Aula 06 - Bioestatística - Corelação e Regressão Linear Simples

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Prof. Msc. Pedro Gusmão 
Engenheiro de Pesca 
Universidade Federal do Paraná 
Setor Palotina 
CP 003 – Bioestatística Aplicada a 
Medicina Veterinária 
Correlação e Regressão Linear Simples 
 Necessidade de avaliar várias respostas 
simultaneamente no mesmo animal 
 
 Altura animal; 
 Peso da carcaça; 
 Circunferência escrotal; 
 Largura da garupa; 
 Peso ao desmame, etc.; 
 
 Ao reunir dados oriundos de amostras, 
percebe-se que existe uma certa relação 
entre eles. 
 
 Exemplo: animais mais altos, geralmente mais pesados; 
 Animais com maiores perímetros toráxicos tem maior largura da 
garupa, etc.; 
Variáveis e Correlação 
 
Correlação Linear (r) Simples 
 A associação é a clara dependência de uma 
variável em relação a outra. 
 
 Podem ser definidas como variáveis: 
 DEPENDENTE e INDEPENDENTE; 
 
 Variação de uma variável 
(INDEPENDENTE) causa ou exerce uma 
variação na outra (DEPENDENTE) 
Correlação Linear (r) Simples 
 
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Pode variar de -1 a 1 
–1 0 1 
Se r está 
próximo de 
1, há uma 
forte 
correlação 
positiva. 
Se r está 
próximo a –1, 
há uma forte 
correlação 
negativa. 
Se r está 
próximo de 
0, não há 
correlação 
linear. 
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Observe que o coeficiente de correlação 
mede as variações dos dados da amostra 
y com relação aos valores projetados da 
reta, sempre na direção de y. 
altura
Idade
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Observe que o coeficiente de correlação 
mede as variações dos dados da amostra 
y com relação aos valores projetados da 
reta, sempre na direção de y. 
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
8 10 12 14 16 18 20
A
lt
u
r
a
 
Idade 
altura
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Pode-se calcular para verificar se a variação 
de uma das variáveis acompanha 
proporcional ou inversamente a outra; 
 Será que existe uma dependência da nota 
no final do semestre com o número de 
aulas assistidas? 
 Mas como medir o grau de correlação? 
 
)().(
),(
YVarXVar
YXCov
r
xy

Coeficiente de 
Correlação 
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Covariância 
 
1
)).((
),( 1





n
YYXX
YXCov
n
i
ii 1
)(
1
2
2





n
XX
s
n
i
i
x
1
)(
1
2
2





n
YY
s
n
i
i
y
)().(
),(
YVarXVar
YXCov
r
xy

Coeficiente de 
correlação 
Rxy 
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Exercício 1: Em um 
experimento instalado para 
avaliar a correlação entre a 
resposta de meio-irmãos, 
filhos de um mesmo 
reprodutor, colocados em um 
confinamento e outro a nível 
de campo. 
 
 Valor limite (tab.) para n = 12 
α=5%, é de 0,58 
Confinados (X) Campo (Y) 
73 64 
71 62 
72 66 
64 55 
65 59 
66 65 
70 65 
71 69 
68 64 
70 65 
67 63 
66 62 
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear com base no 
número de obs. 
Coeficiente (rxy) de Correlação Linear 
 Exercicio 2: Notas Finais. Verificar se existe alguma 
relação entre as notas finais e o número de faltas. 
 
 Valor limite (tab.) para n = 7 e α=5%, é de 0,75. 
 
 x y 
 8 78 
 2 92 
 5 90 
12 58 
15 43 
 9 74 
 6 81 
Faltas Notas 
95 
90 
85 
80 
75 
70 
65 
60 
55 
45 
40 
50 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 
N
o
ta
 f
in
a
l 
Faltas 
Coeficiente de determinação Linear 
(r2 ou r2) 
 Mostra quanto da variação de Y (variável 
resposta DEPENDENTE) é explicada pela 
variação de X (variável INDEPENDENTE). 
 Dado em % e Calculado por: 
 
222 )(
xy
rrR 
9929,0
xy
r %5,9898585,0)9929,0()(
22 
xy
r
58,0
xy
r %4,333364,0)58,0()(
22 
xy
r
Coeficiente de determinação Linear 
(r2 ou r2) 
 Varia de 0 a 1; 
 Sempre positivo; 
222 )(
xy
rrR 
0 0,5 1 
X explica 
tudo da 
variação de Y 
X não explica 
nada da 
variação de Y 
Regressão Linear Simples 
 O objetivo da análise de regressão é construir e 
avaliar modelos matemáticos que descrevam a 
relação ou dependência existente entre variáveis 
quantitativas; 
Regressão Linear Simples 
 A equação algébrica que nos possibilita 
predizer um valor para Y, conhecendo um valor 
para X : bX aYˆ
ou
XbbYˆ 10


Regressão Linear Simples 
 Como se calcula b1: 
 
 
 
 
 
 E o b0: 
2
1
1
1
)(
)).((
XX
YYXX
b
i
n
i
ii
n
i







XbYbo .1
XbbYˆ 10 
Regressão Linear Simples 
y = 0.1123x + 8.2209 
R² = 0.9655 
8,20
8,40
8,60
8,80
9,00
9,20
9,40
9,60
9,80
0 5 10 15
G
a
n
h
o
 d
e
 P
e
s
o
 -
 g
 
Carboidrato – g/100g 
Resposta (y) 
resp (y)
Linear (resp (y))
1 4 8 12 
Regressão Linear Simples 
 Dados Exemplo Anterior: 
CHO (x) 
Ganho de 
Peso (y) 
1 8,34 
4 8,59 
8 9,26 
12 9,50 
6% ??? 
Regressão Linear Simples 
Limitações 
 1- Na análise de regressão, um valor de Y 
não poderá ser legitimamente estimado, se 
o valor de X estiver fora do intervalo de 
valores que serviam de base para a 
equação de regressão; 
 
 2 – Se a predição de Y envolve um 
resultado que ainda não ocorreu, os dados 
históricos que serviram de base para a 
equação de regressão podem não ser 
relevantes para futuros eventos. 
Regressão Linear Simples 
Limitação 1 
y = 0.1123x + 8.2209 
R² = 0.9655 
8,20
8,40
8,60
8,80
9,00
9,20
9,40
9,60
9,80
0 5 10 15
G
a
n
h
o
 d
e
 P
e
s
o
 -
 g
 
Carboidrato – g/100g 
Resposta (y) 
resp (y)
Linear (resp (y))
1 4 8 12 
Limites de x para 
estimativa de Y 
Regressão Linear Simples 
 Limitações 
 3 – Um coeficiente de correlação 
significante não indica, necessariamente, 
relação de causa efeito, mas pode indicar, 
isto sim, uma ligação comum a outros 
eventos; 
 
 4 – Uma correlação significante não é 
necessariamente uma correlação 
importante. 
Análise de Regressão Linear 
Regressão – Termo empregado 
para descrever a influência de uma 
ou mais variáveis independentes (x, 
preditoras, prognosticadoras) 
sobre uma ou mais variáveis 
dependentes (y, resultado, 
consequência). 
Análise de Regressão Linear 
 
 No modelo de Regressão Linear Simples 
usa-se apenas uma variável 
prognosticadora (x); 
 
 Logo assume-se que a relação para a 
variável de resultado seja significativamente 
linear ou não; 
Análise de Regressão Linear 
 Lembrando a equação de Regressão; 
 
 
 
 Em que: 
 yi = observação na unidade experimental; 
 b0 = intercepto; 
 b1 = coeficiente de regressão associado à x1, x2, 
x3,..; 
 e1 = erro associado a cada observação. 
ii
exbby 
110
Análise de Regressão Linear 
 Na análise de regressão a variação total é 
dividida em duas partes: 
 
1. Uma devido a regressão (Quadrado médio 
da Regressão), e: 
2. Outra devida ao acaso (Quadrado médio do 
Resíduo); 
 
 Logo precisa-se verificar se a variação (devido 
a regressão) é significativa ou não. 
 
 ANOVA – Análise de Variância. 
Análise de Regressão Linear 
Anova da Análise de Regressão. 
Fonte de 
variação 
GL SQ QM Valor de F 
Devido a 
Regressão 
p SQRegr 
SQRegr/GLRegrQMRegr/QMRes 
 
Resíduo n-p-1 SQTotal-SQRegr SQRes/GLRes - 
Total n-1 SQTotal - 
Análise de Regressão Linear 
 Somas de Quadrados. 
 SQtotal 



n
i
i YY
1
2)(
Análise de Regressão Linear 
 Somas de Quadrados. 
 SQRegressão 
Logo... 



n
i
i YY
1
2)ˆ(
Análise de Regressão Linear 
 Vamos imaginar um exemplo: 
 Em experimento que avalia a altura da planta de 
milho em função da precipitação pluviométrica; 
 
Precipitação (mm) x 10 30 50 70 90 
Altura em (m) y 0.20 0.80 1.30 1.60 1.56 
Análise de Regressão Linear 
Anova da Análise de Regressão. 
Fonte de 
variação 
GL SQ QM Valor de F 
Devido a 
Regressão 
1 SQRegr 
SQRegr/GLRegr 
 
QMRegr/QMRes 
 
Resíduo n-2 SQTotal-SQRegr SQRes/GLRes - 
Total n-1 SQTotal - 
Análise de Regressão Linear 
 Cálculo das SQ’s; 
 SQtotal?; 
 SQRegressão?; 
 
 
 F 5% Probabilidade, é ??; 
Análise de Regressão Linear 
 Resultado da Anova. 
 
 
 
 
 
 
 F calc. > F Tab. = significativo a 5 % 
 Rejeição da Hipótese nula 
Fonte de 
variação 
GL SQ QM Valor de F 
Devido a 
Regressão 1 1.5810 1.5810 30.40 
Resíduo 3 0.1560 0.0520 
Total 4 1.7370 - 
Tabela F5% 
 
Revisando - Coeficiente de 
determinação 
 O coeficiente de determinação r2, também 
denominado r-quadrado, é sempre um 
número positivo dentro do intervalo (0-1) 
 
 Deve ser interpretado como a proporção da 
variação total da variável dependente y, que é 
explicada pela variação da variável 
independente x. 
 
 Observe que o coeficiente de correlação (r) 
mede as variações dos dados da amostra y 
com relação aos valores projetados da reta, 
sempre na direção de y. 
Exercício 3 - Análise de Regressão 
Linear 
 Exemplo: Experimento avaliando a resposta 
imunológica em milhares de células somáticas. 
Princípio ativo 
(mL) x 
0,3 0,6 0,8 0,9 1,1 1,4 1,7 
C.S. (mil) y 2100 1220 825 425 280 190 120 
Encontre os níveis nos pontos de 0.3 até 1.7, 
após estimar o modelo. 
 
Execute ANOVA