 
em que:
Z = Valor da Variável Normal Padronizada (valores tabelados); 
X = Valor específico assumido pela v.a.c. X; 
μ = Média da v.a.c. X; 
( = Desvio Padrão da v.a.c. X.
	Notação da Variável Normal Padronizada (Z): Z ( N (μ ; σ2) → Z ( N (0 ; 1).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Um produtor de sementes afirma que 80% das sementes produzidas por determinado genótipo germinam. Você planta cinco destas sementes compradas deste produtor. Qual a probabilidade de:
Exatamente duas sementes germinarem;
Exatamente duas sementes não germinarem;
Pelo menos duas sementes germinarem;
Suponha que 100 pessoas estejam em situação análoga a sua, isto é, cada uma plantou cinco destas sementes. Para quantas pessoas espera-se que exatamente duas sementes germinem?
2 – Entre 2.000 famílias com quatro crianças cada, quantas famílias são esperadas que apresentem:
Pelo menos um menino;
Exatamente uma menina.
3 – Calcular:
P(Z ≤ 1,82);
P(Z ≤ - 2,03);
P(- 2,55 ≤ Z ≤ 1,20);
P(Z ≥ 1,93).
4 – Seja X uma v.a.c. normalmente distribuída com média 850 e desvio padrão 48. Determinar:
P(X < 790);
P(X > 940);
P(760 < X < 920).
5 – Em determinada região, a altura das pessoas apresenta distribuição normal com desvio padrão de 8 cm e tal que 20% da população é constituída de pessoas com menos de 168 cm de altura. Calcular o percentual de pessoas com altura:
Superior a 190 cm;
Entre 170 e 185 cm.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 – Determinar a probabilidade de que, em cinco lançamentos de um dado, apareça a face 3:
Duas vezes;
No máximo uma vez;
Ao menos duas vezes.
2 – Considere a amostragem de 3 peças que saem de uma linha de produção. Sabe-se que desta linha de produção 20% das peças são defeituosas. Calcular as probabilidades:
De duas peças serem defeituosas;
De duas peças não serem defeituosas;
Quantas peças defeituosas são esperadas em uma amostragem de 500 peças?
3 – Sabe-se que 24% dos indivíduos que recebem determinado medicamento sofrem certos efeitos colaterais. Se este medicamento for ministrado a quatro pacientes, qual a probabilidade de:
Nenhum sofrer efeitos colaterais;
Pelo menos um sofrer efeitos colaterais;
Três não sofrerem efeitos colaterais.
4 – Em uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e somente uma correta, pede-se:
Em média, quantas questões acerta um aluno que marca todas as questões inteiramente ao acaso?
Qual a probabilidade do aluno acertar 5 questões?
5 – Se X ~ B (16 ; 0,75), determinar:
A média de X;
A variância de X.
6 – Dada uma distribuição normal com μ = 100 e σ = 10. Determinar a probabilidade de que:
X > 75;
75 < X < 85;
X > 112;
X < 80 ou X > 110;
X < 80 e X > 110;
X < 90 e X > 80;
Considere que 80% dos dados estejam entre dois valores X1 e X2 (simetricamente distribuídos em torno da média). Encontrar os dois valores;
Considere que 70% dos dados estejam abaixo de determinado valor X. Encontrar o valor de X.
7 – As notas de uma prova são normalmente distribuídas com média 73 e variância 225. Os 15% melhores alunos recebem o conceito A e os 11,9% piores alunos recebem o conceito R (Reprovado). Pede-se:
Nota mínima para receber o conceito A?
Nota mínima para ser aprovado?
P(X ≥ 55,3).
8 – A obtenção dos pesos X, de um grande número de espigas de milho, mostrou que essa variável é normalmente distribuída com média μ = 120g e desvio padrão σ = 10g. Em um programa de melhoramento genético da cultura do milho, entre outras características, uma linhagem deve satisfazer à condição 112g < X < 140g. Em um programa envolvendo 450 linhagens, qual deve ser o número provável de linhagens que atende a essa condição (112g < X < 140g)?
9 – Sabe-se que o peso médio, em arrobas, de abate de bovinos é normalmente distribuído com média 18 e variância 2,25. Um lote de 5.000 cabeças foi destinado ao frigorífico que abate só a partir de um peso mínimo W. Sabendo-se que foram abatidas 4.200 cabeças, pede-se:
O valor de W;
O número esperado de bovinos com peso entre 17 e 19 arrobas.
10 – Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio tem distribuição normal com média 12 cm3/min e desvio padrão 1,5 cm3/min. Determinar:
O percentual de indivíduos sadios com consumo inferior a 10 cm3/min;
O percentual de indivíduos sadios com consumo superior a 8 cm3/min;
O percentual de indivíduos sadios com consumo entre 9,4 e 13,2 cm3/min;
O valor do consumo renal que é superado por 98,5% dos indivíduos sadios.
Gabarito
1 – a) 625/3888 b) 3125/3888 c) 763/3888
2 – a) 0,096 b) 0,384 c) 100
3 – a) 0,3336 b) 0,6664 c) 0,4213
4 – a) 2 b) 0,0264
5 – a) 12 b) 3
6 – a) 0,9938 b) 0,0606 c) 0,1151 d) 0,1815 
 e) 0 f) 0,1359 g) 87,2 e 112,8 h) 105,2
7 – a) 88,6 b) 55,3 c) 0,8810
8 – 345
9 – a) 16,52 b) 2.486
10 – a) 0,0918 b) 0,9962 c) 0,7463 d) 8,745
CONTEÚDO IV
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
1 – INTRODUÇÃO 
Ao retirar uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta amostra qualquer quantidade (medidas descritivas numéricas), encontramos estatísticas, ou seja, chamaremos os valores calculados em função dos elementos da amostra de estatísticas.
	As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, com uma média, uma variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística é denominada de Distribuição Amostral.
	A Inferência Estatística tem por objetivo fazer generalização sobre uma população com base em dados de uma amostra. As populações são caracterizadas por medidas descritivas numéricas chamadas de parâmetros. Muitas pesquisas tem por objetivo fazer inferência a respeito de um ou mais parâmetros da população. Essa inferência pode ser por meio de um único valor numérico (estimação por ponto), por uma amplitude de valores numéricos (estimação por intervalo) ou pelo simples “sim” ou “não” (teste de hipótese).
A estimação por ponto utiliza a informação da amostra para chegar a um único valor numérico ou ponto, que estima o parâmetro de interesse (parâmetro populacional). Ex: Média, Variância, Coeficiente de Variação,etc.
	A estimação por intervalo utiliza a informação da amostra para chegar a dois números, entre os quais se espera encontrar o parâmetro de interesse. Caso este intervalo esteja associado a uma probabilidade “1 – α”, tem-se um intervalo de confiança com coeficiente de confiabilidade (c) de “1 – α”.
2 – CONCEITOS
População: é o conjunto de todos os elementos sobre os quais desejamos desenvolver determinado estudo;
Amostra: é uma parte dos elementos da população, ou seja, qualquer subconjunto da população;
Parâmetro: é uma medida utilizada para descrever uma característica da população;
Estatística: é uma medida utilizada para descrever uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T é uma função de X1, X2, X3, ..., Xn → T = f (X1, X2, X3, ..., Xn);
Estimador: é qualquer estatística T = f (X1, X2, X3, ..., Xn) utilizada para estimar uma quantia desconhecida. Em geral, ele é representado por uma determinada fórmula;
Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores observados (X1, X2, X3, ..., Xn) são considerados.
3 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
	A Distribuição Amostral de determinada Estatística (Ex. média) é a distribuição de todos os possíveis valores que ela pode assumir calculados a partir de todas as possíveis amostras de mesmo tamanho extraídas da população.
A Distribuição Amostral da Média é descrita para determinar o Valor Esperado (Esperança Matemática) [E(
)] e o Desvio Padrão (Erro Padrão da Média) [σ(
)] da distribuição das médias, sendo assim definidos:
E(
) = μ 	σ(
) = 
4 – INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) PARA A MÉDIA
	A estimação do intervalo de confiança para a média (μ) de uma característica da população, cuja variância (σ2) seja conhecida e que apresente distribuição normal, pode ser definida pela expressão:
IC (μ) 1 – α: 
 ± 
	O objetivo da estimação por intervalo é gerar intervalos pequenos que incluam o verdadeiro parâmetro populacional (Ex.: μ) com alta probabilidade. O comprimento do intervalo de confiança pode ser obtido pela diferença entre os limites superior e inferior (LSup. – LInf.) do intervalo, ou também pela expressão:
Comprimento do IC = 2.
A interpretação do IC pode ser assim mencionada: “Tem-se 1 – α (%) de confiança de que o parâmetro populacional (μ) esteja compreendido no intervalo obtido”. Ou mesmo, “Se construirmos n intervalos do mesmo tipo (tamanho e confiança), espera-se que em 1 – α (%) deles contenha o verdadeiro parâmetro (μ)”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Uma Variável Aleatória X apresenta Distribuição Normal, com média 100 e desvio padrão 10. Determinar:
P (95 < 
 < 105); Considerando 
 a média de uma amostra de 25 elementos.
O tamanho (n) que deveria ter a amostra para que P (90 < 
 < 110) fosse obtida a 95% de confiança.
2 – Seja X a durabilidade (em horas) de uma peça de equipamento, tal que σ = 5 horas. Admita que 100 peças foram amostradas fornecendo uma durabilidade média (
) de 500 horas. Determinar:
Um intervalo de 95% de confiança para a média (μ);
O tamanho da amostra para o intervalo obtido: IC (μ)95%: 500 ± 1,63.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 – Para avaliar a precisão de uma balança de laboratório, pesa-se repetidas vezes um objeto padrão de peso conhecido igual a 10 gramas. As leituras da balança tem distribuição normal. Sabe-se que o desvio padrão das leituras é de 0,0002 gramas. Pesa-se o objeto cinco vezes e o resultado médio é 10,0023 gramas. 
Estabelecer um intervalo de 95% de confiança para a média das repetidas pesagens do objeto;
Quantas pesagens devem entrar no cálculo da média a fim de que se obtenha uma margem de erro de ( 0,0001 com 95% de confiança?
2 – Uma agência de propaganda, que atende a uma das principais estações de rádio, gostaria de calcular a quantidade média de tempo que a audiência gasta diariamente ouvindo a rádio. rio?ess99% de confiança, que tamanho de amostra a num intervalo de ������������������������������������������������������������A partir de estudos anteriores determinou-se o desvio padrão de 45 minutos. Determinar:
O tamanho da amostra caso a agência queira ter 90% de confiança de estar correta em um intervalo de ± 5 minutos;
O novo tamanho da amostra caso seja desejado um nível de 99% de confiança; (considerar a mesma margem de erro da alínea anterior: ± 5 minutos)
Faça inferências a respeito dos tamanhos das amostras encontrados nas alíneas anteriores (a e b), justificando o motivo de suas dimensões distintas.
3 – Estudos anteriores levam a supor que crianças de dois meses alimentadas exclusivamente com leite do Tipo A sofrem um aumento de peso que segue distribuição normal, com média desconhecida, porém com variância de 9.000 gramas2. Escolhe-se ao acaso 20 crianças de dois meses, alimentando-as exclusivamente com leite do tipo A. Nesta amostra o aumento de peso médio foi de 475 gramas. Estabelecer um intervalo de 99% de confiança para o aumento médio do peso em crianças submetidas às condições apresentadas.
4 – O consumo mensal de calorias (kcal/g) de determinada espécie de esquilo segue distribuição normal com desvio padrão 0,16. Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral do consumo de calorias foi de 0,41. Determinar:
Um intervalo de confiança a 95% para o consumo médio de calorias;
A dimensão da amostra para que um intervalo de confiança a 95% para o consumo médio de calorias tenha amplitude (comprimento) 0,2.
5 – Qual a dimensão (tamanho) da amostra a recolher de uma população normal de valor médio μ e desvio padrão 10, de modo que o intervalo de confiança para μ a 99% tenha amplitude (comprimento) de uma unidade (1)?
Gabarito
1 – a) 10,0021247 
 10,0024753 b) n = 15,37 ≈ 16
2 – a) n = 220,52 ≈ 221 b) n = 539,17 ≈ 540
3 – 420,27 
 529,73
4 – a) 0,3361 
 0,4839 b) n = 9,83 ≈ 10
5 – n = 2.662,56 ≈ 2.663
APÊNDICE
	
	Esta Tabela será utilizada em prova. Portanto, não deverá conter informações adicionais.
Nome: _______________________________________________________________
Matrícula / Curso: _____________________________________________________
Tabela 1. Valores da Distribuição Normal Padrão.
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