Concreto Armado - Prof. Fernando Relvas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1 
 
 
 
PROF. FERNANDO JOSÉ RELVAS 
2015 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
2 
1.CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1.1 Propriedades 
1.1.1 Trabalhabilidade (NBR - 7223) 
É a propriedade de se adaptar às formas que se deseja dar às estruturas. 
A trabalhabilidade do concreto se apresenta como uma das suas principais 
vantagens. 
Assim sendo, a trabalhabilidade do concreto deve ser adequada com a conformação 
e dimensões da peça, como também com a disposição da armadura e métodos de 
lançamento e adensamento. 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.2 Durabilidade 
É a propriedade de resistir bem às ações do meio ambiente. 
O concreto apresenta boa durabilidade, entretanto dever-se-ia tomar cuidados 
especiais, quando o ambiente ao qual fica exposto o concreto apresentar grande 
agressividade. 
1.1.3 Resistência Mecânica 
A principal resistência mecânica do concreto é aos esforços de compressão. 
A resistência á compressão do concreto é obtida através de ensaios de corpos de 
provas cilíndricos normais conforme a NBR-5738, enquanto que a resistência à 
tração é obtida através também de ensaios de corpos de prova cilíndricos normais 
de acordo com a NBR-7222 fazendo-se a devida transformação para a resistência à 
tração axial, ou como uma parte da resistência à compressão. 
 Lajes 5 a 6 Lançamento 
SLUMP Vigas 5 a 7 Convencional 
 Paredes 8 a9 
 
 
 
L = Abatimento 
30 
20 
10 
L 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
3 
Quando não se citar a idade do corpo de prova, tomar-se-á como tendo a idade de 
28 dias. 
1.2. Colaboração entre o concreto e a armadura 
A colaboração entre o concreto e a armadura chama-se aderência. 
É por este fenômeno que existe o concreto armado. 
A aderência entre o concreto e a armadura, faz com que ambos os materiais 
trabalhem como sendo uma única peça. 
A aderência é provocada pela adesão eletroquímica (colagem) + atrito (pressão 
lateral) + ancoragem mecânica entre as barras de aço e concreto (curvas e 
dobramentos) + encunhamento. 
Para aumentar a ancoragem mecânica entre a armadura e o concreto, fabricam-se 
as barras com saliência ou mossas. 
1.3. Vantagens e desvantagens do concreto armado 
1.3.1. Vantagens 
a) Trabalhabilidade 
b) Durabilidade 
c) Boa resistência ao fogo 
d) Impermeabilidade 
e) Bom trabalho a compressão 
f) Baixo Custo 
1.3.2. Desvantagens 
a) Mau trabalho na tração 
b) Material heterogêneo 
c) Características mecânicas variáveis 
d) Peso específico alto 
e) Forma de execução, empírica e baixo controle executivo. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
4 
1.4. Monolitismo Estrutural 
É a característica que tem o concreto de ligar entre si todas as peças estruturais, 
permitindo que sob a ação de uma força, os esforços se distribuam através de toda 
estrutura e não apenas localizadamente na peça que se aplicou a ação. 
É o monolitismo a principal causa da redistribuição dos esforços e portanto, 
da grande segurança estrutural das obras de concreto armado. 
1.5. Efeito térmico do concreto 
A condutividade térmica do concreto é baixa (bom isolante). 
Os coeficientes de dilatação do concreto e do aço apresentam valores próximos, 
podendo-se para fins práticos, toma-los como igual, o que muito beneficia o 
desempenho das estruturas sujeitas a variação de temperatura. 
A partir dos 700ºC o coeficiente de dilatação térmico do aço passa a aumentar 
chegando em altas temperaturas a ser 30 vezes maior, enquanto que o do concreto 
permanece constante, daí os problemas causados nas estruturas sujeitas a 
incêndios. 
1.6. Efeito da corrosão no aço 
Defeitos no recobrimento relativos a espessura ou mau adensamento, podem 
originar o ataque que pode se dar por: 
1.6.1. Oxidação 
4 Fe + 302 + 6H20  4 Fe (OH)3 
(ferrugem) 
A água colocada “a mais”, uma parte se evapora e a outra parte em contato com o 
oxigênio origina a ferrugem. 
1.6.2. Carbonatação 
O hidróxido de cálcio se forma do oxido de cálcio e silicatos do cimento Portland por 
reação durante o amassamento com a água. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
5 
Ca0 + H20 Ca (0H)2 Ca (0H)2 + C02  Ca C03 + H20 
Se conseguir chegar (C02) por mau recobrimento até o Ca (0H)2 que recobre o aço, 
forma-se Ca C03 + H20 e deixa o aço pronto para ser atacado. 
1.6.3. Corrosão clorídrica 
 Fe+++ + 3C1-  Fe C13 
por hidrólise: 
Fe C13 + 30H  Fe (0H)3 + 3C- (para nova reação) 
 (ferrugem) 
Os íons cloro são em geral, liberados pelos aditivos ricos em cloretos, industriais 
químicas e atmosfera próxima ao mar. 
1.7. Breve noção sobre concreto protendido 
O concreto protendido baseia-se no fato de se comprimido, o diagrama de tensões 
praticamente se anula, quanto à tração, o que é altamente vantajoso. 
Esta compressão se obtém através de uma deformação (alongamento) prévio das 
“barras” de aço, que com a tendência de voltar ao seu comprimento normal, gera o 
esforço de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● ● 
 
 
 
 
 ● 
e 
 
 
_ 
 
 
+ 
 
 + 
+ 
- 
 
 
 
 
+ 
_ 
 
 
= 
 
 1 2 3 cabo 
 - 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
6 
1.8. Normas, Métodos e Especificações da ABNT, pertinentes ao 
concreto armado 
NBR - 6118 Projeto de estruturas de concreto. 
NBR - 7187 Pontes de concreto armado. 
NBR - 6119 Lajes mistas 
NBR - 6120 Cargas em edifícios. 
NBR - 7188 Cargas em pontes rodoviárias. 
NBR - 7189 Cargas em pontes ferroviárias. 
NBR - 5984 Desenho técnico. 
NBR - 7191 Desenho de concreto armado. 
NBR - 6123 Ação do vento. 
NBR - 5738 Confecção de corpos de prova. 
NBR - 5739 Ensaio de corpos de prova a compressão. 
NBR - 7222 Ensaios de corpos de prova a tração. 
NBR - 5732 Especificações para cimento portland comum. 
NBR - 7480 Especificações dos aços para concreto armado. 
NBR - 7211 Agregados para o concreto. 
NBR - 5627 Exigências particulares das obras de concreto armado e protendido 
em relação ao fogo. 
NBR - 7223 Consistência do concreto pelo abatimento do tronco de cone. 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
AMBIENTE DA CONSTRUÇÃO E DURABILIDADE DAS 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
2 
 
 
Prof. Fernando José Relvas 
2015 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
2 
AMBIENTE DA CONSTRUÇÃO E DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO 
As estruturas de concreto armado são tidas genericamente como de grande durabilidade. 
Este conceito é correto desde que sejam oferecidas as condições necessárias. 
Há de se diferenciar as estruturas de concreto simples e as de concreto armado, pois sob o 
aspecto de durabilidade podem ter comportamento muito distintos. 
A deterioração do concreto em si pode ser classificada como menos suscetível de degradação ao 
meio, em relação ao aço. 
Para o aço o simples contato com a umidade e o oxigênio já é suficiente para o inicio da sua 
deterioração (oxidação/corrosão). 
O aço presente nas estruturas de concreto armado deve estar portanto bem protegido. 
O material concreto, pela sua constituição básica, cimento portland,areia, brita e água, é 
naturalmente alcalino, criando portanto um meio protetivopara a armadura, contra a sua 
corrosão. 
Para que isto ocorra é evidente que os agregados (areia e brita) e a água não contenham 
agentes contaminantes/agressivos que interfiram nas características químicas do concreto. 
O concreto por sua vez não é um sólido perfeito, ou seja, apresenta uma porosidade/capilaridade 
que estará associada a sua qualidade, principalmente função do fator água/cimento. 
Esta porosidade pode portanto permitir a penetração de agentes agressivos, que podem vir por 
acabar atingindo a armadura e provocando sua deterioração. 
Com base nesta filosofia a nova norma NBR 6118, estabelece critérios mais rigorosos para a 
espessura mínima de envolvimento da armadura que é o denominado cobrimento. 
A NBR 6118 estabelece quatro classes de agressividade e para cada uma são especificados 
requisitos mínimos de qualidade para o concreto e as espessuras mínimas para o cobrimento. 
 
 
 
 
Tabela 1 - Classes de agressividade ambiental 
 
Classe de agressividade 
ambiental 
(CAA) 
Agressividade Risco de deterioração 
da estrutura 
I fraca insignificante 
II moderada pequeno 
III forte grande 
IV muito forte elevado 
 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
3 
 
 
Tabela 2 - Classes de agressividade ambiental em função das condições de exposição 
 Micro-clima 
Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras 
em geral 
 Seco1) 
UR  
65% 
Úmido ou ciclos2) 
de molhagem e 
secagem 
Seco3) 
UR  65% 
Úmido ou ciclos4) 
de molhagem e 
secagem 
Rural I I I II 
Urbana I II I II 
Marinha II III ----- III 
Industrial II III II III 
Especial 5) II III ou IV III III ou IV 
Respingos de 
maré 
----- ----- ----- IV 
Submersa  3m ----- ----- ----- I 
Solo ----- ----- não 
agressivo 
I 
úmido e agressivo 
II, III ou IV 
1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos 
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com 
argamassa e pintura. 
2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens. 
3) Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas de chuva em 
ambientes predominantemente secos. 
4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, 
branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, 
indústrias químicas. 
5) Macro clima especial significa ambiente com agress ividade bem conhecida, que 
permite definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos. Se o 
ambiente for seco, deve ser considerada classe de agressividade II nos 
ambientes internos e classe de agressividade III nos externos. 
 
 
 
 
 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
4 
 
 
 
Tabela 3 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto 
Concreto Tipo Classe de agressividade (tabela 1) 
I II III IV 
Relação 
água/aglomeran
te em massa 
CA 
 
 0,65  0,60  0,55  0,45 
CP 
 
 0,60  0,55  0,50  0,45 
Classe de 
concreto 
 
(NBR 8953) 
CA 
 
 C20  C25  C30  C40 
CP  C25  C30  C35  C40 
NOTAS: 
CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado 
CP Componentes e elementos estruturais de concreto protendido 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 4 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal 
para c=10mm 
 
 
Tipo de estrutura 
 
Componente ou 
elemento 
Classe de agressividade ambiental (tabela 1) 
 I 
 
 
II 
 
 
III 
 
 
IV3) 
Cobrimento nominal mm 
Concreto armado Laje2) 20 25 35 45 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
Concreto 
protendido1) 
Todos 30 35 45 55 
1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, 
sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de 
corrosão fragilizante sob tensão. 
 
2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com 
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento 
tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as 
exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento 
nominal ≥15 mm. 
 
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, 
condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente 
agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal ≥45mm. 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
 
ESTADOS LIMITES E AÇÕES 
3 
 
 
 
PROF. FERNANDO JOSÉ RELVAS 
2015 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
2 
1. ESTADOS LIMITES 
Para efeito do estudo das seções de concreto armado devem ser considerados os 
estado limite último e o estado limite de serviço. 
1.1. Estados Limites Últimos (ELU) 
A segurança das estruturas de concreto deve ser verificada em relação aos 
seguintes estados limites últimos: 
a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo 
rígido; 
b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, 
no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 
c) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
d) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos 
especiais. 
1.2. Estados Limites de Serviço (ELS) 
Generalidades 
Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, 
aparência, conforto do usuário e boa utilização funcional da mesma, sejam em 
relação aos usuários, seja às maquinas e aos equipamentos utilizados. 
2. AÇÕES 
2.1. Simbologia específica desta seção 
De forma a simplificar a compreensão e portanto a aplicação dos conceitos 
estabelecidos nesta seção, os símbolos mais utilizados, ou que poderiam gerar 
dúvidas, encontram-se a seguir definidos. 
A simbologia apresentada nesta seção segue a mesma orientação estabelecida na 
NBR - 6118. 
F Ações 
M1d,min Momento total de 1ª ordem de cálculo mínimo que possibilita o 
atendimento da verificação das imperfeições localizadas de um 
lance de pilar 
f1 Parte do coeficiente de ponderação das ações f que considera a 
variabilidade das ações 
f2 Parte do coeficiente de ponderação das ações f que considera a 
simultaneidade de atuação das ações 
f3 Parte do coeficiente de ponderação das ações f que considera os 
desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em 
projeto do ponto de vista das solicitações 
q Coeficiente de ponderação para as ações variáveis diretas 
qs Coeficiente de ponderação para a ação variável estabilizante 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
3 
gn Coeficiente de ponderação para as ações permanentes não 
estabilizantes 
g Coeficiente de ponderação para as ações indiretas permanentes 
(retração ou fluência) 
q Coeficiente de ponderação para as ações indiretas variáveis 
(temperatura) 
n Coeficiente de ajuste de f que considera o aumento de 
probabilidade de ocorrência de desvios relativos significativos na 
construção (aplicado em paredes e pilares com dimensões abaixo 
de certos valores) 
Θ1 Desaprumo de um elemento vertical contínuo 
oj Fator de redução de combinação para as ações variáveis diretas 
o Fator de redução de combinação para as ações variáveis indiretas 
o Fator de reduçãode combinação para ELU 
1 Fator de redução de combinação freqüente para ELS 
2 Fator de redução de combinação quase permanente para ELS 
2.2. Ações a considerar 
2.2.1. Generalidades 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que 
possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, 
levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. 
2.2.2. Classificação das ações 
As ações a considerar classificam-se de acordo com a NBR 8681 em: permanentes, 
variáveis e excepcionais. 
Para cada tipo de construção, as ações a considerar devem respeitar suas 
peculiaridades e as normas a ela aplicáveis. 
2.2.2.1. Ações permanentes 
2.2.2.1.1. Generalidades 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes 
durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes 
as ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. 
As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos 
mais desfavoráveis para a segurança. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
4 
2.2.2.1.2. Ações permanentes diretas 
Peso próprio 
Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes 
Empuxos permanentes 
2.2.2.1.3. Ações permanentes indiretas 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por: 
retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas 
e protensão. 
Retração do concreto 
Nos casos correntes das obras de concreto armado, função da restrição à retração 
do concreto, imposta pela armadura, o valor de cs (t, t0) pode ser adotado igual a -
15 x 10-5. Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm 
e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%. 
O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 
Nos elementos estruturais permanentemente submetidos a diferentes condições de 
umidade em faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da 
espessura do elemento estrutural, entre os dois valores correspondentes a cada 
uma das faces. 
 
Fluência do concreto 
Deslocamentos de apoio 
Imperfeições geométricas 
 
 
2.2.2.2. Ações variáveis 
2.2.2.2.1. Ações variáveis diretas 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o 
uso da construção, pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar as 
prescrições feitas por normas brasileiras específicas. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
5 
Cargas acidentais previstas para o uso da construção 
Ação do vento 
Ação da água 
Ações variáveis durante a construção 
2.2.2.2.2. Ações variáveis indiretas 
Variações uniformes de temperatura 
A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da 
temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela 
depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos 
estruturais que a compõem. 
Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas 
prescritas na NBR - 6118 para que sejam minimizados os efeitos das variações de 
temperatura sobre a estrutura da construção. 
Variações não uniformes de temperatura 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição 
significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa 
distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear 
entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura 
considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. 
2.2.2.3. Ações dinâmicas 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou 
vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das 
solicitações. 
2.2.2.24. Ações excepcionais 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos 
efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas 
ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas 
brasileiras específicas. 
2.3. Valores das ações 
2.3.1. Valores característicos 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos nesta seção em função 
da variabilidade de suas intensidades. 
Ações permanentes 
Ações variáveis 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
6 
2.3.2. Valores representativos 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
a) Os valores característicos; 
b) Valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as 
ações excepcionais; 
c) Valores reduzidos, em função da combinação de ações. 
2.3.3. Valores de cálculo 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf . 
2.3.3.1. Coeficientes de ponderação das ações 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf: 
γf =γ f1 γ f2 γf3 
onde: 
γf1 considera a variabilidade das ações; 
γf2 considera a simultaneidade de atuação das ações; 
γf3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente 
considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista 
das solicitações. 
2.3.3.1.1. Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU) 
Os valores base para verificação são os apresentados nas tabelas 12 e 13, paraγ f1, 
γf3 e γf2, respectivamente. 
Coeficienteγ f 
Combinações de 
ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Protensão 
(p) 
Recalques de 
apoio e retração 
D1) F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
D = desfavorável, F = favorável, G = geral, T = temporária. 
1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das 
estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido 
para 1,3. 
 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
7 
 
Valores do coeficiente Ɣf2 
 
Ações 
Ɣf2 
ωo ω1(1) ω2 
 
 
 
 
Cargas 
acidentais 
de edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos 
de equipamentos que permanecem fixos por 
longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas (2) 
Locais em que há predominância de pesos de 
equipamentos que permanecem fixos por 
longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoas (3) 
 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 
0,5 
 
 
 
 
0,7 
 
 
0,8 
0,4 
 
 
 
 
0,6 
 
 
 
0,3 
 
 
 
 
0,4 
 
 
0,6 
Vento 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em 
geral 
0,6 0,3 0 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
0,6 0,5 0,3 
1) 1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de 
fadiga, ver seção 23. 
2) Edifícios residenciais. 
3) Edifícios comerciais e de escritórios. 
2.3.3.2. Coeficientes de ponderação das ações no estado limite de serviço 
(ELS) 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é 
dado pela expressão: Ɣf = 1 Ɣf2 
f2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer: 
γf2 = 1 para combinações raras; 
γf2 = ω1 para combinações freqüentes; 
γf2 = ω 2 para combinações quase permanentes. 
 
2.4. Combinações de ações 
 
2.4.1. Generalidades 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades 
não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um 
período pré-estabelecido.2.4.2. Combinações últimas 
Uma combinação última pode ser classificada em normal, especial ou de construção 
e excepcional. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
8 
2.4.2.1. Combinações últimas normais 
2.4.2.2. Combinações últimas especiais ou de construção 
2.4.2.3. Combinações últimas excepcionais 
2.4.2.4. Combinações últimas usuais 
2.4.2.5. Combinações últimas 
 
Combinações 
últimas (ELU) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Normais 
Esgotamento da 
capacidade resistente 
para elementos 
estruturais de concreto 
armado (1) 
 
Fd = gFgk + gFgk + q (Fq1k +  ojFqjk) + 
q o Fqk 
 
Esgotamento da 
capacidade resistente 
para elementos 
estruturais de concreto 
protendido 
Deve ser considerada, quando 
necessário, a força de protensão como 
carregamento externo com os valores 
Pkmáx e Pkmin para a força desfavorável e 
favorável respectivamente, conforme 
definido na seção 9. 
Perda do equilíbrio como 
corpo rígido 
S (Fsd)  S (Fnd) 
Fsd = gs Gsk + Rd 
Fnd = gn Gnk + q Qnk - qs Qs,min, 
onde: Qnk = Q1k +  oj Qjk 
 
Combinações 
últimas (ELU) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Especiais ou 
de construção 
Fd = g Fgk + g Fgk + q (Fq1k +  oj Fqjk) + q o Fqk 
 
Excepcionais Fd = g Fgk + g Fgk + Fq1exc + q  oj Fqjk + q o Fqk 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
9 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última 
Fgk representa as ações permanentes diretas 
Fk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fgk e variáveis 
como a temperatura Fqk 
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal 
g, g, q, q – ver tabela 12 
oj, o - ver tabela 13 
Fsd representa as ações estabilizantes 
Fnd representa as ações não estabilizantes 
Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante 
Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver 
Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante 
 m 
Qnk=Q1k +  ojQjk 
 j=2 
Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantes 
Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como 
principal 
oj Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor 
reduzido. 
Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha 
obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 
1) No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito 
favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de g = 1,0. No 
caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram g 
reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 
2.4.3. Combinações de serviço 
2.4.3.1. Classificação 
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura e devem ser 
verificadas como estabelecido a seguir: 
a) quase-permanentes 
b) freqüentes 
c) raras 
2.4.3.2. Combinações de serviço usuais 
Para facilitar a visualização, essas combinações estão dispostas na tabela. 
2.4.3.2. Combinações de serviço 
Combinações 
de serviço 
(ELS) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Combinações 
quase-
permanentes 
de serviço 
(CQP) 
Nas combinações quase-
permanentes de serviço, todas as 
ações variáveis são consideradas 
com seus valores quase-
permanentes 2 Fqk 
Fd, ser =  Fgi,k +  2j Fqj,k 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
10 
Combinações 
freqüentes de 
serviço (CF) 
Nas combinações freqüentes de 
serviço, a ação variável principal 
Fq1 é tomada com seu valor 
freqüente 1 Fq1k e todas as 
demais ações variáveis são 
tomadas com seus valores 
quase-permanentes 2 Fqk 
Fd,ser =  Fgik + 1 Fq1k +  2j Fqjk 
Combinações 
raras de 
serviço (CR) 
Nas combinações raras de 
serviço, a ação variável principal 
Fq1 é tomada com seu valor 
característico Fq1k e todas as 
demais ações são tomadas com 
seus valores freqüentes 1 Fqk 
Fd,ser =  Fgik + Fq1k +  1j Fqjk 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço 
Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas 
1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS 
2 é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS 
f - Resistência 
m1 - m que considera a 
variabilidade da resistência dos materiais envolvidos 
m2 - m que considera a 
diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura 
m3 - m que considera os 
desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do 
ponto de vista das resistências 
 
3.RESISTÊNCIAS 
3.1. Simbologia específica desta seção 
De forma a simplificar a compreensão e portanto a aplicação dos conceitos 
estabelecidos nesta seção, os símbolos mais utilizados, ou que poderiam gerar 
dúvidas, encontram-se a seguir definidos. 
3.2. Valores característicos 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm 
uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável 
para a segurança. 
Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf., cujo valor é 
menor que a resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência 
característica superior fk,sup, cujo valor é maior que fm. 
A resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 
5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de 
material. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
11 
3.3. Valores de cálculo 
3.3.1. Resistência de cálculo 
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
m
k
d
f
f


 
3.3.1.1. Resistência de cálculo do concreto 
No caso específico da resistência de cálculo do concreto (fcd), alguns detalhes 
adicionais são necessários, conforme a seguir descrito: 
a) quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a 
expressão: 
c
ck
cd
f
f


 
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feita aos 
28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto; 
b) quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão: 
c
ck
1
c
ckj
cd
ff
f




 
sendo 1 a relação fckj/fck dada por: 
1 = exp { s [ 1 - (28/t)
1/2 ] } 
 
onde: 
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; 
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; 
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI. 
t é a idade efetiva do concreto, em dias. 
Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. 
Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 
dias. 
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em 
duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de fckj e fck 
adotados no projeto. 
3.3.2. Coeficientes de ponderação das resistências 
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente: 
γm =γ m1γ m2 γm3 
 mγ = γc  concreto 
 γm = γs  aço 
onde: 
γm1 considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos; 
γm2 considera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na 
estrutura; 
γm3 considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em 
projeto do ponto de vista das resistências. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
12 
3.3.3. Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último 
(ELU) 
Os valores para verificaçãono estado limite último estão indicados na tabela a 
seguir: 
 
 
 
Valores dos coeficientes γc e γs 
 
Combinações Concreto 
γc 
Aço 
γs 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,0 
Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições 
desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, 
ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente c deve ser 
multiplicado por 1,1. 
3.3.4. Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de serviço 
(ELS) 
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço, não necessitam de 
minoração, portanto, γm = 1,0. 
3.3.5. Verificação da segurança 
Na verificação da segurança das estruturas de concreto devem ser atendidas as 
condições construtivas e as condições analíticas de segurança. 
3.3.6. Condições construtivas de segurança 
Devem ser atendidas as exigências estabelecidas: 
 nos critérios de detalhamento constantes das seções 18 e 20 desta Norma; 
 nas normas de controle dos materiais, especialmente a NBR 12655; 
 no controle de execução da obra, conforme o Anexo C e normas brasileiras 
específicas. 
3.3.7. Condições analíticas de segurança 
As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não devem 
ser menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os 
estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção 
considerada, ou seja, em qualquer caso deve ser respeitada a condição: 
Rd >= Sd 
Para a verificação do estado limite último de perda de equilíbrio como corpo rígido, 
Rd e Sd devem assumir os valores de cálculo das ações estabilizantes e 
desestabilizantes respectivamente. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
CARGAS 
QUANTIFICAÇÃO E COMPOSIÇÃO 
4 
PROFs. FERNANDO RELVAS 
2015 
ELABORADO POR: FERNANDO RELVAS, PERCIVAL CAMANHO E SASQUIA H. OBATA 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1. QUANTIFICAÇÃO E COMPOSIÇÃO DE CARGAS 
1.1. Nomenclatura das cargas 
Carga Carga Concentrada Carga Distribuída 
Permanente: Peso próprio Go go 
Outras G(*) g (*) 
Acidental Q q 
Perm+Acid P p 
(*) No índice indicamos a natureza da carga permanente, por exemplo Galv=carga 
permanente devido a alvenaria. 
1.2. Unidades 
- Seção Transversal : cm 
- Comprimento (vão) : m 
- Forças : kN 
- momento : kNxm ou kNxcm 
- tensões : MPa ou kN/cm² - (10MPa=1kN/cm²) 
1.3. Cargas 
1.3.1. Cargas Permanentes 
1.3.1.1. Peso Próprio 
Adotaremos os seguintes pesos específicos para o concreto: 
Concreto armado: =25 kN/m³ 
Concreto Simples: =24 kN/m³ 
1.3.1.1.1 Laje 
 
)(KN/m 2C
C
C
hgo
S
hS
go
hSGo








 
Para 
10h
 cm temos: 
g0 = o,10 x 25 = 2,5 kN/m2 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1.3.1.1.2 Vigas e Pilares 
 
)(KN/m C
C
C
hbwgo
hbw
go
hbwGo











 
Para bw=20 cm e h = 50 cm temos: 
g0 = 0,20 x 0,50 x 25 = 2,5 kN/m 
1.3.1.2. Revestimento de Lajes 
Expressão Geral: 
nnrev eeg   211 2
 
 
Pesos específicos adotados para os seguintes tipos de revestimentos: 
1. Argamassa de cimento e areia 

= 21,0 kN/m³ 
2. Argamassa de cal, cimento e areia 

= 19,0 kN/m³ 
3. Argamassa de gesso 

= 12,5 kN/m³ 
4. Lajotas de cerâmica 

= 18,0 kN/m³ 
5. Mármore ou granito 

= 28,0 kN/m³ 
6. Tacos de madeira 

= 10,0 kN/m³ 
7. Basalto 

= 30,0 kN/m³ 
Exemplo: Determinar a carga devida ao revestimento especificado na figura 
abaixo. 
 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
84,02803,0 marmg
 kN/m² 
42,02102,0sup.arg g
 kN/m² 
19,01901,0inf.arg g
 kN/m² 
45,1revg
 kN/m² 
Nota: No caso de estruturas revestidas em que os revestimentos das lajes não 
forem especificados, adotaremos: 
85,0sup.arg g
 kN/m² 
35,0inf.arg g
 kN/m² 
 Cabe ressaltar que poderá existir só o revestimento superior, só o interior 
ou ambos. 
1.3.1.3. Alvenarias 
Expressão Geral: 
alvalvalvalv hbwg 
 (KN/m), onde 
alvbw
 largura acabada da alvenaria 
Quando o projeto arquitetônico não especificar as espessuras dos revestimentos 
das alvenaria, adotaremos: 
erev = 2,5 de cada lado 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Pesos específicos adotados para os seguintes tipos de alvenaria: 
1. Tijolo maciço de barro 

= 18,0 kN/m³ 
2. Tijolo furado 

= 13,0 kN/m³ 
3. Blocos de concreto 

= 16,0 kN/m³ 
4. Blocos sílico-calcáreos 

= 20,0 kN/m³ 
5. Blocos de concreto celular 

= 8,0 kN/m³ 
Para as alvenarias de tijolos maciços de barro tem-se os seguintes tipos de 
assentamento: 
Tipo de 
Assentamento 
Largura 
acabada sem 
revestimento 
Largura 
acabada 
revestimento 
1 lado 
Largura 
acabada 
revestimento 
2 lados 
Tijolo em Espelho 
5 7,5 10 
½ Tijolo 
10 12,5 15 
1 tijolo 
20 22,5 25 
 
Exemplo: Determinar a carga por metro linear de uma parede de alvenaria de 
tijolos maciços de barro, revestida dos dois lados, com espessura de 
um tijolo e altura de 3 m. 
25alvbw
 cm 
3alvh
 m  
5,135,1300,1800,325,0  alvalv gg
 KN/m 
18alv
 KN/m³ 
1.3.1.4. Enchimentos 
Expressão Geral: 
enchenchench hg 
 (kN/m²) 
 
Peso específicos dos seguintes tipos de enchimentos: 
1. Cinasita (argila expandida) 

= 8,0 kN/m³ 
2. Entulho 

= 13,0 kN/m³ 
Exemplo: Calcular o peso próprio de um enchimento de argila expandida com 10 
cm de altura. 
8,081,0 enchg
 kN/m² 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1.3.2. Cargas Acidentais 
1.3.2.1. Cargas Acidentais de Utilização (sobrecargas) 
Conforme norma: NBR 6120 
1.3.2.2. Cargas Acidentais de Vento 
Conforme norma: NBR 6123 
Exercícios: 
1. Compor o carregamento de uma laje com 12 cm de espessura, destinada a 
sala de aula, que terá a superfície superior revestida e a inferior aparente. 
2. Compor o carregamento de uma laje com 15 cm de espessura, revestida 
dos dois lados, destinada a restaurante. 
1.4. Composição de Cargas nas Vigas 
Exercício 
Dado o esquema abaixo, pede-se a composição das cargas nas vigas, os 
esquemas estáticos delas, bem como os cálculos das reações de apoio e dos 
esforços internos solicitantes. 
 
 
 
m
KNr 85,6
 
 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
LAJES 
5 
 
PROF. FERNANDO RELVAS 
 
ELABORADO POR: FERNANDO RELVAS, PERCIVAL CAMANHO E SASQUIA H. OBATA 
2015 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1. LAJES RETANGULARES 
1.1. Generalidades 
Em concreto armado denominamos as placas de lajes. 
Placas são elementos estruturais planos em que o carregamento atua 
perpendicularmente ao plano do elemento. 
Geometricamente esses elementos se caracterizam por ter as medidas das 
dimensões no plano do elemento, 
x
 e 
y
, da mesma ordem de grandeza e muito 
superiores a medidas, h, da dimensão espessura. 
 
Figura 1 
1.2. Quanto aos Apoios 
No nosso curso estudaremos apenas lajes retangulares com as seguintes condições 
de apoio: 
 Um único lado apoiado; 
 Apenas dois lados paralelos apoiados; Os quatros lados apoiados. 
Os apoios poderão ser engastados, quando nesse apoio houver continuidade entre 
lajes, e articulados em caso contrário. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Figura 2 
 
 
Figura 3 
 
 
Figura 4 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Figura 5 
1.3. Quanto ao Critério de Armação 
Lajes com um único apoio ou com apenas dois lados paralelos apoiados serão 
armadas em uma direção, na direção perpendicular a direção dos apoios. (ver 
figuras 2 e 3). 
Lajes com os quatro lados apoiados serão armadas em duas direções quando 

, 
que é a relação entre os lados maior e menor, 




, resultar menor ou igual a dois e, 
em uma direção, em caso contrário. Nesse caso, ou seja, quando 

 resultar maior 
que dois, a direção de armação será o do menor vão, (ver figuras 4 e 5). 
1.4. Quanto a Situação 
 Lajes isoladas são únicas, sem lajes no entorno 
Também são lajes isoladas aquelas que não têm 
continuidade com as lajes do entorno. Isso ocorre quando o 
nível da laje e das lajes do entorno não são os mesmos, (ver 
fig. 4 e 6) 
 Lajes contínuas são lajes cujos os níveis são os mesmos. 
1.5. Vão Teórico, ℓ 
O vão teórico, é a distância entre os eixos dos apoios, não sendo necessário adotar 
valores maiores que: 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 Em laje isolada: o vão livre, 
0
, acrescido da espessura da laje nomeio do 
vão. 
 Em laje continua, vão extremo: vão livre, 
0
, acrescido da semi largura do 
aparo interno e da semi espessura da laje no meio do vão 
Nas lajes em balanço o vão teórico, 

, é o comprimento de extremidade ate o eixo 
de apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao vão livre, 
0
, 
acrescido da semi espessura da laje junto ao apoio. 
1.6. Notação 
c = cobrimento, tem por finalidades proteger e envolver totalmente a armadura 
para garantir a aderência entre o concreto e o aço. 
d = altura útil, é a distância entre a fibra mais comprimida e o centro da 
armadura tracionada. 
 
 
 
 
 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
1.7. Espessura Mínima das Lajes (h) 
Lajes de cobertura não em balanço 5 cm 
Lajes de piso ou de cobertura em balanço 7 cm 
Lajes que suportem veículos de peso total 

 30 KN 10 cm 
Lajes que suportem veículos de peso total >30 KN 12 cm 
Lajes com protensão 15 cm 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1.8. Cobrimentos 
Qualquer barra da armadura, inclusive de distribuição, de montagem e estribos, 
deve ter cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não menor 
que: 
Classe de Agressividade 
ambiental 
I 
FRACA 
II 
MODERADA 
III 
FORTE 
IV 
MUITO 
FORTE 
CLASSIFICAÇÃO GERAL DO 
TIPO DE AMBITENTE PARA 
EFEITO DE PROJETO 
RURAL / 
SUBMERSA 
URBANA 
MARINHA / 
INDUSTRIAL 
INDUSTRIAL / 
RESPINGOS 
DE MADÉ 
Risco de deterioração da 
estrutura 
Insignificante Pequeno Grande Elevado 
Cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45 
Nota: Pode-se admitir um micro clima com classe de agressividade um ponto mais 
branda para ambientes internos secos ou ambientes com concreto revestido 
com argamassa e pintura. 
1.9. Pré-Dimensionamento da Espessura, h 
Para o pré-dimensionamento das lajes retangulares maciças, sem carregamento 
direto de alvenaria, a altura útil mínima, “d”, é obtida pela seguinte expressão: 










u
Ld
eng
006,0028,0
 
onde 
L
 menor dos dois valores 



y
x
I
I
67,0 maior vão -
menor vão 


yI
 
 eng
 somatória dos comprimentos dos lados engastados 
u
 perímetro 
Para lajes em balanço a altura útil corresponde à: 
  028,02  balId
 
1.9.1. Calculo da altura, h, da laje 
cdh 
2

(1 direção) 
cdh  
(1 direção) 
adotando 
10
 mm teremos: 
h=d+0,5+c (cm) - 1 direção e h=d+1+c (cm) - 2 direções 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Exercício 1 
Dada a forma representada na figura 7, do pavimento tipo de uma estrutura em 
concreto armado revestido, concreto 
MPafck 25
 - aço CA50, pede-se pré-
dimensionar as lajes. 
 
 
Figura 7 
1.10. Distribuição das Cargas 
1.10.1. Lajes armadas em uma direção. 
As reações das lajes nos apoios, 
r
, serão calculadas, quer para as lajes isoladas, 
quer para as lajes continuas, considerando-se uma faixa com largura unitária, 
biarticulada na direção da armação, ou em balanço, no caso de laje em balanço, ou 
seja, de forma análoga ao calculo de reações de vigas isostáticas ou em balanço. 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Figura 8 
1.10.2. Lajes Armadas em Duas Direções. 
 
 

AiP
ri 
 
onde: 
para 
1r
 e 
3r
  
 
 
para 
2r
 e 
4r
  
 
 
Unidades: 
)(m
 
 2mAi
 
 2mKNp
 
 
m
KNr1
 
Figura 9 
 
 
Exercício 2 
Calcular as reações das Lajes nas vigas, para estrutura indicada no exercício 1, 
considerando as informações e os dados lá obtidos. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1.11. Cálculo dos Momentos Fletores 
1.11.1. Lajes armadas em uma direção. 
Os momentos serão calculados de forma análoga ao cálculo de momentos em vigas, 
tomando-se, na direção da armação, uma faixa de largura unitária. 
 
Figura 10 
No caso de lajes continuas, os momentos positivos dos vãos extremos não poderão 
ser menores do que os momentos positivos obtidos considerando-se esses vãos 
como aparado engastado e os dos vãos intermediários não poderão ser menores do 
que os momentos positivos obtidos considerando-se esses vãos bi-engastados. 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
1.11.2. Lajes armadas em duas direções 
O cálculo dos momentos nas lajes armadas em duas direções serão feitos pelo 
método da ruptura, através de tabelas, conforme indicado abaixo, discretizando-se 
cada laje. 
 
Figura 11 
A partir de 

, onde 

 é igual 
x
y

 , a tabela nos fornece mx e my e com esses 
valores determinamos: 
2xmxpXMx x 
 
2xmypXMx y 
 
Observar que, em uma mesma direção, os momentos positivos e negativos são 
iguais, em módulo. 
 
Fruto da discretização das lajes, que é uma simplificação de cálculo, surgem nas 
fronteiras de lajes continuas momentos negativos, à esquerda e à direita do apoio, 
diferentes, que são igualados por meio da seguinte compensação: 
 
 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Figura 12 
 
Se 
2
6,0



 XX
X
X
X
 
Se 



XX
X
X
8,06,0
 
Exercício 3 
 
Calcular os momentos fletores nas lajes, da estrutura indicada no exercício 1, 
considerando as informações e dados obtidos nesse exercício e no exercício 3. 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
TABELAS PARA CALCULO DAS 
REAÇÕES DE LAJES 
 
6 
 
 
 
PROF. FERNANDO RELVAS 
 
 
2015 
 
 
 
ELABORADO POR PROF. PERCIVAL CAMANHO 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Tipo 1
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,2619 0,2500 0,2619 0,2500
1,10 0,2727 0,2500 0,2727 0,2500 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,2826 0,2500 0,2826 0,2500 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,2917 0,2500 0,2917 0,2500 R3 = r3 xp x ℓx
1,25 0,3000 0,2500 0,3000 0,2500 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,3077 0,2500 0,3077 0,2500
1,35 0,3148 0,2500 0,3148 0,2500
1,40 0,3214 0,2500 0,3214 0,2500
1,45 0,3276 0,2500 0,3276 0,2500
1,50 0,3333 0,2500 0,3333 0,2500
1,55 0,3387 0,2500 0,3387 0,2500
1,60 0,3438 0,2500 0,3438 0,2500
1,65 0,3485 0,2500 0,3485 0,2500
1,70 0,3529 0,2500 0,3529 0,2500
1,75 0,3571 0,2500 0,3571 0,2500
1,80 0,3611 0,2500 0,3611 0,2500
1,85 0,3649 0,2500 0,3649 0,2500
1,90 0,3684 0,2500 0,3684 0,2500
1,95 0,3718 0,2500 0,3718 0,2500
2,00 0,3750 0,2500 0,3750 0,2500
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo 2
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,4019 0,1830 0,2321 0,1830 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,4130 0,1830 0,2504 0,1830
1,10 0,4230 0,1830 0,2687 0,1830 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,4322 0,1830 0,2870 0,1830 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,4406 0,1830 0,3053 0,1830 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,4483 0,1830 0,3236 0,1830 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,4555 0,1830 0,3419 0,1830
1,35 0,4621 0,1830 0,3602 0,1830
1,40 0,4682 0,1830 0,3785 0,1830
1,45 0,4739 0,1830 0,3968 0,1830
1,50 0,4793 0,1830 0,4151 0,1830
1,55 0,4843 0,1830 0,4334 0,1830
1,60 0,4889 0,1830 0,4517 0,1830
1,65 0,4933 0,1830 0,4700 0,1830
1,70 0,4975 0,1830 0,4883 0,1830
1,75 0,5014 0,1830 0,5066 0,1830
1,80 0,5051 0,1830 0,5249 0,1830
1,85 0,5085 0,1830 0,5432 0,1830
1,90 0,5118 0,1830 0,5615 0,1830
1,95 0,5150 0,1830 0,5798 0,1830
2,00 0,5179 0,1830 0,5981 0,1830
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Tipo 3
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,1830 0,4019 0,1830 0,2321 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,1922 0,4098 0,1922 0,2366
1,10 0,2013 0,4166 0,2013 0,2405 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,2105 0,4222 0,2105 0,2437 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,2196 0,4266 0,2196 0,2463 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,2288 0,4299 0,2288 0,2482 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,2379 0,4320 0,2379 0,2494
1,35 0,2471 0,4330 0,2471 0,2500
1,40 0,2561 0,4330 0,2561 0,2500
1,45 0,2645 0,4330 0,2645 0,2500
1,50 0,2723 0,4330 0,2723 0,2500
1,55 0,2797 0,4330 0,2797 0,2500
1,60 0,2866 0,4330 0,2866 0,2500
1,65 0,2930 0,4330 0,2930 0,2500
1,70 0,2991 0,4330 0,2991 0,2500
1,75 0,3049 0,4330 0,3049 0,2500
1,80 0,3103 0,4330 0,3103 0,2500
1,85 0,3154 0,4330 0,3154 0,2500
1,90 0,3203 0,4330 0,3203 0,2500
1,95 0,3249 0,4330 0,3249 0,2500
2,00 0,3292 0,4330 0,3292 0,2500
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo 4
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,1443 0,3557 0,1443 0,3557 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,1516 0,3659 0,1516 0,3659
1,10 0,1588 0,3754 0,1588 0,3754 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,1660 0,3841 0,1660 0,3841 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,1732 0,3922 0,1732 0,3922 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,1804 0,3995 0,1804 0,3995 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,1876 0,4061 0,1876 0,4061
1,35 0,1949 0,4119 0,1949 0,4119
1,40 0,2021 0,4171 0,2021 0,4171
1,45 0,2093 0,4215 0,2093 0,4215
1,50 0,2165 0,4252 0,2165 0,4252
1,55 0,2237 0,4282 0,2237 0,4282
1,60 0,2309 0,4305 0,2309 0,4305
1,65 0,2382 0,4320 0,2382 0,4320
1,70 0,2454 0,4329 0,2454 0,4329
1,75 0,2526 0,4330 0,2526 0,4330
1,80 0,2594 0,4330 0,2594 0,4330
1,85 0,2659 0,4330 0,2659 0,4330
1,90 0,2721 0,4330 0,2721 0,4330
1,95 0,2779 0,4330 0,2779 0,4330
2,00 0,2835 0,4330 0,2835 0,4330
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Tipo 5
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,3557 0,1443 0,3557 0,1443 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,3625 0,1443 0,3625 0,1443
1,10 0,3688 0,1443 0,3688 0,1443 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,3745 0,1443 0,3745 0,1443 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,3797 0,1443 0,3797 0,1443 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,3845 0,1443 0,3845 0,1443 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,3890 0,1443 0,3890 0,1443
1,35 0,3931 0,1443 0,3931 0,1443
1,40 0,3969 0,1443 0,3969 0,1443
1,45 0,4005 0,1443 0,4005 0,1443
1,50 0,4038 0,1443 0,4038 0,1443
1,55 0,4069 0,1443 0,4069 0,1443
1,60 0,4098 0,1443 0,4098 0,1443
1,65 0,4125 0,1443 0,4125 0,1443
1,70 0,4151 0,1443 0,4151 0,1443
1,75 0,4175 0,1443 0,4175 0,1443
1,80 0,4198 0,1443 0,4198 0,1443
1,85 0,4220 0,1443 0,4220 0,1443
1,90 0,4240 0,1443 0,4240 0,1443
1,95 0,4260 0,1443 0,4260 0,1443
2,00 0,4278 0,1443 0,4278 0,1443
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo 6
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,3170 0,3170 0,1830 0,1830 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,3321 0,3170 0,1917 0,1830
1,10 0,3458 0,3170 0,1997 0,1830 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,3583 0,3170 0,2069 0,1830 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,3698 0,3170 0,2135 0,1830 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,3804 0,3170 0,2196 0,1830 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,3901 0,3170 0,2252 0,1830
1,35 0,3992 0,3170 0,2305 0,1830
1,40 0,4076 0,3170 0,2353 0,1830
1,45 0,4154 0,3170 0,2398 0,1830
1,50 0,4226 0,3170 0,2440 0,1830
1,55 0,4295 0,3170 0,2480 0,1830
1,60 0,4359 0,3170 0,2516 0,1830
1,65 0,4419 0,3170 0,2551 0,1830
1,70 0,4475 0,3170 0,2584 0,1830
1,75 0,4528 0,3170 0,2614 0,1830
1,80 0,4579 0,3170 0,2644 0,1830
1,85 0,4626 0,3170 0,2671 0,1830
1,90 0,4671 0,3170 0,2697 0,1830
1,95 0,4714 0,3170 0,2722 0,1830
2,00 0,4755 0,3170 0,2745 0,1830
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Tipo 7
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,2500 0,3028 0,1443 0,3028 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,2625 0,3076 0,1516 0,3076
1,10 0,2750 0,3114 0,1588 0,3114 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,2875 0,3142 0,1660 0,3142 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,3000 0,3161 0,1732 0,3161 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,3125 0,3169 0,1804 0,3169 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,3248 0,3170 0,1875 0,3170
1,35 0,3363 0,3170 0,1941 0,3170
1,40 0,3469 0,3170 0,2003 0,3170
1,45 0,3568 0,3170 0,2060 0,3170
1,50 0,3660 0,3170 0,2113 0,3170
1,55 0,3747 0,3170 0,2163 0,3170
1,60 0,3828 0,3170 0,2210 0,3170
1,65 0,3904 0,3170 0,2254 0,3170
1,70 0,3975 0,3170 0,2295 0,3170
1,75 0,4043 0,3170 0,2334 0,3170
1,80 0,4107 0,3170 0,2371 0,3170
1,85 0,4167 0,3170 0,2406 0,3170
1,90 0,4224 0,3170 0,2439 0,3170
1,95 0,4279 0,3170 0,2470 0,3170
2,00 0,4330 0,3170 0,2500 0,3170
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo 8
l r1 r2 r3 r4
1,00 0,3028 0,2500 0,3028 0,1443 l = ℓy/ℓx L = ℓy l = ℓx
1,05 0,3122 0,2500 0,3122 0,1443
1,10 0,3208 0,2500 0,3208 0,1443 R1 = r1 x p x ℓx
1,15 0,3285 0,2500 0,3285 0,1443 R2 = r2 x p x ℓx
1,20 0,3357 0,2500 0,3357 0,1443 R3 = r3 x p x ℓx
1,25 0,3423 0,2500 0,3423 0,1443 R4 = r4 x p x ℓx
1,30 0,3483 0,2500 0,3483 0,1443
1,35 0,3539 0,2500 0,3539 0,1443
1,40 0,3592 0,2500 0,3592 0,1443
1,45 0,3640 0,2500 0,3640 0,1443
1,50 0,3686 0,2500 0,3686 0,1443
1,55 0,3728 0,2500 0,3728 0,1443
1,60 0,3768 0,2500 0,3768 0,1443
1,65 0,3805 0,2500 0,3805 0,1443
1,70 0,3840 0,2500 0,3840 0,1443
1,75 0,3873 0,2500 0,3873 0,1443
1,80 0,3905 0,2500 0,3905 0,1443
1,85 0,3934 0,2500 0,3934 0,1443
1,90 0,3962 0,2500 0,3962 0,1443
1,95 0,3989 0,2500 0,3989 0,1443
2,00 0,4014 0,2500 0,4014 0,1443
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
TABELAS PARA CALCULO DE MOMENTOS 
FLETORES EM LAJES PELO MÉTODO DA RUPTURA 
X/M=1 
 
7 
 
 
 
PROF. FERNANDO RELVAS 
 
 
2015 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
CÁLCULO DOS MOMENTOS 
 
 
 
MX = p.ℓx2.mx (kN.m/m)................// a ℓx 
 
 
 
MY = p.ℓx2.my (kN.m/m)................// a ℓY 
 
 
 
XX = - p.ℓx2.mx (kN.m/m)................// a ℓx 
 
 
 
XY = - p.ℓx2.my (kN.m/m)................// a ℓY 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIACIVIL 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI-MORUMBI 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO 
 
FLEXÃO 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
8 
 
 
PROF. FERNANDO RELVAS 
2015 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
2 
1. FLEXÃO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
1.1 Introdução 
Os esforços normais M e N, provocam o aparecimento de tensões normais à seção. 
O Estado Limite Último pode se dar por uma ruptura ou deformação plástica 
excessiva. 
Os domínios 1 e 2 são de deformação plástica excessiva e os 3, 4, 4a e 5 são de 
ruptura. 
1.2 Hipóteses de Cálculo 
1.2.1 Hipóteses básicas 
As secções permanecem planas até a ruptura. 
Aderência perfeita entre o aço e concreto não fissurado. 
A resistência do concreto à tração é desprezada. 
O encurtamento de ruptura a compressão em secções não inteiramente 
comprimidas é de 3,5%. 
O encurtamento máximo do concreto em pecas totalmente comprimidas varia entre 
3,5% e 2%. 
O alongamento máximo permitido para a armadura na tração é de 10% para evitar 
deformação plástica excessiva. 
A distribuição das tensões de compressão se faz através de um diagrama composto 
(parábola - retângulo), permitindo-se o uso do diagrama retangular equivalente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão na armadura é função de sua deformação no diagrama simplificado da 
NBR - 6118. 
 
1.2.2 Efeito Rüsch 
 Encurtamento a ruptura do concreto 
 Efeito da velocidade de deformação. 
 
 
 
 
c 
 2% 3,5% 
0,85 fcd 









4
2
εcd
εcd 0,85f cdσcd
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Valores Característicos 
1.3.1 Valores Característicos da resistência dos materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Valores de Calculo 
1.4.1 Valores de calculo da resistência dos materiais 
 Pela NBR - 6118 
c = 1,4 ; s= 1,15 
 
Concreto: fcd = fck 
 c 
Aço: fyd = fyk 
 s 
em más condições de concretagem c é multiplicado por 1,1. 
 
1,0 
0,85 
0,75 
 
0,50 
 
0,25 
 c 
0 1 2 3 4 5 6 72‰ 
c/fc 
1% por 100 dias 
1% por dia 
1% por hora 
1% por minuto 
fck 
5% 
f() 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
4 
 
1.4.2 Valores de calculo das solicitações permanentes e variáveis diretas 
 Sd = Sk x f 
 f = 1,4 
f = 1,2 para o caso de deformações impostas (retração, deformação 
lenta e temperatura). 
 
1.5 ESTABELECIMENTO DOS DIFERENTES DOMÍNIOS EM ESTADO 
LIMITE ÚLTIMO 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
5 
1.6 Estudo das Expressões Gerais para o Domínio 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.1 Domínio 2a x min > x > 0 
 Quando c = 2,0% a parábola está completa e x = x min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Md = Rcd x z (1) 
Md = Rsd x z (2) 
Rcd = Rsd (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z' Rcd 
0,85 fcd 
2‰ 
Xmin. 
Md 
10‰ 
z 
Rsd 
 sd 10‰ 
a 
(1) (2) 
c  0,85 fcd 
Xcrit =0,259 d 
2‰ 
df = 10‰ 
LN 
cd 
u 
fyd Rsd 
Rcd cd 
d
 
d
u
 

5
 
x
 
z'
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
6 
  
 2βx112
βχ412
2
βx 5
fcd0,85
2
dbwMd



x9 
 
 
  







βx 834
βx4βx 912
dMd fydAs
 
 
 
 2β13
8β3
2
βx 5
fcd0,85dbwfyd As




 
 
1.6.2 Domínio 2b xcrit>x>xmin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Md = Rcd x z (1) 
Md = Rsd x z (2) 
Rcd = Rsd (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z' 
Xcrit. = 0,259d 
2‰ 
z 
Rst 
3,5‰ 
Xmin. = 0,167d 
10‰ 
2‰ cd 
LN 
fyd 
sd = 10‰ 
Rcd2 
Rcd1 
Rcd 
Rsd 
d 
 
0,85 fcd 
z
 
a
 
z
' 2
 
 
 
 
z”
2
 z
' 
z
' 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 d
1βx1620
21βx 3422βx171
fydAsMd 










 
 
 
15
1-x 16 fcd 0,85 d bw 
 fydAs


 
 
1.7 Estudo das Expressões Gerais para o Domínio 3 
 
 (βxcrit < βx < βxlim ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Md = Rcd x z (1) 
 Md = Rsd x z (2) 
 Rcd = Rsd (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A5 
 
 
     fyd 
bw 
10‰ sd yd 
LN 
B 
Rcd 
Rsd 
z 
2‰ 3,5‰ 0,85 fcd 
Md 
x
 
d
 
h
 
z' 
x
 
2‰ 3,5fcd 
LN 
fyd 
sd  yd 
Rcd1 
Rcd 
Rsd 
d 
 
z
' 
a
 
z
' 2
 
 
 
 
z”
2
 z
' 1
 
Rcd2 
cd 
z
 
300
213422171
85,02





 

xx
d

fcdbwMd
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
8 
 
Md = 0,688 x bw x fcd x x (1- 0,416x) x d2 
 
 
Md = As x fyd x (1 - 0,416x) x d 
 
 
 
 
 
 As x fyd = 0,688 bw x fcd x x x d 
 
 
1.8 Estudo das Expressões Algébricas para o Domínio 4. 
 (xlim  x  d ou xlim  x  1,00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Md = Rcd x z (1) 
Md = Rsd x z (2) 
Rcd = Rsd (3) 
 
Md = 0,688 x bw x fcd x  x (1- 0,416 ) x d2 
 
 
 Md = As x sd x (1- 0,416 ) x d 
 
 
 As x sd = 0,688 x bw x fcd x d x  
 
    00
0
βx
βx1
3,5sd
x
xd
3,5sd
x
3,5
xd
sd
εε
ε 




 
 
 
A5 
 
 
     sd 
bw 
sd yd 
LN 
B 
Rcd 
Rsd 
z 
2‰ 3,5‰ 0,85 fcd 
Md 
x
 
d
 
 h
 
z' 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
9 
1.9 Estudo das Expressões com Diagrama Retangular. 
Expressões Gerais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Md = Rcd x z (1) 
 Md = Rsd x z (2) 
Rcd = Rsd (3) 
 
 
Md = bw x 0,85 x fcd x y(1 - 0,5y) x d2 
 
Md = As x fyd x (1 - 0,5y) x d 
 
As x fyd = 0,85 x bw x d x fcd x y 
 
 
 
Para o domínio 4 as equações são as mesmas, substituindo-se fyd 
por sd ficando: 
 
As x sd = 0,85 x bw x d x fcd x y 
 
Md = bw x 0,85 x fcd x y x (1- 0,5y) x d2 
 
Md = As x sd x (1- 0,5y) x d 
 
 
 
 
 
 
AS 
 
 
     
LN 
bw 
fyd 
Rsd 
Rcd 
0,85 fcd 
d
 
h
 z 
z'
 
y
 =
0
,8
 x
 
x
 
M
d
 =
 
f 
M
k
 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
10 
1.10 Estudo das Expressões Reduzidas 
 Tomando-se como exemplo o Domínio 3: 
1) Md = 0,688 x bw x fcd x  x (1- 0,416 ) x d2 
Mk x f = 0,688 x bw x fcd x  x (1- 0,416 ) x d2 
 
x)0,416 - (1x x fcd x 0,688
f
Mk
2d bw 
 ck 



 
para coerência entre as unidades - momentos kN x m, seção em cm, 
área da armadura em cm2 fator 103 
 
x)0,416 - (1x x fcd x 0,688
310 x f
 ck 

 
Mk
2d bw 
 ck

 
2) Md = As x fyd x (1- 0,416 ) xd 
Mk x f = As x fyd x (1- 0,416 ) x d 
 
x)0,416 - (1 x fyd
f
Mk
d As
 sk 



 
para coerência das unidades x 103 
 
x)0,416 - (1 x fyd
310 x f
 sk 

 
d
Mkks
As




Mk
d As
 
s
k 
 Tabela 
x fck 20 MPa CA 50 
 kc ks 
0,50 288 4,07 
0,51 284 4,09