Geometria Analítica e Álgebra Linear unid II

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Unidade II
5 GEOMETRIA ANALÍTICA : UMA ABORDAGEM VETORIAL
5.1 Vetores – tratamento geométrico
O estudo da geometria analítica está alicerçado na ideia de representar os pontos da reta por 
números reais, os pontos do plano por pares ordenados de números reais, e os pontos do espaço por 
ternas ordenadas de números reais.
Faremos, inicialmente, um estudo intuitivo da noção de vetores, buscando apresentar, sempre que 
possível, uma linguagem informal. 
 Lembrete
Você poderá fazer um estudo mais formal e rigoroso a partir das 
referências bibliográficas.
De início, apresentaremos um tratamento geométrico dos vetores, buscando evidenciar algumas 
noções elementares relacionadas a eles. 
Na visão geométrica de vetores, não precisamos diferenciar vetores no plano e no espaço. Assim, 
nesta primeira abordagem, vamos simplesmente falar em vetores. 
Os vetores servem, principalmente, para deslocar pontos ou, mais precisamente, efetuar 
translações. Ao deslocar cada um dos pontos de uma figura, o vetor efetua uma translação dessa 
figura.
Podemos classificar as grandezas em dois tipos: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. 
• as grandezas escalares podem ser caracterizadas por um número real (e sua unidade de medida 
correspondente). São exemplos de grandezas escalares: área, volume, massa, temperatura, entre 
outras;
• as grandezas vetoriais necessitam mais do que um número para serem caracterizadas, ou seja, 
não ficam completamente definidas apenas pelo número com sua unidade correspondente. Para 
definir completamente essas grandezas, é necessário conhecer seu módulo (ou comprimento ou 
intensidade, que também pode ser denominado a norma de um vetor), sua direção e seu sentido. 
São exemplos de grandezas vetoriais a força, a velocidade e a aceleração. 
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Para o nosso estudo, alguns conceitos serão considerados básicos, isto é, não necessitam de definição. 
Por Exemplo: ponto, reta, segmento de reta, plano.
Iniciaremos o nosso estudo das grandezas vetoriais com a definição de vetor.
5.1.1 O conceito de vetor
Para chegarmos à definição de vetores, vamos considerar inicialmente dois pontos distintos A e B e 
o segmento de reta AB .
A todo segmento de reta podemos associar uma direção e um comprimento. A direção será dada 
pela reta que contém os pontos e o seu comprimento pela medida entre A e B.
Se considerarmos a ordem de escolha dos pontos A e B, teremos uma origem e uma extremidade 
para o nosso segmento e assim teremos um segmento orientado, isto é, um segmento que tem origem 
e extremidade. Com isso, estabelecemos um sentido para o segmento, por exemplo, de A para B.
Vamos utilizar notações diferentes para indicar um segmento de reta e um segmento orientado. 
Representaremos o segmento orientado com origem em A e extremidade em B por AB.
Você terá, então, a notação AB para indicar o segmento de reta formado pelos pontos A e B, e as 
notações AB ou (AB) ou (A, B) para indicar o segmento orientado. 
 Observação
Note que AB e BA representam o mesmo segmento de reta. Já os 
segmentos orientados AB e BA representam segmentos diferentes, sentidos 
diferentes.
Para um segmento orientado AB, podemos definir:
• direção: dada pela reta que contém os pontos A e B;
• sentido: dado pela ordem de escolha dos pontos A e B;
• norma (comprimento): dada pela medida do segmento. 
Os segmentos orientados da forma AA são chamados de segmentos nulos, isto é, começam e acabam 
no mesmo ponto. 
Considere os segmentos orientados representados a seguir. O que você pode dizer sobre a direção, 
sentido e comprimento deles? 
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r s t
B
D
F
E
C
A
Figura 2
Você deve ter notado que os segmentos orientados AB, DC e EF estão em retas paralelas, portanto 
têm mesma direção. Os segmentos AB e EF têm mesmo sentido, já DC tem sentido oposto ao de AB e de 
EF. Já em relação ao comprimento, notamos que AB e DC têm mesmo comprimento.
Definimos vetor AB como o conjunto de todos os segmentos orientados que têm mesma direção 
sentido e norma do segmento orientado AB. Usaremos a notação AB
� ��
 para indicar esse vetor.
Qualquer um dos segmentos desse conjunto pode ser seu representante, isto é, se os segmentos AB, 
CD e EF têm mesma direção, sentido e norma, podemos escrever AB
� ��
 = CD
� ��
 = EF
��
.
Também podemos indicar o vetor por uma letra minúscula com uma flecha em cima, como, por 
exemplo, v

. 
 Lembrete
Cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um 
segmento orientado, que é representante do vetor v

A figura a seguir nos indica o que define a direção de um vetor. Considerando a reta que passa pelos 
pontos A e B, podemos afirmar que o deslocamento de um objeto nessa mesma direção pode ser feito 
de duas maneiras: no sentido de A para B, ou no sentido contrário, de B para A.
 Assim, a cada direção, podemos associar dois sentidos. 
 A B A B A B
Figura 3
 Observação
É importante observar que somente podemos falar em mesmo sentido 
ou em sentido contrário quando os vetores têm mesma direção.
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O módulo (norma ou comprimento) de um vetor v

 é indicado pelas notações | v

| ou || v

||. 
Você pode trabalhar com qualquer uma das notações, sendo a notação com as barras duplas a mais 
conveniente. A outra notação pode ser confundida com a notação para módulo de um número.
Mais adiante, veremos como fazer o cálculo do módulo de um vetor.
5.1.2 Casos particulares de vetores
a) Dois vetores u

 e v

 são paralelos, e indica-se por u

 // v

, se têm representantes com mesma 
direção, isto é, em retas paralelas. 
 
u

v

w
��
Figura 4
Neste caso, temos u

 / v

, mas w
��
 não é paralelo aos outros dois vetores, isto é:
u

v

w
��
w
��
// //e
b) Dois vetores u

 e v

 são iguais, e indica-se por u

 = v

, se têm mesma direção, sentido e módulo.
u

v

 u

 = v

Figura 5
c) Vetor nulo ou zero: pode ser representado por qualquer ponto do espaço e será indicado por 0

 
ou AA
� ��
 (a origem coincide com a extremidade). Esse vetor não possui direção e sentido definidos, 
e tem norma igual a zero, isto é, ||u

|| = 0.
0

 = AA
� ��
d) Vetor oposto: - v

 é o oposto de v

 e tem mesmo módulo e mesma direção de v

, porém, de 
sentido contrário. 
- v

v

Figura 6
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
e) Vetor u

 é unitário: vetor com comprimento 1, isto é, |u

| = 1. 
f) Vetores ortogonais: u

 e v

 são ortogonais, e indica-se por u

 ⊥ v

, se algum representante de 
u

 formar ângulo reto com algum representante de v

. Considera-se o vetor nulo ortogonal a 
qualquer vetor.
u

v

Figura 7
g) Dois ou mais vetores são coplanares,se existir algum plano em que esses vetores estejam 
representados. É importante observar que dois vetores u

 e v

 quaisquer são sempre coplanares. 
Três vetores poderão ser coplanares ou não.
5.1.3 Operações com vetores
Um aspecto importante dos vetores é que podemos efetuar operações entre eles, vejamos essas 
operações.
5.1.3.1 Adição de vetores
Consideremos os vetores u

 e v

, e o vetor soma u

 + v

 (que representará outro vetor). 
u

v

Figura 8
Como encontrar esse vetor soma?
Vamos tomar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar um segmento orientado AB 
representante do vetor u

.
u

A
B
Figura 9
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A partir da extremidade B, vamos traçar o segmento orientado BC representante de v

:
u

A
B C
v

 
Figura 10
O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o vetor 
soma de u

 e v

, isto é:
u

 e v

 = AC
� ��
 ou AB
� ��
 + BC
���
 = AC
� ��
 
Sendo u

 // v

, a maneira de se obter o vetor u

 + v

 é a mesma e está ilustrada nas figuras a seguir:
u

u

u

+
v

v

v

Figura 11
 
Quando os vetores u

 e v

 não são paralelos, podemos utilizar outra forma para encontrar o vetor 
soma u

 + v

. 
Regra do paralelogramo
 Consideremos os vetores u

 e v

, não paralelos, representados a seguir:
u

v

Figura 12
Vamos representar os vetores por segmentos orientados com origem em A, u

 = AB
� ��
 e v

= AD
� ��
.
u

A
B
C
v

 Figura 13
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Completando o paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A, que corresponde à 
diagonal do paralelogramo, há o vetor u

 + v

, isto é, u

 + v

= AC
� ��
 ou:
u

A
B
D
+
C
v

Figura 14
Para determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo, ou seja, você deve 
pegar representantes dos vetores, de forma a colocar a extremidade de um na origem do próximo, e o 
resultado obtido com a adição desses vetores será dado pela 1ª origem e a última extremidade.
 Lembrete
No caso em que a extremidade do representante do último vetor 
coincidir com a origem do representante do primeiro, a soma deles será o 
vetor nulo   


u v w t+ + + =( )0 . 
 Toda vez que definimos uma operação, precisamos saber quais são as propriedades que ela satisfaz. 
A adição de vetores satisfaz as propriedades: associativa, existência do elemento neutro, existência 
do simétrico e propriedade comutativa. Um conjunto, munido da operação de adição, que satisfaz essas 
propriedades é definido como grupo comutativo (abeliano). 
Vejamos, então, quais são essas, para quaisquer vetores u

, v

 e w
��
:
(I) associativa: u v w u v w

    
+( ) + = + +( ) ;
(II) elemento neutro: u u



+ =0 ;
(III) elemento oposto: u u



+ −( ) = 0 ;
(IV) comutativa: u v v u

  
+ = + .
 Observação
 A diferença entre os vetores u

 e v

 será interpretada por 
u

 + (- v

), e escreveremos u

 - v

 para representar essa diferença.
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É importante ressaltar e observar que, no paralelogramo determinado pelos vetores u

 e v

 verifica-
se que a soma u

 + v

 é representada por uma das diagonais, enquanto a diferença u

 - v

 pela outra 
diagonal:
u

A
B
D
-
C
v

Figura 15
Exemplos:
1) Nas figuras a seguir determine a soma dos vetores indicados.
a) (quadrado)
A
D
B
C
Figura 16
Queremos saber a soma dos vetores AB
� ��
 e AD
� ��
. Como os vetores têm mesma origem, podemos 
utilizar a regra do paralelogramo para determinar a resultante.
Assim, pela regra do paralelogramo, o vetor resultante será a diagonal AC. Podemos escrever 
AB
� ��
 + AD
� ��
 = AC
� ��
.
b) (hexágono regular)
E D
F
B
C
A
G
Figura 17
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
No hexágono regular, temos vetores em três direções diferentes, todos com mesmo módulo.
Queremos saber a soma dos vetores AB
� ��
, DC
� ��
 e FE
��
. Dessa vez, como os vetores não têm mesma 
origem, não podemos utilizar a regra do paralelogramo.
Você precisa escolher outros representantes dos vetores que estejam em posição conveniente para 
que possam ser somados, isto é, a extremidade de um emendando na origem do próximo.
Existem várias possibilidades, vamos escolher uma delas. Você pode refazer o exemplo utilizando 
outro caminho. 
Vamos substituir o vetor AB
� ��
. Observando a definição de vetor, temos que AB
� ��
 = ED
���
 = FG
���
 = GC
� ��
 . 
Podemos substituir AB
� ��
 por ED
���
.
Agora, os vetores estão emendados, final de um na origem do seguinte. Observe a figura a seguir:
E D
F
B
C
A
G
Figura 18
Pela definição de adição, temos que o vetor resultante é FC
���
.
 Lembrete
Note que, se você escolher outro caminho, deve encontrar sempre o 
mesmo resultado, ou outro representante desse vetor.
c) (cubo)
A
E
B
F
G
C
H
D
Figura 19
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Queremos a soma dos vetores AE e
��� � ��� � �� ���
, , HG FB BC . Como a figura é um cubo, temos vetores em 3 
direções diferentes. 
Inicialmente, notamos que os vetores AE e
��� ���
 FB têm mesma direção e mesma norma, mas têm 
sentidos opostos, isto é, são vetores opostos. Assim, a soma desses dois vetores será nula.
A soma a ser feita, então, passa a ser:
AE
��� � ��� � �� ��� � ��� ���
 HG FB BC HG BC+ + + = +
Observando a figura, notamos que podemos substituir BC EH
��� ���
por , e a soma passa a ser:
HG BC HG EH
� �� ��� � �� ���
+ = +
Invertendo a ordem dos vetores, temos a extremidade do primeiro na origem do seguinte. A partir 
disso, a soma passa a ser a 1ª origem (E) e a última extremidade (G), isto é, o vetor resultante será EG
���
, 
HG BC EH HG EG 
� �� ��� � ��� � �� ���
+ = + =
Note que, se você fizer a soma substituindo o vetor HG
� ��
 pelo vetor AB
� ��
, encontrará como resposta 
o vetor AC
� ��
. Os vetores encontrados são iguais, assim, você pode ter mais de uma resposta correta, 
representantes diferentes do mesmo vetor.
Em física, temos várias grandezas vetoriais, por exemplo, a posição, o deslocamento, a velocidade.
Vejamos uma aplicação para o vetor deslocamento e a adição de vetores.
2) Uma pessoa encontra-se no ponto A e vai encontrar com um colega que está a 100 m, em um 
ponto B. A seguir, vão encontrar outro colega que está em um ponto C, na mesma direção, a 300 m.
Represente o seu deslocamento e determine o módulo do vetor deslocamento total.
Resolução:Conforme o enunciado, temos:
 
A B 400m100m
d 1
���
d 2
� ��
 Figura 20
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Notamos que os dois vetores a serem somados têm mesma direção e sentido, logo, a resultante 
dessa soma será o vetor com origem em A e extremidade em C.
Assim, o módulo do vetor deslocamento será 100 m + 400 m = 500 m.
Representando o resultado, temos:
CA B 400m100m
d 1
���
d 2
� ��
d

 
Figura 21
Encontramos também a adição de vetores no estudo de campos elétricos.
Vejamos agora uma aplicação na determinação do vetor campo elétrico gerado por duas partículas 
eletrizadas.
3) Dadas duas partículas eletrizadas com cargas positivas Q1 e Q2, colocadas nos pontos A e B, 
conforme figura a seguir. Represente o vetor campo elétrico resultante.
+
+
B
A
P
E2
���
E1
��
Figura 22
Resolução:
Observe que o ponto P sofre influência dos dois campos gerados, simultaneamente. Os vetores 
E1
��
 e E2
���
representam o vetor campo elétrico de cada carga. 
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O vetor resultante será determinado pela soma dos vetores e, nesse caso, vamos utilizar a regra do 
paralelogramo.
Assim:
+
+
B
A
P
E2
���
E1
��
ER
���
Figura 23
O vetor resultante ER
���
indica o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante.
5.1.3.2 Multiplicação por escalar (ou número real)
Dado um vetor v
 
≠ 0 e um número real α ≠ 0 , chama-se produto do número real a pelo vetor 
v

, o vetor a v

, tal que:
• módulo: ||a v

|| = |a| || v

||, isto é, o comprimento de a v

 é igual ao comprimento de v

multiplicado 
por |a|
• direção: a v

 é paralelo a v

, têm a mesma direção
• sentido: 
α
α
v e v
v e v
 
 



têm o mesmo sentido se a > 0
têm sentido contrário se a < 0
• Se a = 0 ou v

 = 0

, então a v

 = 0

.
Vamos ver geometricamente o que significa o produto por escalar. 
Exemplos:
Dado o vetor u

, vamos representar os vetores.
u

Figura 24
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Resolução:
 Para representar os vetores, devemos lembrar que todos serão paralelos ao vetor dado, isto é, 
estarão em retas paralelas à direção de u

.
• Vetor -u

: mesma direção e norma de u

 e sentido contrário: 
- u

Figura 25
• Vetor 3u

: mesma direção e sentido contrário de 3u

 e norma igual a ||3u

|| = |3| ||u

||, isto é, 
norma igual a 3 vezes a norma do vetor u.
3
u

u

Figura 26
• Vetor 
1
2
u

: mesma direção e sentido contrário de u

 e norma igual a 1
2
1
2
1
2
u u u
  
= = , isto é, 
norma igual à metade da norma de:
u

1
2
u

Figura 27
• Vetor -
3
2
u

: mesma direção de u

, sentido contrário ao de u

, e norma igual a 
− = =
3
2
3
2
3
2
u u u
  
, isto é, norma igual a 3/2 da norma de u

:
u
 -
3
2
u

Figura 28
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Propriedades
Novamente, se definimos uma operação precisamos, então, saber quais são as propriedades que ela 
satisfaz. 
A multiplicação por escalar satisfaz as propriedades a seguir, para quaisquer vetores u

 e v

 e para 
quaisquer números reais a, b:
( )
( )
( ) .
I u v u v
II u u u
III u
α α α
α β α β
α β
 
 
 

  

 

+( ) = +
+( ) = +
( ) ==
=
α β ( 
1. 



u
IV u u
)
( )
Note que, para essas propriedades, não demos nomes. Isso acontece, pois estamos trabalhando com 
elementos de conjuntos diferentes.
Com essas propriedades, podemos definir o versor de um vetor.
Versor de u

: é um vetor unitário que tem mesma direção e sentido de u

, e é dado por:



v
1
 u 
 u=
Com as propriedades de adição e de multiplicação por escalar, podemos resolver equações vetoriais, 
isto é, equação em que as variáveis são vetores e também sistemas de equações vetoriais.
Exemplos:
1) Resolver a equação vetorial na variável x

, e a seguir representar geometricamente a solução em 
função dos vetores u

 e v

 dados:
3 2 3 2
    
x u u+ = + + v x
u

v

Figura 29
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Para resolver a equação, você deve utilizar as propriedades da adição e da multiplicação por escalar.
Devemos isolar a variável do lado esquerdo da equação, temos então:
3 2 3 2
3 3 2 2
2 2
    
    
  

x u u
x u u
x u
x
+ = + +
− = + −
= +
=
 v x
 x v 
 v
11
2
 
u + v
 Logo, a solução da equação é: 
  
x u= +
1
2
 v
Para fazer a representação geométrica da solução, você deve representar os dois vetores e depois 
representar a soma deles:
u

v

1
2
u

Figura 30
Como os vetores que formam a solução da equação estão representados com mesma origem, você 
pode utilizar a regra do paralelogramo. Assim, temos:
u

v

1
2
u

  
x u= +
1
2
 v
Figura 31
2) Resolver o sistema de equações vetoriais, nas variáveis x

 e y

, e a seguir representar 
geometricamente a solução em função dos vetores u

 e v

 dados:
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a
u

v

   
   
x y u
x y u
+ = +
− = −

2 v
 2 v
Figura 32
Resolução:
Para resolver o sistema de equações vetoriais, você pode utilizar qualquer um dos métodos já 
conhecidos.
Vamos resolver este sistema por adição:
   
   
x y u
x y u
+ = +
− = −

2 v
 2 v
Vamos eliminar a variável x

. Para isso, vamos multiplicar a 2ª equação por (-1):
   
   
x y u
x y u
+ = +
− = −
2 2 v
 2 v (multiplicando por (-1))
 2 v 
 - 2 v 

+ = +
− + = +
   
   
x y u
x y u
2
 
 3 y u-v

=
  
somando as equações
Temos então, 
  
y u= −
1
3
1
3
 v
Agora, vamos eliminar a variável y

. Para isso, devemos multiplicar a 2ª equação por 2:
somando as equações
   
   
x y u
x y u
+ = +
− = −
2 2 v
 2 v (multiplicando por 2)
 2 v 
 2 

+ = +
− =
   
 
x y u
x y
2
2 2 4 v 
 3 x 4 u- 3 v
 
  
u −

=
Assim, temos 
  
x u= −
4
3
 v .
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Logo, a solução do sistema é: 
    
x u y u= − = −
4
3
1
3
 v e 
1
3
v
Primeiro, vamos representar o vetor 
  
x u= −
4
3
 v
u

v

v

-
4
3

u
  
x u v= −
4
3
Figura 33
Representando agora o vetor 
  
y u v= −
1
3
1
3
:
u

v

  
y u v= −
1
3
1
3
−
1
3

v
−
1
3

v
Figura 34
5.2 Espaço vetorial real
Definição: um conjunto V com as operações de adição e produto por número real, que satisfaça as 
propriedades que vimos anteriormente, é chamado de espaço vetorial. Os elementos do espaço vetorial 
V são chamados de vetores, e os números reais da multiplicação são chamados de escalares. Daí o fato 
de, em alguns textos, você encontrar a multiplicação por número real indicada como multiplicação por 
escalar. 
Resumindo, um conjunto é um espaço vetorial que tem duas operações, adição e multiplicação por 
número real, que satisfazem as seguintes propriedades:
I) Em relação à operação de adição:
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A1: u v v u+ = + (propriedade comutativa); 
A2: u v w u v w+ + = + +( ) ( ) (propriedade associativa);
A3: u u u+ = + =0 0 (elemento neutro);
A4: u u u u+ − = − + =( ) ( ) 0 (oposto aditivo).
A propriedade A3 indica que existe um vetor em V, chamado vetor nulo, o qual será simbolizado 
genericamente por 0, tal que u + 0 = u, para qualquer vetor u ∈ v.
A propriedade A4 indica que, para cada vetor u ∈ v, existe um vetor em V, denotado por – u, e 
chamado de oposto de u.
Observe que A1, A2, A3 e A4 formam uma estrutura algébrica que chamamos de grupo comutativo 
(ou abeliano), ou seja, um espaço vetorial é um grupo comutativo com a operação adição. 
II) Em relação à operação de multiplicação por escalar:
M1: α β αβ( )u ( )u=
M2: ( )α β α β+ = +u u u
M3: α α α( )u v+ = + u v
M4: 1 uu =
É importante observarmos que podemos tratar a definição de espaço vetorial de forma genérica, 
ou seja, para um espaço vetorial V qualquer. Assim, ela serve para conjuntos diversos, tais como o IR2 e 
IR3, o conjunto das matrizes Mmxn, entre outros. Dessa forma, os vetores terão a natureza dos elementos 
desse espaço, e os conjuntos correspondentes terão a mesma estrutura em relação às operações de 
adição e multiplicação por escalar.
5.3 Vetores – tratamento algébrico
Para localizarmos elementos de um plano, utilizamos o sistema cartesiano, isso possibilita o estudo 
algébrico de vetores a partir das coordenadas dos pontos.
Deixaremos de trabalhar exclusivamente com a parte geométrica e passaremos a utilizar coordenadas 
para representar os nossos vetores. Tudo o que foi estudado sobre vetores até agora deve ser refeito 
utilizando-se as coordenadas.
Mas, afinal, o que são coordenadas de um vetor? O que muda na teoria que você estudou até agora?
Vamos começar a responder essas questões, lembrando o que é um plano cartesiano.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
5.3.1 Plano cartesiano
O termo cartesiano é devido ao filósofo e matemático francês Renée Descartes, cujo nome em latim 
era Renatus Cartesius, criador da geometria analítica.
Indicaremos por IR o conjunto dos números reais, e por IR2 ou IRxIR (leia-se IR cartesiano IR) o 
conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em que x e y são números reais. Em geral, usamos a 
notação IR2 para representar o plano.
Chamamos o número x de primeira coordenada e o número y de segunda coordenada.
Dados (x,y) e (x’,y’) em IR2, temos que (x,y) = (x’,y’) se, e somente se, x = x’ e y = y’.
Representamos, a seguir, um sistema de coordenadas cartesianas:
0 x
y
Figura 35
Um sistema de coordenadas cartesianas em um plano a é determinado por um par de eixos 
perpendiculares OX e OY contidos nesse plano, com a mesma origem O. Chamamos o eixo OX de eixo 
das abscissas (ou simplesmente eixo x), e o eixo OY de eixo das ordenadas (ou simplesmente eixo y). 
Indicamos esse sistema com a notação XOY.
Um sistema de coordenadas no plano a nos permite estabelecer uma correspondência biunívoca 
(correspondência um a um) a → IR2, de forma que a cada ponto Q do plano a corresponde um único 
par ordenado (x,y) ∈ IR2. Os números x e y são as coordenadas do ponto Q relativamente ao sistema 
XOY, em que x é a abscissa e y é a ordenada de Q.
As coordenadas (x,y) do ponto Q podem ser definidas do seguinte modo:
• se Q estiver sobre o eixo OX, o par ordenado que lhe corresponde é (x,0), em que x é a coordenada 
de Q no eixo OX;
• se Q estiver sobre o eixo OY, a ele corresponde o par (0,y), em que y é a coordenada de Q nesse 
eixo;
• se Q não está em qualquer um dos eixos, traçamos por Q uma paralela ao eixo OY, a qual 
corta OX no ponto de coordenada x e uma paralela ao eixo OX, que corta OY no ponto de 
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coordenada y. Então, x será a abscissa e y a ordenada do ponto Q. Dessa forma, temos que 
(x,y) ∈ IR2 é o par ordenado de números reais que corresponde ao ponto Q. 
Observe a seguir a representação de alguns pontos conforme descrito. Vamos localizar, no sistema, 
os pontos:
A (1, 0), B (0, 2) , C (1,1), D (-2, -1)
0
D
A1
B
C
-2 X
Y
2
1
-1
Figura 36
O ponto O, origem do sistema de coordenadas, tem abscissa e ordenada iguais a zero, ou seja, a ele 
corresponde o par ordenado (0,0) ∈ IR2. 
5.3.2 Vetores no plano
Dado um ponto P do plano, podemos associar a ele um vetor u

 (vetor posição do ponto) que tem 
origem em O (origem do sistema cartesiano) e extremidade em P. Assim, podemos escrever 
� � ��
u OP= .
Consideremos, nos eixos coordenados x e y, vetores unitários com origem em O. Esses vetores 
ortogonais e unitários são os versores dos eixos OX e OY. 
Você encontrará várias notações para esses versores. Neste texto, utilizaremos a mais comum, i

 e 
j

, para indicar os versores dos eixos OX e OY, respectivamente.
Observe a figura a seguir:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
0 1
A
X
Y
1
i

j
 v

Figura 37
O ponto A indicado na figura tem coordenadas (1,1). Assim, o vetor v OA
� � ��
= pode ser escrito em 
função dos versores i

 e j

. Temos, então, pela regra do paralelogramo, v

 = i

 + j

.
Do mesmo modo, se escolhemos um ponto qualquer P (x, y), podemos escrever o vetor v OP
� � ��
= em 
função dos versores i

 e j

, observe a figura a seguir:
0 1
Py
y
Xx
x
Y
1
i

i

j

j

v

Figura 38
Você pode escrever o vetor v OP
� � ��
= em função dos versores i

 e j

. Utilizando a regra do paralelogramo, 
temos v

 = x i

 + j

.
De forma geral, qualquer vetor do plano pode ser escrito de forma única em função dos versores 
i

 e j

.
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 Observação
Note que, na figura, o ponto P está no 1º quadrante, logo, x>0 e y>0. 
Mas essa conclusão vale para o ponto P em qualquer quadrante.
Vamos agora representar dois pontos A (a, b) e B (c, d) no plano e o vetor AB
� ��no plano Oxy, 
para facilitar o seu entendimento vamos adotar pontos no 1º quadrante. Você pode utilizar o mesmo 
procedimento para os pontos em qualquer um dos outros quadrantes.
0
B
A
d
b
Xac
Y
i

j

Figura 39
Podemos escrever o vetor AB
� ��
 em função dos vetores OA
� ��
 e OB
� ��
. Observe a figura a seguir:
0
B
A
d
b
Xac
Y
i

j

Figura 40
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Escrevendo o vetor AB
� ��
 em função de OA
� ��
 e OB
� ��
, temos AB
� ��
 = AO
� ��
 + OB
� ��
, e a partir disso vem 
AB
� ��
 = -AO
� ��
 + OB
� ��
. 
5.3.3 Combinação linear
Quando escrevemos um vetor v

 em função de outros, dizemos que v

 é combinação linear desses 
vetores.
Assim, se o vetor v

 é combinação linear dos vetores u

1, u

2, ..., u

n, então existem escalares 
a1, a2, ..., an, tais que podemos escrever:
v

 = a1 . u

1 + a2 . u

2 + ... + an . u

n
Exemplos:
1) Dadas as figuras, escrever o vetor v

 como combinação linear dos vetores a

 e b

, isto é, escrever 
o vetor v

 em função de a

 e b

.
a) M ponto médio do lado CD:
v

A
D
B
CM
a

b

Figura 41
Resolução:
Como estamos trabalhando com um paralelogramo, temos:
� � �� � ��
� � �� ���
a AB DC
b AD BC
= =
= =
O ponto M divide o lado DC ao meio. Assim, temos:
DM DC a
� ��� � �� �
= =
1
2
1
2
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Para escrever o vetor v AM
� � ���
= em função de a

 = AB e b

 = AD
� ��
, você deve começar a escrever o 
vetor pelo vértice que dá a sua origem (nesse caso, A) e continuar caminhando de vértice em vértice até 
chegar ao ponto que dá a extremidade, ao vértice M.
Assim, temos v AM
� � ���
= = AD
� ��
 + DM
� ���
.
Está quase terminado, falta ainda deixar só em função dos vetores a

 = AB e b

 = AD
� ��
. Vamos 
substituir DM
� ���
 por 
1
2
a

 para, a partir de então, encontrarmos a combinação linear pedida, isto é, 
v AM b a
� � ��� � �
= = +
1
2
.
b) R e S são pontos da trissecção do lado DC, isto é, dividem o lado DC em 3 partes iguais:
v

A
D
B
CR S
a

b

Figura 42
Resolução:
Novamente, estamos trabalhando com um paralelogramo. E então, temos:
� � �� � ��
� � �� ���
a AB DC
b AD BC
= =
= =
Os pontos R e S dividem o lado DC em 3 partes iguais. Assim, temos:
DR RS SC DC a
� �� ��� ��� � �� �
= = = =
1
3
1
3
Para escrever o vetor v AS
� ���
= em função de a

 = AB e b

 = AD
� ��
, você deve começar a escrever o 
vetor pelo vértice que dá a sua origem (nesse caso, A) e continuar caminhando de vértice em vértice até 
chegar ao ponto que dá a extremidade, ao vértice S.
Assim, temos v AS AD DR RS
� ��� � �� � �� ���
= = + + , ou podemos também escrever v AS AD DS
� ��� � �� ���
= = + . Nas 
duas formas, chegaremos à mesma resposta, você pode escolher a maneira que achar mais 
prática.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Falta ainda deixar só em função dos vetores a

 = AB e b

 = AD
� ��
. Utilizando a 2ª forma, vamos 
substituir DS
���
 por 
2
3
a

. Assim, encontramos a combinação linear 
� ��� � �
v AS b a= = +
2
3
.
 Observação
 Note que DS DR RS a a a
��� � �� ��� � � �
= + = + =
1
3
1
3
2
3
.
Podemos utilizar o mesmo raciocínio para figuras espaciais. Veja, no próximo exemplo, como trabalhar 
com um paralelepípedo.
2) M ponto médio do lado HG: isso divide o lado HG em 2 partes iguais:
v

A
D
E
H M G
B
C
F
a

b

c

Figura 43
Resolução:
Num paralelogramo, temos:
� � �� � �� �� � ��
� � �� ��� ��� ���
� ��
a AB DC EF HG
b AD BC EH FG
c AE
= = = =
= = = =
=
�� ��� � �� � ��
= = =BF DH CG
O ponto M divide o lado HG em 2 partes iguais. Assim, temos:
HM MG 
1
2
 HG 
1
2
 a
� ��� � ��� � �� �
= = = .
Queremos escrever o vetor v BM
� � ��
= em função dos vetores a AB
� � ��
= , b AD
� � ��
= , c AE
� ���
= .
Assim, temos:
� � �� � �� ��� ��� � ���
v BM BA AE EH= = + + + HM
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Observando a figura, temos:
BA AB
AE
EH
HM
� �� � �� �
��� �
��� �
� ��� � ��
= − = −
=
=
= =
 a
 c
 b
 
1
2
 HG 
1
2
 a
�
Substituindo na expressão, vem:
� � �� � � � �
� � � �
v BM c b
Logo v c b
= = − + + +
= − + +
 a 
1
2
 a
 
1
2
 a ,
A partir da combinação linear, definimos vetores linearmente dependentes e linearmente 
independentes. Esses conceitos são muito importantes no estudo de vetores, tanto na geometria analítica 
quanto na álgebra linear. Com eles, definimos base de um espaço vetorial e, como consequência, as 
coordenadas dos vetores.
O estudo dos resultados importantes relativos a bases de um espaço vetorial é feito em álgebra 
linear. Portanto, neste texto, não detalharemos esses resultados. 
Vejamos, então, estes novos conceitos.
5.3.4 Dependência e independência linear
Dois ou mais vetores são chamados de linearmente dependentes (LD) se pelo menos um deles 
é combinação linear dos demais, isto é, podemos escrever um deles como combinação linear dos 
outros.
Dois ou mais vetores serão linearmente independentes (LI), se nenhum deles é combinação linear 
dos demais.
 Lembrete
Vetores são LI se não são LD. Logo, LI é negação de LD.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Nos exemplos anteriores, quando escrevemos um vetor em função dos outros, temos vetores LD. 
Por Exemplo:


 


v b= + 
2
 a, os vetores a , b e v 
3
 são LD. 
  



 
v c b= − + + 
1
2
 a , os vetores a , b , c e v são LD. 
Agora você já sabe quando 2 ou mais vetores são LD ou LI. Mas o que acontece se você tiver 
somente um vetor?
Nesse caso, temos que o conjunto formado por só um vetor será LI, se ele não for o vetor nulo, e 
será LD, se ele for o vetor nulo.
 

a LI a 0⇔ ≠
Para continuarmos o nosso estudo e entendermos melhor o conceito de LI e LD, vamos ver 
o significado geométrico da dependência linear, isto é, geometricamente como representamos 
vetores LI e LD.
5.3.4.1 Interpretação geométrica da dependência linear
Os conceitos de combinação linear e de vetores LI e LD, dados anteriormente, não dependem do 
tipo de vetor que estamos tratando, isto é, podemos utilizar a mesma definição para vetores no plano 
(IR2) e no espaço (IR3). 
No entanto, a interpretação geométrica da dependência linear é diferente no plano e no espaço. 
Assim, vamos dividir o nosso estudo em vetores no IR2 e vetores no IR3.
No plano (IR2), temos:
Dois vetores: a

,b

 são LD ⇔ a

 = ab

 ou b

 = b a

, isto é, um écombinação linear do outro.
Geometricamente, temos que são vetores paralelos, dessa forma: 




a , b L a / bD ⇔ /
De modo análogo, temos que:




a , b L a e bI ⇔ não são paralelos.
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Observe a figura a seguir. Você é capaz de indicar quais dos vetores são LI e quais são LD?
a

b

c

d

Figura 44
Observando os vetores e a definição de vetores LI e LD, temos que:
• os pares de vetores: 


 


a ae b e c b e c; ; , são LD;
• os pares de vetores: 

  


a e d b e d c e d; ; ; , são LI.
Três ou mais vetores: no plano (IR2), 3 ou mais vetores serão sempre LD.
No espaço (IR3), temos:
Dois vetores: do mesmo modo que no plano temos a

,b

 são LD ⇔ a

 = ab

 ou b

 = b a

, isto é, um 
é combinação linear do outro.
Geometricamente, temos que são vetores paralelos, assim: 




a , b L a / b D ⇔ /
 
De modo análogo, temos:




a , b L a b I e⇔ não são paralelos.
Três vetores: a

,b

, c

 são LD ⇔ a

,b

, c

 são coplanares.
De modo análogo, temos:
a

,b

, c

 são LI ⇔ a

,b

, c

 não são coplanares.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
 Lembrete
Vetores são coplanares se têm representante no mesmo plano, isto é, 
no plano do desenho.
Observe a representação a seguir:
a

b

c

a
Figura 45
Os três vetores representados estão no plano, isto é, são coplanares. Logo, a

,b

, c

 são LD.
Para que você visualize melhor a representação de vetores LI, ou seja, vetores não coplanares, 
vamos observar o seguinte paralelepípedo, tomaremos representantes dos vetores a

,b

, c

 nas 
arestas da figura:
A
D
E
H G
B
C
F
a

b

c

Figura 46
Note que não é possível representar a

,b

, c

num mesmo plano. 
Se considerarmos a face que tem os vetores a

 e b

, não conseguimos representar o vetor c

 nela. 
Da mesma forma, sempre que considerarmos o plano que contém uma das faces, teremos o terceiro 
vetor fora dele.
 Observação
Para representar vetores LI, você não precisará sempre utilizar uma 
figura geométrica, mas esse é um artifício que facilita a visualização. 
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4 ou mais vetores: no espaço (IR3) quatro ou mais vetores são sempre LD. 
Assim, você só conseguirá encontrar conjuntos de vetores LI, no IR3, com no máximo 3 vetores. 
5.3.5 Base 
Veremos agora o conceito de base, fundamental no estudo da geometria analítica e da álgebra linear.
No espaço vetorial IR2 (plano), temos que qualquer conjunto ordenado com 2 vetores LI será uma 
base. Da mesma forma, no espaço vetorial IR3 (espaço), qualquer conjunto ordenado com 3 vetores LI 
será uma base.
 Lembrete
O número de vetores LI na base depende do espaço vetorial que estamos 
trabalhando. Em álgebra linear, estudamos outros espaços vetoriais além 
do IR2 e do IR3.
5.3.5.1 Base ortonormal
Nessa mesma lógica, teremos, por exemplo, que o conjunto B i= {
 
 , j,} , formado pelos versores dos 
eixos coordenados do plano, é uma base do IR2. Da mesma forma, B i= {
  
 , j, k } , versores dos eixos 
coordenados do espaço, é uma base do IR3. 
 
Essas duas bases são chamadas de bases ortonormais, ou bases canônicas: os vetores são LI, unitários 
e ortogonais dois a dois.
A seguir, você pode ver a representação mais comum para essas duas bases:
 
1
x1
y
i

j

Figura 47
Base ortonorma do IR2:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Base ortonormal do IR3, (representação usual):
1
y
x
1
z
i

j

k

Figura 48
Dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa 
base, de modo único. Assim, temos:
• no plano: 
B i= {
 
 , j,} base ortonormal e, para qualquer vetor 

u IR∈ 2 , podemos escrever 

 
u i= + jα β 
de modo único.
• no espaço: 
B i= {
  
 , j, k } base ortonormal e, para qualquer vetor 

u IR∈ 3 , podemos escrever 

  
u i= + + j kα β γ 
de modo único.
Os escalares da combinação linear dos vetores da base serão as coordenadas do vetor u

 na base B. 
Assim, se escrevemos o vetor do IR2 da forma 

 
u i= + jα β , temos u = ( )Bα β, . Do mesmo 
modo, se escrevemos 

  
u i= + + j kα β γ , temos u = ( )Bα β γ, , . 
O índice B indica a base a que se referem às coordenadas. Em geral, trabalhamos com a base canônica, 
por isso, escreveremos simplesmente 

u = ( )α β, para vetor do plano e u = ( )α β γ, , para vetor 
do espaço.
As coordenadas dos vetores da base canônica do IR2 serão i

 = (1, 0) e j

 = (0, 1). Já as coordenadas 
dos vetores da base canônica do IR3 serão i

 = (1, 0, 0), j

 = (0, 1, 0) e k

 = (0, 0, 1).
Se u

 = (x, y), temos que a primeira componente x é chamada abscissa de u

, e a segunda componente 
y é a ordenada de u

.
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Se B e= {
  
1 , e , e }2 3 é uma base do IR3, e 
   
v e= +2 1 3 e - e2 3 ; então, as coordenadas de v

 na 
base B são 2, 3 e -1 e, portanto, escrevemos 

v = ( 3, - 1)B2 , .
Note que, nesse caso, é obrigatório indicar a base B. 
 Saiba mais
Para saber mais sobre base e mudança de base, veja os capítulos 7 e 8
de:
 BOULOS, P.; OLIVEIRA, I. C. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 
São Paulo: Prentice Hall, 2005. 
Agora que já temos as coordenadas de um vetor, devemos rever os conceitos estudados anteriormente.
5.4 Operações com vetores utilizando as coordenadas
Para que seja possível efetuar a adição de vetores, é necessário verificar se eles estão escritos em 
relação à mesma base. Vamos trabalhar com as coordenadas na base canônica.
5.4.1 Adição 
• no IR2:
 Se 
 
u x v x= = ( y ) e ( y )1 1 2 2, , , então 
 
u x x v ( y y ) 1 2 1 2+ = + +,
• no IR3:
 
   
u x v x u x= = ⇒ + = ( y ,z ) e ( y ,z ) v ( 1 1 1 2 2 2 1, , ++ + +x2 1 2 1 2 y y , z z ) ,
Exemplos:
Determinar a soma dos vetores:
a) 
 
u v= = ( -1) e (0 2)2 , ,
Conforme a definição, a adição de vetores é feita somando as coordenadas correspondentes, 
isto é, 1ª coordenada de um com a 1ª do outro, e 2ª coordenada de um com a 2ª coordenada do 
outro.
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Assim, temos: 
 

u x y x x
u
 v ( (x y ) ( y y ) 
 
1 1 2 2 1 2 1 2+ = + = + +
+
, ) , ,
 v ( (0 2) ( -1 2) (2, 1) 
 


= − + = + + =2 1 2 0, ) , ,
)b u == = ( -2 , 0)e ( 3, 1 4)1, ,

v
Conforme a definição, a adição de vetores é feita somando as coordenadas correspondentes, isto é, 1ª 
coordenada de um com a 1ª do outro, 2ª coordenada com 2ª coordenada, e 3ª coordenada com 3ª coordenada.
Assim, temos:
 
u x y x x v ( , z (x , y , z ) ( y 1 1 1 2 2 2 1 2 1+ = + = + +, ) , y , z z ) 
 v ( , 0 (3 , 1, 4) ( 
2 1 2+
+ = − + =
 
u 1 2 1, ) -2 1 , 0 4) (4 , -1, 4) + + + =3,
5.4.2 Multiplicação por escalar
• no IR2:
 
u x u x= ∈ ⇒ = ( y ) e IR ( y )1 1 1 1, ,α α α α
• no IR3:
 
u x u x= ∈ ⇒ = ( y , z ) e IR ( y , z1 1 1 1 1, ,α α α α α 11)
Exemplo: 
Determine as coordenadas dos vetores indicados:
 
a u u) , ( -1) ; 2 u ; -3 u ; 
1
2
 
   
= 2
Conforme a definição de multiplicação por escalar, devemos multiplicar o escalar por cada coordenada.
Assim, temos: 
2 2 1
2 1
 2 ( ( 4 -2)
3 -3 ( ( 


u
u
= − =
− = − =
, ) ,
, ) --6 3)
 
1
2
 ( ( 1 
-1
2
) 
,
, ) ,
1
2
2 1

u = − =
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b u u) , ( -1 , 3) ; 2 u ; -3 u ; 
1
2
 
   
= 2
Devemos multiplicar o escalar por cada uma das coordenadas do vetor.
Assim, temos:
2 2 1
2 1
 2 ( , 3 (4, -2, 6)
3 -3 ( 
1 1
1


u
u
= − =
− = −
, )
, ,, 3 (- 6, 3, -9)
 
1
2
 ( , 3 (1, -
1
2
, 
3
2
1
1 1
)
, )
=
= − =
1
2
2 1

u )) 
5.4.3 Vetores paralelos
Vetores são paralelos se têm coordenadas proporcionais. Nessa lógica, temos:
• no IR2: 
 
u x v x= = ( y ) e ( y )1 1 2 2, ,
 
u v // 
x
x 
 
y 
y 
 1
2
 1
2
⇔ =
• no IR3:
 
u x v x= = ( y , z ) e ( y , z )1 1 1 2 2 2, ,
 
u v // 
x
x 
 
y 
y
 
z 
z
 1
2
 1
2
1
2
⇔ = =
Para verificar se são paralelos, você deve colocar as coordenadas de um dos vetores nos 
numeradores, as coordenadas do outro nos denominadores e verificar se todos os resultados são 
iguais. Sendo iguais, os vetores são paralelos. Se alguma das frações não for igual às outras, os 
vetores não serão paralelos.
Exemplo:
Verifique se os vetores são paralelos ou não:
a u v) , , ( 6) e ( 3)
 
= =2 1
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Nesse caso, temos:
2
 
6
31
Simplificando as frações, encontramos:
2 = 2
Logo, 2 = 
6
3
 
1
, ou seja, os vetores são paralelos e podemos escrever u

 = 2 v

.
 Lembrete
Vetores paralelos são do tipo u

 = a v

, e o valor de a é determinado 
pelo resultado da proporção das coordenadas.
b u v) , , ( 6) e ( 3)
 
= =1 2
Nesse caso, temos:
1
 
6
32
Simplificando as frações, encontramos:
 1 2
2
≠
Assim, 1 
6
32
≠ e os vetores não são paralelos.
c u v) , , ( 1 2 , 4) e ( 4 , -8)
 
= − = 2
Montando as proporções, temos:
-1
2
 
2
4
 
4
-8
Simplificando as frações, encontramos:
-1
2
 
1
2
 
-1
2
≠ ≠
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a
Nem todos os resultados deram iguais, por isso, os vetores não são paralelos.
d u v) , , ( 1 2 , 4) e ( -4 , -8)
 
= − = 2
Notamos agora que, montando as proporções, temos:
-1
2
 
2
-4
 
4
-8
Simplificando as frações, encontramos:
-1
2
 
-1
2
 
-1
2
= =
 Todos os resultados são iguais, por isso, os vetores são paralelos e, assim, podemos escrever 
 
u v= 
-1
2
 .
 Observação
Você pode escrever tanto 
 
u v= 
-1
2
 como -2 u

 = v

.
Vetor nulo
Todas as suas coordenadas devem ser iguais a zero.
Assim, 

0 0 ( 0 ) = , representa o vetor nulo do plano e 

0 0 ( 0 , 0 ) = , representa o vetor nulo 
do espaço.
5.4.4 Dependência linear
Novamente, vamos separar nosso estudo em vetores do plano e do espaço. 
• No IR2: 
2 vetores: sabemos que vetores são LD se são paralelos, logo, têm coordenadas proporcionais.
Assim, se u
 
= ≠(x , y ), v = (x , y ) e x y 0 1 1 2 2 2 2. , podemos escrever:
 
u v , LD 
x
x 
 
y 
y 
 1
2
 1
2
⇔ =
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De modo análogo, os vetores são LI se não têm coordenadas proporcionais.
u

, v

 LI suas coordenadas não são proporcionais.
 Lembrete
Note a necessidade da condição x2 2 y . ≠ 0 , pois, se algum deles for 
zero, não poderemos montar as frações para comparação. Nesse caso, você 
vai procurar o número α α , para que .
 
u v= Se existir o número, são 
LD, caso contrário, são LI.
3 ou mais vetores: já sabemos que no plano serão sempre LD.
• No IR3: 
2 vetores: do mesmo modo que para vetores do plano, temos que 2 vetores do espaço serão LD se 
suas coordenadas são proporcionais.
Assim, se u z z
 
= ≠(x , y , z ), v = (x , y , ) e x y 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2. . , podemos escrever:
 
u v , LD 
x
x 
 
y 
y
 
z 
z
 1
2
 1
2
1
2
⇔ = =
 Lembrete
 Novamente é necessária a condição x2 2 2 y . z . ≠ 0 , pois, se algum 
deles for zero, não poderemos montar as frações para comparação. Você 
deve procurar o número α α , para que .
 
u v= Se existir o número, 
são LD, caso contrário, são LI.
3 vetores: já sabemos que 3 vetores no espaço são LD, se um for combinação linear dos demais, isto 
é, se são coplanares.
Consideremos os vetores 
 
u x v x= = ( y , z ), ( y , z ) 1 1 1 2 2 2, , e 

w ( y , z3 2 3= x , ) do 
espaço. Podemos verificar se são LI ou LD utilizando a combinação linear, ou utilizando o 
determinante formado pelas coordenadas dos vetores. 
Nesse caso, temos:
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a
  
u v
z
 , , w LD 
x y z
x y z
x y
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
⇔ = =∆ 0
Do mesmo modo:
  
u v
z
 , , w LI 
x y z
x y z
x y
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
⇔ = ≠∆ 0
As condições anteriores servem também para estudarmos se os vetores são ou não coplanares. 
Assim, para verificar se 3 vetores do espaço são LD ou LI, você deve montar o determinante formado 
pelas coordenadas deles e verificar o resultado, comparando com zero. 
Vejamos agora alguns exemplos com vetores tanto do plano quanto do espaço, para que você 
entenda bem como proceder para determinar se os vetores dados são LI ou LD.
Exemplos:
Verifique se os vetores a seguir são LI ou LD:
 
a u v) , , ( - 8) , ( - 4) 
 
= =2 1
Os vetores dados são do plano, assim para verificar se são LI ou LD você deve comparar as suas 
coordenadas.
Assim temos,
-2
1
 
8
-4
Simplificando as frações, encontramos:
-2 = -2
 
Logo, 
-2
18
-4
= , isto é, as coordenadas são proporcionais e daí os vetores são LD.
 
b u v) , , ( 2, -1) , ( -4 , 2) 
 
= =0 0
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Note que o produto das 3 coordenadas, tanto do vetor u

 quanto do vetor v

, é igual a zero. Daí para 
verificar se são LI ou LD não podemos utilizar a comparação das coordenadas.
Nesse caso, você deve resolver a equação u

 = a v

, lembrando que se encontramos o valor de a 
teremos vetores LD, se não encontramos teremos vetores LI.
Assim, substituindo as coordenadas dos vetores, temos:
 
u =
=
=
α
α
α
 v
(0, 2, -1) (0, -4, 2)
(0, 2, -1) (0, -4 , 2 ) α
Igualando as coordenadas temos o sistema:
0 0
2 - 4 
-1 2 
=
= ⇒ =
−
= ⇒ =
−





α α
α α
1
2
1
2
Como o sistema tem solução α =
−1
2
, temos que os vetores são LD e podemos escrever 
 
u =
−1
2
 v .
c u v) , , ( ( 1, -1) , ( 2 , 0) e w , -
  
= = =3 1 2 11, -1)
Temos agora 3 vetores do IR3, vamos então montar o determinante com as coordenadas dos vetores.
Assim: 
∆ = =
−
− −
 
x y z
x y z
x y
 
3 1 1 
1 2 0
2 1
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3z 1
Você já viu anteriormente como desenvolver um determinante, escolha um dos processos e confirme 
o resultado a seguir.
Temos: 
∆ =
−
− −
= 
3 1 1
1 2 0
2 1
 
1
0
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Como ∆ = 0 , os vetores u

, v

 e w
��
 são LD.
Relação para vetores ortogonais 
Já sabemos que dois vetores são ortogonais se têm representantes em retas perpendiculares ou um 
deles é nulo.
Observe a figura a seguir. Nela, estão representados dois vetores ortogonais, não nulos:
+
A
C
Bu

u

v

v

Figura 49
De acordo com o teorema de Pit AC AB BC
2 2 2
= + . 
Você já sabe que o comprimento ou norma de um vetor é representado por ||u

||. Portanto, 
reescrevendo a expressão anterior, temos:
 v u v 2 2 2
   
u + = +
Dessa forma, tem-se:
     
u , v ortogonais u v 2 2 2⇔ + = +u v
5.4.5 Módulo ou norma de um vetor
Se os vetores têm suas coordenadas dadas em relação a uma base ortonormal, então, teremos:
• no plano: u (x, y) x2

= = + y2
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
0
y
x
u

Figura 50
• no espaço: u (x, y, z) x2

= = + +y z2 2
Exemplo:
Determinar o módulo dos vetores:
a) u (2, -1)
 u (2, -1) 2
b) u (0, 1,
2



=
= = + − = + =
=
( )1 4 1 52
 3)
 u (0, 1, 3) 0 
c) u (0, 0, 
2

= = + + = + + =
=
1 3 0 1 9 102 2
00) 
 u (0, 0, 0) 0 02

= = + + = + + = =2 20 0 0 0 0 0
Soma de ponto com vetor
 Vamos agora considerar um ponto A e um vetor u

, existe somente um segmento orientado AB 
representante de u

: 
B
A
u

Figura 51
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Podemos interpretar nesta situação, como o deslocamento do ponto A para o ponto B, determinado 
pelo vetor u

, isto é, A + u

= B.
Esta notação será conveniente para o estudo da reta, que veremos mais adiante.
5.5 Produto escalar
5.5.1 Definição algébrica
u

 . v

 indica o produto escalar dos vetores u

 e v

 e é calculado por:
 
u . v (x , y , z ) . (x , y , z ) x . x y . y1 1 1 2 2 2 1 2 1 2= = + z . z1 2+
O produto escalar u

 . v

 é sempre um número real.
5.5.2 Propriedades do produto escalar
Em quaisquer vetores u

, v

 e w
��
 e qualquer número real a, temos:
I u
II u u
) .
)
 v v . u
 . ( v w) . v 
   
    
=
+ = +
        
u e u u
III
 . w v ) w . w v . w
 (
( .
)
+ = +
α v ) ( v ( v ) 
 u 
     
 
u u u
IV u
. ) . .
) .
= =α α
>> ≠
= =
0 se u 0 
 u . u 0 se u 0 
 u 


  

 
V u) . u 
 v v 0
2
=
⊥ ⇔ =

   
VI u u) .
Para demonstrar essas propriedades, precisamos das coordenadas dos vetores. 
Essas propriedades valem para vetores do plano e do espaço, faremos nossa demonstração com 
vetores do espaço. Tente você refazer a demonstração das propriedades, utilizando vetores do plano (2 
coordenadas).
Tomemos u

, v

 e w
��
, 3 vetores do espaço, e sejam   u (x , y , z ) v (x , y , z ) e w (x , y , z )1 1 1 2 2 2 3 3 3= = =, 
as coordenadas desses vetores numa base ortonormal. Então, tem-se:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
I) u

 . v

 = v

 . u

Vamos substituir as coordenadas dos vetores e efetuar o produto escalar: 
 
u . v (x , y , z ) . (x , y , z ) x . x y . 1 1 1 2 2 2 1 2 1= = + yy z . z
v . (x , y , z ) . (x , y , z ) x 
2 1 2
2 2 2 1 1 1 2
+
= =
 
u .. x y . y z . z1 2 1 2 1+ +
Devemos agora comparar os resultados e verificar se são iguais. As coordenadas são formadas por 
números reais, e o produto de números reais é comutativo. Temos, então, que:
x . x y . y z . z x . x y . y z . z1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1+ + = + +
Logo, 
   
u v v . u. = .
II u u u u) ( . ( v w) . v . w e v )
        
+ = + + .. w . w v . w
    
= +u
Nesse caso, vamos demonstrar somente uma das afirmações. 
Devemos substituir as coordenadas dos vetores e efetuar as operações indicadas.
Assim, temos:
  
u . ( v w) (x y , z . (x y , z (x y 1 1 1 2 2 2 3 3+ = +, ) , ) , ,, z
 . ( v w) (x y , z . (x x y y
3
1 1 1 2 3 2
)
, ) ,
[ ]
+ = + +
  
u 33 2 3
1 2 3 1 2 3
, z z
 . ( v w) x x x y . y y
+[ ]
+ = +( ) + +
)
.
  
u (( ) + +( )
+ = + +
 z . z z 
 . ( v w) x x x x y
1 2 3
1 2 1 3 1
  
u . . 2 1 3 1 2 1 3 y y y z z z z. . . .+ + + 
Agrupando de forma conveniente, temos:
  
u . ( v w) x x y y z z x x y1 2 1 2 1 2 1 3+ = + +( ) + +. . . . 11 3 1 3 y z z
 . ( v w) . v . w
. .+( )
+ = +
 
u u u
      
Agora, procure demonstrar a outra afirmação, utilizando a primeira como modelo.
III u u u) . ) . . ( v ) ( v ( v )α α α
     
= =
Substituindo as coordenadas dos vetores, temos:
α α
α
 ( v ) (x y , z ) . (x y , z ) 
 ( 
1 1 1 2 2 2
 
u . , ,= ( )
 
 
u
u
 v ) x x y . y z . z
 ( v 
1 2 1 2 1 2. .
.
= + +( )α
α )) (x x ) (y y ) (z z )
 ( v )
1 2 1 2 1 2= + +α α α
α
. . .
.
 
u ( x x ( y y z z1 2 1 2 1 2= + + ( )α α α). ). .
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Assim, temos a(u

 . v

) = (au

) v

.
Do mesmo modo, você pode verificar que a(u

 . v

) = u

 . (a v

).
IV u) . u 0 se u 0 
 u . u 0 se u 0
  

  

> ≠
= = 
Inicialmente, vamos demonstrar que u

 . u

 > 0 se u

 ≠ 0.
Substituindo as coordenadas do vetor u

 na expressão, temos:
 
 
u
u
 u (x , y , z . (x , y , z ) 
 u x )
1 1 1 1 1 1
1
. )
. (
=
=
22
1
2
1 (y ) ( z+ + )
2
Como temos a soma de valores positivos e ao menos um deles diferente de zero, concluímos que o 
produto u

 . u

 é maior que zero, dessa forma: 
  
u u x ) (y ) ( z se u 01
2
1
2
1. ( ) ,= + + > ≠
2 0 , isto é, 
  
u u se u 0. ,> ≠0
Para demonstrar que u

 . u

 = 0 e u

 = 0

, vamos utilizar a mesma igualdade da primeira parte, isto 
é,  u u x ) (y ) ( z1
2
1
2
1. ( )= + +
2 .
Então, igualando a zero, temos 
 
u u x ) (y ) ( z1
2
1
2
1. ( )= + + =
2 0 . A única maneira de termos a 
soma de números positivos igual a zero é se todos os números forem igual a zero.
Logo, 
 
u u x ) (y ) ( z1
2
1
2
1. ( )= + + =
2 0 se x y z1 1 1= = = 0 , isto é, se 


u ( x y z ) (1 1 1= = =, , , , )0 0 0 0 .
Assim, u

 . u

 = 0 e u

 = 0.
V u) . u u 2
  
=
Já sabemos que 
 
u u x ) (y ) ( z1
2
1
2
1. ( )= + +
2 e u x ) (y ) ( z1
2
1
2
1

= + +( )2 .
Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade u x ) (y ) ( z1
2
1
2
1

= + +( )2 , encontramos 
 u x ) (y ) ( z2 1
2
1
2
1

= + +( )( )2 2 .
Então, vem u x ) (y ) ( z
2
1
2
1
2
1

= + +( )2 , isto é, u u . u
2  
= .
Para vetores, não tem significado a notação (u

)2 ou u

2 para indicar o produto u

 . u

. O correto é 
utilizar a notação com a norma do vetor ao quadrado.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
VI u u v v 0) .
   ⊥ ⇔ =
Já sabemos que 
     
u u v v u v 2 2 2⊥ ⇔ + = +
Utilizando a propriedade anterior, temos:
 v ( v ( v .2
     
u u u+ = + +) . ) substituindo na expressão anterior, vem( v ( v v 
2 2     u u u+ + = +) . )
Utilizando a propriedade distributiva, temos
         
u u u . u u . v v . v . v v2+ + + = + 2
Como      u u u e v . v v 2 2. = = , podemos escrever
|| || 2 u . v ||v || v 2 2 2 2
     
u u+ + = +
Simplificando, chegamos em 2 u

 . v

 = 0, isto é, u

 . v

 = 0
Assim, temos 
   
u u v v 0⊥ ⇔ =.
5.5.3 Ângulo entre dois vetores
 
Só podemos definir ângulo entre vetores se eles forem não nulos. 
Assim, se u

 e v

 são não nulos, chamamos de ângulo entre u

 e v

 o menor ângulo formado por 
seus representantes, com mesma origem.
Podemos indicar o ângulo θ entre os vetores u

 e v

, usaremos as notações: θ = âng(u

, v

) ou 
θ = ∠ ( u , v )  . 
Veja a seguir algumas representações de ângulos entre dois vetores: 
θ < 90°
ângulo agudo
θ > 90°
ângulo obtuso
θ θ
u

u

v

v

Figura 52
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Temos ainda dois casos extremos quando os vetores são paralelos. Eles podem ter mesmo 
sentido ou sentidos opostos. Vejamos o que acontece com o ângulo entre os vetores nesses 
casos:
 
Mesmo sentido
(ângulo nulo)
Sentido oposto
(ângulo raso)
θ = 0 θ = 180
u

u

v

v

Figura 53
Note que o ângulo entre dois vetores está entre 0º e 180º, isto é, 0° ≤ θ ≤ 180° ou em radianos 
0 ≤ θ ≤ p.
Geometricamente, você já sabe o ângulo entre dois vetores. Como calcular a medida desse 
ângulo?
Para calcular o ângulo analiticamente, vamos precisar de mais uma propriedade do produto 
escalar, a propriedade VII. 
Vejamos, então, o que diz essa propriedade: 
VII u v u v cos se u 0 e v ) .
    


= ≠ ≠θ 0 
 v 0 se u 0 e v 0 

  



u . = = =
Não faremos, nesse texto, a demonstração dessa propriedade. 
Exemplos:
Sendo||u

|| = 2, || v

|| = 3 e θ = âng(u

, v

) = 120°, calcular:
a) u

 . v

Resolução: 
Para calcular o produto escalar de u

 por v

, como não temos as coordenadas dos vetores, devemos 
utilizar a propriedade VII. 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Assim, temos: 
   
 
u . v u v cos 
u . v 2 . 3 . cos 20” 
=
= =
θ
1 6 . 
 
 
u . v 6 . 
 
 
u . v 
−


 = −
=
−


 = −
=
1
2
3
1
2
3
 
 
 
 u v 
−
+
3
b)
 
Resolução:
Para podermos determinar a norma de (u

 + v

), vamos calcular inicialmente ||u

 + v

||2
Assim, temos:
 u v u v) . u v)2
     
+ = + +( (
Utilizando a propriedade distributiva, vem:
 u v u . u u v v . u v . v2
         
+ = + + +.
Dessa forma, temos: 
 u v u 2 u v v 2 2 2
     
+ = + +.
Substituindo os dados do enunciado, vem: 
 u v 2 2 u v 3 2 2 2
   
+ = + +.
No exemplo anterior, vimos que 
 
u . v = − 3 . Substituindo em u v 2 2 u v 3
2 2 2   + = + +. , 
encontramos u v 2 2 - 3) 3 2 2 2
 
+ = + +(
A partir disso, determinamos u v 2 6 3 2 2 2
 
+ = − + = 1 e, em seguida:
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 u v 2 6 3 
 u v 4 6 9 
2 2 2
2
 
 
+ = − +
+ = − + ==
+ =
−
 7 
 u v 7 
 u v 
 
 
c)
Resolução:
Novamente, vamos calcular u v 2
 
−
Assim, temos:
 u v u v) . u v)2
     
− = − −( (
Utilizando a propriedade distributiva, vem:
 u v u . u u v v . u v . 2
         
− = − − +. vv
Então, temos: 
 u v u 2 u v v 2 2 2
     
− = − +.
Substituindo os dados do enunciado, vem: 
 u v 2 2 u v 3 2 2 2
   
− = − +.
No exemplo anterior, vimos que 
 
u . v = −3 . Substituindo na expressão 
 u v 2 2 u v 3 2 2 2
   
− = − +. , encontramos:
 u v 2 2 - 3) 3 2 2 2
 
− = − +(
E, em seguida, u v 2 2 - 3 ) 3 2 2 2
 
− = − +( = 1, para, dessa forma, determinarmos:
 u v 2 2 - 3) 3 
 u v 
2 2 2
2
 
 
− = − +
+ =
(
 4 6 9 19 
 u v 19
+ + =
+ =
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA EÁLGEBRA LINEAR
5.5.4 Projeção ortogonal
Dados dois vetores u

 e v

, chamamos de projeção ortogonal do vetor u

 na direção do vetor v

 ao 
vetor proj v
u


, paralelo a v

, dado por:
proj 
u . v
 v 
 vv
u
 


 


=



2
Geometricamente:
u

u

v

v

proj v
u


proj v
u


Figura 54
Exemplo:
Determine as projeções ortogonais, proj proj v
u
u
v




e , sendo 
 
u (1, -2,0) e v (1, 1, 2) = = .
Resolução: 
Para calcular a projeção de u

 na direção de v

, isto é, proj v
u


, precisamos calcular o produto escalar 
de u

 por v

 e a norma de:
 
 
u . v (1, -2, 0) . (1, 1, 2) 1 - 2 0 -1 = = + =
Assim:
 v (1, 1, 2) . (1, 1, 2) 1 1 4 6

= = + + =
Substituindo em proj 
u . v
 v 
 vv
u
 


 


=



2 , vem:
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proj 
u . v
 v 
 v 
-1
 6
v
u
 


 


=



 = ( )


2 2


 =




=
 (1, 1, 2) 
-1
 (1, 1, 2) 
ou proj v
u
6


 
-1
 
-1
 
1
 . 
6 6 3
, ,


 Agora, queremos calcular a projeção de v

 na direção de u

, isto é, proj u
u



.
Precisamos determinar u

 . v

 e o módulo do vetor u

 Como o produto escalar é comutativo, isto é, 
v

 . u

 = u

 . v

, temos que v

 . u

 = u

 . v

 = -1.
Vamos agora determinar o módulo de u

.
 u (1, -2, 0) . (1, -2, 0) 1 4 0 5

= = + + =
Substituindo em proj 
u . v
 u 
 uu
v
 


 


=



2 , vem:
proj 
u . v
 u 
 u 
-1
 5
u
v
 


 


=



 = ( )


2 2


 =



 (1, -2, 0) 
-1
 (1, -2, 0) 
ou proj v
u
5


 
-1
 
2
 = 

5 5 0, ,
Vamos agora definir outro produto entre vetores do IR3, o produto vetorial. Nesse caso, o resultado 
do produto será um novo vetor, diferente do produto escalar em que o resultado encontrado era um 
número real. 
Para podermos definir esse produto, será necessário que se defina orientação no espaço vetorial IR3, 
isto é, queremos saber quando uma base é positiva e quando é negativa.
5.6 Produto vetorial 
5.6.1 Orientação no espaço vetorial IR3
As bases do IR3 podem ser divididas em dois tipos: as de orientação positiva e as de orientação 
negativa. Para facilitar a visualização dessa orientação, é comum utilizarmos a correspondência com a 
mão esquerda para orientação positiva, e com a mão direita para a orientação negativa.
Consideremos uma base B = {u

, v

,w
��
}. Para saber se B é positiva ou negativa, utilizamos a 
correspondência a seguir:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Orientação positiva: regra da mão esquerda.
v

u

w
��polegar
dedo 
indicador
dedo médio
Dedo médio ↔ ↔ vetor u

Dedo indicador ↔ vetor v

Polegar ↔ ↔ vetor w
��
Figura 55
Orientação negativa: regra da mão direita.
v

u

w
��
polegar
dedo 
indicador
dedo médio
Figura 56
5.6.2 Produto vetorial - definição
Chamamos de produto vetorial de u

 por v

 o vetor u

 ∧ v

 ou u

 x v

, tal que:
•    

u u e v LD v 0⇒ ∧ = ;
•    u u e v L I v ⇒ ∧ é o setor que tem: 
a) direção: 
     
u u u v v e v ∧ ⊥ ∧ ⊥ ; 
b) sentido: o sentido de u

 ∧ v

 é tal que a base B= {u

, v

, u

 ∧ v

} é positiva; 
c) norma ou módulo: v u v sen ang( u , v )
     
u ∧ = =θ θ, ;
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Unidade II
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a
d) se os vetores u

 e v

 são LI representamos o vetor produto vetorial, u

 ∧ v

, da seguinte forma:
v

v

u

u

∧
θ
Figura 57
Lemos a notação u

 ∧ v

 ou u

 x v

 como “u

 vetorial v

”.
A base B = {u

, v

 u

 ∧ v

}, sendo de orientação positiva, obedece à regra da mão esquerda.
 
O sentido do produto vetorial depende da ordem que colocamos os vetores u

 e v

. Assim, são 
diferentes os produtos u

 ∧ v

 e, sendo 
 
u v ( x , y , z ) e ( x , y , z )1 1 1 2 2 2= = , definimos o produto 
vetorial de u

 por v

 por:
 
u
y z
y z
x z
x z
x y
x y
 v , - , ∧ =




1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
Ou escrevendo em função da base ortonormal: 
 
 
u
y z
y z
x z
x z
x y
x y
 v i j ∧ = − +1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2

k
Para memorizar essa expressão, utilizamos um determinante simbólico que tem na primeira linha 
os vetores da base ortonormal { i

, j

, k

}, na segunda linha as coordenadas do vetor u

, e na terceira 
linha as coordenadas do vetor v

.
Assim, escrevemos: 
 
  
u v 
i j k
x y z
x y z
 1 1 1
2 1 2
∧ =
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Se desenvolvermos esse determinante “simbólico” utilizando Laplace na primeira linha temos: 
 
  

u
y z
y z
x z
x z
 v 
i j k
x y z
x y z
 i 1 1 1
2 1 2
∧ = = −
1 1
2 2
1 1
2 22
1 1
2 2
 j k
 
+
x y
x y
É importante notarmos que a representação anterior não é um determinante, pois a primeira linha 
contém vetores ao invés de escalares.
Exemplo:
Dados os vetores u


= =( , , )1 2 - 2 e v ( 0, 1, 2) , referidos a uma base ortonormal positiva 
B = { i

, j

, k

}, calcular:
a) u

 ∧ v

b) v

 ∧ u

Resolução:
Vamos utilizar o determinante formado pelas coordenadas dos vetores e pelos vetores da base ortonormal, 
observando que, em cada item, devemos obedecer à ordem de colocação dos vetores nas linhas.
Assim: 
a u) v 
i j k
1 -2 2
0 1 2
 
 
  
∧ =
Desenvolvendo o determinante pela 1ª linha, temos: 
 
  
 
u
u
 v i j 
 
 k
 v
∧ =
−
− +
−
∧ =
2 2
1 2
1 2
0 2
1 2
0 1
(−− − − +
∧ = − −
4 2) ( ( i 2-0) j 1-0) k
 v 6 i 2 
  
 

u
 
 
 
 
j k
 v ( 6 , 2 , 1 )
 u 
i
+
∧ = − −
∧ =
u
vb)
jj k
0 1 2
1 -2 2
 

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a
Nesse item, vamos desenvolver o determinante utilizando a regra de Sarrus. Assim, você poderá 
optar pelo procedimento que melhor se adaptar: 
 u 
i j k
0 1 2
1 -2 2