Vetores e Componentes

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Vetores
Alex Sodré Santos Silva
Amargosa - Setembro de 2016
Resumo
A Física lida com um grande número de grandezas que possuem uma magnitude e uma orientação
e precisa de uma linguagem matemática especial, a linguagem dos Vetores, para descrever essas
grandezas.
1 Vetores e Escalares
Um vetor possui módulo, direção e sentido. Uma
grandeza vetorial possui um módulo e uma ori-
entação e pode, portanto, ser representada por
um vetor. O deslocamento, a velocidade e a
aceleração são exemplos de grandezas físicas
vetoriais.
Nem toda grandeza física envolve uma orien-
tação. A temperatura, a pressão, a energia,
a massa e o tempo, por exemplo, não "apon-
tam"em nenhuma direção. Chamamos essas gran-
dezas de escalares e lidamos com elas pelas regras
da álgebra comum.
A grandeza vetorial mais simples é o desloca-
mento ou mudança de posição. Um vetor que
representa um deslocamento é chamado de ve-
tor deslocamento. Se uma partícula muda de
posição movendo-se de A para B, como na fi-
gura 1, dizemos que ela sofre um deslocamento
de A para B, que representamos por uma seta
apontando de A para B.
Figura 1 – Deslocamento da partícula de A para
B.
O vetor deslocamento nada nos diz sobre a tra-
jetória percorrida pela partícula. O vetor deslo-
camento não representa todo movimento, mas
apenas o resultado final.
2 Soma Geométrica de Vetores
Suponha que, como no diagrama vetorial da fi-
gura 2, uma partícula se desloque de A para B e,
depois, de B a C. Podemos representar o desloca-
mento total através de dois vetores deslocamento
sucessivos AB e BC. O deslocamento total é um
único deslocamento de A para C. Chamamos
AC de Vetor Soma, (ou vetor resultante) dos
vetores AB e BC. Esse tipo de soma não é uma
soma algébrica comum.
Figura 2 – AC é a soma vetorial dos vetores AB
e BC.
O vetor ~s, que é o vetor soma dos vetores ~a
e ~b, pode ser representado através da seguinte
equação vetorial:
~s = ~a+~b (1)
A figura 2 sugere um método para somar geome-
tricamente dois vetores bidimensionais ~a e ~b da
Alex Sodré Santos Silva 1
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seguinte forma:
• Desenhe o vetor ~a em uma escala conveni-
ente e com ângulo apropriado.
• Desenhe o vetor ~b na mesma escala, com a
origem na extremidade do vetor ~a, também
com um ângulo apropriado.
• o vetor soma ~s é o vetor que vai da origem
de ~a à extremidade de ~b.
A soma vetorial, definida desta forma, tem duas
propriedades importantes. Em primeiro lugar,
somar ~a a ~b é o mesmo que somar ~b a ~a (figura
3), ou seja,
~a+~b = ~b+ ~a (2)
Figura 3 – Lei Comutativa: A ordem com que
os vetores são somados não afeta o
resultado.
Em segundo lugar, quando existem mais de dois
vetores, podemos agrupa-los em qualquer ordem
para soma-los. Assim, a soma dos vetores ~a, ~b e
~c pode ser escrita como:
(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) (3)
Figura 4 – Lei Associativa: Os vetores ~a, ~b e
~c podem ser agrupados em qualquer
ordem para serem somados.
Figura 5 – Os vetores ~b e ~−b tem o mesmo mó-
dulo e sentidos opostos.
O vetor ~−b é um vetor com o mesmo módulo e
direção de ~b e o sentido oposto (veja figura 5).
A soma dos dois vetores da figura 5 é:
~b+ ( ~−b) = ~0 (4)
Assim, soma ~−b é o mesmo que subtrair ~b. Usa-
mos está propriedade para definir a diferença
entre dois vetores. se ~d = ~a - ~b, temos:
~d = ~a−~b = ~a+ ( ~−b) (5)
como mostra a figura 6.
Figura 6 – Para subtrair o vetor ~b do vetor ~a,
basta somar o vetor ~−b ao vetor ~a.
3 Componentes de Vetores
Para somar vetores, vamos representá-los em um
sistema de coordenadas retangulares, como na
figura 7.
Figura 7 – Decomposição Vetorial.
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Os eixos x e y, são geralmente desenhados no
plano do papel e o eixo z é perpendicular ao
papel.
Uma componente de um vetor é a projeção do
vetor em um eixo. Pra encontrar a projeção de
um vetor em um eixo, traçamos retas perpendicu-
lares ao eixo a partir da origem e da extremidade
do vetor, como mostra a figura 7. O processo
de obter as componentes de um vetor é chamado
de Decomposição do Vetor.
Um vetor pode ter até três componentes, mas,
no caso do vetor ~a da figura 7, a componente z
é nula.
Podemos determinar geometricamente as com-
ponentes de ~a na figura 7 a partir do triângulo
retângulo mostrado na figura:
cos(θ) = ax
a
→ ax = acos(θ) (6)
sen(θ) = ay
a
→ ay = asen(θ) (7)
Como ax = acos(θ) e ay = asen(θ) → a2x
= a2cos2(θ) e a2y = a2sen2(θ) → a2x + a2y =
a2cos2(θ) + a2sen2(θ) → a2(cos2(θ) + sen2(θ))
= a2.
Dessa forma obtemos a seguintes expressões:
a =
√
a2x + a2y (8)
e
tg(θ) = ay
ax
(9)
4 Vetores Unitários
Vetor unitário é um vetor cujo módulo é 1 eque
aponta em uma certa direção. Aqui, os vetores
unitários que indicam os sentidos positivos dos
eixos x, y e z são representados como iˆ, jˆ e
kˆ, respectivamente, onde o símbolo do chapéu
é usado no lugar da seta, para mostrar que se
trata de vetores unitários, como mostra a figura
8.
Figura 8 – Os vetores unitários yˆ, jˆ e kˆ, definem
os sentidos positivos de um sistema
de coordenadas dextrogiro.
Os vetores unitários são muito úteis para especi-
ficar outros vetores; por exemplo, o vetor ~a (da
figura 9) pode ser escrito como:
~a = axiˆ+ ay jˆ (10)
Figura 9 – Componentes vetoriais do vetor ~a.
As grandezas axiˆ e ay jˆ são vetores, conhecidos
como componentes vetoriais de ~a. As grandezas
ax e ay são escalares, conhecidos como compo-
nentes escalares (ou, simplesmente, componente
de ~a).
5 Soma de Vetores a partir das com-
ponentes
Considere a equação:
~r = ~a+~b (11)
segundo a qual o vetor ~r é igual ao vetor ~a +
~b. Nesse caso, cada componente de ~r é igual a
componente de ~a+~b:
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rx = ax + bx (12)
ry = ay + by (13)
rz = az + bz (14)
Em outras palavras, dois vetores são iguais se as
componentes forem iguais (veja figura 10).
Figura 10 – O mesmo vetor, com os eixos do
sistema de coordenadas girados de
um ângulo φ
Em termos dos vetores unitários temos:
~r = rxiˆ+ ry jˆ + rzkˆ
~a = axiˆ+ ay jˆ + azkˆ
~b = bxiˆ+ by jˆ + bzkˆ
6 Vetores e as Leis da Física
Até agora, em toda figura que aparece um sistema
de coordenadas, os eixos x e y são paralelas
às bordas do papel. Assim, quando um vetor ~a
é desenhado, as componentes ax e ay também
são paralelas às bordas do papel. A única razão
para usar essa orientação dos eixos é que parece
apropriada; não existe uma razão mais profunda.
Podemos girar os eixos (mas não o vetor ~a) de
um ângulo φ como na figura 10 caso em que as
componentes terão novos valores, a′x e a′y.
Como existe uma infinidade de valores possíveis
de φ, existe um número infinito de pares possíveis
de componentes de ~a.
Qual é, então, o par de componentes "correto"?
A resposta é que são todos igualmente válidos,
já que cada par (com o sistema de eixos cor-
respondentes) constitui uma forma diferente de
descrever o mesmo vetor ~a; todosproduzem o
mesmo módulo e a mesma orientação para o
vetor. Na figura 10 temos:
~a = axiˆ+ ay jˆ
ou
~a = a′xiˆ′ + a′y jˆ′
logo:
~a = acos(θ)ˆi+ asen(θ)jˆ
~a = acos(θ′)iˆ′ + asen(θ′)jˆ′
assim temos:
a =
√
a2x + a2y (15)
e
θ = θ′ + φ (16)
A verdade é que temos uma grande liberdade
para escolher o sistema de coordenadas, já que
as relações entre vetores não dependem da loca-
lização da origem nem da orientação dos eixos.
Isso também se aplica as leis da Física; são todas
independentes da escolha do sistema de coorde-
nadas.
7 Multiplicação de Vetores
Existem três formas de multiplicar vetores, mas
nenhumaé exatamente igual a multiplicação al-
gébrica.
7.1 Multiplicação de um Vetor por um Escalar
Quando multiplicamos um vetor ~a por um escalar
s, obtemos outro vetor cujo módulo é o produto
do módulo de ~a pelo valor absoluto de s, cuja
direção é a mesma de ~a e cujo sentido é o mesmo
de ~a se s for positivo e o sentido oposto se s for
negativo.
7.2 Multiplicação de um Vetor por um Vetor
Existem duas formas de multiplicar um vetor
por outro vetor: uma forma (conhecida como
Produto Escalar) resulta em um escalar; a outra
(conhecida como Produto Vetorial) resulta em
um vetor.
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7.2.1 Produto Escalar
O produto escalar dos vetores ~a e ~b da figura
11 é escrito como ~a.~b
Figura 11 – Dois vetores ~a e ~b formando um ân-
gulo φ.
e definido pela equação:
~a.~b = abcosφ (17)
O produto escalar pode ser considerado como o
produto de duas grandeza:
• o módulo de um dos vetores
• a componente escalar do outro vetor em
relação ao primeiro.
Para chamar a atenção para as componentes, a
Eq.(17) pode ser escrita da seguinte forma:
~a,~b = (acosφ)(b) = (a)(bcosφ) (18)
Como a propriedade comutativa se aplica ao
produto escalar, podemos escrever:
~a.~b = ~b.~a
Quando os dois são escritos em termos dos veto-
res unitários, o produto escalar assume a forma
~a.~b = (axiˆ+ ay jˆ + a+ zkˆ) (19)
que pode ser expandida de acordo com a pro-
priedade distributiva. Calculando os produtos
escalares das componentes vetoriais do primeiro
vetor pelas componentes vetoriais do segundo
vetor, obtemos:
~a.~b = axbx + ayby + azbz (20)
7.3 Produto Vetorial
O Produto Vetorial de ~a e ~b é escrito como
~a × ~b e resulta em um terceiro vetor, ~c, cujo
módulo é
c = absen(φ) (21)
No caso do produto vetorial, a ordem dos vetores
é importante, logo
~b× ~a = −(~a×~b) (22)
Em outras palavras, a propriedade comutativa
não se aplica ao produto vetorial.
Em termos dos vetores unitários , podemos es-
crever:
~a×~b = (axiˆ+ay jˆ+azkˆ)×(bxiˆ+by jˆ+bzkˆ) (23)
que pode ser expandido de acordo com a proprie-
dade distributiva, ou seja, calculando o produto
vetorial de cada componente do primeiro vetor
pelas componentes do segundo vetor.
Assim,por exemplo, na expansão da Eq.(23) te-
mos:
axiˆ× bxiˆ = axbx(ˆi× iˆ) = 0
porque os vetores unitários iˆ e iˆ são paralelos e,
portanto, o produto vetorial é zero.
Analogamente, temos:
axiˆ× by jˆ = axby (ˆi× jˆ) = axbykˆ
Continuando a expandir a Eq.(23), é possível
mostrar que:
~a×~b = (aybz−byaz )ˆi+(azbx−bzax)jˆ+(axby−bxay)kˆ
Para verificar se um sistema de coordenadas xyz
é um sistema dextrogiro, basta aplicar a regra
da mão direita ao produto vetorial iˆ × jˆ = kˆ no
sistema dado.
Alex Sodré Santos Silva 5
	Resumo
	Vetores e Escalares
	Introdução
	Soma Geométrica de Vetores
	Componentes de Vetores
	Vetores Unitários
	Soma de Vetores a partir das componentes
	Considerações finais
	Vetores e as Leis da Física
	Considerações finais
	Multiplicação de Vetores
	Considerações finais
	Multiplicação de um Vetor por um Escalar
	Multiplicação de um Vetor por um Vetor
	Produto Escalar
	Produto Vetorial