Pratica 7 - Estudo a oscilação de pêndulo de torção pelo método científico

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Física Experimental A
Prática 7
Estudo a oscilação de pêndulo de torção pelo método científico
Prática experimental 7 desenvolvida no curso Física Experimental A da graduação em Curso da Universidade Federal de São Carlos – UFSCar
Prof. Dr. 
Aluno R.A.: 
Aluno R.A.: 
aluno R.A.:
dia de mês de ano
Resumo
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Objetivos:
O principal objetivo desta pratica experimental é analisar o movimento oscilatório de um pendulo de torção para obtermos, através do método cientifico, a equação empírica para o período de oscilação de um pendulo de torção, em função das grandezas intrínsecas e extrínsecas. Queremos também determinar o módulo de rigidez G destes fios e identificar o material que os compõe. 
Fundamento Teórico:
O pendulo de torção a ser estudado neste experimento consiste de uma disco suspenso por um fio preso ao seu centro de massa. Neste experimento a elasticidade está associada à torção do fio. A figura 1 mostra um esquema do pendulo de torção.
Figura 1: pendulo de torção.
Girando o disco de inercia em qualquer direção de um ângulo θ, em relação à posição de equilíbrio, surgirá um torque restaurador 
						(1)
Onde K é denominada constante de torção do fio. A constante de torção depende do comprimento L, do diâmetro d e do modulo de rigidez G do fio, segundo a relação: 
 						(2)
Onde p,m e n são constantes. Na equação 1 temos a lei de Hooke na sua forma angular. Para pequenas amplitudes de oscilação (), o período de oscilação (T) do pendulo de torção pode ser dado peça expressão:
 					 (3)
Onde I é o momento de inercia do disco. Substituindo a equação 2 na expressão, obtemos para o período T do pendulo de torção a seguinte expressão:
 				 (4)
Deste modo estudando o período de oscilação de um pendulo de torção em função do diâmetro do fio e em função do comprimento do fio, torna-se possível a determinação das constantes p,n e m, através da aplicação do método científica, possibilitando a determinação da equação empírica para este movimento de oscilação.
Materiais utilizados
Micrômetro.
Balança Triplice Escala – Balança JB., Precisão 0,1 [g]; Pesagem mín. 4 [g]; Pesagem máx. 1610 [g];
Disco de metal.
Fios de um mesmo material, mas com diferentes diâmetros.
Paquímetro – KINGTOOLS., Precisão 0,02 [mm]; Medição máx. 150 [mm];
Cronômetro digital acionado manualmente.
Suportes para fixação do pêndulo.
Papeis de gráfico di-log e milimetrado.
Procedimento Experimental
Inicialmente foi efetuado as medições do diâmetro d de cada um dos cinco fios em cinco pontos diferentes para se determinar o seu valor médio <d> e suas respectivas incertezas, anotando os dados obtidos na Tabela 1. 
Em seguida, utilizando o fio 3, mediu-se o período de oscilação (utilizando um ≤ 15°) de 6 comprimentos diferente de L, espaçados no intervalo de 10 até 60 cm. Para cada comprimento L, foi medido o tempo t U(t) de N oscilações completas usando um cronômetro de acionamento manual. Os valores utilizados de L e N, além dos resultados do tempo t e do período T foram anotados na Tabela 2.
Posteriormente, foi escolhido um comprimento L=20cm fixo e variamos os fios com diferentes diâmetros afim de obter os períodos de oscilação para cada fio. Anotamos os valores obtidos do tempo, número de oscilações e o período na Tabela 3. Foram medidos o raio e a massa do disco de inércia. Através dos valores obtidos pelos experimentos calculamos o valor de T (período de oscilação).
Após esse procedimento construímos dois gráficos em papel di-log: T versus <d> e T versus L. Aplicamos o critério de ajuste da reta mais provável pelo método visual para determinar os valores dos coeficientes de inclinação que correspondem aos valores das potencias m e n da equação 4. Utilizamos do método de análise dimensional a fim de se determinar o valor do expoente do modulo de rigidez. 
Por meio desses valores escrevemos a equação empírica onde foi calculado o valor do modulo de rigidez (G). A partir desse valor de G conseguimos identificar o material de que são feitos os fios.
Apresentação dos resultados:
Tabela 1: Diâmetro (d) dos fios.
	Fio
	d1 ± μ(d1) [mm]
	d2 ± μ(d2) [mm]
	d3 ± μ(d3) [mm]
	d4 ± μ(d4) [mm]
	d4 ± μ(d4) [mm]
	1
	0,290
	±
	0,005
	0,340
	±
	0,005
	0,805
	±
	0,005
	1,015
	±
	0,005
	1,210
	±
	0,005
	2
	0,295
	±
	0,005
	0,330
	±
	0,005
	0,810
	±
	0,005
	1,010
	±
	0,005
	1,215
	±
	0,005
	3
	0,290
	±
	0,005
	0,365
	±
	0,005
	0,795
	±
	0,005
	1,000
	±
	0,005
	1,215
	±
	0,005
	4
	0,290
	±
	0,005
	0,355
	±
	0,005
	0,810
	±
	0,005
	1,020
	±
	0,005
	1,205
	±
	0,005
	5
	0,300
	±
	0,005
	0,360
	±
	0,005
	0,800
	±
	0,005
	1,020
	±
	0,005
	1,210
	±
	0,005
Tabela 2: Comprimento L do fio, número de oscilações completas N, tempo das oscilações t e período de oscilação do pêndulo de torção, para o fio 3, <d3> ± u(<d3>) .
	L ± μ(L) [mm]
	N
	t ± μ(t) [s]
	T ± μ(T) [s]
	D ± μ(D) [mm]
	100,0
	±
	0,5
	25
	62,03
	±
	0,3
	2,481
	±
	0,012
	154,60
	±
	0,02
	120,0
	±
	0,5
	23
	61,75
	±
	0,3
	2,685
	±
	0,013
	
	
	
	150,0
	±
	0,5
	20
	59,73
	±
	0,3
	2,987
	±
	0,015
	
	
	
	200,0
	±
	0,5
	17
	59,44
	±
	0,3
	3,496
	±
	0,018
	
	
	
	300,0
	±
	0,5
	14
	60,94
	±
	0,3
	4,353
	±
	0,021
	
	
	
	405,0
	±
	0,5
	12
	59,62
	±
	0,3
	4,968
	±
	0,025
	
	
	
Tabela 3: Comprimento L do fio, diâmetro médio <d> do fio, número de oscilações completas N, tempo das oscilações t e período de oscilação do pêndulo de torção.
	L ± μ(L) 
 [mm]
	<d> ± μ(<d>) [mm]
	N
	t ± μ(t) [s]
	T ± μ(T) [s]
	D ± μ(D) [mm]
	200
	±
	0,5
	0,293
	±
	0,002
	3
	80,400
	±
	0,3
	26,8
	±
	0,1
	154,60
	±
	0,02
	200
	±
	0,5
	0,350
	±
	0,007
	4
	68,790
	±
	0,3
	17,20
	±
	0,08
	 
	 
	 
	200
	±
	0,5
	0,804
	±
	0,003
	17
	59,440
	±
	0,3
	3,496
	±
	0,018
	 
	 
	 
	200
	±
	0,5
	1,013
	±
	0,004
	36
	80,500
	±
	0,3
	2,236
	±
	0,008
	 
	 
	 
	200
	±
	0,5
	1,211
	±
	0,002
	50
	70,130
	±
	0,3
	1,403
	±
	0,006
	 
	 
	 
Tabela 4: Tabela resumida para o calculo do módulo de rigidez G de acordo com a equação empírica.
	Fio
	<d>± μ(<d>) [mm]
	L± μ(L) [mm]
	T ± μ(T) [s]
	G ± μ(G) [N/m²]
	D ± μ(D) [mm]
	1
	0,293
	
	0,002
	200,0
	±
	0,5
	26,8
	±
	0,1
	7,36E+10
	±
	2,46E+09
	154,60
	±
	0,02
	2
	0,35
	
	0,007
	200,0
	±
	0,5
	17,20
	±
	0,08
	8,78E+10
	±
	6,76E+09
	M ± μ(M) [g]
	3
	0,804
	
	0,003
	200,0
	±
	0,5
	3,496
	±
	0,018
	7,63E+10
	±
	1,83E+09
	1622,0
	±
	0,1
	4
	1,013
	
	0,004
	200,0
	±
	0,5
	2,236
	±
	0,008
	7,40E+10
	±
	1,79E+09
	
	
	
	5
	1,211
	
	0,002
	200,0
	±
	0,5
	1,403
	±
	0,006
	9,21E+10
	±
	1,85E+09
	
	
	
Tabela Auxiliar A1: Diâmetro médio <d> dos fios.
	<d1> ± μ(<d1>) [mm]
	<d2> ± μ(<d2>) [mm]
	<d3> ± μ(<d3>) [mm]
	<d4> ± μ(<d4>) [mm]
	<d5> ± μ(<d5>) [mm]
	0,293±
	0,002
	0,350
	±
	0,007
	0,804
	±
	0,003
	1,013
	±
	0,004
	1,211
	±
	0,002
Tabela Auxiliar A2: Tabela auxiliar para calculo de incerteza.
	Fio
	(d1 - <d1>)^2
	(d2 - <d2>)^2
	(d3 - <d3>)^2
	(d4 - <d4>)^2
	(d5 - <d5>)^2
	1
	0,0000090
	0,0001000
	0,0000010
	0,0000040
	0,0000010
	2
	0,0000040
	0,0004000
	0,0000360
	0,0000090
	0,0000160
	3
	0,0000090
	0,0002250
	0,0000810
	0,0001690
	0,0000160
	4
	0,0000090
	0,0000250
	0,0000360
	0,0000490
	0,0000360
	5
	0,0000490
	0,0001000
	0,0000160
	0,0000490
	0,0000010
Tabela Auxiliar A3: Tabela auxiliar para calculo do MMQ do Gráfico 1, 2 e 3 respectivamente.
	Fio
	<d>
	T
	<d> * T
	<d>²
	(T-(a*<d> +b))²
	n
	1
	-0,5331323796
	1,4281347940
	-0,7613849
	0,284230
	0,000191528
	5
	2
	-0,4559319556
	1,2354653181
	-0,5632881
	0,207874
	0,00053823
	a ± μ(a)
	3
	-0,0947439513
	0,5436298794
	-0,0515056
	0,008976
	0,000171425
	-2,02
	
	0,05
	4
	0,0056094454
	0,3494933796
	0,0019605
	0,000031
	0,000452048
	b ± μ(b)
	5
	0,0831441431
	0,1469338346
	0,0122167
	0,006913
	0,000624697
	0,340
	
	0,015
	
	-0,9950546980
	3,7036572057
	-1,3620015
	0,508025
	0,001977928
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	<d>
	T
	<d> * T
	<d>²
	(T-(a*<d> +b))²
	n
	1
	2,00000000000
	0,394661772
	0,789323545
	4,000000000
	1,56743E-05
	6
	2
	2,07918124605
	0,428909126
	0,891779811
	4,322994654
	3,98679E-06
	a ± μ(a)
	3
	2,17609125906
	0,475162519
	1,033997004
	4,735373168
	2,44822E-05
	0,51
	
	0,01
	4
	2,30102999566
	0,543629879
	1,250908659
	5,294739041
	6,98813E-09
	b ± μ(b)
	5
	2,47712125472
	0,638774414
	1,582321678
	6,136129711
	3,38766E-05
	-0,62
	
	0,02
	6
	2,60745502321
	0,696210726
	1,815338154
	6,798821698
	8,51702E-06
	
	
	
	
	13,64087877870
	3,177348437
	7,363668851
	31,288058271
	8,65439E-05
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	L
	T²
	L * T²
	L²
	(T²-(a*L +b))²
	n
	1
	100
	6,156353440
	615,635344000
	10000
	0,011927264
	6
	2
	120
	7,208057656
	864,966918715
	14400
	0,006290629
	a ± μ(a)
	3
	150
	8,919182250
	1337,877337500
	22500
	0,052227541
	0,0600
	
	0,0012
	4
	200
	12,225306574
	2445,061314879
	40000
	0,000528237
	b ± μ(b)
	5
	300
	18,947365306
	5684,209591837
	90000
	0,247931059
	-0,15
	
	0,28
	6
	405
	24,684336111
	9997,156125000
	164025
	0,076346344
	
	
	
	
	1275
	78,140601338
	20944,906631930
	340925
	0,395251073
	
	
	
Atividades complementares
Tabela 5: Tabela resumida para o calculo do módulo de rigidez G do fio 3 calculado a partir do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) de acordo com o Gráfico 3.
	Fio
	<d>± μ(<d>) [mm]
	a ± μ(a) (pelo MMQ)
	G ± μ(G) [N/m²]
	D ± μ(D) [mm]
	3
	0,804
	
	0,003
	0,0600
	±
	0,0012
	7,52E+10
	±
	0,14E+10
	154,60
	±
	0,02
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	M ± μ(M) [g]
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1622,0
	±
	0,1
Tabela 6: Tabela com os pontos para calculados a partir dos coeficientes encontrados no MMQ pelo Gráfico 3.
	a ± μ(a)
	T² ± μ(T²) [s²]
	L ± μ(L) [mm]
	0,0600
	
	0,0012
	7,29
	±
	0,14
	120
	±
	0,5
	b ± μ(b)
	12,25
	±
	0,24
	200
	±
	0,5
	-0,15
	
	0,28
	18,4
	±
	0,4
	300
	±
	0,5
Segundo esses dados podemos comparar com os dados pela Tabela P5.1 da Apostila de Física Experimental A que o Módulo de cisalhamento (G) encontrado se aproxima mais do material Aço.
Conclusão
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bibliografia
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Mecânica. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2009. 278 p.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: 1 - Mecânica. 4. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 2002. 338 p.
KITTEL, C.; KNIGHT, W. D.; RUDERMAN, M. A. Curso de Física de Berkeley.4. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 1973. 455 p.
Apêndice
Incertezas:
Para calcular as incertezas do experimento utilizamos da Avaliação do tipo A e da Avaliação do tipo B, sendo que na Avaliação do tipo A consideramos o número de medições, equivalente a 5, obtendo-se o resultado de x1, x2, x3, x4 e x5, estabelecendo que a melhor estimativa para a medição é dada pela média aritmética <x> dos valores obtidos dado pela formula:
 (1.0)
E a contribuição aleatória da incerteza padrão da medição foi identificada com o desvio padrão s da média, dado por:
 (1.1)
A Avaliação do tipo B utilizou-se as informações disponíveis sobre os instrumentos de medição empregados no experimento, atribuindo-sereferente a resolução do paquímetro, da trena e da balança utilizado, sendo a incerteza pela Avaliação do tipo B ubp=0,02 [mm]; ubt=0,5 [mm] e ubb=0,1 [g], respectivamente, por possibilitar a visualização da metade do valor da menor medição a incerteza para a trena e pala a balança foram a metade de sua resolução, isto é, a metade do valor da menor divisão da escala.
Foi de grande interesse calcular a incerteza relativa (u(R)) para facilitar o calculo de propagação de incerteza, sendo esta a razão entre a incerteza de medição pelo valor da mesma grandeza, dada assim por:
 (1.2)
Houve-se entretanto a necessidade de combinar as incertezas calculadas, para esta finalidade utilizou-se do conceito de propagação de incerteza, sendo esta determinada por incerteza padrão combinada uc, podendo ser determinada por:
 (1.3)
De forma geral utilizamos a forma resumida da equação (1.3) para funções do tipo determinada por:
 (1.4)
E para funções do tipo determinado pela forma resumida:
 (1.5)
Sendo este empregado no caso da combinação da incerteza de <x>, do Tipo A, associada ao desvio padrão da média (s) e a incerteza do Tipo B ub , onde foi obtido a propagação por meio da formula (1.5) para o caso de apenas dois valores , para p1=p2=1 e a=b=1 e x1=s, x2=ub, resultando em:
 (1.6)
Para a incerteza associada à medição do tempo considerou-se os dados fornecidos pela literatura referente ao tempo de reação do ser humano, sendo esta da ordem de 0,2 [s]. Como no processo temos 2 períodos envolvidos, iniciar contagem e finalizar a contagem, foi propagado esta incerteza de modo que , logo u(t) = 0,3 [s].
A concordância c entre resultados é um valor percentual e quanto mais perto de 100%, maior é o grau de concordância entre o valor obtido pela medição experimental (Xexp) e o valor de referencia (Xteo). A concordância é dada por: 
 		 (1.7)
Construção do gráfico: 
Na construção do gráfico foi utilizado o conceito de ajuste mais provável da reta pelo método visual, que possibilita a determinação dos coeficientes de inclinação e suas incertezas, visualmente, podendo estimar esta incerteza associada ao valor da inclinação calculada a partir das inclinações máximas e mínimas. Para o gráfico di-log, temos que o coeficiente de angulação da reta média visual é dada por: 
 (1.8)
Onde Yf e Yi são os pontos do maior e menor valor obtido no eixo Y, respectivamente, e Xf e Xi similarmente. Para o calculo da incerteza visual associada a este coeficiente foi utilizado a seguinte formula: 
 (1.9)
Onde amáx e amin são os coeficientes de angulação da reta de máxima e de mínima inclinação respectivamente. Para o gráfico linear o mesmo conceito é utilizado, entretanto a formula (1.7) é utilizado na forma: 
 (2.0)
Durante a construção do gráfico linear fez-se necessário calcular o degrau D da escala linear dos eixos x e y do mesmo, para isto foi utilizado a equação: (onde Vmax é o maior valor obtido a ser representado ao longo do comprimento L total do eixo.
 (2.1)
Foi utilizado também o método de mínimos quadrados (MMQ) no gráfico linear a fim de ser encontrada a constante C da equação empírica do momento de inercia, este é o método que estabelece os parâmetros que melhor ajustam a função aos dados, para sua determinação utilizamos as seguintes equações:
 e (2.2)
 e (2.3)
Detalhamento dos Cálculos:
Determinação das equações para construção dos gráficos:
Para o primeiro gráfico temos que o diâmetro d é variável, logo separamos: 
Similarmente para o segundo gráfico, tendo agora o comprimento l como uma variável. Para a construção do gráfico linear utilizamos:
Deste modo as angulações da reta podem ser utilizadas para a determinação dos coeficientes m e n da equação empírica bem como o valor de G de cada fio. Já para encontrarmos o valor do coeficiente p utilizamos a analise dimensional: 
Para os cálculos do degrau utilizado no Gráfico 3 utilizamos a equação (2.1) da forma:
Através do calculo do MMQ dos Gráficos 1 e 2 obtivemos os valores do coeficiente de angulação a e por meio desses encontramos os valores dos coeficientes me e n por meio de:
E o valor de G de cada fio por:
Esses valores foram obtidos através do auxilio do programa Excel com as tabelas auxiliares apresentadas na Apresentação dos Resultados. Após ter sido encontrado o valor de G para o fio 3 foi calculado, por meio da equação empírica encontrada, o valor de G correspondente para cada um dos fios e também calculada a concordância C entre o valor de G teórico e o experimental para o fio 3 segundo esses dois dados pela equação (1.7):