Integrais Definidas

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Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
120
CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN
7.1- Notação Sigma para Somas
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de
somatório ( ∑ ).
Exemplos:
2
)1n(n
kn4321
n
1k
+==+++++ ∑
=
L ~ soma de inteiros sucessivos
6
)1n2)(1n(n
kn4321
n
1k
222222 ++==+++++ ∑
=
L ~ soma de quadrados sucessivos
A integral de Riemann de uma função ( )xf num intervalo [ ]b,a , é equivalente à soma de todos os elementos de área
sob a curva ( )xf , ou seja:
onde:
kc coordenada entre 1kx − e kx( )kcf ordenada de kc (altura do retângulo)
1kkk xxx −−=∆ (base do retângulo)
A área do ésimok − retângulo é dada por ( ) xkk xcfA ∆⋅= somando-se todas as áreas dos retângulos sob a
curva ( )xf , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for kx∆ ,
melhor é a aproximação.
Assim:
∑
=→
n
1k
kk
0||x||
x)c(flim
k
∆∆ = área sob a curva ( )xf = A .
Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva.
 ............................. ......................
Y
X
( )[ ]kk cfc ,
( )[ ]nn cfc ,
kc
nc
kA
1−− nn xx1−− kk xx
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121
7.2- Integral Definida de Riemann
 Definição: Seja ( )xf uma função contínua num intervalo [ ]b,a , então se o limite
∑
=→
n
1k
kk
0||x||
x)c(flim
k
∆∆
existe, a função ( )xf é integrável em [ ]b,a no sentido de Riemann, e é definida por
∫∑ =
=→
b
a
n
1k
kk
0||x||
dx)x(fx)c(flim
k
∆∆ ,
onde a integral definida de ( )xf , no intervalo [ ]b,a , dará uma nova função ( )xg calculada no intervalo [ ]b,a , o que é
escrito na forma ( ) baxg , ou seja, )a(g)b(g)x(g ba −= , assim:
)a(g)b(gdx)x(f
b
a
−=∫
7.3- Teorema Fundamental do Cálculo
Se f for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então
[ ] )a(g)b(g)x(g)x(gdx)x(f b
a
b
a
b
a −===∫
7.3.1Existência da Integral de Riemann de uma função Contínua
Teoremas
a) Se ( )xf é uma função contínua no intervalo fechado [ ]ba, , então ( )xf é Riemann - integrável em [ ]ba, .
b) Se ( )xf é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [ ]ba, , então ( )xf é Riemann –
integrável em [ ]ba, .
Exemplos:
a b
x
y
1
2
f(x)
 x2 +1 ; x>0
f(x) =
1 se x ≤ 0
 1/x ; x>0
f(x) =
1 se x ≤ 0
a b
x
y
1
f(x)
Função limitada seccionalmente e
Contínua em [ ]b,a , é R - integrável Função ilimitada seccionalmente em [ ]b,a , não é R - integrável
Disciplina de Cálcu
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Exercícios
1) Determinar a área limitada pela curva 2xx5y −= e pelo eixo x.
0xx5 2=−
0)x5(x =− 2xx5y −=


=
=
5x
0x
0 5
.a.u
6
5
3
5
2
5
3
x
2
x
.5dxxx5A
5
0
335
0
32
2∫ =−=−=−=
2) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.
- P ntos de interseção - rea
3) Determinar
y = 5x – x2
y = 2x
530
y
x
o
lo Diferencial e Integral I
e Oliveira Buffoni
 a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2
y
4
x


=
=
=−
=−
−=

 =
−=
3x
0x
0)3x(x
0x3x
xx5x2
x2y
xx5y
2
2
2
x4y −=
A1
2
-2
y
x
 Á
122
2
0y
y4
2
2
±=
=−
−=
.a.u
2
9
A
9
2
27
A
3
x
2
x3
A
dx)xx3(A
dx)x2xx5(A
3
0
32
3
0
2
3
0
2
=
−=
−=
−=
−−=
∫
∫
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[ ]
.a.u
3
32
A
8.
3
2
.2A
3
2
.x42A
dx)1.()x4(.2A
dxx4.2A
4
0
2
3
4
0
2
1
1A
4
0
=
−−=




−−=
−−−=
−=
∫
∫
43421
ou
.a.u
3
32
A
3
8
8.2A
3
y
y4.2A
dy)y4(2A
2
0
3
2
0
2
=


 −=



 −=
−= ∫
4) Determinar a área limitada pelas curvas y2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo.
- Pontos de interseção - Área
x
y = 0
3a
a
a4
y
x
2
=
ya3x −=
-2
y


−=
=
±−=
+±−=
=−+
=+−
−=

 −=→=+
=
a6'y
a2y
2
a8a4
y
2
a16a4
y
012ay4y
0ay4a.12y
)ya3(a4y
ya3xa3yx
ax4y
2
2
22
2
2
a8.
1
a2a6A
a12
y
2
y
ay3A
dy)
a4
y
ya3(A
322
a2
0
32
a2
0
2
−−=



 −−=
−−= ∫
a 2
ral I
a48 2
a
2
a4A
a12
22 −=
123
.a.u
3
a.10
A
3
2
=
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5) Calcule a área compreendida entre o eixo X e a curva ( ) ( )8x2x
8
1
xf 2 +−= entre [ ]4,2− .
O gráfico da curva é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



 −+−−−−+−=


 +−=−−
−−∫ 2822232482423481x82x23x81dx8xx81
23234
2
234
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) 

 −−++−=



 −+−−−−+− 16
2
4
2
3
8
32
2
16
2
3
64
8
1
28
2
2
2
3
2
48
2
4
2
3
4
8
1 2323
6
15
6
3216
6
3
6
2
6
16
2
6
3
6
2
42
6
16 =−+=−+=

 −−++− .
6) Avalie diretamente a integral de Riemann dada pelo cálculo de um limite das somas de Riemann. Use partições
cosntituídas de subintervalos de comprimentos iguais e use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme esteja
indicado.
a. ∫
2
0
3dxx (retângulos inscritos)
b. ∫
−
0
2
2 dxx (retângulos circunscritos)
c. ( )∫ +2
0
3 dx2x (retângulos inscritos)
d. ( )∫−
−
−−
1
2
2 dx2xx (retângulos inscritos)
7.4- Propriedades Básicas da Integral Definida
1) Integral de uma função constante
Se ( ) kxf = , k constante, então )ab(kkxkdxdx)x(f bab
a
b
a
−=== ∫∫ , como mostra a Figura
Área sob uma função constante.
Y
X
a b
ab −0
( ) kxf =
A
2) Homogeneidade
∫∫ =
b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(kf , onde k é uma constante
 -2 -1 0 1 2 3 4 X
Y
( )xf
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3) Aditividade
=+∫
b
a
dx)]x(g)x(f[ +∫
b
a
dx)x(f ∫
b
a
dx)x(g
4) Linearidade
=+∫
b
a
dx)]x(Bg)x(Af[ +∫
b
a
dx)x(fA B ∫
b
a
dx)x(g , com A e B constantes.
5) Positividade
Se f é uma função Riemann - integrável em [ ]ba, e se f(x)>=0 para todo x no intervalo [ ]b,a , então
0dx)x(f
b
a
≥∫
6) Comparatividade
Se f e g são Riemann - integráveis em [ ]b,a e se f(x) ≤ g(x) para todo x no intervalo [ ]b,a , então
∫
b
a
dx)x(f ≤ ∫
b
a
dx)x(g
 y = f(x)
7) Valor Absoluto
∫
b
a
dx)x(f ≤ ∫
b
a
dx|)x(f|
Prova: Assumindo que f e | f | são Riemann - integráveis no intervalo [ ]b,a .
Temos que - | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) | ( -|x| ≤ x ≤ |x| )
Então ∫∫ ∫ ≤≤−
b
a
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(fdx|)x(f| ; isto é: ∫∫ ∫ ≤≤−
b
a
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(fdx|)x(f|
Logo ∫∫ ≤
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(f
8) Aditividade com relação ao intervalo de integração
Se f é Riemann - integrável no intervalo [ ]b,a , bem como no intervalo [ ]c,b , então f é também Riemann -
integráveis no intervalo [ ]c,a , ou seja:
∫
c
a
dx)x(f = ∫
b
a
dx)x(f + ∫
c
b
dx)x(f
Definições:
(i) Se f é uma função qualquer e a é um número no domínio de f, definimos:
0dx)x(f
a
a
=∫
max de g(x) M
min de g(x) m
y = g(x)
a b
y
xab −
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(ii) Se a > b e f é Riemann - integráveis em [b, a], então definimos:
∫∫ −=
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f
7.5- Teorema do Valor Médio para Integrais
Se f é contínua em [a,b], então existe um número c em [a,b] tal que
f( c ).(b - a) = ∫
b
a
dx)x(f ou
f( c ) = 
ab
1
− ∫
b
a
dx)x(f 
min f ≤ c ≤ max f
obs: A área sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b é igual a área do retângulo cuja base é (b-a) e altura f(c).
Ex: Seja f(x) = x2, achar c no intervalo [1,4]
f( c ) = 
14
1
− ∫
4
1
2dxx = 7)21(
3
1
3
164
3
1
3
1
3
4
3
1
1
4
3
x
3
1 333 ==

 −=


 −=



Logo f( c ) = c2 = 7 → c = 7 = 2,65 (1 ≤ 2,65 ≤ 4)
7.6- Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
A primeira parte deste teorema afirma que as operações de diferenciação (derivação) e integração são inversas
uma da outra, isto é, diferenciaçãodesfaz a integração e vice-versa.
O enunciado do TFC é composto de duas partes. Assim, se f é contínua num intervalo I tal que a∈I e b∈I, e seja x∈I,
então:
1a parte: 
dx
dy
= )x(fdt)t(f
dx
d
x
a
=∫ "a derivada da integral é o integrando"
onde y = ∫
x
a
dt)t(f
2a parte: Se g é uma primitiva (anti-derivada) de f, de tal forma que g'(x) = f(x), então
)a(g)b(gdx)x(f
b
a
−=∫ , para todo x em [a,b]
Exemplos: (1a parte) Calcular
a) Se y = ∫ +−
x
0
2 dt)1tt2( , calcular 
dx
dy
.
 
dx
dy
= 1xx2dt)1tt2(
dx
d 2
x
0
2 +−=+−∫
f
a c b
f(c )
y
x
Ponto c do teorema do valor
médio
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b) Se y = ∫ +
x
0
3
dt
1t
1
, calcular 
dx
dy
.
dx
dy
= 
1x
1
dt
1t
1
dx
d
3
x
0
3 +=+∫
c) Se y = ∫ +
2x
0
25 dt)7t5( , calcular 
dx
dy
.
Fazendo u = x2 → du = 2xdx → 
dx
du
 = 2x
Por enquanto, podemos calcular 
du
dy
du
dy
= 25
u
0
25 )7u5(dt)7t5(
du
d +=+∫ = 252 )7x5( + (voltando o valor u = x2)
logo: 252 )7x5(
du
dy +=
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
dx
du
.
du
dy
dx
dy = = 252 )7x5( + (2x) → 
dx
dy
 = 252 )7x5( + (2x)
Exemplos de Integrais Definidas (2a parte do TFC)
a) ∫ +
1
0
2 dx)1x( = 


 +−


 +=


 + 0
3
)0(
1
3
1
0
1
x
3
x 333
 = 
3
4
- 0 = 
3
4
b) ∫ −
4
1
dx
x
x1
 = ∫ 


 −
4
1
dx
x
x
x
1
= ∫  −−
4
1
2
1
2
1
dxxx
= 
1
4
x
3
2
x2
1
4
2
3
x
2
1
x 2321
2
3
2
1


 −=







−
= 

 −−

 − 23212321 1.
3
2
1.24.
3
2
4.2
= 
3
8
3
4
3
4
3
2
2
3
16
4 −=−−=

 −−

 −
Observações:
• 2/12/102/1 xxx
1
x
1 −− === (1 = x0)
• 2/12/11
2/1
xx
x
x
x
x +− ===
• 4 1/2 = (22 (1/2) ) = 2
• 4 3/2 = (22 (3/2) ) = 23 = 8